第二章 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算不同．1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2，则对任一向量a ，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )，或向量(x ，y )．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即b ＝(0，y )；与y 轴平行的向量的横坐标为0. 【自主测试1】已知{e 1，e 2}为正交基底，且e 1，e 2为单位向量，a 在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a ＝x e 1＋y e 2，则x ＝__________，y ＝__________.答案：2 011 －2 012 2．向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R ，则λa ＝(λa 1，λa 2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB →＝(3,3)，CD →＝(3,3)，显然AB →＝CD →，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1) D ．(－3，－3) 答案：D【自主测试2－2】已知向量ON ＝(9，－7)(O 为原点)，则点N 的坐标为( ) A ．(9，－7) B ．(9,7)C ．(－9,7)D ．(－9，－7) 答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为线段AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．分析：表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标 解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E 为线段AB 的中点，G 为三角形ABC的重心”，求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标．解：CE →＝(0，－3)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1,3)，N (1,3)，求x 的值．分析：先用坐标表示出向量MN →，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x 的关系式．解：∵M (－1,3)，N (1,3)，∴MN →＝(2,0)．又∵a ＝MN →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. 故x 的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB ，AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .分析：首先由点A ，B ，C 的坐标求得向量AB ，AC ，AD ，BD ，CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，再列出关于m ，n 的方程组，进而解方程求出m ，n 的值．解：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，即(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，也就是(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB →－22AC →.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF .分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA 和EF 的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0，a )．设|D P →|＝λ(λ＞0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ.∵|EF |2＝λ2－2a λ＋a 2，|PA |2＝λ2－2a λ＋a 2， ∴|EF |＝|PA |，即PA ＝EF .反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四 易错辨析【例题5】已知A (3,5)，B (－2，－3)，将线段AB 向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A ′B ′，则向量A ′B ′→的坐标为__________．错解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得A ′B ′→＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵A ′B ′→＝AB ，∴A ′B ′→＝(－5，－8)．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( ) A ．(0,0)，(－2,4) B ．(0,0)，(2，－4) C ．(－2,4)，(2，－4) D ．(1，－1)，(－3,3) 答案：A2．已知AB ＝(x ，y )，点B 的坐标为(－2,1)，则OA 的坐标为( ) A ．(x －2，y ＋1) B ．(x ＋2，y －1) C ．(－2－x,1－y ) D ．(x ＋2，y ＋1) 解析：∵AB ＝OB －OA ，∴OA ＝OB －AB ＝(－2－x ，1－y )． 答案：C3．已知a ＝(－7,24)，|λa |＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa |＝|λ||a |＝－2＋242|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A (3，－1)，则OA 所在的直线与x 轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A 在第四象限，如图，作AH ⊥x 轴于点H ，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO＝3，则tan ∠HOA ＝33，故∠HOA ＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则作用在原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度； (3)向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设OP →＝a ，OQ →＝b ，OR →＝c ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为e 1，e 2.(1)因为∠POP ′＝45°，|OP →|＝2，所以a ＝OP →＝OP ′→＋P ′P →＝2e 1＋2e 2. 所以a ＝(2，2)．(2)因为∠QOQ ′＝60°，|OQ →|＝4，所以b ＝OQ →＝OQ ′→＋Q ′Q →＝－2e 1＋23e 2. 所以b ＝(－2,23)．(3)因为∠ROR ′＝30°，|OR →|＝6，所以c ＝OR →＝OR ′→＋R ′R →＝33e 1－3e 2. 所以c ＝(33，－3)．。
课件2：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
那么 e1 = (1 , 0) e2= (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
B
a
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O
x
e1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标．
三、平面向量的坐标运算
1.已知a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，求a + b，a - b．
解：a+b= (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
y
C
(a1 b1)e1 (a2 b2 )e2
a
即
a + b (a1 b1, a2 b2 )
e2
b
同理
a - b (a1 b1, a2 b2 )
即 a = a1 e1 + a2 e2
2.平面向量的坐标表示
向量坐标与表示向量的 有向线段的起点、终点 的坐标之间的关系
3.平面向量的坐 标运算
向量加法与减法 实数与向量的积
本节内容结束
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二 、平面向量的坐标表示
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向
量 e1 、e2 作为基底,则任一向量 a ，
用这组基底可表示为
有且只有一对实数 a1 , a2 ，使
y
A(
a1
,a
)
2
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示：a =( a1, a2)
课件9：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.
