向量的分解与坐标表示-课件

做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i , j , k 都叫做坐标向量.通过
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
对空间任一向量 a ,由空间 z a
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组 (a1,a2,a3),使aa1ia2ja3k. k
有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就
i Oj
A(a1,a2,a3)
3.1.4 空间向量的坐标表示
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
一、空间直角坐标系
下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3) 5y
从空间某一个定点０
z
A`
B` OA
B
x
D`
C` D
y
C
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么
特点？
１．x轴上的点横
z
坐标就是与x轴交
点的坐标，纵坐标
R(0,0,z)
B(0,y,z)和竖坐标都是０．
２．xoy坐标平面
C(x,o,z)
O(0,0,0) o
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0)
说明:
z
☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这
样就建立了空间直角坐
o
标系０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ （５,４,６）
６
y
Ｐ2
例２．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
8 a 8 ( 2 , 3 ,5 ) ( 1 6 , 2 4 ,4 0 ) a b ( 2 , 3 ,5 ) ( 3 ,1 , 4 ) 2 9
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021
首先要选定单位正交基，进而确定各向量 的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
作业:课本 P107 第 7、8、9 题
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谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系 x
下的坐标. 记为 a (a1,a2,a3 ) .
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点A, 对应一个向量O A ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,
使 O A xiyjzk(如图).
我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫 做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
内的点的竖坐标为 ０，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴
x P(x,0,0)
A(x,y,0)
作垂线交点的坐标．
单位正交基底：
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交
基底，常用 {i, j, k} 来表示.
k
空间向量 p
i
i, j, k 为基底
一一对应
j
有序实数组 (x, y, z)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交 基，进而确定各向量的坐标。
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
练习1:已知 a ( 2 , 3 ,5 )b , ( 3 ,1 , 4 ),
求 a b ,a b ,8 a ,ab
解: a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 1 , 2 , 1 )
a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 5 , 4 , 9 )
显然, 向量 O A 的坐标，就是点A在此空间直角
坐标系中的坐标(x,y,z).
z
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐
k i Oj
标建立起一一对应的关系,从而互 x
相转化.
A(x,y,z) y
空间向量运算的坐标规律:
设a ( a 1 ,a 2 ,a 3 ) ,b ( b 1 ,b 2 ,b 3 ), 则 a b (a 1b 1,a2b 2,a3b 3) a b (a1b 1,a2b 2,a3b 3)
a (a1,a2,a3)( R )
a//b a 1b 1 ,a 2b 2 ,a 3b 3 ( R )
z
经过A点作三个平面
分别垂直于x轴、y轴和z轴，
ห้องสมุดไป่ตู้它们与x轴、y轴和z轴分别
交于三点，三点在相应的
c
Ａ(a,b,c) 坐标轴上的坐标a,b,c组成
o
b
a
y
的有序实数对（a,b,c)叫做 点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
例１
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）.
分析：
z
Ｏ
从原点出发沿x轴 正方向移动５个单位
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