矩阵运算法则
线性代数与矩阵的运算法则
线性代数与矩阵的运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在矩阵的运算中，我们需要遵循一些规则和法则，以确保计算的准确性和一致性。
本文将介绍线性代数与矩阵的运算法则，并提供相应的例子以便更好地理解。
一、矩阵的加法和减法法则矩阵的加法和减法法则很简单，只需要将相同位置上的元素进行相应的加法或减法即可。
具体表达为：设A和B为两个m×n矩阵，它们的和记作C，差记作D，则有：C = A + B，其中C的元素为C_ij = A_ij + B_ijD = A - B，其中D的元素为D_ij = A_ij - B_ij例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3 2; 6 8 2]则A + B = [2+1 4+3 1+2; 5+6 7+8 3+2] = [3 7 3; 11 15 5]A -B = [2-1 4-3 1-2; 5-6 7-8 3-2] = [1 1 -1; -1 -1 1]二、矩阵的数乘法则矩阵的数乘法则就是将矩阵的每个元素与一个常数相乘。
具体表达为：设A为m×n矩阵，k为实数，则kA表示将A的每个元素都乘以k，即：kA = [kA_ij]例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]则2A = [2×2 2×4 2×1; 2×5 2×7 2×3] = [4 8 2; 10 14 6]三、矩阵的乘法法则矩阵的乘法法则相对较为复杂，需要满足一定的条件。
设A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则它们的乘积记作C，C为m×p的矩阵，其中C的元素C_ij由以下公式确定：C_ij = Σ(A_ik × B_kj)，其中k的范围为1到n例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3; 6 8; 2 5]则A × B = [(2×1+4×6+1×2) (2×3+4×8+1×5); (5×1+7×6+3×2)(5×3+7×8+3×5)] = [26 48; 70 90]四、转置矩阵的性质矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算
矩阵的四则运算指的是矩阵之间的加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法：两个矩阵的加法定义为将对应元素相加。
要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A +
B = [1+5 2+6
3+7 4+8]
= [6 8
10 12]
2. 减法：两个矩阵的减法定义为将对应元素相减。
同样要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A -
B = [1-5 2-6
3-7 4-8]
= [-4 -4
-4 -4]
3. 乘法：两个矩阵的乘法定义为将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算。
要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A *
B = [1*5+2*7 1*6+2*8
3*5+4*7 3*6+4*8]
= [19 22
43 50]
4. 除法：矩阵的除法没有直接定义，但可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现。
要求被除矩阵的逆矩阵存在且除数矩阵的行数等于被除矩阵的列数。
例如：
A = [1 2
3 4]
B = [5 6
7 8]
A /
B = A * B^(-1)
其中 B^(-1) 是矩阵 B 的逆矩阵。
这些运算规定了矩阵之间的加减乘除运算法则，能够在很多领域中被广泛应用，如线性代数、图像处理、机器学习等。
矩阵的运算规律总结
矩阵的运算规律总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
矩阵的运算规律是研究矩阵相加、相乘等运算规律的重要内容，下面我们来总结一下矩阵的运算规律。
1. 矩阵的加法。
矩阵的加法是指同型矩阵之间的相加运算。
对于两个m×n的矩阵A和B来说，它们的和记作A + B，要求A和B的行数和列数都相同，即m和n相等。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的数乘。
矩阵的数乘是指一个数与矩阵中的每个元素相乘的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个实数k来说，它们的数乘记作kA，即矩阵A中的每个元素都乘以k。
矩阵的数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。
3. 矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B来说，它们的乘积记作AB，要求A的列数和B的行数相等，即n相等。
矩阵的乘法不满足交换律，即AB一般不等于BA。
另外，矩阵的乘法满足结合律，即A(BC) = (AB)C。
4. 矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A来说，它的转置记作AT，即A的第i行第j列的元素变成AT的第j行第i列的元素。
矩阵的转置满足(A + B)T = AT + BT，(kA)T = kAT，(AB)T = BTAT。
5. 矩阵的逆。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A来说，存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是n阶单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称A是可逆的。
