向量的分解与坐标表示-课件
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
对于空间任意一个向量 p 一定可以把它平移，使它的 __起__点___与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝__xe_1_＋__y_e_2_＋__ze_3_.
我们把__x_、__y_、__z__称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 p＝_(_x_，__y_，__z)__．
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新知导学 1．空间向量基本定理 (1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_x_a_＋__yb_＋__z_c___. (2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成 的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看 作是由向量a，b，c生成的，我们把{a_，__b_，__c____}叫做空间的 一 个 基 底 ， a ， b ， c 都基叫向做量________ ， 空 间 任不何共面三 个 ________的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在 不 同 基 不底同下 的 坐 标 _______ ， 在 同相同一 基 底 下 的 坐 标 ________．
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空间向量的正交分解及其坐标表示
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空间向量的正交分解 温故知新 回顾复习平面向量基本定理及其正交分解． 思维导航 1．我们已知平面内任一向量都可以用两个不共线向量线 性表示且这种表示方法是唯一的． 类似的空间中任一向量可用几个满足什么条件的向量来表 示呢？这种表示方法唯一吗？怎样选取基向量运算更方便？
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算 人教课标版精品课件
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
的夹角在什么范围内？
六、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}
或{e1,e2,e3}表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底
{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、
y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,
点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是(
)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量a,b,c共面,
故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称
它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O
高二数学人选修课件空间向量的正交分解及其坐标表示
坐标表示法的作用
坐标表示法为空间向量提供了具体的数值表示方式，使得向量的运算更加直观和便捷，同时也为向量的应用提供 了基础。
思考如何将所学知识应用到实际问题中
物理问题中的应用
01
在物理学中，许多矢量问题可以通过正交分解和坐标表示法来
解决，如力的合成与分解、运动的合成与分解等。
工程问题中的应用
02
在工程领域中，正交分解和坐标表示法可用于解决各种实际问
坐标系旋转
坐标系旋转会改变向量的方向，但不改变向量的长度。旋转后的向 量可通过旋转矩阵或四元数进行转换。
坐标系缩放
坐标系缩放会改变向量的长度，但不改变向量的方向。缩放后的向 量可通过缩放因子进行转换。
04
典型例题分析与解题思路
涉及正交分解典型例题讲解
例题1
已知向量a和b，求a在b上的正交投影。
解题思路
空间向量共面条件
若三空间向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$共面，则存在实数$x$和$y$ ，使得$vec{a} = xvec{b} + yvec{c}$ 。
空间向量模长与夹角计算
空间向量模长计算
空间向量$vec{a}$的模长定义为$|vec{a}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，其中 $(x, y, z)$为$vec{a}$的坐标。
证明过程
通过向量的投影性质和线性组合的性 质，可以证明正交分解定理的正确性 。
正交分解在几何问题中应用
01
02
03
计算向量的模长
通过正交分解，可以将向 量的模长表示为各分向量 模长的平方和的平方根。
判断向量的共线性
如果两个向量的正交分解 结果相同，则这两个向量 共线。
坐标表示法为空间向量提供了具体的数值表示方式，使得向量的运算更加直观和便捷，同时也为向量的应用提供 了基础。
思考如何将所学知识应用到实际问题中
物理问题中的应用
01
在物理学中，许多矢量问题可以通过正交分解和坐标表示法来
解决，如力的合成与分解、运动的合成与分解等。
工程问题中的应用
02
在工程领域中，正交分解和坐标表示法可用于解决各种实际问
坐标系旋转
坐标系旋转会改变向量的方向，但不改变向量的长度。旋转后的向 量可通过旋转矩阵或四元数进行转换。
坐标系缩放
坐标系缩放会改变向量的长度，但不改变向量的方向。缩放后的向 量可通过缩放因子进行转换。
04
典型例题分析与解题思路
涉及正交分解典型例题讲解
例题1
已知向量a和b，求a在b上的正交投影。
解题思路
空间向量共面条件
若三空间向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$共面，则存在实数$x$和$y$ ，使得$vec{a} = xvec{b} + yvec{c}$ 。
空间向量模长与夹角计算
空间向量模长计算
空间向量$vec{a}$的模长定义为$|vec{a}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，其中 $(x, y, z)$为$vec{a}$的坐标。
证明过程
通过向量的投影性质和线性组合的性 质，可以证明正交分解定理的正确性 。
正交分解在几何问题中应用
01
02
03
计算向量的模长
通过正交分解，可以将向 量的模长表示为各分向量 模长的平方和的平方根。
判断向量的共线性
如果两个向量的正交分解 结果相同，则这两个向量 共线。
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
【例1】 若{a,b,c}是空间一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该
空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面, 则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), 所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c. 因为{a,b,c}为基底,所以a,b,c不共面.
