向量正交分解与坐标运算

法 解 ： 一设B x , y 为 直 线 上 任 一 点 l ,
由 共 线 的 条 件 得 x - 1 2 y 1 0 3 即 直 线的 方 程 为 3 x 2 y 5 0 l : 则 AB x 1, y 1， 且AB // a
法 二待 定 系 数 法
1.向量坐标的定义;
2.两个向量相等的条件;
向量加法与减法 3.平面向量的坐 标运算 实数与向量的积 向量坐标与表示向量的有向 线段的起点、终点的坐标之 间的关系
用平面向量的坐标表示向量共线的条件
二、新课引入
观察思考
a
e2
e1
b
a与b的 坐 标 向 量 平 行 与 坐 标 之 间 ; 有 什 么 关 系 吗 ？ 猜 测尝 试 证 明 并 .
概念理解 1．以原点O为起点作 OA = a，点A的位置由谁确定?
a 2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ A(x, y) a 两者相同 由a 唯一确定
y
O e1 一一对应 向量a 点A坐标（x ，y）
e1
e2
x
3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？
a b x1 x2 且y1 y2
设 直 线 方 程 为: y kx b l l // a 3 k 2 再 将A点1,1代 入 方 程 得 5 b 2 直 线l方 程 为: y 3 5 x 2 2
小结：
1、 判 断 向 量 共 线 的 三 方 法 : 种 ①a // b a b ② a1b2 a2b1 0 a ③ 1 b1 a2 b2
2、 应 用: ①判 断 向 量 共 线 ②求 证 三 点 共 线 ③求 过 定 点 且 与 已 知 向 平 行 的 直 线 方 程 量
上式换用向量的坐标，得 1 ( x, y ) [( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )] 2
中点坐标公式
即
x1 x2 y1 y2 x ,y . 2 2
• 例4在直角坐标系xoy中，已知点A（3，2） • B（-2，4），求向量 OA, OB 的方向和长 度。
小结:
x2
引 申3、 已 知 (1,2), b ( 3,2), 若k a 2b与 a 2a a (1,2), b ( 3,2) k a 2b k (1,2) 2( 3,2) ( k 6,2k 4). 2a 4b 2(1,2) 4( 3,2) (14,4). k a 2b与2a 4b平 行 4 k 6 14( 2k 4) 0 （ ） 解 得k 1.
2.2.2 向量的正交分解 及坐标运算
预习提纲
• • • • 1、两个向量互相垂直的概念？ 2、何为正交基底？何为正交分解？ 3、向量如何用坐标表示？ 4、向量的直角坐标运算法则是什么？
知识回顾:
1. 平行向量基本定理: 如果向量 b 与非零向量 a 共线,那么 当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa .
评注：证明三点共线，可通过证由这三点 构成的有公共点的向量共线来证明！
变 式 ： 已 知 K ,12, OB 4,5, OC 10, K OA O为 坐 标 原 点问k为 何 值 时 A, B, C三 点 共 线 , , ?
2或11
例4、 已 知 2,3和 点A1,1, 直 线l通 过 点 且 a A l // a , 求 直 线 的 方 程 l .
1 3 x 2 4 y x 2 y 2
顶点D的坐标为（ ， 2 2）
• 例3在直角坐标系xoy中，已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) • 求线段AB中点的坐标（用向量做）。
解：设点M（x,y）是线段AB的中点，则
1 OM OA OB 2
由AB // CD能否判断直线AB/ / CD？
评注：向量平行（共线）与直线平行不同
C 2,5, 求 证 : A, B, C三 点 共线 .
证 明: 由 已 知 条 件 得
例3、 在 直 角坐 标 系 中, 已 知A 2,3, B0,1 xoy
AB 0,1 2,3 2,4 AC 2,5 2,3 4,8 2 8 4 4 0 AB // AC 又因为有公共端点 . 因 此A, B,C三 点 共 线 .
二.平面向量的坐标表示 分别与x 轴、y 轴方向相同的两单 位向量ie1、j 作为基底,则任一向量 , e2 a ，用这组基底可表示为 a 有且只有一对实数x、y，使得
y

a

e2
a =xe1 e2 +y ．
那么e1= (1 , 0) 2 = (0, 1) e
O
x
e1
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y) 0 = (0,0)
2.平面向量基本定理
如果 e1 e2 是同一平面内的两个不 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数 1 2使 、 e 即 a = 1 1+ 2e2 . e 我们把不共线的向量 e1 e2叫做 、2 1 这一平面内所有向量的一组基底。
新课
向量的正交分解
引例 如图,光滑斜面上一个木块受到重力 G的作用. O 一.向量正交分解的概念:
(法 二 ： 平 行 向 量 基 本 理 ) 定 k a 2b与2a 4b平 行 存 在 R， 使 得 a 2b （2a 4b k ） 即k - 2 a 4 2b a与b不 共 线 k 2 0 4 2 0 k -1
1.如图，用基底 i 、 j
分别表示向量
形成练习
a 、 、、 b c d
5 b
A2
B
4 3 2
j -1 o i A
a
A1
1
并求出它们的坐标。
解：由图可知 a =AA1+AA2 = 2i 3 j
-4
-3
-2
1
2
3
4
x
-1 -2
c
-3 -4
d
-5 ∴ a =(2,3) 同理， b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
平面向量的坐标运算
1.已知a ( x1 , y1 )，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即 a + b ( x1 x2 , y1 y2 )
你能在图中标出坐标为(x2 - x1 ,y2 - y1 ) 的P点吗？
y A(x1,y1) B(x2,y2) O x
P
例1．已知a=（2，1），b=（-3，4）， 求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
解： AB = OB - OA
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) ( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
思考: 你能在图中标出坐标为( x2 x1 , y2 y1 ) 的P点吗?
② a 2,3, b 3,2 ③ a 3,2, b 6,4
否 是
引 申 、 已 知AB 2，和 向 量 1, y , 且 AB // a 1 5 a 求y.
5 y 2
引 申2、 若 向 量 x ,1, b 4, x , 则 当x ____ a 时 ， b共 线 且 方 向 相 同 。 a与
向量共线的条件：
a a1,a2 ; b b1 , b2 a // b a1b2 a2b1 0


若b不平行于坐标轴时： a1 a2 b1 b2
三、典例分析：
例1口 答判 断 下 列 向 量 是 否 共 ？ 线 否 ① a 2,3, b 4,6
例2、 已 知 点 2,3, B2,1, C 1,4, D 7,4 A 求 证 ： // C D AB
证 明: 由 已 知 条 件 AB 2， 2 3 4， 1 4 因 为4 8 8 4 0 所 以AB // CD C D 7 4 1， 8， 8 4
同理可得 a - b ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2、 已知a = ( x, y)和实数 , 求λa的坐标 λ
a (x , y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的 向量的相应坐标．
3．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) ．求 AB
例2． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
( 1 2）， 1）（1， AB （ 3 2） DC ( 3 x ,4 y ) 由 AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y )
F1
如果两个向量的基线互相垂直， G 则称这两个向量互相垂直。 如果基底的两个基向量 e1 , e2 互相 垂直，则称这个基底为正交基底。

F2
在正交基底下分解向量，叫做正交分解。