可逆矩阵的逆是唯一的，记作A-1。
非奇异矩阵是指行列式不为0的矩阵，非奇异矩阵一定是可逆的。
6. 矩阵的行列式。
矩阵的行列式是一个重要的概念，它是一个标量，可以用来判断矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A来说，它的行列式记作|A|，如果|A|不等于0，则A是可逆的，否则A是不可逆的。
矩阵的简单运算公式
矩阵的简单运算公式矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机等各个领域。
矩阵的运算涉及到加法、减法、数乘和乘法等操作，下面将介绍一些简单的矩阵运算公式。
1. 矩阵加法矩阵加法是指两个矩阵按照相同位置的元素进行相加的运算。
设矩阵A和矩阵B分别为m行n列的矩阵，其加法公式为：C = A + B其中C为相加后的结果矩阵，C的每个元素等于A和B对应位置元素的和。
2. 矩阵减法矩阵减法是指两个矩阵按照相同位置的元素进行相减的运算。
设矩阵A和矩阵B分别为m行n列的矩阵，其减法公式为：C = A - B其中C为相减后的结果矩阵，C的每个元素等于A和B对应位置元素的差。
3. 数乘数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个常数。
设矩阵A为m行n列的矩阵，k为常数，其数乘公式为：C = kA其中C为数乘后的结果矩阵，C的每个元素等于k乘以A相应位置的元素。
4. 矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵按照一定规律进行的乘法运算。
设矩阵A为m行p列的矩阵，矩阵B为p行n列的矩阵，其乘法公式为：C = AB其中C为乘法的结果矩阵，C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。
以上是矩阵的几种简单运算公式，在实际运用中可以通过这些公式进行各种复杂的矩阵运算。
矩阵运算在线性代数、图像处理、数据分析等领域具有广泛的应用，依靠这些运算公式可以很方便地对矩阵进行操作和计算。
需要注意的是，在进行矩阵运算时，要确保参与运算的矩阵具有相同的行列数，否则运算无法进行。
此外，矩阵运算具有交换律、结合律和分配律等基本性质，可以根据需要灵活运用。
总之，矩阵的简单运算公式包括加法、减法、数乘和乘法等操作，这些公式可以帮助我们对矩阵进行各种运算和计算。
掌握这些运算公式，并善于应用，将会对求解复杂问题起到很大的帮助作用。
矩阵运算所满足的定律
因为 A*B=C 矩阵运算需满足 矩阵 A 的列数 = 矩阵 B 的行数 求出来的矩阵 C 的行数 为 A 的行数， C 的列数 为 B 的列数。
也就是说，矩阵乘法不满足交换律，因此在矩阵乘法中，矩阵的顺序相当重要。 注意：一种(A*B) = (B*A)的情况是，A或B为单位矩阵。
如果有一些不相同的数最大的为a最小的为b任意选取其中的一些数则他们的gcdab这句话太有用了谢谢您我觉得没有这句话我会继续死磕这题好九qaq
矩阵运算所满足的定律
向量满足一些与加法和乘法相关的结合律、交换律、分配律等，矩阵也满足某些定律，它们是： （1）A + B = B + A（加法交换律） （2）A + (B + C) = (A + B) + C（加法结合律） （3）A*(B*C) = (A*B)*C（乘法结合律） （4）A*(B + C) = A*B + A*C（分配律） （5）k*(A + B) = k*A + k*B（分配律） （6）(A + B)*C = A*C + B*C（分配律） （7）A*I = I*A = A（单位矩阵的乘法属性） 注意：上面所有的"＋"都可以替换为"-"。
矩阵的基本运算法则
矩阵的基本运算法则1、矩阵的加法矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ⨯矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）：（1）交换律：+=+A B B A（2）结合律：()()++++A B C =A B C注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。
2、数与矩阵相乘数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ⨯矩阵，λ和μ为数）：（1）结合律：()λμλμ=A A（2）分配律：()λμλμ+=+A A A（3）分配律：()λλλ+=+A B A B注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。
3、矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）：（1）交换律：≠AB BA （不满足）（2）结合律：()()=AB C A BC（3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B（4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA4、矩阵的转置矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）：（1）()T T =A A（2）()T T T +=+A B A B（3）()TT λλ=A A（4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）：（1）T =A A（2）n λλ=A A（3）=AB A B6、共轭矩阵共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：（1）+=+A B A B（2）λλ=A A（3）=AB AB7、逆矩阵方阵的逆矩阵满足下述运算规律：（1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A（2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111λλ--=A A（3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A参考文献：【1】线性代数（第五版），同济大学。
