向量的正交分解(精)
向量的正交分解和坐标表示向量的坐标运算
向量减法
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则向量a减去向量b的结果为
(x1-x2,y1-y2)。
向量的模长与夹角
向量的模长
向量a的模长记作|a|，定义为√(x^2+y^2)。
向量的夹角
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a和b之间的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|，其中"·"表示向量的点乘运 算。
向量在几何中的应用
描述点与点之间的位置关系
通过向量表示，可以清晰地描述点与点之间的 位置关系，如距离、角度等。
描述运动和变化
向量可以表示物体的运动和变化，如速度、加 速度等。
描述力
向量可以表示力的大小和方向，用于分析力的合成与分解。
向量在物理中的应用
描述速度和加速度
向量可以表示物体在直线运动中的速度和加速度。
2023
向量的正交分解和坐 标表示向量的坐标运 算
https://
REPORTING
2023
目录
• 向量的正交分解 • 向量的坐标表示 • 坐标表示向量的运算 • 向量的正交分解与坐标表示的应用
2023
PART 01
向量的正交分解
REPORTING
正交分解的定义
01
正交基底
在二维平面中，选取两个不共线的非零向量e1和e2作为基底，任何向量a都可以 表示为e1和e2的线性组合，即a=xe1+ye2。
向量的坐标运算
向量加法
若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)， 则向量a和b的加法运算结果
为(x1+x2,y1+y2)。
向量数乘
实数k与向量a的数乘运算结果 为(kx,ky)。
向量的正交分解
向量的正交分解在线性代数中，向量的正交分解是一种将一个向量表示为一组正交向量的线性组合的方法。
正交分解在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍向量的正交分解的概念、原理和应用。
一、概念向量的正交分解是将一个向量表示为一组正交向量的线性组合的过程。
正交向量是指两个向量之间的夹角为90度，即它们的内积为0。
正交分解的基本思想是通过构造一组正交向量，将原向量表示为这组正交向量的线性组合。
正交分解的重要性在于它能够将一个向量的复杂性分解为一组简单的正交向量，从而简化计算和分析的过程。
二、原理1. 施密特正交化过程施密特正交化过程是一种常用的正交分解方法。
它的基本思想是通过逐步构造正交向量组来得到正交分解。
具体过程如下：（1）将向量组中的第一个向量作为正交向量组的第一个向量。
（2）对于向量组中的每个向量，将它与已经得到的正交向量组中的向量进行正交投影，得到与之正交的新向量。
（3）将得到的新向量归一化，作为正交向量组的新向量。
（4）重复步骤（2）和（3）直到得到所需数量的正交向量。
2. 正交矩阵正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量组成的向量组是正交向量组。
正交矩阵的性质是其转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
利用正交矩阵的性质，可以通过矩阵运算实现向量的正交分解。
三、应用1. 图像处理在图像处理中，向量的正交分解被广泛应用于图像的压缩和去噪等领域。
通过将图像表示为一组正交向量的线性组合，可以减少图像的冗余信息，从而实现图像的压缩。
同时，正交分解还可以用于图像的去噪，通过去除图像中与正交向量组的投影较小的成分，可以减少图像的噪声。
2. 信号处理在信号处理中，正交分解常用于信号的频域分析。
例如，傅里叶变换将信号分解为一组正交的复指数函数，从而得到信号的频域表示。
通过正交分解，可以分析信号的频谱特性，实现滤波、降噪等操作。
3. 机器学习在机器学习中，正交分解被广泛应用于特征提取和降维等任务。
正交分解法知识点总结
正交分解法知识点总结一、正交分解法的基本概念1. 正交化在线性代数中，对于一个向量空间内的一组基向量，我们可以通过一定的方法将它们转化为一组正交基，这个过程就称为正交化。
正交化的目的是为了使得基向量之间互相正交，也就是说它们的内积为零。
这样一组正交基向量就可以更容易地用来表示其他向量，比如说对于一个向量，我们可以将它在这组正交基上的投影相加得到原向量，而不需要进行繁琐的计算。
2. 单位化在将一组向量正交化之后，我们通常还需要将它们单位化，也就是说将它们的模长归一化为1。
这样一来，我们得到的一组正交单位向量就可以作为线性空间的一组标准正交基。
这样的基向量在表示其他向量的时候更加方便，也符合我们对于标准正交基的要求。
所以在正交化的过程中，单位化是一个必要的步骤。
3. 正交分解正交分解是指将一个向量表示为一组正交基上的线性组合的过程。
对于一个线性空间中的一个向量，我们可以将它在一组正交基上的投影相加得到原向量。
这样的表示方法在很多情况下是非常方便的，比如说在计算内积、求解线性方程组、进行特征值分解等问题时，我们可以借助正交分解的方法来简化运算。
二、Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的将线性无关向量集合正交化的算法。
它的基本思想是通过一系列的正交化和单位化操作，将原始的线性无关向量集合转化为一组正交基。
Gram-Schmidt正交化方法的具体步骤如下：1. 对于给定的一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}，首先取v1作为第一个正交基。
2. 对于第i个向量vi，将它在前i-1个正交基上的投影相减，得到vi的正交化向量ui。
3. 将ui进行单位化，得到第i个正交单位向量ei。
4. 重复上述过程，直到得到一组正交单位向量{e1,e2,…,en}。
Gram-Schmidt正交化方法的优点是它的思想简单，易于实现，而且对于实际应用中的大多数情况来说，它都能够得到不错的结果。
向量的正交分解及坐标运算
