矩阵的运算与运算规则复习课程
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是代数中一种重要的数学工具，它由数个数按照规定的行列顺序排列而成。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置等，这些运算规则在代数中有着重要的应用。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则相同，对应位置的元素进行相加或相减。
具体来说，如果有两个m×n（m行n列）的矩阵A和B，它们的和为C，则A和B之间的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C的元素cij就是A和B相对应位置元素之和。
同样，矩阵的减法也是对应位置的元素进行相减操作。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的和、差分别为：A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]A-B=[[1-5,2-6],[3-7,4-8]]=[[-4,-4],[-4,-4]]二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都与一个常数k相乘。
具体来说，如果有一个m×n的矩阵A和一个实数k，则矩阵A乘以k的结果为B，可表示为：B = kA。
其中，B的元素bij等于k与A相对应位置元素的乘积。
例如，对于如下矩阵：A=[[1,2],[3,4]]k=2则A乘以k的结果为：B=kA=2A=[[2,4],[6,8]]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以将它们相乘得到一个新的矩阵C。
具体来说，如果A是一个m×n 的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则矩阵C的大小为m×p。
C的元素cij 可以通过计算A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积之和得到。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的乘积为：C=AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22], [43,50]]注意，在矩阵乘法中，矩阵的位置很重要，即AB一般不等于BA。
线性代数矩阵的运算
3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
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BG
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
BG
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一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
BG
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则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
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矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
矩阵的运算与初等变换
基本列向量，则
a11
Ae j
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2n
0
1
a1 j a2 j
am1 amj
amn
0
amj
➢ 可见当
§2 矩阵的运算
A=(aij)m×n，则EmA=AEn=A.
§2 矩阵的运算
➢ 运算规律 ➢ (1)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×k， C=(Cij)k×n， 则A(BC)=(AB)C ；
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
➢ 注：只有同型矩阵才能相加.
§2 矩阵的运算
➢ 定义 m×n矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵. 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定 A-B=A+(-B)，即
➢ 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向 量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其 线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵 等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的 理论基础。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵的概念 ➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 ➢ 3. 几种特殊的矩阵 ➢ 4. 矩阵的应用 ➢ 5. 向量的概念
线性代数 第一章
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 本章教学内容 ➢ §1 矩阵与向量的概念 ➢ §2 矩阵的运算 ➢ §3 分块矩阵及矩阵的分块运算 ➢ §4 几种特殊的矩阵 ➢ §5 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的运算与初等变换
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射的结构、性质和运算法则。
在线性代数中，矩阵运算和特征值分解是两个重要的概念和技巧。
本文将以复习的形式来介绍线性代数中的矩阵运算和特征值分解。
一、矩阵运算1. 矩阵的定义和基本运算- 矩阵是由数域上的元素组成的一个长方形的数组。
- 矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
2. 矩阵的转置和共轭转置- 矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
- 对于复数矩阵，还可以进行共轭转置，即将矩阵中的元素取复共轭得到的新矩阵。
3. 矩阵的逆和行列式- 逆矩阵是对于方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。
- 行列式是一个标量，用于判断矩阵是否可逆。
二、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义- 对于一个矩阵A和一个非零向量v，如果存在一个标量λ，使得Av=λv，那么v就是A的一个特征向量，λ就是A的对应特征值。
2. 特征值和特征向量的性质- 特征值和特征向量具有以下性质：- A的特征值的个数等于A的阶数。
- 特征向量的长度可以归一化，使得其模长为1.- 如果v是A的特征向量，那么对于任意非零标量c，cv也是A的特征向量。
3. 特征值分解- 特征值分解是将一个可对角化的矩阵表示为特征值和特征向量的形式。