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵的乘法等。
本文将围绕这些基本运算展开讨论。
首先，我们来讲解矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m行n列的矩阵，那么它们可以相加。
矩阵的加法运算是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A+B=(a_{ij}+b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的和C为：C = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]简化运算后，C的结果为：C = [8 10 12][14 16 18]接下来我们讨论矩阵的减法。
矩阵的减法运算与加法类似，也是将对应位置的元素相减得到新的矩阵，即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A-B=(a_{ij}-b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的差D为：D = [1-7 2-8 3-9][4-10 5-11 6-12]简化运算后，D的结果为：D = [-6 -6 -6][-6 -6 -6]矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个实数。
即若A=(a_{ij})是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么kA=(ka_{ij})。
例如，给定一个矩阵A和一个实数k如下：A = [1 2 3][4 5 6]k = 2则kA的结果为：kA = [2*1 2*2 2*3][2*4 2*5 2*6]简化运算后，kA的结果为：kA = [2 4 6][8 10 12]最后我们来讨论矩阵的乘法。
矩阵的乘法运算是指矩阵与矩阵之间进行乘法运算，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法有一定的规则，即若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们可以相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵的基本运算法则
矩阵的基本运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于多个学科领域。
矩阵的基本运算法则包括矩阵加法、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵求逆等。
下面将详细介绍这些基本运算法则。
一、矩阵加法矩阵加法是指将两个具有相同维度的矩阵相加的运算。
设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C，那么矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A和B对应位置的元素之和，即：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)其中，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法满足以下性质：1.交换律：A+B=B+A，对任意矩阵A和B都成立。
2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，对任意矩阵A、B和C都成立。
3.零元素：存在一个全0矩阵，记作O，满足A+O=A，对任意矩阵A 都成立。
4.负元素：对于任意矩阵A，存在一个矩阵-B，使得A+B=O，其中O 为全0矩阵。
二、矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘的运算。
设有两个m行n列的矩阵A和n行k列的矩阵B，它们的乘积记作C，那么矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素相乘再求和，即：C(i,j)=Σ(A(i,k)*B(k,j))其中，1≤i≤m，1≤j≤k，1≤k≤n。
矩阵乘法满足以下性质：1.结合律：(A*B)*C=A*(B*C)，对任意矩阵A、B和C都成立。
2.分配律：A*(B+C)=A*B+A*C，并且(A+B)*C=A*C+B*C，对任意矩阵A、B和C都成立。
3.乘法单位元素：对于任意矩阵A，存在一个m行m列的单位矩阵I，使得A*I=I*A=A，其中单位矩阵I的主对角线上的元素全为1，其他元素全为0。
4.矩阵的乘法不满足交换律，即A*B≠B*A，对一些情况下，AB和BA的结果甚至可能维度不匹配。
三、矩阵转置矩阵转置是指将矩阵的行和列互换的运算。
设有一个m行n列的矩阵A，它的转置记作A^T，那么矩阵A^T的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素，即：A^T(i,j)=A(j,i)其中，1≤i≤n，1≤j≤m。
矩阵的性质与运算法则
矩阵的性质与运算法则矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学技术发展中起到了举足轻重的作用。
在线性代数、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。
本文将讨论矩阵的性质与运算法则，包括矩阵的基本概念、运算法则、矩阵转置、矩阵乘法、矩阵求逆等内容。