《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》 一、知识讲解：1、正交基底：2、正交分解：3、（x,y ）的意义：4、向量的直角坐标运算：向量OA ,OB ,OC ,终点A,B,C 三点共线，则满足：二、典型例题：例一、若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 用a ，b 表示为( )A.－12a ＋32bB.12a －32b-C.32a －12b D.－32a ＋12b例二、已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A.平行于y 轴B.平行于第一、三角限的角平分线C.平行于x 轴D.平行于第二、四象限的角平分线例三、已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________.例四、已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23例五、已知A(-2,1),B(1,3)求线段AB 中点M 和三等分点P 、Q 的坐标。
例六、已知平行四边形三个顶点坐标分别为A(-1,-2),B(3,1)C(0,2),求顶点D 的坐标。
三、课堂检测： 1.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( ) A.(1，－1) B.(－1,1) C.(－4,6) D.(4，－6)2.已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________.3.若向量|a|＝|b|＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求a 与b 的坐标.4.(1)已知平面上三点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →.(2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标.5.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,0)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝BD→|BD →|，则四边形ABCD 的面积是( )A.32B.3C.34D.32已知a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2),则向量： a+b = a-b= a= A=(x 1,y 1), B=(x 2,y 2),则向量AB =A,B 中点M 的坐标公式：→6.以原点O及点A(23，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B坐标及向量AB的坐标.。
空间向量的正交分解
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0 时， 的夹角在什么范围内？
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
z
a
A(x,y,z) O j y
k i x
三、空间向量基本定理
前面我们定义了空间向量的加、减 、数乘、数量积四 种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四 种运算来处理. 另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有 空间向 量基本定理，也就 是说： 已知三个不共面 向量 a 、 b、 c ，那么对于空间任一向量 p ，都存在有序实数组
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
THANKS
感谢观看
控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模。
下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!高考数学知识点之空间向量的.正交分解及坐标空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。
基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
课件6：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
例 3.已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，求点 C、 D 和C→D的坐标．
解:设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由题意可得 A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)， ∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A， ∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加减法及数乘运算.
知识梳理 1.向量的正交分解 (1)两个向量互相垂直： 如果两个向量的 基线 互相垂直，那么称这两个向量互相垂直． (2)正交基底： 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，那么称这个基底为正 交基底． (3)正交分解： 在 正交基底 下分解向量，叫做正交分解．
y 轴 上的坐标分量．
3．向量的直角坐标运算
(1)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) . (2)若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a－b＝ (a1－b1，a2－b2) .
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
课堂小结 1.在平面直角坐标系中，以 O 为起点的向量O→A＝a，点 A 的位 置被 a 唯一确定，此时 A 点的坐标与向量O→A的坐标相同． 2．向量用坐标表示，为表示向量 a 提供了另一种方法，使向量 a 与实数对(x，y)建立了一一对应关系．
3．点的坐标与向量的坐标的区别： 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点 在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等． 4．对符号(x，y)的认识：符号(x，y)在平面直角坐标系中具有双 重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量．为加以区分， 常说点 P(x，y)或者向量 a＝(x，y)，注意前者没有等号，后者有 等号.