- 设A是一个n阶方阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，那么称D的对角元素为A的特征值，P的列向量为A的特征向量。
4. 特征值分解的应用- 特征值分解在多个领域和问题中有广泛的应用，如主成分分析、图像压缩、物理系统的模态分析等。
总结：线性代数中的矩阵运算和特征值分解是重要的概念和技巧。
矩阵运算包括基本运算、转置和共轭转置、逆和行列式等，而特征值和特征向量的概念则提供了解析矩阵性质和变换的重要工具。
特征值分解是一种重要的矩阵分解形式，可以用于研究和求解各种问题。
§2矩阵的运算
分配
律
l ( A B) l A l B
备注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 矩阵的运算
1111
第二章 矩阵及其运算
注意：与行列式性质相区别
a11 a12 a13 l a11 l a12 l a13 a11 a12 l a13 l a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 l a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 l a33
a11 cc cc cc cc a11 1111 aa12 1212 aa13 1313 aa14 1414 12 13 14 a21 c21 c22 c23 cc a21 c21 aa22 c22 aa23 c23 aa24 2424 22 23 24 a c aa c aa c aa c a 3131 c3131 3232 c3232 3333 c3333 3434 c3434
© §2 2009, Henan Polytechnic University 矩阵的运算
3 3
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
1212
第二章 矩阵及其运算
1 2 4 3 例1 A 0 3 , B 5 3 , 求A+2B. 解：
1 2 4 3 A 2B 0 3 2 5 3
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
线性代数第1章第2节矩阵的运算
3 0 2 1 8 1 3 X 2 A B (2) 2 2 6 0 2 1 1 两端乘以 得 3 1 8 3 3 . X 2 0
13
三、矩阵的乘法
引例1 设有三个炼油厂以原油作为主要原料，利用一 吨原油生产的燃料油、柴油和汽油数量如表所示(单位: t ):
20
定义 1.6
设矩阵 A = (aij)m×s ,
B = (bij)s×n ,
s
C = (cij)m×n , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j + · + aisbsj aik bkj , · ·
k 1
(i = 1, 2, · , m; j = 1, 2, ·, n ) · · · ·
1 3 2 2 6 4 2 0 10 4 . 0 5 2 2 2 1 2 . 2 4 5 2 5
12
例: 设
3 0 2 1 A , B 2 2 , 2 1
且 2A－3X = B, 求矩阵 X .
解:
由题设得
称为数 k 与矩阵 A 的乘积（或数 k 与矩阵 A 的数乘）.
记作kA = ( kaij )m n .
11
运算规律 设 A, B 为数域 F 上的同型矩阵, k, l F，则 (1) 1A = A;
(2) k(lA) = (kl) A;
(3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.
生产原料表
第一炼油厂 燃料油 柴油 汽油 0.762 0.190 0.286 第二炼油厂 0.476 0.476 0.381 第三炼油厂 0.286 0.381 0.571
矩阵的运算
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21
x1 a22 x2 a2n xn
b2
,
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
令
a11
A
a 21
a m1
a12 a 22
a m1
a1n
a2n
a mn
,
x1
X
x2
xn
,
b1
称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB.
注意：只有当左乘矩阵A的列数等于 右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.
，
乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行 ， 数,AB的列数等于右乘矩阵B的列数.
例2.2.2 设
1 2 3
1 1
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 1 1 5 , B 2 2
1
2 1
0 1
， 计算AB.
a2b2
a1bn a2bn
an
anb1 anb2 anbn
a1
BA b1 ,
b2 ,
,
bn
a2
an
b1 a1
b2 a2
bn an
n
bt at .
t 1
，
注意： 在这个例子中,AB是n阶矩阵,
，
而BA则是1阶矩阵.
例2.2.4 设
A
1 1
11,
B
1 1
11,
: :::
:
:::
， | A || B | an1 an2 ... ann a b nk k1 a b nk k 2 ... a b nk kn .
1 0 ... 0
0
2.2高等数学矩阵的运算
(2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).
(3)
A
a11
a21
am1
a12
a22
am1
a1n
a2n
amn
aij
.
称为矩阵A的负矩阵.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
x7 3
=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3
a11 x12
a22 x22
a33
x
2 3
(a12 a21 )x1 x2 (a13 a31 )x1 x3 (a23 a32 )x2 x3 .
4、共轭矩阵 定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用aij表示aij 的共轭 复数, 记A (aij ), 称 A 为A 的共轭矩阵. 运算性质
设A, B为复矩阵, 为复数, 且运算都是可行的, 则:
1 A B A B;
2 A A;
3 AB AB.
16
五、小结 加法 数与矩阵相乘
方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: –A=AT.
例7: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E 为n 阶单位矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且
HHT = E.
证明: 因为 HT = (E – 2XXT)T = ET– 2(XXT)T = E – 2XXT = H.
矩阵的运算和和矩阵的秩课件
A
1 1
1 1
B
1 1
1
1
求AB
注：⑵由AB=0一般不能得到A=0或B=0.
例2.4
设
1
A
2
2
4
B
1 2
3 1
C
7 1
1
2
求AB，AC
注：⑶若AB=AC，且A≠0,则一般不能得到B=C.
