平面向量的正交分解及坐标表示优质课
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
平面向量的正交分解、坐标表示、坐标加减运算高中数学必修第二册课件共张(版)
y
a
yA
a xi +y j
OA xi +y j
j
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
向量 a 一一对应 坐标(x,y) 两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
(2)a b (x1 x2, y1 y2)
(3)a (x1, y1)
就是说：
两个向量的和（差）的坐标分 别等于这两个向量相应坐标的 和（差）
实数与向量的积的坐标等于 用这个实数乘原来向量的相 应坐标
例题:已知 A(x1, y1), B(x2, y2，) 求 AB 的坐标.
解： AB OB OA
例7 :已知A(1, 1), B(1,3), C(2,5) 判断A、B、C三点的位置关系.
解: C AB (2, 4), AC (3, 6) B
又2 6 3 4 0
AB / / AC.
A
所以A、B、C三点共线。
例题
已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a//b，求y. 解：∵a//b，∴4y-26=0，∴y=3。
y
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
例4：已知 a (2,1), b (3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐.
6-3-2平面向量的正交分解及坐标表示(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
如图，已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y) 且AB DC
(1, 2) (3 x, 4 y) 13x
y
7
D4Biblioteka BCjx
o iA 3 5
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD 2 i 3 j
（一）平面向量的坐标表示 y
D
i, j
a C
i, j
A
对于该平面内的任一向量
a
，
j
o
有且只有一对实数x、y，可使
i
B
x
a xi +y j
a
a (x, y)
显然， i 1,0, j 0,1,0 0,0.
【即时训练】
写出下列向量的坐标,其中 i，j 是与x轴，y轴方向相同的单位 向量.
(1)a =2i+3 j
(3)a =-i-3 j
(4)a=-5 j
(5)a =-4i
答案： (1)a (2, 3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3) (4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
第6章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为 G， 下滑力为 F1，木块对斜面的压力为 F2.
问题：这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
O F1
G F2
把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫作把向量正交分解.
平面向量的正交分解及坐标表示 公开课一等奖课件
【答案】 B
2．已知 a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则 b＝( A．(4,2) B．(－6,8) C．(2,1) D．(－3,4)
)
【答案】D
知识点 3 平面向量坐标的应用 【例 3】 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点 P → → → 使得AP＝AB＋λAC，求实数 λ 的取值范围． 思路点拨：设出 P 点的坐标，把向量式转化为坐标表示，再 根据向量相等的条件列出方程组，解出 P 点的坐标，由 P 在第三 象限确定 λ 的取值范围．
典例剖析 知识点 1 平面向量的坐标运算 【例 1】 已知 a＝(2,3)，b＝(－4，－1)，求： (1)3a－2b；(2)－2a－5b. 思路点拨：向量的加减和数乘运算都可以用坐标表示来进行．
解： (1)3a－2b＝3(2,3)－2(－4，－1)＝(6,9)－(－8，－2)＝(6＋8,9 ＋2)＝(14,11)； (2)－2a－5b＝－2(2,3)－5(－4，－1)＝(－4，－6)－(－20，－ 5)＝(－4＋20，－6＋5)＝(16，－1)．
【答案】D
预习测评 1. (2014 年湛江调研)向量 a=(-1,-2),b=(0,1),则 a+b=( A.(-1,-1) B.(-1,-3) C.(1,-3) D.(0,-2) )
【答案】A
→ → 2．已知平行四边形 ABCD 中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角 → 线 AC 与 BD 相交于 O，则CO＝( ) 1 1 A.－ ，5 B.－ ，－5 2 2 1 1 C.2，－5 D.2，5
5λ＋5<0， 在第三象限，所以 7λ＋4<0，
解得 λ<－1.
人教版第二章平面向量的正交分解及坐标表示(共24张PPT)教育课件
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就是如果我 Nhomakorabea告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
(2, 3)
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人教A必修
•y
•4
•C
•B •3
•2 •D
•A •1
•-2 -1 •O •1 2 3 •x
•解得 •所以顶点D的坐标为（2，2）.
•解法2：由平行四边形法则可得 •而
•y
•4
•C
•B •3
•2 •D
•A •1
•-2 -1 •O •1 2 3 •x
•所以顶点D的坐标为（2，2）.
•1.写出下列向量的坐标,其中 是与x轴、y轴方向相同的 单位向量.
•2.平面向量是否也有类似的表示呢?
•b
•A•(a,b
)
•a
• 如图，在光滑斜面上有一个 •木块受到重力 的作用，产生两 •个效果，一是木块受平行于斜面 •力 的作用，沿斜面下滑；一是 •木块产生垂直于斜面的压力 • 叫做把重力 分解.
• 由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 •以分解为不共线的两个向量 和 ，使
•4
•如图， 分别是与x轴、y轴方向相同 •的单位向量，若以 为基底，则
•3 •5
• 这样，平面内的任一向量 都可 •由x、y唯一确定，我们把有序数对 •（x,y）叫做向量 的坐标，记作
•① •其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， •①式叫做向量的坐标表示.
•显然，
•y •A
•O
，求 的坐标.