正交分解定理
正交分解定理正交分解定理（Orthogonal Decomposition Theorem）是线性代数中的一个重要定理，其描述了一个向量空间可以表示为两个正交子空间直和的形式。
正交分解定理被广泛应用于信号处理、图像压缩和最小二乘解等领域。
在线性代数中，一个向量空间V的两个子空间U和W被称为正交的，如果对于U中的任意向量u和W中的任意向量w，它们的内积为零，即<u,w>=0。
正交的子空间意味着其中的向量在空间中是互相垂直的。
根据正交分解定理，对于任意一个向量空间V，它可以表示为两个正交子空间U和W的直和形式，即V=U⊕W。
其中，U是一个U空间的基的生成子空间，W是一个W空间的基的生成子空间。
直和符号⊕表示V中的任意向量可以唯一地表示为空间U和空间W中的向量的和。
正交分解定理的一个重要应用是最小二乘解（Least Square Solutions）。
最小二乘解是一种对于超定方程组的解的近似方法。
当一个方程组存在无解或者解不唯一的情况时，最小二乘解可以找到一个向量使得方程组的残差最小。
最小二乘解可以通过正交分解定理来推导。
设A为m×n的矩阵，其中m>n，对于任意向量b∈ℝ^m，我们希望找到一个解x∈ℝ^n，使得Ax≈b。
根据正交分解定理，我们将A分解为两个正交子空间的直和形式，即A=[U|W]，其中U∈ℝ^m×n，W∈ℝ^m×(m-n)。
则最小二乘解可以表示为x=(U^TU)^-1U^Tb。
在信号处理领域，正交分解定理被广泛应用于信号压缩和噪声去除等问题上。
对于一个信号，可以将其正交分解为不同频率的分量信号。
利用这种分解，可以将信号的主要信息保留下来，而滤除掉无关的噪声或者干扰。
例如，将一个音频信号进行正交分解，可以得到频谱图。
频谱图展示了信号在不同频率上的能量分布情况，可以帮助我们分析和理解信号的特性。
在图像压缩方面，也可以利用正交分解定理将图像分解为不同类别的子图像，然后根据子图像的重要性进行压缩，从而实现对图像的高效压缩和传输。
314空间向量的正交分解及其坐标表示精品PPT课件
使得. OQ xi+yj
从而OP OQ zk=xi+yj+zk.
k O
j
P
y
i
x
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空 间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k 上的分向量。
z
k O
j
P
y
i
x
Q
一、空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
d AB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
4.设 A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 )
则 AB ＝
，AB
．
AB的中点M的坐标为
．
例1.设 a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．
(1)若(k a ＋ b )∥( a－3 b)，求 k；
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 12ຫໍສະໝຸດ ,1 2,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M , N 分 别是 AB, PC 的中点,并且 PA AD ,求证:MN 平面PDC
向量正交分解的概念
向量正交分解的概念嘿，朋友！咱们今天来聊聊向量正交分解这神奇的玩意儿。
你想想，向量就像个调皮的小精灵，到处乱窜，让咱们有点摸不着头脑。
那这时候，正交分解就像是给这个小精灵套上了缰绳，让它乖乖听话。
啥叫正交分解呢？简单说，就是把一个向量拆分成几个互相垂直的向量。
这就好比你有一堆乱七八糟的积木，你把它们按照一定的规则整理摆放好，是不是一下子就清晰明了啦？比如说，一个力的向量，咱们给它正交分解一下。
就好像是把一个大力士的力量，按照不同的方向分解成几个小力士的力量。
这样一来，咱们就能更清楚地知道这个力在各个方向上的作用效果。
你看啊，生活中也有很多类似的情况。
就像你要去一个地方，路线很复杂，但是你把它分成几段不同方向的路，是不是就容易规划多啦？向量正交分解也是这个道理。
再比如说，一艘船在水里航行，受到水流、风力等等各种力的作用。
如果不进行正交分解，那简直就是一团乱麻。
但是一旦分解开，咱们就能清楚地知道每个力在水平和垂直方向上的影响，从而更好地掌握船的行驶情况。
这正交分解可不是随便乱分的哟！得保证分解出来的那些向量是互相垂直的。
这就像盖房子，柱子得垂直地面，不然房子能稳吗？而且啊，正交分解还有很多妙处呢。
它能让复杂的问题变得简单，让咱们更容易理解和解决。
这就好比在黑暗中给了你一盏明灯，照亮了前进的路。
你说，如果没有向量正交分解，那得多头疼啊？很多物理问题、数学问题都没法轻松搞定啦。
总之，向量正交分解就是咱们解决向量相关问题的一把利器，能让咱们在知识的海洋里畅游得更加轻松愉快！学会了它，就像是掌握了一门神奇的魔法，能把难题变得简单，把混乱变得清晰。
所以，好好掌握向量正交分解，让咱们在学习的道路上越走越顺！。
向量空间中的正交分解和选取正交基
向量空间中的正交分解和选取正交基在数学中，向量空间是一个非常基础的概念，它是一组向量和对这些向量进行加法和数乘运算所形成的集合。
对于一个向量空间，它的性质和性质的推导通常都和基向量有关系。
正交基是一种特殊的基向量，在向量空间中有着重要且应用广泛的意义。
本文将会介绍向量空间中的正交分解和选取正交基的概念与相关应用。