矩阵乘法满足旳运算律：
§2.1 矩阵旳基本运算
1) (AB)C=A(BC) （结律合） k(AB)=(kA)B=A(kB)
（1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加旳和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘旳积，记作lA
l 0 0
lI
0
l
0
0
0
l
称为数量矩阵
§2.1 矩阵旳基本运算
称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A旳负矩阵，记为-A． 矩阵旳减法：A-B=A+(-B)=(aij-bij)
12 12
300 260
44
矩阵C与A、B之间 有什么关系？
矩阵C旳第i行第j列旳元素等于矩阵A旳第i行旳元 素与矩阵B旳第j列旳相应元素乘积之和。
§2.1 矩阵旳基本运算
定义2.2 设 A=(aij) m×s ，B=(bij)s×n ，那么称
C=AB=(cij) m×n 为矩阵A与B旳乘积.其中
0
例如：A
0
0
4 0 0
0 0 2
0 1 5
0 1 8
0 0 0
A1
A2
0 0
0 0
0 0
3 0
2 0
0 9
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则一、矩阵的加法与减法1、运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．2、运算性质（假设运算都是可行的）满足交换律和结合律交换律；结合律．二、矩阵与数的乘法1、运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．2、运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知三、矩阵与矩阵的乘法1、运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2设矩阵计算解是的矩阵．设它为想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．课堂练习1、设，，求．2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．解：第1题．第2题对于，．求是有意义的，而是无意义的．结论1只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．第3题是矩阵，是的矩阵．．结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．第4题计算得：．结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．典型例题例6.5.3设，试计算和．解．结论4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．例6.5.4利用矩阵的乘法，三元线性方程组可以写成矩阵的形式＝若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为，，，则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．2、运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．3、方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．四、矩阵的转置1、定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．2、运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．典型例题例6.5.5利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A 为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．五、方阵的行列式1、定义定义：由方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作或．2 、运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而．思考：设，有几种方法可以求？解方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积．。
矩阵的基本运算与性质知识点
矩阵的基本运算与性质知识点矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算与性质知识点，包括矩阵的定义、加法、数乘、乘法、转置、逆矩阵等内容。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列数字组成的一个矩形数组，通常用大写字母表示。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中a11, a12, a21等表示矩阵中的元素。
二、矩阵的加法对于两个同型矩阵A和B，即行数和列数相等的矩阵，可以进行加法运算。
加法的结果是一个同型矩阵C，其每个元素等于相应位置的两个矩阵元素之和。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，其加法C可以表示为：C = A + B = [a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22a31 + b31 a32 + b32]三、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个数与矩阵的每个元素相乘。
结果是一个与原矩阵同型的矩阵。
例如，将一个3行2列的矩阵A乘以一个数k，得到的结果可以表示为：C = kA = [ka11 ka12ka21 ka22ka31 ka32]四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B 相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的定义是，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
例如，对于一个2行3列的矩阵A和一个3行2列的矩阵B，其乘法C可以表示为：C = AB = [a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32]五、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
如果原矩阵为A，转置后的矩阵表示为A^T。
例如，对于一个3行2列的矩阵A，其转置矩阵表示为：A^T = [a11 a21 a31a12 a22 a32]六、逆矩阵对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。
矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。
本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。
（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。
矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。
2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。