§2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
§2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算复习平面向量基本定理：学习目标：1.理解平面向量的坐标的概念2.掌握平面向量的坐标运算3.会根据向量的坐标判断向量是否共线.新知识：1.如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。
2.如果基底的两个 互相垂直，则称着两个基底为正交基底.3.在 下分解向量，叫正交分解.4.在坐标平面内建立了一个正交基底→1e ，→2e ，即为 →1e 和→2e 分别为与x 轴和y 轴的 .这个基底叫做直角坐标系xoy 的基底.5. 直角坐标系xoy 的基底⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→21,e e 任作一向量→a ,存在唯一的有序实数对()21,a a ,使得→a = ，()21,a a 就是 即 1a 叫做 ,2a 叫做6. 向量),(21a a a =，a 的方向相对与x 轴正向的转角为θ，则1a = ，2a = .7. 直角坐标系xoy 中，A(x,y),则OA = →1e + →2e = .即A 的位置向量OA 的坐标 .也就是 ；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的8.符合(x,y)在直角坐标系中的双重意义：⑴ ，⑵ .9.两个向量的和与差的的坐标等于 .数乘向量的积的坐标等于 .例题分析例1、 在直角坐标系xoy 中，向量→→→c b a ,,的方向与长度如图，分别求它们的坐标。
例2、直角坐标系xoy 中，已知点()11,y x A ,点()22,y x B ，求向量AB 的坐标。
例3、直角坐标系xoy 中，已知点()11,y x A ,点()22,y x B 。
求线段AB 中的的坐标。
例4、直角坐标系xoy 中，已知点A(3,2),点B(- 2,4)，求向量OA +OB 的方向和长度。
知识点：1.一个向量的坐标等于2．中点坐标公式：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则P 点的坐标是_____________________．3．三角形重心的坐标：设△ABC 三顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，G (x ，y )是△ABC 的重心，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=______________31321y x x x x 例5、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A （－2,1），B （－1,3），C （3,4）,求顶点D 的坐标。
21-22版：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算（步步高）
反思
感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法 则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行 向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练2 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
第二章 §2.2 向量的分解与向量的坐标运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理 论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代 数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个 向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起 点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则A→B＝ (xB－xA，yB－yA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实 数与原来向量坐标的积.
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
C
AB (1, 3) (2,1) (1, 2)
A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
O
且 AB DC
1 3 x
(1, 2) (3 x, 4 y)
2 4 y
D x
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的
a b (2,1) (3,4) (5,3);
3a 4b 3(2,1) 4(3,4) (6,3) (12,16) (6,19).
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
y
解法１：设点D的坐标为（x,y） B
①式叫做向量的坐标表示.
显然，i 1,0, j 0,1,0 0,0.
例1：如图分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、c、d ，
并求出它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j
a (2, 3)
A
A1
同理
b = -2i + 3j = (-2,3);
c = -2i - 3j = (-2, -3);
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
y
解法2：由平行四边形法则可得 B
C
BD BA BC
D
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
(3, 1)
O
x
而 OD OB BD
(1, 3) (3, 1)
(2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
3. 加、减法法则
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修452
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原 点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐 标和终点坐标，再运用终点坐标 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝
＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)． BC －2 AB＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． [答案] (11,13) (－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的