正交分解的概念一个向量空间中的任何向量都可以表示为一些基向量的线性组合。
即任何向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$$\mathbf{v} = c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + \cdots +c_n\mathbf{v_n}$$其中 $c_i$ 是标量，$\mathbf{v_i}$ 是基向量。
如果基向量与自身不同，则它们必须线性无关。
对于具有内积的向量空间，我们可以将这些基向量选取为正交基，即：$$\langle \mathbf{v_i},\mathbf{v_j}\rangle = \begin{cases}1&\text{if }i=j\\ 0& \text{if }i\neq j\end{cases}$$当一个向量空间有正交基时，我们可以通过计算线性系数来求解任意向量 $\mathbf{v}$ 在这组基下的坐标：$$c_i = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}$$利用这个公式，就可以将任意向量在正交基下的表示求出来。
如果我们将上面的公式代入到向量的线性组合公式中，可以得到一个被称为正交分解的式子：$$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}\mathbf{v_i}$$正交分解是一种分解向量的方式，它将一个向量分解为其在不同方向上的投影之和。
向量的正交分解 -回复
向量的正交分解-回复什么是向量的正交分解？向量的正交分解是将一个向量分解成两个正交向量的和。
在数学中，正交意味着两个向量的内积为零，或者说它们的夹角是90度。
假设有一个向量v，我们可以将它写成两个正交向量u和w的和，即v = u + w。
其中，u和w是正交的，即u·w = 0。
那么如何对一个给定的向量进行正交分解呢？接下来，我们将一步一步回答这个问题。
步骤1：计算正交向量的个数首先，我们需要确定正交分解的维数。
对于二维向量，我们只需要找到一个与给定向量正交的向量即可。
对于三维向量，我们需要找到两个与给定向量正交的向量。
以此类推，对于n维向量，我们需要找到n-1个与给定向量正交的向量。
步骤2：选择一个正交基选择一个正交基是进行正交分解的关键。
正交基是一组线性无关的向量，它们之间两两正交。
我们可以通过施密特正交化过程来构建一个正交基。
施密特正交化过程的步骤如下：a)取第一个向量作为第一个基向量，即u1 = v。
b)对于第m步，我们要找到一个与前m-1个基向量正交的第m个基向量。
我们可以通过以下公式得到每个基向量：um = vm - proj(u1, vm) - proj(u2, vm) - ... - proj(um-1, vm)这里，proj(u, v)表示向量v在向量u上的投影。
c)重复步骤b，直到得到需要的正交基为止。
步骤3：计算正交分解一旦我们有了正交基，我们可以使用线性组合的方法来计算正交分解。
假设我们选择了n-1个正交基u1、u2、...、un-1，我们可以将向量v写成以下形式：v = c1u1 + c2u2 + ... + cn-1un-1 + w，其中c1、c2、...、cn-1是标量，w是与所有正交基都正交的向量。
为了计算这些标量，我们可以使用以下公式：cm = (v·um) / (um·um)，其中·表示内积运算。
最后，将这些标量带入正交分解公式v = c1u1 + c2u2 + ... + cn-1un-1 +w，我们就得到了向量v的正交分解。
面向量基本定理及向量的正交分解
运动学中的位移、速度和加速度
02
位移、速度和加速度都是矢量，通过向量的运算可描述物体的
运动状态及变化。
动量定理和角动量定理
03
这两个定理都涉及到向量的运算，利用向量的性质可简化问题
的求解过程。
在工程中的应用
结构力学
在结构力学中，利用向量的合成与分解可分析结构的受力情况， 为工程设计提供理论支持。
机器人学
通过面向量的面积和法线向量可以将面向量转化 为向量。
在某些情况下，可以通过特定的运算将面向量和 向量进行相互转化。
PART 04
向量空间与基向量
向量空间的概念
向量空间定义
向量空间是一个满足特定性质的 数学结构，其中包括向量的加法 运算和数乘运算，这些运算满足 交换律、结合律、分配律等性质
。
向量空间的维度
正交基
在平面或空间中，一组线性无关的向 量，若它们两两正交，则称这组向量 为正交基。
正交分解的方法
投影法
利用向量投影的性质，将向量投影到 正交基上，得到对应的分向量。
坐标法
在正交坐标系中，向量的坐标值即为 对应分向量的模长，通过坐标运算可 实现正交分解。
正交分解的应用
简化向量运算
通过正交分解，可将复杂的向量 运算转化为简单的标量运算，提 高计算效率。
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REPORTING
2023 WORK SUMMARY
面向量基本定理及向 量的正交分解
汇报人：XX
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目录
• 面向量基本定理 • 向量的正交分解 • 面向量与向量的关系 • 向量空间与基向量 • 正交变换与正交矩阵 • 面向量基本定理及向量的正交分解的应用
PART 01
面向量基本定理
向量的正交分解(精)
四 、用平面向量坐标表示向量共线条件 探究五 共线向量如何用坐标来表示呢？
