矩阵的基本运算

a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
注：只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 10 1 3 8 5 9 11 11 4
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2nxnb2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
若记
a11
A
a21
am1
系数矩阵
a12 a22
a1n a2n
,
x
x1
x2
3 1
10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
1 33 10 1 3 7 34 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 7
34
1
1
1
1 44
5
10
2 8
1
1 0 3
4
2
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且对
应的元素相等,即
aij bij i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
则称矩阵A与矩阵B相等，记作A B
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和 记为AB 规定为AB(aijbij ) 即
2 17 10
注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
——A可左乘B的可相乘条件.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
mn
B
n s
=
C ms
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3
22
nn
1
EA
1
a11 a12
a21
a22
1
an1
an2
a1n
a2n
aij
A
nn
ann
a11 a12
AE
a21
a22
an1 an2
a1n 1
a2n
1
ann
aij
A
nn
1
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在 数的乘法中的地位相当. 即
Em Amn Amn En
1a21
1an1
2a12 2a22
2an2
na1n
na2n
nann
nn
n
nn
a1
a2
b1
b2
an nn
bn nn
a1b1
a2b2
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.
❖矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律: ( AB)C A(BC)
a1 x a0 a1 A a0 E
1 0
例
设A
0
1
,求Ak
.
0 0
1 0 1 0 2 2 1
解
A2
0
1
0
1
0
2
2
0 0 0 0 0 0 2
2 2 1 1 0 3 3 2 3
A3
A2
A
0
2
2
0
1
0
3
3
2
(2) 分配律: A(B＋C) AB AC (左乘分配律) (B＋C)A BA CA(右乘分配律)
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足交换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵
a2n
.
am1 am1 amn
❖矩阵数乘的运算规律
(1) 1A A;
(2) ()A ( A);
(3) ( )A A A;
(4) ( A B) A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
❖矩阵乘法
设 A (aij ) 是一个m×s矩阵,
B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的
乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
n1
k k1 k
k
k
2
1
k
2
k k1 .
0
0
k
❖转置矩阵（transpose）
把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫
做A的转置矩阵，记作 A或A.
例
A
1 4
2 5
2
8
,
AT
1
2
2
4 5 ; 8
B 18
6 ,
BT
18
6
.
❖转置矩阵的运算规律
转置运算对乘积 的去括号法则
注 矩阵乘法不满足消去律，即
AB AC, A 0 不能推出 B C
例如
设A
1
1
1
,
B
1
1
1
1
,
C
2
1
2
2
2
有
AB
0
0
0
,
AC
0
0
0
0
0
则 AB AC, 但是
BC
注 该例也说明 AB 0 不能推出 A 0 或 B 0
定义 (方阵的幂次) 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的 的k次幂,即 Ak A A A,并且
如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩 阵相等。记作：A=B 4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的 零矩阵是不相等的。
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
,故 C
43
cij
.
33
1 C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1 1
5 6 7
10 2 6.
,
b
b1
b2
,
am1
amn
xn
bm
则线性方程组可被表示成等价的矩阵形式：Ax = b
定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得
AB BA E
这里 E 是 n 阶单位矩阵.
➢根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. ➢对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.
但也有例外，比如设 A 2 0, B 1 1,
0 2
1 1
则有 AB
2 2
2,
2
BA
22 22
AB
BA.
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可交换的.
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
EA=AE=A
证明
设 A
aij
为任意n阶矩阵,则有
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
注 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
如果 AT A 则矩阵A称为反对称矩阵.
由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0 1 是3阶反对称矩阵.
4 1 0
2、矩阵应用举例
例（坐标变换）平面解析几何中，若坐标系Oxy绕原
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数
的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。
3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相 等，就称它们是同型矩阵。
（1）( AT )T A; （2）( A B)T AT BT ;
（3）( A)T AT ; （4）( AB)T BT AT .
1 7 1
例
已知
2
A
1
求 ( AB)T .
0 3
1 2
,
B
4 2
2 0
3
,
1
解1
因为
2
AB
1
0 3
1
1 2
4 2
7 2 0
1
3 1
0
1
3
9 3
0
6
8 3
5 2
4
1
Fra Baidu bibliotek
1 3
6 3
9 5 3 2
0
4
7
8 1 6
4 4 1 9
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 （1）ABBA （2） (AB)CA(BC) 设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
（3）A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1
4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 3 3
3
❖矩阵的数乘
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 .
| A | 0
方阵A可逆
此时，称矩阵A 为非奇异矩阵
n
An1 An A 0
0
n n1 n
0
n
n 2
1
n
2
n n1
n
0
0
1
0
0
1
n
An1 An A 0
0
n n1 n
0
n
n 2
1
n
2
n n1
n
0
0
1
0
0
1
n1
n 1 n
n
1
2
n
n1
0
n1
n 1 n
0
0
k
所以对于任意的k都有
Ak 0
k个
Am Ak Amk , Am k Amk (m, k为正整数)
当 AB BA 时, (1) ABk Ak Bk ; (2) A B2 A2 2AB B2.
注 显然只有方阵的幂才有意义
定义 (方阵的多项式) f ( x) ak xk ak1 xk1
f ( A) ak Ak ak1 Ak1
补充：矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
一、概念：
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)
排成的m行n列的数表
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a11 a12 ... a1n
a2n
a21 a22 ... a2n ... ... ... ...
17
14 13
3
10
0 17
故
AB T
14
13
.
3 10
1 4 2 2 1 0 17
解2
ABT
BT AT
7
2
0
0
3
14
13
.
1 3 1 1 2 3 10
定义 (对称阵) 设A为n阶方阵,如果满足 A AT
即 aij a ji (i, j 1, 2, , n) ，那么A称为对称阵.
0 0 2 0 0 0 0 3
由此归纳出
k
Ak 0
0
k k1 k
0
k
k 2
1
k
2
k k1 k 2
k
1 0
例
设A
0
1
,求Ak
.
0 0
k
k k1
k
k
1
k
2
解
归纳出
Ak 0
k
2
k k1
k 2
0
0
k
用数学归纳法证明: 假设 k = n 时成立, 则k = n + 1 时,
7 34
1
2
a11 a12
a21
a22
n
nn
an1
an2
1a11
2a21
nan1
1a12 2a22
nan2
1a1s
2a2s
nans
ns
a1s
a2s
ans ns
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
1
2
ann nn
1a11
amn
am1 am2 ... amn
称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元， 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵
A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)m×n，m×n 矩阵 A也记作A m×n。
点O经逆时针方向转过角α后成为Ox'y'(如图)，
任一向量在这两个坐标系中的
坐标分别为
x y
和
x '
y
'
, 它们有如
y′
下关系：
x x ' cos y 'sin
y x 'sin y ' cos
yA x′
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x y
cos
sin
sin x '
则
AB
0
0
BA
2
2
AB BA
0 0
2 2
问题 矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”