坐标．
()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．
()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
张喜林制2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算考点知识清单1．如果两个向量的基线 ，则称这两个向量互相垂直．2．如果基底的两个基向量21,e e 互相垂直，则称这个基底为____．在____下分解向量，叫做正交分解． 3．设向量a a a a ),,(21=的方向相对于x 轴正向的转角为θ，则1a = =2,a4．在直角坐标系中，设点A 的坐标为（x ，y ），则=+=21ye xe OA ，即点A 的位置向量的坐标为5．设,),,(),,(2121R b b b a a a ∈==λ则=+b a =-b a , =a λ 6．已知),(),,(),,(2211y x M y x B y x A 是AB 的中点，则=x =y 7．若),,(),,(2211y x B y x A 则=要点核心解读1．两个向量互相垂直的概念如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．2．正交分解如果基底的两个基向量21,e e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，奄正交基底下分解向量，叫做正交分解．以后同学们会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单 3．向量的直角坐标在直角坐标系xOy 内（如图2-2 -2 -1），分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量⋅21,e e 这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底2121,}.,{e e e e 分别是与x 轴和y 轴同方向的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．在坐标平面xOy 内（如图2-2 -2 -1)，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对),,(21a a 使得,2211e a e a a +=),(21a a 就是向量a 在基底,{1e }2e 下的坐标，即⋅=),(21a a a 其中1a 叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，2a 叫做a 在y 轴上的坐标分量．4．如何求向量B A a =的坐标如图2 -2 -2 -1，分别过向量B A 的始点和终点作x 轴、y 轴的垂线，设垂足分别为⋅2211B A B A 、、、 坐标分量1a 为向量11B A 在x 轴上的坐标，坐标分量2a 为向量22B A 在y 轴上的坐标，显然⋅===)1,0(),0,1(),0,0(021e e设向量a a a a ),,(21=的方向相对于x 轴正向的转角为θ，由三角函数的定义可知.sin ||,cos ||21θθa a a a ==5．向量的直角坐标的意义在直角坐标系中（如图2 -2 -2 -2所示），一点A 的位置被点A 的位置向量所唯一确定，设点A 的坐标为（x ，y ），容易看出．),,(21y x ye xe OA =+=即点A 的位置向量的坐标（x ，y ），也就是点A 的坐标；反之点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量的坐标，由上面的分析，符号（x ，y ）在直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点（x ，y ），或向量(x ，y). 6．几点注意的地方(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量,a =点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y).(2)两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等．(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，如A(3，5)，B(6，8)，);3,3(=∴A 若C （-5，3），D （-2，6），),3,3(=,=显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．(4)向量的表示方法细分起来有三种：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．这三种表示法各具优点，因此在推导一些结论时，三种表示方法相互转化，要认真加以理解． 7．向量的直角坐标运算(1)若),,(),,(2121b b b a a a ==则,(11b a b a +=+⋅+)22b a 即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和． (2)若),,(),,(2121b b b a a a ==则,(11b a b a -=-).22b a - 即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差． (3)若),,(),,(2211y x B y x A 则).,(B 1212y y x x A --=即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．(4)若,),,(21R a a a ∈=λ则⋅=),(21a a a λλλ即向量和数的乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积． 8．中点公式设线段AB 两端点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，则其中点M （x ，y ）的坐标计算公式为：⋅+=+=2,22121y y y x x x 推导如下：如图2 -2 -2 -3，设点),(y x M 是线段AB 的中点，则⋅+=)B (21O OA OM 上式换用向量的坐标，得=),(y x )],,(),[(212211y x y x +即 ⋅+=+=2,22121y y y x x x 典例分类剖析考点1 平面向量的坐标表示[例1] 已知),4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且=,2,3C =求M 、N 及的坐标． [解析] 由A 、B 、C 三点的坐标易求得CB 、CA 的坐标，再根据向量坐标的定义就可以求出M 、N 的坐标，),4,3(),1,3(),4,2(----C B A).3,6(),8,1(==∴⋅====∴)6,12(2),24,3(3CB CN CA CM设),,(y x M 则),4,3(++=y x,3=⎩⎨⎧=+=+∴,244,33y x ⎩⎨⎧==∴,20,0y x ⋅∴)20,0(M同理可求),2,9(N 因此).18,9(-=⋅-=∴)18,9(),2,9(),20,0(N M[点拨] 向量的坐标是向 量的代数表示形式，它只与起点、终点相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个．