4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。
（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。
假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。
例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。
矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。
2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。
3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。
（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。
假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中一项重要的数学工具，常用于解决多变量的线性方程组、线性变换等问题。
本文将介绍矩阵的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、基本运算1. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形阵列。
我们用大写字母A、B、C等表示矩阵，元素用小写字母a_ij、b_ij、c_ij等表示。
2. 矩阵的加法若A、B是同阶矩阵（即m行n列），则A + B的结果是一个与A、B同阶的矩阵，其每个元素等于A、B对应元素的和。
3. 矩阵的减法若A、B是同阶矩阵，A - B的结果是一个与A、B同阶的矩阵，其每个元素等于A、B对应元素的差。
4. 矩阵的数乘若A是一个矩阵，k是一个标量（实数或复数），kA的结果是一个与A同阶的矩阵，其每个元素等于A对应元素乘以k。
5. 矩阵的乘法若A是一个m行p列的矩阵，B是一个p行n列的矩阵，那么AB 的结果是一个m行n列的矩阵。
其中，AB的第ij个元素等于A的第i 行与B的第j列的乘积之和。
6. 矩阵的转置若A是一个m行n列的矩阵，AT表示A的转置矩阵，即A的行列互换得到的n行m列的矩阵。
二、基本性质1. 矩阵的分配律对于任意的矩阵A、B、C和标量k，满足下列性质：(A + B)C = AC + BCA(B + C) = AB + ACk(AC) = (kA)C = A(kC)2. 矩阵的结合律对于任意的矩阵A、B和C，满足下列性质：(AB)C = A(BC)3. 矩阵的逆若A是一个可逆矩阵（行列式不等于零），则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
4. 矩阵的转置性质对于任意的矩阵A和B，以及标量k，满足下列性质：(A + B)T = AT + BT(kA)T = kAT(AB)T = BTAT5. 矩阵的幂若A是一个n阶矩阵，定义A^k为将A连乘k次，其中k是正整数。
若A的特征值都不为零，则有(A^m)(A^n) = A^(m+n)。
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算讲义
一 部分特殊矩阵
1
零矩阵 所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O 例如
O22 0 0 0 0 O23 0 0 0 0 0 0
O33 0 0 0 0 0 0 0 0 0
一 矩阵的定义：
第四讲 矩阵的概念及其运算
由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成 的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵
a11 a21 记作 Amn= am1
a12 a1n a22 a2n am2 amn
a11±b11 a12±b12 … a1n±b1n a21± b21 a22 ±b22 … a2n±b2n A±B= … … … am1±bm1 am2±bm2 … amn±bmn
1 2 例1 设 A 3 +5 2+6 解 A B 3 4 7 8 3+7 4+8
2 方阵 若矩阵A的行数与列数都等于n， 则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵
例如
A22 1 2 3 4
B33 2 5 3 1 2 2 7 4 4
3 行矩阵与列矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵
也可以用小写黑体字母 例如
1 0 0 diag(1,2,3) 0 2 0 0 0 3
2 0 diag(2,1,3,4) 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4
5 数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵 a A 0 0 0 a 0
b11 0 B b21 b22 bn1 bn2
第28讲：矩阵-苏深强
矩阵一、基本知识体系：1. 矩阵的概念（1）矩阵及相关概念（2）几种特殊类型的矩阵 2. 线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 3. 矩阵的初等变换（1）矩阵的初等变换解线性方程组①互换矩阵的两行②把某一行同乘（除）以一个非零的数③某一行乘以一个数加到另一行 （2）初等变换法解线性方程组4. 矩阵的加、减法运算（1）同阶矩阵和相等矩阵（2）矩阵的加、减法 （3）矩阵加法的运算规律5. 矩阵的乘法运算（1）矩阵的数乘（2）矩阵的乘法（3）数乘矩阵的运算规律（4）矩阵乘法的运算规律 二、典例分析：【例题1】判断下列说法的正确性（1）m n ⨯矩阵是由mn 个数任意排成的一个矩阵表； （2）矩阵35()ij A a ⨯=中第二行第三列的数为32a ； （3）主对角线上全为1的方阵称为单位矩阵；（4）如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 相等； 【例题2】已知矩阵222,22xx yb a A B xa b y x y ---⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及A【例题3】方程组30231x y x y -+=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为____________, 增广矩阵为___________.【例题4】已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组（1）235124-⎛⎫⎪-⎝⎭ （2）21020321323-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【例题5】三元一次方程组4357245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩，（1）写出它的系数矩阵和增广矩阵；（2）用矩阵变换法解方程. 【例题6】λ取何值时，方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？【例题7】已知矩阵34010,2583A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求A B +；A B -.【例题8】已知1010100,01,010101000A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求：3,,,A AB BA AC .