矩阵的基本概念矩阵是由数个行列组成的方便计算的数学对象，一般用大写字母表示。
矩阵按照元素个数和元素类型的不同，可以分为实数矩阵和复数矩阵两种。
一个m×n的矩阵，可以用两个下标i和j（1≤i≤m,1≤j≤n）来表示矩阵中的每个元素，其中i表示该元素所在的行数，j表示该元素所在的列数。
矩阵的运算法则矩阵加减法是一种常见的矩阵运算法则。
对于同型的两个矩阵A和B，它们的和矩阵C的每个元素Cij= Aij+ Bij。
矩阵加减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵转置矩阵转置是把一个矩阵的行与列对换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵AT为一个n×m的矩阵，其中ATij= Aji。
矩阵转置有以下性质：(AT)T=A，(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。
矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一种计算方法。
对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数（即A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵），则可以定义A和B的乘积C为一个m×p的矩阵，其中Cij=Σk=1nAikBkj。
矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。
矩阵求逆矩阵求逆是指对于一个可逆矩阵A，求出其逆矩阵A-1，使得AA-1= A-1A=I，其中I为单位矩阵。
只有方阵才能求逆，且只有行列式不为0的矩阵才是可逆矩阵。
矩阵求逆有以下性质：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T。
总结矩阵的性质与运算法则一般是线性代数中必须掌握的内容。
初中数学知识归纳矩阵的基本运算
初中数学知识归纳矩阵的基本运算矩阵的基本运算是初中数学中的重要知识点之一。
通过矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法以及转置运算等基本运算，我们可以对矩阵进行各种操作和变换。
本文将对矩阵的基本运算进行详细的归纳和解析。
一、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个m×n的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵中的数称为元素，每个元素用小写字母加上矩阵的行号和列号来表示。
例如，矩阵A中的第i行j列的元素表示为a_ij。
二、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵按元素进行相加。
设有矩阵A=[a_ij]和矩阵B=[b_ij]，则矩阵A与矩阵B的和记作A+B。
对应元素相加的法则如下：A+B = [a_ij + b_ij]三、矩阵的减法矩阵的减法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵按元素进行相减。
设有矩阵A=[a_ij]和矩阵B=[b_ij]，则矩阵A与矩阵B的差记作A-B。
对应元素相减的法则如下：A-B = [a_ij - b_ij]四、矩阵的数乘矩阵的数乘是指用一个实数或复数乘以矩阵的每一个元素。
设有矩阵A=[a_ij]和实数（复数）k，则矩阵A与k的乘积记作kA。
数乘的法则如下：kA = [ka_ij]五、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
设有矩阵A=[a_ij]，矩阵B=[b_ij]，则矩阵C=[c_ij]的元素c_ij的计算法则如下：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj六、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵。
设有矩阵A=[a_ij]，其转置矩阵记作A^T。
转置的法则如下：如果A的第i行第j列元素为a_ij，则A^T的第j行第i列元素为a_ji。
综上所述，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法以及转置运算。
这些基本运算在数学中有着广泛的应用，尤其在线性代数、几何学以及物理学等领域具有重要意义。
第二节矩阵的运算
z2
，它们之间的关系分别为 设某地区有甲、乙、丙三个工厂,
每个工厂都
生产Ⅰ、 Ⅱx1 、Ⅲa1、1 yⅣ1 4a1种2 y产2 品 a.已13知y3每, 个工厂的年
产量(单位x:2 个)a如21下y1表所a2示2 y:2 a23 y3 ,
(1)
2. 定义
定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
一、矩阵的加法
1. 定义 定义 2 设 A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n 是两 个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C = (aij + bij)m×n 为矩 阵 A 与矩阵 B 的和，记为 A＋B． 若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩 阵. 显然有 A + (-A) = O. 由此可定义矩阵的差为
左乘 B”或“B 右乘 A”.
“A解的乘因积为ABA 及是
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
例如, 本节 例 5 求中矩A阵 O, B O, 但 BA = O.
AB
(3) = CB,
B矩阵O的, 不乘一法A定不能满推1足2出消去A42=律 C,,即. B如果23
4
例如
的乘积 AB 及 BA.