在求解时，应将向量的坐标看做一个“整体”，运用方程思想求解，向量的坐标运算是向量中最常用的也是最基本的运算，必须灵活应用．1．(1)在直角坐标系xOy 中，a 、b 如图2 -2 -2 -4所示，若,4||=a ,3||=b 分别求出：①a 与b 的坐标；②BA 的坐标．(2)（2010年青岛部分中学统考题）若向量)43,3(2--+=x x x a 与AB 相等，其中),2,3(),2,1(B A 则=x(3)已知0是坐标原点，点A 在第一象限，,34||=,60 =∠xOA 则向量的坐标为考点2 平面向量的坐标运算[例2] 已知),16,8(),8,2(-=--=+b a b a 求a 和b ．[解析] 直接利用向量的和、差及数乘坐标运算，通过解方程组加以解决，解法一：设),,(),,(q p b n m a ==则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--=+=+.16,8,8,2q n p m q n p m 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=.12,5,4,3q p n m所以⋅-=-=)12,5(),4,3(b a 解法二：);4,3()]()[(21-=-++=b a b a a ).12,5()]()[(21-=--+=b a b a b[点拨] 以上两种解法都是通过解方程得到解决的，解法一侧重于解以坐标为主体的方程；解法二侧重于寻求向量之间的关系，解向量方程．解法二采用“整体法”处理向量的问题，更显得简捷、明了．2．(1)已知),1,2(),2,1(=-=b a 求：.3121;3;32b a b a b a --+③②① (2)已知),4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且,3CA CM =,2CB CN =求M 、N 的坐标及.51AB MN + 考点3 用基底表示向量[例3] 已知四点)2,3()1,2()2,1(C B A 、、-和.2(-D ),3试以A A 、为基底表示.B ++ [解析] 先求A ++的坐标，再由平面向量基本定理，设,n m AD +=++然后列出关于m ，n 的方程组，解方程组求m ，n 的值，进而得基底表示式．[答案] 由已知可得，,3(),4,2(),3,1(-===⋅-=-=)1,5(),2,4(),5B⋅-=-+-+-=++∴)8,12()1,5()2,4()5,3(B假设),,(BD D R n m AC n AB m CD A ∈+=++则),4,2()3,1()8,12(n m +=-即,2()8,12(n m +=-⋅+)43n m⎩⎨⎧=+-=+∴,843,122n m n m 解得⎩⎨⎧-==.22,32n m 故.2232AC AB -=++[点评]利用坐标运算由基底表示另一向量的问题，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法列方程组，求线性系数即可得表示式．3．若向量=-==c b a ),1,1(),1,1(),2,1(-则c 等于( )．b a A 2321.+-b a B 2321.- b a C 2123.-- b a D 2123.+- 考点4 坐标运算的综合运用[例4] 已知向量),,(y x u =与向量)2,(x y y -=ν的对应关系用)(u f =ν表示 ． (1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有=+)(nb ma f )()(b nf a mf +成立； (2)设),0,1(),1,1(==b a 求向量)(a f 与)(b f 的坐标；(3)求使q p q p c f 、((),()(=为常数）的向量c 的坐标．[解析] 由已知条件知，必须将向量用坐标表示，通过坐标运算来解决问题． (1)证明：设),,(),,(2121b b b a a a == 则),,(2211nb ma nb ma nb ma ++=+⋅--++=+∴)22,()(112222nb ma nb ma nb ma nb ma f ),2,()(),2,()(122122b b b n b nf a a a m a mf -=-= ⋅--++=+∴)22,()()(112222nb ma nb ma nb ma b nf a mf)()()1(b nf a mf ma f +=±+∴成立．(2)解：),1,1()112,1()(=-⨯=a f⋅-=-⨯=)1,0()102,0()(b f(3)解：设),(y x c =则),,()2,()(q p x y y c f =-=⎩⎨⎧=-=∴,2,q x y p y 即⎩⎨⎧=-=,,2p y q p x ⋅-=∴),2(p q p c[点拨] 本题是一道向量知识与函数知识相结合的题目，主要以函数映射的知识为载体考查了向量坐标的运算．向量坐标的引入使向量运算代数化，使向量与函数、数列、不等式、三角、解析几何等知识的结合非常密切, 这是近几年高考命题的一个亮点．4．平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点C 满足,0μλ+=C 其中,1=+μλ求点C 的轨迹方程．学业水平测试1．以下命题错误的是( )．A ．若将),(00y x =平移，使起点M 与坐标原点0重合，则N 点坐标为),(00y x),(.00y x MN B =的相反向量的坐标为),(00y x --C ．若),(00y x =与y 轴垂直，则必有00=yD ．若),(00y x =是一个单位向量，则0x 小于l 2．已知),2,3(),1,5(---B A 则=-21( )． )1,8.(A )21,4.(-B )1,8.(-C )1,8.(--D3．在以下向量中，单位向量有( )．①);sin ,(cos θθ-=a );5lg ,2lg (=b ②);2,2(xxc -=③④⋅-=),1(x xd A.l 个 B.2个 C.3个 D.4个4．若B ),5,2(-=点的坐标是（1，-3），则A 点的坐标为5．设,),,1(),5,(),3,4(c b a y c x b a =+-==-=则=),(y x6．已知三个力),(),5,2(),4,3(321y x F F F =-==的合力.0321=++F F F 求3F 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．已知向量),1,0(),0,1(==j i 对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x 、y ，使得);,(y x a =②若),,(),(,22112211y x y x a R y x y x =/=∈、、、则,21x x =/且;21y y =/ ③若,0,=/∈a R y x 、且),,(y x a =则a 的起点是原点O ； ④若,0,=/∈a R y x 、且a 的终点坐标是（x ，y ），则).,(y x a = 在以上四个结论中，正确的结论共有( )． A ．1个 B.2个 C.3个 D ．4个2．已知向量),2,1(=m 把m 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则m 的坐标是( )．)4,0.(A )4,2.