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那 么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ， 使 a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) 即 x1= λx2 y1= λy2
2、已知向量 AB ＝（6，1）， BC ＝（1 ,－3）， CD ＝（－1,－2）， 求向量 DA .
3.已知 a (1,2) b (2,3) x, y 满足等式 xa yb (3,4) 求 x, y
4 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内 所有向量的基底，正确的有（ ） （1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
3 若向量a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a / / b的充要条件是x1 y2 x2 y1 0
课后作业
（）平行四边形 1 ABCD中， AD （3， 7）， AB （ 2， 3）其对称中心为O，则CO （） 1 1 （A）（ ， 5） （B）（ ， 5） 2 2 1 1 （C）（ ， 5） （D）（ ， 5） 2 2
B2
A2
e2
y B
a
A x
O e A1 B1 1
设A、B的坐标 A（x1，y1），B(x2，y 2 )
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的终点的坐标减去始点的坐标。
探究二
当向量起点与原点重合 时，向量的坐标与终点A的 坐标有什么关系？
y A( a ,a ) 1 2
e2
a x
探究三
O e 1
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
向量的正交分解
解：设顶点D的坐标为（x, y)
AB (-1 - (-2),3 -1) (1,2)
B A DC (3 - x,4 - y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 - y) 1 2）（
C D x
x 2 1 3 - x 2 4 - y y 2 顶点D的坐标是（， 22 ）
→ → 【思路点拨】 A、 C 三点共线可转化成AB、 共 B、 AC 线，直接利用向量共线的条件来解．
小结：
• • • • 1.两个向量和与差的坐标分别等于_______ 2.数乘向量的积等于_______ 3.坐标平面内向量AB的坐标为_______ 4.用平面向量坐标表示向量共线条件_____
互动探究
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), A(x1,y1) 则 AB= OB - OA = (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)
y
B(x2,y2)
O x
结论： • 一个向量的坐标等于表示此向量终点的坐 标减去始点的坐标。
互动探究
例4：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶 y 点D的坐标。
• 教学目标 • 1.掌握向量的直角坐标运算，体会向量运算 代数化的优点 • 2.会用坐标表示向量共线的条件 • 教学重点 • 1.向量的直角坐标运算 • 2.向量共线的条件 • 教学难点 • 应用向量直角坐标的法则解决具体问题
互动探究
在平面上，如果选取互相垂直的向 量作为基底时，会为我们研究问题 带来方便。 y
a2
→ a
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解,
→ e2
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记以x轴的正半轴为始边，向量a的方向为 终边形成的角为θ，能否用θ的三角函数来表示 a1，a2？
例１ （1)已知O是坐标原点，点A在第一象限
OA 4 3, xOA 60, 求向量OA的坐标。 (2)已知O是坐标原点，点B在第二象限 OB 4 3, xOA 135, 求向量OB的坐标。 (3)已知O是坐标原点，点C在第四象限 OC 4, xOA 30, 求向量OC的坐标。
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4
)
课时小结
1 向量坐标定义
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 则 AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
2 向量的坐标运算 a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
向量的坐标运算
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) 则： a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a (x1 , y1 )
例3 在直角坐标系xoy中，已知点A、B的坐标 分别为 A（x1，y1），B（x2，y2） （1）求线段AB中点M和三等分点P，Q的坐标。 （2）求向量OA+OB的坐标。
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
例5 已知a (4, 2), b (6, y), 且a / / b，求y.