【例题9】已知矩阵3401,2153A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1）求,AB BA ； 2）求22A A B +-.【例题10】解矩阵方程：21121214X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中X 为矩阵.【例题11】如果AB BA =，矩阵B 就称为与A 可交换，设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭,求所有与A 可交换的矩阵B .三、巩固练习：【练习题1】下列变换不一定是矩阵的初等变换的是（ ） A 、互换矩阵的两行 B 、互换矩阵的两列C 、把某一行同乘以一个常数D 、某一行乘以一个数加到另一行 【练习题2】矩阵231416⎛⎫⎪-⎝⎭表示____________阶矩阵. 【练习题3】已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位向量，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求()sin αβ-的值.【练习题4】解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩【练习题5】n 阶方阵12231121nn nn n ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭的所有元素之和为______________ 【练习题6】 用矩阵变换方法解下列问题：（1）42243x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）45203272825x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练习题7】对下列方阵实施以初等变换，使之成为单位矩阵： （1）112321120-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭ （2）112331224-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【练习题8】运用矩阵变换方法解方程组：322ax y x y b+=⎧⎨-=⎩（a 、b 为常数）【练习题9】线性方程组40351687x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的增广矩阵是______________【练习题10】解方程组320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩【练习题11】 判断下列命题真假，若是假命题，请说明理由： 1）若矩阵0,0A B ≠≠，则0A B ≠； 2）""A B B C =是""A C =的必要非充分条件.【练习题12】若对于矩阵A 与B ，,AB BA 都存在，则下列结论中正确的是（ ） A 、A ，B 一定都是方阵 B 、A ，B 为同阶矩阵C 、A B 与B A 为同阶矩阵D 、A 的行数与列数分别等于B 的列数与行数 【练习题13】若A 是m n ⨯阶矩阵，B 是l r ⨯阶矩阵，则l n =且m r =是AB BA =的_______条件【练习题14】已知1cos 222,2434A B x θ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且A B =，则θ的值为__________. 【练习题15】已知25110,9121A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则2A B -=__________. 【练习题16】已知11101120,11131A B -⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭，则A B =________________.【练习题17】已知76461124421457,121221410412A B A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求： 1）A 和B ；2）75A B +.【练习题18】设12,13A ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗 (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗 (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗【练习题19】用数学归纳法证明*111().0101nn n N ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【练习题20】三个学生甲、乙、丙到文具用品商店购买学习用品，甲购买了4本练习册，3支水笔，1支铅笔，乙购买了2本练习册，5支水笔，2支铅笔，丙买了3本练习册，2支水笔，1支铅笔，已知练习册每本定价3元，水笔每支定价2.5元，铅笔每支定价0.5元，求甲、乙、丙每人的消费情况.【练习题21】已知矩阵2143120,,,4070234A B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭计算： 1）A B +； 2）2B A -； 3）A B ； 4）A C【练习题22】若1111,1111M N -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. M N N M = B. 2N M M = C. M N M N =+ D. 2NM M M =+。
2.3-2 矩阵的关系运算和逻辑运算
矩阵的关系运算和逻辑运算
主要内容
矩阵的关系运算
矩阵的逻辑运算
关系运算符：<, <=, >, >=, ==, ~ =
运算结果：真（1），假（0）
运算法则
（1）标量比较：直接比较数的大小。
（2）矩阵比较：对应位置元素按照标量运算关系进行比较，最终结果为一个由0和1组成的、与原矩阵同阶数的矩阵。
注意：相同阶数的矩阵才能进行比较。
A= magic(3)
P= (rem(A,3)==0)例2.3-3 判断A 中的元素能否被3整除。
rem( )：取余数
逻辑运算符：与（&），或（|），非（~）针对二进制数（0，1）的逻辑运算
运算法则
（1）“与”运算：两者均为1，则结果为1；否则为0。
（2）“或”运算：两者只要有一个为1，
则结果就为1；否则为0。
（3）“非”运算：取反。
即如果原来为1，则进行“非”运算后为0；反之亦然。
U=P|~P
all ：全为真(按列运算）any ：不全为假（按列运算）
all(P)
all(U)
any(P)例2.3-4。
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矩阵的运算与运算规则矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行稳定、安全可靠，也是影响整个系统使用寿命的主要因素。
本节将分析主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法。
2.1系统拓扑结构光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型。
如按照交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如按照并网方式可分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器。
在欧洲，相关标准要求光伏逆变器可以采用非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采用隔离型的；我国目前尚没有在此方面的明确要求。