(B )2,1.(C )3,3.(D3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,7),4,2(---（),3,4(),5--则第四个顶点一定不是( )．)12,5.(--A )2,9(-⋅B )4,1.(c )3,7(--⋅D4．已知□ABCD 中，),3,2(),7,3(-==AB AD 对角线BD AC 、交于点O ，则C 的坐标为( )．)5,21.(-A )5,21.(B )5,21.(--c )5,21.(-D5．（2010年山东高考题）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的),,(),,(q p b n m a ==令⋅-=Θnp mq b a 下列说法错误的是( )．A ．若a 与b 共线，则0=Θb a a b b aB Θ=Θ.C ．对任意的,R ∈λ有)()(b a b a Θ=Θλλ 2222||||)().(b a b a b a D =⋅+Θ 6．（2004年安徽高考题）已知向量集合+==)2,1(|{a a M {)5,4()2,2(N },),4,3(μλλ+--===∈a a R，},R ∈μ则=N M（ ）)}1,1.{(A )}2,2(),2,1{(--⋅B )}2,2.{(--C ∅.D7．（2008年安徽高考题）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若),3,1(),4,2(==则等于( )．)4,2(--⋅A )5,3(--⋅B )5,3(⋅C )4,2(⋅D8．（2006年福建高考题）已知,0.,3||,1||=⋅==点C 在AOB ∠内，且.30o AOC =∠设、m n m O (0=+=,）R n ∈则nm等于( )． 31.A 3.B 33.C 3.D 二、填空题（5分x4 =20分）9．已知,a AB =且),2,41(),4,21(B A 又,21=λ则a λ等于 10．若作用在坐标原点的三个力),5,2(),4,3(21-==F F ),1,3(3=F 则作用在原点的合力321F F F ++的坐标为11.已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，=∠=xOA ,34||,60 则向量的坐标 12．已知),sin ,(cos ),cos ,(sin 21θθθθ==e e 且1e 和2e 是一组基底，则角θ的集合为三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-2 -2 -5，已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、(3，4).求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点．14．已知点)8,2(),2,1(B A -,31,31AC -==及求点C 、D 和的坐标．15．已知点),10,7(),45(),3,2(C B A ⋅若∈+=λλ(),R 试求A 为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？又λ为何值时，点P 在第三象限内？16．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及,A t O +=求：(l)t 为何值时，P 在x 轴上?P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)0、A 、B 、P 四点能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由，。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2 向量的正交分解与向量的直
1
3
11
3
于是(x1-2,y1-3)= (-3,2),解得 x1=1,y1= ;
又(x2-2,y2-3)=3(-3,2),解得 x2=-7,y2=9.
11
故 C 1, 3 ,D(-7,9).
答案:(1)-2 (2)C
11
1,
3
,D(-7,9)
又 a=,
∴(x-3,x2+4x-4)=(-8,1),
∴
答案:C
-3 = -8,
解得 x=-5.
2
+ 4-4 = 1,
1
2
3
4
5
5.已知 A( 3,-1),则所在的直线与 x 轴所夹的锐角为
.
解析:易知点 A 在第四象限,如图,作 AH⊥x 轴于点 H,则在 Rt△AHO
中,AH=1,HO= 3,
则 + + =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理,一定存在实数 m,n,使得 + +
=m+n,
即(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),
= 32,
+
2
=
-12,
B.(4,-1)C.(-2,-1)D.(-3,-3)
答案:D
【做一做2-2】 已知向量 =(9,-7)(O为原点),则点N的坐标为
(
)
A.(9,-7)
B.(9,7)C.(-9,7)D.(-9,-7)
答案:A
教学设计1： 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
必修四第二章 平面向量2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算教学目的：知识目标：掌握平面向量的正交分解及坐标表示通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示教学难点：平面向量的正交分解及坐标表示教学过程：导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如下图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。
高一数学高效课堂资料2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
【课标要求】 理解平面向量的坐标运算,培养数形结合的应用意识
【学习目标】 1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示 . 2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
探究点1 平面向量的直角坐标
思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一 个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示， 直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？
A.-2,11
B（. 4 ,3） C（. 2 ,3） D.2, -7
3
3
3.已知 M ( 3， 2 ), N ( 5， 1) ，且 MP 1 MN , 2
则点 P 的坐标为（ C ）
A .( 8,1) B .(1，3 ) C .( 1， 3 ) D .( 8， 1)
2
2
4. 设 a ( 4, 3 ), b ( x ,5 ), c ( 1, y ), a b c , 则 （ x , y ) __(_-_5_,_2_)___.