(1) (AT)T = A ; (2) (B + C)T = BT + CT ; (3) (kA)T = kAT; (4) (AB)T = BTAT ;
(A1A2 ···Ak)T = AkT ···A2TA1T ;
(5) 若 A 为 n 阶方阵, 则 (Am)T = (AT)m , m 为正整数;
也有意义, 因此有下述定义:
定义 设 A 是 n 阶方阵, m 是正整数, m 个
矩阵的运算及其运用
矩阵的运算及其运用一、 矩阵的线性运算 矩阵的线性运算满足以下规律:1. 矩阵的加法① 交换律——A B B A +=+； ② 结合律——)()(C B A C B A ++=++； ③ O A A =-+)(； ④ A +O = A .注:❶ 同型阵之间才能进行加法运算。
❷ 称矩阵-A =)(ij a -为矩阵A 的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：)(B A B A -+=-.❸ 矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。
2. 数与矩阵相乘① 结合律——)()()(A A A μλμλλμ==；② 矩阵关于数加法的分配律——A A A μλμλ+=+)( ③ 数关于矩阵加法的分配律——B A B A λλλ+=+)(.注 : 利用数乘也可以定义负阵和减法。
3. 矩阵与矩阵相乘① 结合律 ——)()(BC A C AB =；② 数乘结合律 ——)()()(B A B A AB λλλ==； ③ 分配律 ——左分配律：AC AB C B A +=+)(；右分配律：CA BA A C B +=+)(.④ 乘单位阵不变 ——n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯==,. ⑤ 乘方的性质 ——l k lk A A A +=；l k l k A A =)(注 : 有了以上定义的所有运算性质，在运算可运行的条件下，矩阵就可以类似代数运算进行了，如 22223108?32128)4()32(B AB A B AB BA A B A B A -+=--+=-+，但要注意矩阵间的乘法无交换律,无消去律。
4. 矩阵的转置① (转置再转置)——A A T T =)(； ② (和的转置) ——T T TB A B A +=+)(；③ (数乘的转置) ——T T A A λλ=)(； ④ (乘积的转置) ——T T TA B AB =)(.定义 若n 阶方阵A 满足A A T =，即),,2,1,(n j i a a ji j i ==，则称A 为对称阵。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则
矩阵运算的基本运算规则是：相同的矩阵可以相加或相减，矩阵和它的逆矩阵可以相乘。
一、矩阵的加法
矩阵的加法遵循以下规则：
1.两个矩阵必须维数相同，即它们的行和列要相同；
2.将两个矩阵中对应的元素相加，就得到了矩阵的和；
3.若两个矩阵不符合加法规则，不能进行加法运算。
二、矩阵的减法
矩阵的减法也遵循以下规则：
1.两个矩阵必须维数相同，即它们的行和列要相同；
2.将两个矩阵中对应的元素相减，就得到了矩阵的差；
3.若两个矩阵不符合减法规则，不能进行减法运算。
三、矩阵的乘法
矩阵乘法的规则如下：
1.矩阵A的列数，必须等于矩阵B的行数，才能进行乘法运算；
2.矩阵A，B和C的维数必须满足：n×m的A乘以m×p的B，得到n×p的C；
3.将两个矩阵中的元素相乘，再加和，就可以求得C的元素了。
四、矩阵的除法
矩阵除法规则也是：
1.矩阵A，B和C的维数必须满足：n×m的A对m×p的B除以，得到n×p的C；
2.将两个矩阵中的元素相除，就可以求得C的元素了。
3.若两个矩阵不符合除法规则，不能进行除法运算。
以上就是矩阵的运算及其运算规则，矩阵的运算对于深入理解线性代数有着重要的意义。
矩阵的运算
( )
( )
ik
( )
ij
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj =
∑a b
k =1
skjຫໍສະໝຸດ (i = 1,2,L m; j = 1,2,L, n ),
并把此乘积记作
C = AB .
例１：
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2× 2 − 3 − 6 2× 2
12 3 − 5 1 8 9 1 − 9 0 + 6 5 4 3 6 8 3 2 1
12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 = 1+ 6 − 9+ 5 0+ 4 3+ 3 6+ 2 8+1
13 11 4 = 7 − 4 4 . 6 8 9
负矩阵： 负矩阵：
− a11 − a21 − A= L − a m1
− a12 − a22 L − am 1
L − a1 n L − a2 n = (− aij ) L L L − amn
3. 数与矩阵相乘
数乘: 数乘
数 k与矩阵 A 的乘积记作 kA,规定为
ka11 ka21 kA = L ka m1
ka12 ka22 L kam1
L ka1n L ka2 n . L L L kamn
1 3 2 2 6 4 2 = 0 5 2 0 10 4
3 (1 2 3) 2 = (1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1) = (10 ). 1
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a1,2 la1,2a2,2
a3,2
la1,aa313,,33a2,3
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
A
1 0 0
0 0 1
010
aaa132,,,
1 1 1
a1, 2 a3, 2 a2, 2
a1, a3, a2,
333
aaa123,,,
1 1 1
a1, 3 a2, 3 a3, 3
a1, a2, a3,
第i 行元素与矩阵B的第j 列对应元素乘积之和.
注意 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等
于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才
能相乘.
矩阵的乘法满足下述运算规律
1. (A)C B A (B)C 结合律 2 . A (B C )A B AC
(BC)AB A CA分配律
3 .( A ) ( B A ) B A (B ).