•y •A(x1,y1)
•B(x2,y2)
•O
•x
• 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标.
•小结：平面向量的坐标运算
•2.若A
，B
，则
•例3.已知
，求
的坐标.
•例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别
平面向量的正交分解和坐标表示及运算优秀教案
课题：平面向量的正交分解和坐标表示及运算第 ______ 课时 总序第 ______个教案课型：新授课 编写时间：____年___月___日 执行时间：___年___月___日教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共 批 注教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学用具：三角板教学方法：讲练结合教学过程： 一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等．．的向量的坐．．．．．标也为．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求的坐标.例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0) 即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课后作业1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .小结、本节课主要讲述了平面向量的坐标的及平面向量的坐标运算；教学后记：。
高中数学--平面向量的正交分解及坐标表示优质课ppt课件
由平面向量的基本定理 ，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线 的两个向量
1 e1 __________ 2 e2 1 e1和2 e2 , 使a __________ _____
在 不 共 线 的 两 个 向 量， 中垂 直 是 一 种 很 重 要 的 量 ， 对 于 解 决 问 题 会来 带很 大 方 便 。
3a b
2a 5b
1 3 a b 2 2
例2． 已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的 坐标使这四点构成平行四边形四个顶 点
例3： 已 知 点 A( 2,4), B(3,1), C ( 3,4)且 CM 3CA, CN 2CB , 求 点M、N及 MN的 坐标。
a xi y j
向量a的坐标 则把有序实数对（ x, y）叫做__________ _____
记作： a
（x , y）
纵坐标 横坐标 y叫做向量 a的 _________ x叫做向量 a的 _______
例如， a 3i 5 j b 3i 4 j c 4j d 6 i
情 形 ， 若 把 一 个 向 量解 分为 两 个 互 相 垂 直 的 向
一、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解. 一对有序实数（即坐标） 个点都可用 __________ __________ ______ 表示,
示呢？
思考：我们知道，在平 面直角坐标系中，每一
四．平面向量的坐标运算
若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),则
( x x , y y ) ab 1 2 1 2 ( x x , y y ) a b 1 2 1 2
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(优秀经典公开课比赛课件).
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
Hale Waihona Puke y a（x，y）叫做向量a的坐标，记作
j
a=xi + yj
那么i =（1 ，0）
j =( 0 ，1 )
O 0 =（ 0 ，0）
i
x
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
作业
❖谢谢
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
高中数学_平面向量的正交分解及坐标运算教学课件设计
四、展
1.在平面直角坐标y 系内，起点不在坐标原点O的
向量如何用坐标来表示?
y
a
yA
e2
O
OA xe1+ye2
e1
x
a xe1+ye2
x
a (x, y)
四、展
2.如何判断两个向量是互相垂直的？
如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。
3.什么叫做正交基底？
若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。
y
B
PM
A
O
x
五、评
1、如果两个向量的基线互相垂直，则称两 个向量互相垂直。 2、若基底的两个基向量互相垂直，则称该 基底为正交基底。 3、在正交基底下分解向量，叫做正交分解。 4、
六、检
课本103页 练习A第2、4、5题 练习B第1、2、3题
七、练
1、《同步练习册》 第52页基础巩固 第53页能力提升
向量如何用坐标来表示?
2.如何判断两个向量是互相垂直的？
3.什么叫做正交基底？
4.什么叫做正交分解？
5.向量的直角坐标运算 a (a 1 , a 2 ) ，b (b1, b2 )
a b ————
a - b ————— λa ——————
6.课本例2、例3、例4、例5 例6
四、展
我展示！ 我补充！ 我质疑！
中研究向量的正交分解。
一、导 4
4.以O为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？ 如何表示？ 3 P(3,2)
2e2 2
e1 2
-2
O e1
2
3e1
46Βιβλιοθήκη -1OP 3e1 2e2 (3, 2)
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
思考探究 1 i，j，0 的坐标分别是什么？ 提示 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 思考探究 2 一个向量平移后，始点坐标和终点坐标发生 了变化，该向量的坐标变化吗？ 提示 一个向量平移后，该向量的坐标不变，因为向量坐 标是终点坐标与始点坐标的差.
∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32，
b2＝|b|sin120°＝3× 23＝32 3.
∴a＝(2
2，2
2)，b＝－32，32
3.
误区警示 公式a1＝|a|cosθ，a2＝|a|sinθ中的θ是指a的方向 相对于x轴正方向的夹角，此点不容忽视.
二 平面向量的坐标运算
【例2】 已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求 A→B，A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
3．平面向量的坐标运算 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝________，a－b＝________，即两个向量和(差) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (2)λa＝________(λ∈R)，即实数与向量的积的坐标等于用 这个实数乘原来向量的相应坐标．
(3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，O 为坐标原 点，则O→A＝________，O→B＝________，A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2) －(x1，y1)＝________.
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.
1.互相垂直 自 2.(x，y) (x，y) x y (1,0) 我 (0,1) (0,0) 校 3.(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 对 (2)(λx1，λy1)
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_____(_λ_x_，__λ_y)_____，即实数与向量的积的
坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(2)12A→B＝12(O→B－O→A) ＝12（－5，－1）－（3，－2） ＝12(－8，1)＝－4，12，∴12A→B＝－4，12.