1=，
所以1=，此方程组无解.所以a+b,b+c,c+a不共面,
0= +，
所以{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
一题多变:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,a-b,c共面, 则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b), 即c=(x+y)a+(x-y)b, 从而由共面向量知c与a,b共面, 这与a,b,c不共面矛盾. 所以a+b,a-b,c不共面,即能作为空间的一个基底.
空间向量的正交分解及其坐标表示
知识点 空间向量基本定理
如图(1)所示,已知 AB =a, AD =b, AA1 =c, AC1 =p.
问题 1:向量 p 如何用向量 a,b,c 表示? 答案:p= AB + AD + AA1 =a+b+c.
梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数
OO1
-
1 2
OA - 1 2
OB ,
且| OO1 |=| AA1 |=4,| OA |=4,| OB |=2, 所以 DO =(-2,-1,-4).
空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面, 则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), 所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c. 因为{a,b,c}为基底,所以a,b,c不共面.
1=，
所以1=，此方程组无解.所以a+b,b+c,c+a不共面,
0= +，
所以{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
一题多变:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,a-b,c共面, 则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b), 即c=(x+y)a+(x-y)b, 从而由共面向量知c与a,b共面, 这与a,b,c不共面矛盾. 所以a+b,a-b,c不共面,即能作为空间的一个基底.
空间向量的正交分解及其坐标表示
知识点 空间向量基本定理
如图(1)所示,已知 AB =a, AD =b, AA1 =c, AC1 =p.
问题 1:向量 p 如何用向量 a,b,c 表示? 答案:p= AB + AD + AA1 =a+b+c.
梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数
OO1
-
1 2
OA - 1 2
OB ,
且| OO1 |=| AA1 |=4,| OA |=4,| OB |=2, 所以 DO =(-2,-1,-4).
平面向量的正交分解及坐标表示1 人教课标版精品课件
a b (x1 x2, y1 y2), a (x1, y1)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB (x2 x1, y2 y1)
4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
平面的基底有多少组? 无数组
复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
思考：这一基本定理在物理中有哪些应用？ 试举例说明。
如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度，
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4) (6, 3) (12,16) (6,19)
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB (x2 x1, y2 y1)
4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
平面的基底有多少组? 无数组
复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
思考：这一基本定理在物理中有哪些应用？ 试举例说明。
如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度，
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4) (6, 3) (12,16) (6,19)
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件
e2
二、空间向量的直角坐标系
x
y
z
O
e1
e2
e3
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3
分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断
A1
A
D1
C1
B1
D
C
B
设 ,易判断出答案
C
二、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
解:
连AN,
则 MN=MA+AN
MA=－ AC =－ (a+b)
1
3
1
3
AN=AD+
= (－a + b + c )
1
3
∴MN= MA+AN
例1
平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结 论吗？
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使
平面向量的正交分解及坐标表示课件ppt文档
三维目标
2．过程与方法 通过学习向量的坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能 力．通过坐标平面内的点和向量的类比，培养学生类比推理的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神， 增强学生应用知识的意识． (2)通过学习向量坐标及向量共线的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认 识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
新课导入
[导入一] 我们在学习平面直角坐标系时知道，平面内的任何一个点都可用一对实数(x，y)表示．通 过前面的学习我们知道，平面向量可以用有向线段来表示，因此，向量具有鲜明的几何 意义，既然如此，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？这种表示是否具有唯一 性？我们又将如何利用这一表示来进行向量的运算呢？
平面向量的正交分解及坐标表示课件
三维目标
1．知识与技能 (1)借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义，了解直角坐标系中平 面向量代数化的过程(几何表示——线性表示——坐标表示)，会写出直角坐标系内给定 的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量． (2)掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和数乘的坐标运算法则， 并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的终点的坐标减 去始点的坐标． (3)能准确表述向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步 培养学生的运算能力．
备课素材
(3)联系：向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原 点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同． 3．平面向量坐标运算 (1)在进行平面向量坐标运算时，应将平面向量用坐标表示出来，再根据向量的直角 坐标运算法则进行计算． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐 标减去起点坐标得到向量坐标． (3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件共12张PPT
显然 i _(1_,_0_);
y
j _(_0,_1_);
a
y A(x, y)
a j
o
i
x
x
OA xi y j a ( x, y )
0 _(0_,_0_).