高效课堂精品课件
高一数学 市实验中学 数学组
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角 坐标运算
平面向量基本定理:
如果 e1 和 e2是一平面内的两个不平行的向量， 那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数 a1 , a2 使a=a1 e1+ a2 e2. 向量的基底:
不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底，记为{e1, e2} .
则OM = 1(OA + OB). 2
上式换用向量的坐标，得
（x,y）= 21（ x1,y1 )+(x2,y2 ),即
x = x1 + x2 ,y = y1 + y2 .
2
2
线段中点的坐标计 算公式（简称中点
第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修4
解: ������������=(1,3),������������ =(2,4),������������ =(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1), ∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得 ������������ + ������������ + ������������ =m· ������������+n· ������������ , ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ������ = 32, ������ + 2������ = -12, 可得 解得 ������ = -22. 3������ + 4������ = 8, ∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������ .
)
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标. 解:由题图可知, a=������������1 + ������������2 =2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 反思感悟求向量的坐标有三种方法 (1)正交分解;(2)将向量的起点平移到原点,向量的终点,即为向量 的坐标;(3)利用转角求横、纵坐标.
课件6：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
例 3.已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C、 D 和C→D的坐标．
解:设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由题意可得 A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)， ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加减法及数乘运算.
知识梳理 1.向量的正交分解 (1)两个向量互相垂直： 如果两个向量的 基线 互相垂直，那么称这两个向量互相垂直． (2)正交基底： 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，那么称这个基底为正 交基底． (3)正交分解： 在 正交基底 下分解向量，叫做正交分解．
y 轴 上的坐标分量．
3．向量的直角坐标运算
(1)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) . (2)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a－b＝ (a1－b1，a2－b2) .
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
课堂小结 1.在平面直角坐标系中，以 O 为起点的向量O→A＝a，点 A 的位 置被 a 唯一确定，此时 A 点的坐标与向量O→A的坐标相同． 2．向量用坐标表示，为表示向量 a 提供了另一种方法，使向量 a 与实数对(x，y)建立了一一对应关系．
3．点的坐标与向量的坐标的区别： 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点 在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． 4．对符号(x，y)的认识：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有双 重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量．为加以区分， 常说点 P(x，y)或者向量 a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有 等号.
【配套K12】高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标2.2.2向量的正交分解与向量的直角
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究探究一 向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．【例1】 如图所示，分别用基底i 与j 表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解：由题图可知，a ＝1AA ＋2AA ＝2i ＋3j ，所以a ＝(2,3)．同理，b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)；c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)；d ＝2i －3j ＝(2，－3)．点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，a ，b 如图所示，分别求它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝4×2＝a 2＝|a |sin 45°＝4×2＝b 向量相对于x 轴正方向的转角为120°．所以b 1＝|b |cos 120°＝3×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－32， b 2＝|b所以a ＝(，b＝32⎛-⎝． 评注 公式a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ中θ是指a 的方向相对于x 轴正方向的转角，此点不容忽视．探究二 向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．【例3】 已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和CD 的坐标．解：设C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意可得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)， DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)，因为AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ， 所以(x 1＋1，y 1－2)＝13×(3,6)， (－1－x 2,2－y 2)＝－13×(－3，－6)， 即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．所以1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22,x y --=⎧⎨-=⎩所以110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0.x y =-⎧⎨=⎩ 所以C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD ＝(－2，－4)．方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标．探究三 向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．【例4】 已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c ．分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x 轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a ，b 表示c ．解：如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a|=2，所以a=(2,0)．设b=()11,x y ，所以1x =|b|cos 150°=1×⎛ ⎝⎭ y1=|b|sin 150°=1×12=12．所以b=12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．同理可得c=3,2⎛- ⎝⎭． 设c=1λ a+2λ b(1λ，2λ∈R)，所以3,2⎛- ⎝⎭=1λ (2,0)+ 2λ 3,2⎛- ⎝⎭=(21λ -22λ，122λ)． 所以解得所以c=-3a-3b ．探究四 易错辨析易错点：因忽视点的位置而漏解【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4,3)，B (3，－1)，C (1，－2)，求顶点D 的坐标．错解：设顶点D (x ，y )，因为AB ＝(－1，－4)，DC ＝(1－x ，－2－y )，AB ＝DC ， 所以11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)．错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解． 解：设顶点D (x ，y )．①若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，C ，D ，则AB ＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， DC ＝(1－x ，－2－y )．由AB ＝DC ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(2,2)．②若平行四边形四个顶点的顺序为A ，C ，B ，D ，则AC ＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，DB ＝(3－x ，－1－y )． 由AC ＝DB ，得33,51,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得6,4.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(6,4)．③若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，D ，C ，则AB ＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD ＝(x －1，y ＋2)． 由AB ＝CD ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=+⎩解得0,6.x y =⎧⎨=-⎩故顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，顶点D的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6)．。