按照能量变换级数来分，光伏并网系统主要包括单级变换、两级变换和多级变换三种拓扑结构。
为方面理解后续利用矩阵相关知识建模，下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍。
1) 单级变换拓扑结构单级变换拓扑结构与前者相比，只有DC/AC 逆变部分，该逆变器一般采用单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器。
这种类型的光伏逆变器具有结构简单、成本低廉等优点。
由于该系统只有一级功率转换电路，所有控制目标都要通过这一级功率转换单元实现，因而增加了控制系统的复杂性。
图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构。
这种光伏逆变器一般会安装工频变压器。
变压器可以有效降低输出侧电压，也可以起到有效隔离绝缘的效果，具有可靠性高、维护量少、开关频率低和电磁干扰小等特点。
逆变器变压器光伏组件图1 单级单相光伏逆变器拓扑图2) 两级变换拓扑结构两级变换拓扑结构一般由DC/DC 变换器和DC/AC 逆变器两部分组成。
前者一般采用比较常见的BOOST 电路、BUCK-BOOST 电路或CUK电路等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC一般采用单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功补偿或者谐波补偿等相关功能。
图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。
第一级是DC/DC变换环节，其拓扑类型为boost电路，目的是把光伏组件输出的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压。
第二级是DC/AC逆变环节，由单相全桥的可逆PWM整流器构成，这一级的功率开关可以采用MOSFET或IGBT。
升压变换器逆变器光伏组件图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图3)多级变换拓扑结构采用高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑结构通过采用带有整流器的高频率变压器来提升输入电压，具有体积小、重量轻、成本低等优点，常用于并网型太阳能发电设备之中。
图3为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。
这种拓扑结构由于需要经过三级能量变换，通常效率相对较低，并且由于高频电磁干扰严重，必须采用滤波和屏蔽等相关措施。
逆变器逆变器整流器变压器光伏组件图3 带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图2.2典型光伏逆变器的建模与两级式光伏逆变器相比，单级式光伏逆变器只有一个能量变换环节，结构紧凑、元器件少，能量转换效率更高。
目前，单级式三相光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应用。
本节选取此类光伏逆变器作为典型进行建模分析。
如图4所示，三相光伏逆变器一般由防反冲二极管、直流母线稳压电容、DC/AC 逆变环节、逆变器输出滤波器组成。
o图4 三相光伏并网发电系统电路图假定三相电感且其等效电感、电阻值分别为L 1=L 2=L 3=L 和R 1=R 2=R 3=R 。
三相全桥都是理想的开关管。
光伏发电系统在三相静止坐标系下的数学模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⋅=++⋅=++⋅dc c c c cdcb b b b dca a a au S e Ri dt di L u S eRi dt di L u S e Ri dt di L(2.1) 式中：i a 、i b 、i c ——三相并网逆变器的输出电流；e a 、e b 、e c ——三相电网电压；S a 、S b 、S c ——开关函数；u dc ——直流母线电压；考虑直流母线中电流的稳压作用，则有)(b c b b a a pv dci S i S i S i dt du C ++-=(2.2) 式中：C ——直流母线稳压电容；i pv ——光伏阵列输出电流。
将公式2.2进行同步矢量旋转变换，则得到dq 坐标系下的三相光伏并网发电系统的模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+---=+-+-=C i S i S C i dt du Lu S L e i L Ri dt di Lu S L e i L Ri dt di q qd d pv dc dcq q d q q dcd d q d d 2)(3ωω(2.3)式中：i d 、i q ——逆变器输出电流d 、q 轴（有功、无功）分量；e d 、e q ——电网电压d 、q 轴分量；S d 、S q ——触发三相逆变桥的开关信号d 、q 轴分量；ω——电网电压的角频率，即dq 坐标系的旋转速度。
公式2.3中两个电流方程写成矩阵形式为：d d d dc d q q q dc q i i S ue R L d L i i S u e L R dt ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.4) 对公式2.4两边取拉式变换得()()()() ()()()() d d d dc d q q q dc q I s I s S U s E s R L Ls I s I s S U s E s L R ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.5) 令*()d U s =()d dc S U s ，*()q U s =()q dc S U s ，相应时域中有*d u =d dc S u ，*q u =q dc S u ，则公式2.5可写为**()()()() ()()() ()d d d d q q q q U s I s I s E s R L Ls I s I s E s L R U s ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.6)公式2.6的时域表达式为：** d d d d q q q q u i i e R L d L i i e L R dt u ωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.7)3 随机矩阵相关理论3.1 随机矩阵相关理论和要点随机矩阵理论(random matrix theory ，RMT)的研究起源于原子核物理领域。
Wigner 在研究量子系统中得出结论，对于复杂的量子系统，随机矩阵理论的预测代表了所有可能相互作用的一种平均。
偏离预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质，这为了解和研究潜在的相互作用和关系提供了理论支撑。
RMT 以矩阵为单位，可以处理独立同分布(independent identically distributed，IID)的数据。
RMT 并不对源数据的分布、特征等做出要求(如满足高斯分布，为Hermitian 矩阵等)，仅要求数据足够大(并非无限)。
故该工具适合处理大多数的工程问题，特别适合用于分析具有一定随机性的海量数据系统。
随机矩阵理论认为当系统中仅有白噪声、小扰动和测量误差时，系统的数据将呈现出一种统计随机特性；而当系统中有信号源(事件)时，在其作用下系统的运行机制和内部机理将会改变，其统计随机特性将会被打破。
单环定律(Ring Law)、Marchenko-Pastur定律(M-P Law)均是RMT 体系的重大突破。