例1.如图，分别用基底{i, j}表示向量 a、b、c、d，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
y
如图， i, j 是分别与x轴、y轴方向相
a
同的单位向量，取{e1, e2}为基底，则
A
对于该平面内的任一向量 a ，
j
x
有且只有一对实数x、y，可使
o iB
a xi +y j 这里，我们把（x,y）叫做向量的（a 直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一 样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标 之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有 关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐 标．
得
x1＝cos30°＝
23，y1＝sin30°＝12，所以
B
23，21.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝ 23，
所以 D－12
23.
复习回顾
平面向量基本定理:
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件(共20张ppt)
一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1e1＋λ 2e2.
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
j
oi
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
A．(14，14，14) B．(34，34，34)
111
222
C．(3，3，3) D．(3，3，3)
2. 设x = a + b,y = b + c,z = c + a,且a,b,c
是空间的一个基底,给出下列向量组
①a,b,x; ②x,y,z; ③b,c,z; ④x,y,a + b + c.Βιβλιοθήκη 其中可以作为空间的基底的向量组
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，
且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN为 ( C )
A.1 a + 1 b + 1 c 222
C．- 1 a + 1 b + 1 c 222
B.1 a - 1 b + 1 c 222
D.- 1 a + 1 b - 1 c 222
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
中写出向量的坐标.
探究点1 空间向量基本定理
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量p = OP,
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
设平面 AEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→E＝ 3x＝0， 则n·A→F＝ 23x＋12y＋z＝0，
不妨取 n＝(0,2，－1)．
因为点 M 在线段 A1D 上，AA11MD＝λ，所以A→1M＝λA→1D， 得C→M＝C→A1＋λA→1D＝(－ 3，－1,2)＋λ(0,2，－2)＝(－ 3，2λ－1,2－2λ)． 因为 CM∥平面 AEF，所以C→M⊥n，从而C→M·n＝0，即 2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，
＝49＋
12454＋14＝112454，所以|G→E|＝5125.
空间中的平行与垂直关系 (南京、盐城二模)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝π3，E，F 分别是 BC，A1C 的中点． (1) 求异面直线 EF，AD 所成角的余弦值；
课堂导学 空间向量的基本运算 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA⊥底面 ABCD，SA＝2，设 G 是△ABC 的重心，E 是 SD 上的一点，且 SE＝3ED. (1) 试用基底{A→B，A→D，A→S}表示向量G→E； 【解答】 连接 AG 并延长，交 BC 于 F，则 F 是 BC 的中点， 则G→E＝A→E－A→G＝(A→S＋S→E)－23A→F＝A→S＋34S→D－13(A→B＋A→C)＝A→S ＋34(A→D－A→S)－13(A→B＋A→B＋A→D)＝－23A→B＋152A→D＋14A→S.
解得 λ＝23.