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]第二章 平面向量2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算教学目标：(1) 理解平面向量的坐标的概念；(2) 掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算 教学过程 一、复习引入： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e二、讲解新课：1、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a=x i +y j …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a=(x,y)…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，i =(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0)如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定设j y i x OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2、平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ， b a ),(2121y y x x 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 设基底为i 、j ，则b a )()(2211j y i x j y i x j y y i x x )()(2121 即b a ),(2121y y x x ，同理可得b a ),(2121y y x x（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 AB =OB OA =( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)（3）若),(y x a 和实数 ，则),(y x a实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a )(j y i x j y i x ，即),(y x a3．例子例1已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点 例2已知三个力1F (3, 4), 2F (2,5), 3F (x, y)的合力1F +2F +3F =求3F 的坐标 见课本第108页例子小结：平面向量的坐标运算课堂练习：第109页练习A 、B课后作业：第112页A 2、3、4、5、6。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a =AB 的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-,b 2=|b |sin120°=3×23323=,c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=, c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2). 各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量OA 的坐标，就是要求OA 在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=|OA |sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴PA =(22-λ,a -22λ),EF =(22λ-a,22-λ). ∵|PA |2=λ2-2aλ+a 2,|EF |2=λ2-2aλ+a 2, ∴||2=||2,故PA=EF. 二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=31,=-31,求点C 、D 和的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用=31和=-31相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及CD 坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得=(x 1+1,y 1-2),=(3,6), =(-1-x 2,2-y 2),=(-3,-6), ∵=31,=-31, ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此CD =(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标.(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标.解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).变式提升 2 用坐标法证明AB ++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式.证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则=(b 1-a 1,b 2-a 2),=(c 1-b 1,c 2-b 2),=(a 1-c 1,a 2-c 2), ∴+BC +CA =(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴AB +BC +CA =0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以，为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设AD +BD +CD =m AB +n AC .最后列出关于m ，n 的方程组求解. 解：AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（-3，5），BD =（-4，2），CD =（-5，1）. 设++=m +n ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得AD +BD +=32AB -22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x 故x=-1,y=35-. 温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升 3如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM =c ,AN =d ,试用c 、d 表示AB 和AD .思路分析:直接用c 、d 表示AB 、AD 比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用AB 、AD 表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设AB =a ,AD =b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,DM =21a . +DM =,即b +21a =c .① +=AN ,即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ), 即AB =32(2d-c ),AD =32(2c -d).。
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课 时
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
栏 ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
目
开 关
∴1－0＝ 5＝3λ2－λ＋2μ2μ
λ＝1 ，解得μ＝－72
，∴a＝b－72c.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
例 3 已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，
小结 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先
将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用
其他两个向量表示，这是常用方法．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
跟踪训练 2 已知 a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用 b，
c 表示 a.
本 解 设 a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．
目
开
关
2.2.2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
[典型例题]
例1 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求：
(1)A→B－A→C；(2)A→B＋2B→C；(3)B→C－12A→C.
解 ∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．
本 课
∴A→B＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，
2.2.2
例 2 已知 a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用 a，b 表
示 c.