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2， 5），判断A、B、C三点的位置关系。
C B A
达标训练
1、若向量 a 的起点坐标为（3，1）,终 点坐标为（－3，－1）求 a 的坐标.
2、已知向量 AB ＝（6，1）， BC ＝（1 ,－3）， CD ＝（－1,－2）， 求向量 DA .
3.已知 a (1,2) b (2,3) x, y 满足等式 xa yb (3,4) 求 x, y
4 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内 所有向量的基底，正确的有（ ） （1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
四 、用平面向量坐标表示向量共线条件 探究五 共线向量如何用坐标来表示呢？
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那 么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ， 使 a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) 即 x1= λx2 y1= λy2
y
M ( x, y)
O
x
教学目标
知识与技能目标
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减 与数乘向量运算; ( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
过程与方法目标
(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分 解的几何意义; (2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
有且只有一对实数 a1 , a2 ，使
y A2 a
e2
B
a a1
e1
a2 e2
A
A1
x
a2 ）叫做向量a的坐标 （a1，
O e 1
其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量 ，a2叫 做向量a在y轴上的坐标分量。
练习：
e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
探究一
过向量的起点、终点分别做x轴y 轴的垂线，则坐标分量a1与向量 A1B1在x轴上的坐标有什么关系？坐 标分量a2与向量A1B1在x轴上的坐标 有什么关系？ 则向量的坐标为？
例2 已知向量a ( x 3, x 3x 4)与
2
AB相等，其中（， A 1 2），（ B 3， 2），求x.
三 、平面向量的坐标表示
探究四：平面向量可以用坐标表示，向量的运
算可以用坐标来运算吗？
如何计算？
（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
B2
A2
e2
y B
a
A x
O e A1 B1 1
设A、B的坐标 A（x1，y1），B(x2，y 2 )
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的终点的坐标减去始点的坐标。
探究二
当向量起点与原点重合 时，向量的坐标与终点A的 坐标有什么关系？
y A( a ,a ) 1 2
e2
a x
探究三Байду номын сангаас
O e 1
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、 C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3， 4），求顶点D的坐标
练习 已知a (2,1), b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
解： a b (2,1) (3, 4) （ 1， 5） a b (2,1) (3, 4) （5， 3） 3a 4b 3(2,1) 4(3, 4) （ 6， 19）
情感、态度与价值观目标
通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
教学重点
向量的直角坐标运算
教学难点
应用向量直角坐标运算的法则解决 具体问题
知识链接
1、平面向量基本定理的内容是什么？ 2、什么是平面向量的基底？
平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不 共线的向量，那么对于这一平面内的 任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2 向量的基底: 不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一 平面内所有向量的一组基底.
调用几何画板
课前预习
一.向量正交分解的概念:
如果两个向量的基线互相垂直，则称 这两个向量互相垂直
如果基底的两个基向量 e1 , e2 互相垂 直，则称这两个基底为正交基底。 在正交基底下分解向量,叫做正交分解。
二 、平面向量的坐标表示
在直角坐标系xoy内，分别取与x 轴、y 轴方向
相同的两单位向量 e1 、 e2 作为基底,则任一向量 a