用向量方法解决综合问题 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， AB∥DC，DC⊥AC，PC＝AC＝AB＝2，CD＝12AB. (1) 求证：DC⊥平面 PAC. 【分析】(1) 要证 DC⊥平面 PAC，只要证明D→C与平面 PAC 的法向量平行即可； (2) 要证明平面 PAB⊥平面 PAC，只要证明两个平面的法向量垂直即可；(3) 若能证 明P→A与平面 CEF 的法向量垂直，则问题解决．
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
对于空间任意一个向量 p，一定可以把
它__平__移___，使它的__起__点___与原点 O
空间向 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量 量的坐 基本定理可知，存在有序实数组{x，y，
标表示 z}，使得 p＝_x_e_1_＋__y_e_2_＋__z_e_3___．把 _x_，__y_，___z__称作向量 p 在单位正交基 底_(_x_，e_1_，y_，_e2_，z_)_e.3 下的坐标，记作 p＝
做一做 设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底, 且m＝2i＋3j－4k，n＝－i＋2j－5k，则m、 n的坐标分别为__________． 答案：(2，3，－4)、(－1，2，－5)
基底的判断
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试 判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的 一个基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋ a),
想一想 1.空间向量的基底是惟一的吗？ 提示：不惟一． 2.0能是基向量吗？ 提示：不能．
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 交基底
三个有公共起点O的_两__两__垂__直___ 的单位向量e1，e2，e3称为单位正 交基底．
空间直 角坐标
系
以 点e，1，分e别2，以e3_e的_1，____共e__2_，起___e_点_3__O______的为方原向 为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系Oxyz.
互动探究 1.若本例条件不变，试判断向量a＋b，a－b ，c能否作为空间的一个基底． 解：假设a＋b，a－b，c共面， 则存在实数x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)， 即c＝(x＋y)a＋(x－y)b， 从而由共面向量知c与a，b共面， 这与a，b，c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面， 即可以作为空间的一个基底．
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说明:
z
☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这
样就建立了空间直角坐
o
标系０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ （５,４,６）
６
y
Ｐ2
例２．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
练习1:已知 a ( 2 , 3 ,5 )b , ( 3 ,1 , 4 ),
求 a b ,a b ,8 a ,ab
解: a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 1 , 2 , 1 )
a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 5 , 4 , 9 )
显然, 向量 O A 的坐标，就是点A在此空间直角
坐标系中的坐标(x,y,z).
z
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可对应的关系,从而互 x
相转化.
A(x,y,z) y
空间向量运算的坐标规律:
z
经过A点作三个平面
分别垂直于x轴、y轴和z轴，
它们与x轴、y轴和z轴分别
交于三点，三点在相应的
c
Ａ(a,b,c) 坐标轴上的坐标a,b,c组成
o
b
a
y
的有序实数对（a,b,c)叫做 点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
例１
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）.
分析：
z
Ｏ
从原点出发沿x轴 正方向移动５个单位
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系 x
下的坐标. 记为 a (a1,a2,a3 ) .
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点A, 对应一个向量O A ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,
使 O A xiyjzk(如图).
我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫 做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
设a ( a 1 ,a 2 ,a 3 ) ,b ( b 1 ,b 2 ,b 3 ), 则 a b (a 1b 1,a2b 2,a3b 3) a b (a1b 1,a2b 2,a3b 3)
a (a1,a2,a3)( R )
a//b a 1b 1 ,a 2b 2 ,a 3b 3 ( R )
z
A`
B` OA
B
x
D`
C` D
y
C
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么
特点？
１．x轴上的点横
z
坐标就是与x轴交
点的坐标，纵坐标
R(0,0,z)
B(0,y,z)和竖坐标都是０．
２．xoy坐标平面
C(x,o,z)
O(0,0,0) o
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0)
内的点的竖坐标为 ０，横坐标与纵坐 标分别是点向两轴
x P(x,0,0)
A(x,y,0)
作垂线交点的坐标．
单位正交基底：
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂
直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交
基底，常用 {i, j, k} 来表示.
k
空间向量 p
i
i, j, k 为基底
一一对应
j
有序实数组 (x, y, z)
8 a 8 ( 2 , 3 ,5 ) ( 1 6 , 2 4 ,4 0 ) a b ( 2 , 3 ,5 ) ( 3 ,1 , 4 ) 2 9
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
3.1.4 空间向量的坐标表示
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
一、空间直角坐标系
下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3) 5y
从空间某一个定点０
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交 基，进而确定各向量的坐标。
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
首先要选定单位正交基，进而确定各向量 的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
作业:课本 P107 第 7、8、9 题
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021 12:06:54 PM
做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i , j , k 都叫做坐标向量.通过
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
对空间任一向量 a ,由空间 z a
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组 (a1,a2,a3),使aa1ia2ja3k. k
有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就
i Oj
A(a1,a2,a3)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021