0 k 0
001
A
(6)
1 l 0
0 1 0
001
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 k 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 l 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
aaa123,,,
1 1 1
a1, 2 a2, 2 a3, 2
bki a jk
s
a
js
a jkbki ,
k 1
k 1
所以 dij c ji i 1,2, , n; j 1,2, , m,
即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.
方阵的行列式
定义 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）
构成的行列式， 称为方阵 A 的行列式, 记作A . (其A 中 ,B是 n阶矩为 阵数 ，
222
初等矩阵的概念
定义 由单位 E矩阵经过一次初等变换得到 的方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.对调两行或两列； 2.以数 k0乘某行或某列； 3.以数 k乘某行（列） 行加 （到 列另 ）一 上
1、对调两行或两列
方阵的行列式运算满足下述规律 :
1. AT A
2. AnA
3. AB AB
a11 a12 a13 1. 设Aa21 a22 a23， 那么
a31 a32 a33
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a21 a31 AT a12 a22 a32
a13 a23 a33
Recall 练习
1设
A=
aaa123,,,
1 1 1
a1, 2 a2, 2 a3, 2
a1, a2, a3,
333
计算并总结规律。
(１)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
(２)
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(3)
1 0 0
0 0 1
0 1 0
A
(4)
A
1 0 0
0 0 1
0 1 0
(5)
1 0 0
a12
a22
a
m
2
a1n
a2n
amn
1 1
例
若
A
0
1
,
2 3
则AT
1 1
0 1
23.
矩阵的转置满足下述运算规律
1. (AT)TA
2 . (A B )TA TB T
3. (A)TAT
4 . (A ) T B BTAT
(ABC)T＝CTBTAT
对于多个矩阵相乘，有 A1A2
（i 1， 2， ， m； j 1， 2， ， n） .并把此乘积记作 Ｃ＝ＡＢ
由定义，一个１×ｓ行矩阵与一个ｓ×１ 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数：
b1j
ai1,ai2,,aisb 2jai1b1j ai2b2j aisbsj
n
bsj
aikbkj cij
k1
定义５中矩阵Ｃ(=AB)的元素cij是矩阵A 的
矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定
Ak AAA
k个
矩阵的幂满足规律
A k A l A k l , A k l A k l .
其中 k , l 为正整数. 对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说
(A)B kAkBk.
例8
1 0
0 2
0
0
0 k
k 1
0
n
At T AtT
A2T A1T
证明：设
A
aij
,B
ms
bij
,
sn
记
AB C
cij
, BT AT
mn
D
dij
.
nm
s
由矩阵的乘法定义，有
而BT的第i行为 b1i ,
c ji a jkbki ,
k 1
, bsi , AT的第j列为
a j1 ,
因此 dij
s
a1, a2, a3,
333
aaa132,,,
1 1 1
a1, 2 a3, 2 a2, 2
a1, a3, a2,
333
1 0 0
0 k 0
001 A
kaaa132,, ,111
a1, 2 k a2, 2 a3, 2
kaaa132,, ,333
1 l 0
0 1 0
0 0 1
A
la1,aa113,,11a2,1
a11 a21 a31 AT a12 a22 a32，
a13 a23 a33
a11 a21 a31 AT a12 a22 a32
a13 a23 a33
于是
AT AT A .
2. 设 A 为 3 阶矩阵, 为数, 那么
a11 Aa21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
于是
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a12 a13
3 a21 a22 a23 3 A.
a31 a32 a33
初等矩阵 & 初等变换
三种初等变换
1.对调两行或两列； 2.以数 k0乘某行或某列； 3.以数 k乘某行（列） 行加 （到 列另 ）一 上
矩阵的 转置、乘法（初等变换）、逆
内容提要
• 矩阵的下列运算的性质与应用 • 乘法 • 转置 • 初等变换 •逆
乘法
定义 设 A 矩 a im j n ， B 阵 b is j n ，
矩阵Ａ B 的 与 乘 矩 积 m 阵 n 矩 是C 阵 一 个 ｓ
cij mn，其c中 ij ai1b1j ai2b2j aisbs＝ j aikbkj ｋ1
0
0
0
k 2
0
0
0
k n
矩阵的转置
定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所 得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。
即 A＝(aij)m×n，AT＝(aji)n×m
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
a
m1
am2
amn
a11 a21 am1
AT