解 设 c＝xa＋yb，
本 则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
课 时
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
栏 目 开
∴1－0＝ 4＝－32x＋x＋y，3y，
关
解得 x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
2.2.2
3． 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，
且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为
( A)
本 课 时 栏
A.2，72
B.2，－12
C．(3,2)
D．(1,3)
解析 设 D 点坐标为(x，y)，则B→C＝(4,3)，A→D＝(x，y－2)，
错误.
时 栏
即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
目 开
(3)若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量
关
的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
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2.2.2
探究点一 平面向量的坐标表示
本 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个
者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
跟踪训练 3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，
(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
解 不妨设 A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为 D(x，y)．则
A、B、C、D 四点构成平行四边形有以下三种情形．
栏 目
y 轴方向相同的两个 单位向量 i，j 作为基底，对于平面内
开 关
的一个向量 a，有且只有一对实数 x，y 使得 a＝ xi＋yj ，
则 有序数对(x，y) 叫做向量 a 的坐标， a＝(x，y) 叫做向
量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则
O→A＝ (x，y) ，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1， y2－y1) ．
课 时
单位向量 i、j 作为基底．对于平面内的任一向量 a，由平面
栏 目
向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋
开 关
yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，
其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标．显
然有，i＝ (1,0) ，j＝ (0,1) ，0＝ (0,0) ．
yB－yA)．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平
面直角坐标系的点是一一对应关系．
本 课
请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量 a，b，
时 栏
c，d 所对应的点 A，B，C，D.
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效 答
2.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
其中 a＝O→A＝(1,3)；b＝O→B＝(－5，－2)；c＝O→C＝(－2，－2)； d＝O→D＝(2，－4)．
本 课
(1)当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C，
时 栏
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
目 开 关
∴1－－2x－＝y1＝，－1，
∴xy＝＝0－，1.
∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为 ABDC 时， 仿(1)可得 D(2，－3)；
几何画板演示
(3)当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可得 D(6,15)．
目
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、
以原点为起点的向量、有序实数对三
本 课
者之间建立一一对应关系．关系图如
时 栏
图所示：
目 开
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当
关
向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相
同．
3．向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
2．平面向量的坐标运算
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，
即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
本 课
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，
求顶点 D 的坐标．
解 设 D(x，y)．则A→B＝(4,1)，D→C＝(5－x,6－y)，
本 课 时 栏
由A→B＝D→C得56－－xy＝＝41 ，∴xy＝＝15 .
目 开
∴顶点 D 的坐标为(1,5)．
关 小结 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则
是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二
2.2.2
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
【学习要求】
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
本 课
2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．
时 栏
3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区
目
分开来．
开
关 【学法指导】
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，
答 ∵a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j.
本 ∴a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)
课 时
＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j
栏 目
＝(x1＋x2，y1＋y2)；
开 a－b＝(x1i＋y1j)－(x2i＋y2j)
关
＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j
＝(x1－x2，y1－y2)；
时 栏
A→C＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,0)－(0,6)＝(－8,4)．
关 ∴(1)A→B－A→C＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．
(2)A→B＋2B→C＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．
(3)B→C－12A→C＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
探究点二 平面向量的坐标运算 问题 1 已知 a＝O→A，b＝O→B，c＝O→C，如下图所示，写出 a，
b，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量 a＋b，a－b 以及 a－3c，然后写出它们的坐标．
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效 答
2.2.2
目 开 关
由B→C＝2A→D得43＝＝22xy，－2，
x＝2 ∴y＝72
，∴D(2，72)．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2
4． 已知向量 a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若 p＝ma＋nb，
则 m＋n＝____7____.
本 课 时 栏
解析 由2－m3＋mn＋＝29n＝4 ，解得mn＝＝52 .故 m＋n＝7.
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2.2.2
问题 1 根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标，其中每个小正 方形的边长是 1.
本 课 时 栏 目 开 关
答 a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)．
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2.2.2
问题 2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的 坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量A→B＝(xB－xA，
2.2.2
2． 已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的
坐标是
( A)
本 课
A.－4，12
B.4，－12
时 栏
C．(－8,1)
D．(8,1)
目 开
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8,1)，
关
∴12A→B＝－4，12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
λa＝λ(x1i＋y1j)＝(λx1)i＋(λy1)j
＝(λx1，λy1)；
研一研·问题探究、课堂更高效
λa＋μb＝λ(x1i＋y1j)＋μ(x2i＋y2j)