【答案】 (1)B (2)A (3)∵A→B＝(－2，10)，B→C＝(－8，4)，A→C＝(－10，14)， ∴A→B＋2B→C＝(－2，10)＋2(－8，4) ＝(－2，10)＋(－16，8) ＝(－18，18)， B→C－12A→C＝(－8，4)－12(－10，14) ＝(－8，4)－(－5，7) ＝(－3，－3)．
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
教材整理 1 平面向量的正交分解及坐标表示 1．平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相____垂__直___的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向__相__同__的两个_单__位___向量 i、 j 作为__基__底__．对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，__有__且__只__有____ 一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，我们把有序数对(_x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标，记
B．4，－12
C．－1，－32
D．(8，1)
(3)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求A→B＋2B→C，
B→C－12A→C的坐标．
【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将D→A分解为D→C＋C→B＋B→A 来求解．
优质课教案232平面向量正交分解及坐标表示
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1( i ，)1,0( j ，)0,0(0 .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a )()(2211j y i x j y i x j y y i x x )()(2121 即b a ),(2121y y x x ，同理可得b a ),(2121y y x x（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1)（3）若),(y x a 和实数 ，则),(y x a .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a )(yj xi yj xi ，即),(y x a三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB u u u r 的坐标.例2 已知a r =(2，1)， b r =(-3，4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4br 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB 得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=( 6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， 5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x ， y)=(0， 0)即： 054023y x ∴15y x ∴3F ( 5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21 MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB 2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：临清三中数学组 编写人：罗清华 审稿人： 刘桂江 李怀奎2.3.2平面向量正交分解及坐标表示胡各庄中学：吴晓晶课前预习学案一、复习回顾： 平面向量基本定理： 理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、提出疑惑：如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？课内探究学案一、探究学习1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a …………○1 我们把),(y x 叫做 ，记作),(y x a …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(y x .特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a = ，b a = .两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a )()(2211j y i x j y i x j y y i x x )()(2121 即b a = ，同理可得b a = .（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= .（3）若),(y x a 和实数 ，则),(y x a .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a )(yj xi yj xi ，即),(y x a二、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB u u u r 的坐标.例2 已知a r =(2，1)， b r =(-3，4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4b r 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， 5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.三、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21 MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB 2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则u u v OA =_______________，u u v OB =__________________。
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坐标，记作
y
a ( x, y)
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
CHale Waihona Puke AaD① j o i
B
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
概念理解 1．以原点O为起点
y
a
y
A
作 OA a，点A的
位置由谁确定?
j
O
由 a唯一确定.
x i a = xi + yj
OA = xi + yj
x
y
a
y
A
j
O
2．点A的坐标与向量 a 的坐标的关系？
向量 a
两者相同
一一对应
i
x
x
坐标（x ，y）
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、 c、 d ，并求出 b、
y B D A O x C
(1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
2 4 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
y C
解法２
A
B D O x
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和（差） a ( x1, y1 ) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
例３.如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，求 AB 的坐标。
解： AB OB OA
y
C
A
a
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i
x
B
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。
• 小结2 :
平面向量的坐标运算：
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用 F ，沿斜面下滑；一是木块产 1 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的 效果等价于F 和F2 得合力效果，即 G = F + F . 1 1 2
y
i, j 是分别与 如图， x轴、 y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
对于该平面内的任一向量 a，
C
A
a
D
j o i
x
B
i =（1，0） 有且只有一对实数x、y，可使 j =（0，1） a = xi + y j. （ 0， 0） 0 =
这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1 e1 +2 e2的形式
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
F 1 G
y
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
A B O x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标。
思考:你能在上图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的Ｐ点吗？
例2.已知 a (2,1), b (3, 4) ，求 a b, a b,3a 4b的坐标。
课题： 平面向量的正交分解及坐标表示
学习导航：平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可 以用平面的一组基底表示出来，以化归与转化为思想达到化 繁为简的目标；那么恰当的选择基底（尽可能特殊化的基 底），将带来更加便利的向量表示及运算。我期待 ing,你呢？……
昨天的记忆
平面向量基本定理：
如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对 实数1、2，可使 a 1 e1 +2 e2
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.如图，向量 e
1
直且长度分别为2，1的向量，向量 a 与 e 的夹角 1 是30°，且 a 4 ，以向量e , e2为基底，向量 a
1
,e 2
是两个互相垂
如何表示？
B
a
P A
e1
O
有何优越性？
若该题中的基底 e1 , e2的长度都为 1， a表示的结果是什么 ?
a ( x1, y1 )
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA 1 AA 2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
y B D A O x C
解法2解法2：由平行四边形法则可得
BD BA BC (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) (3, 1)
思考：已知 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ，你能得出 a b, a b, a
的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
例3.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。 解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) ( x, y ) (3 x, 4 y ) 且 AB DC
而 OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
小结1 :平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则 对于该平面内的任一向量 a ，