向量的正交分解(精)

y
M ( x, y)
O
x
教学目标
知识与技能目标
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减 与数乘向量运算; ( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
过程与方法目标
(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分 解的几何意义; (2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
2、已知向量 AB ＝（6，1）， BC ＝（1 ,－3）， CD ＝（－1,－2）， 求向量 DA .
3.已知 a (1,2) b (2,3) x, y 满足等式 xa yb (3,4) 求 x, y
4 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内 所有向量的基底，正确的有（ ） （1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
例5 已知a (4, 2), b (6, y), 且a / / b，求y.
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2， 5），判断A、B、C三点的位置关系。
C B A
达标训练
1、若向量 a 的起点坐标为（3，1）,终 点坐标为（－3，－1）求 a 的坐标.
四 、用平面向量坐标表示向量共线条件 探究五 共线向量如何用坐标来表示呢？
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那 么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ， 使 a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) 即 x1= λx2 y1= λy2
有且只有一对实数 a1 , a2 ，使
y A2 a
e2
B
a a1
e1
a2 e2
A
A1
x
a2 ）叫做向量a的坐标 （a1，
O e 1
其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量 ，a2叫 做向量a在y轴上的坐标分量。
练习：
e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
探究一
过向量的起点、终点分别做x轴y 轴的垂线，则坐标分量a1与向量 A1B1在x轴上的坐标有什么关系？坐 标分量a2与向量A1B1在x轴上的坐标 有什么关系？ 则向量的坐标为？
情感、态度与价值观目标
通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
教学重点
向量的直角坐标运算
教学难点
应用向量直角坐标运算的法则解决 具体问题
知识链接
1、平面向量基本定理的内容是什么Hale Waihona Puke Baidu 2、什么是平面向量的基底？
平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不 共线的向量，那么对于这一平面内的 任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2 向量的基底: 不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一 平面内所有向量的一组基底.
记以x轴的正半轴为始边，向量a的方向为 终边形成的角为θ，能否用θ的三角函数来表示 a1，a2？
例１ （1)已知O是坐标原点，点A在第一象限
OA 4 3, xOA 60, 求向量OA的坐标。 (2)已知O是坐标原点，点B在第二象限 OB 4 3, xOA 135, 求向量OB的坐标。 (3)已知O是坐标原点，点C在第四象限 OC 4, xOA 30, 求向量OC的坐标。
调用几何画板
课前预习
一.向量正交分解的概念:
如果两个向量的基线互相垂直，则称 这两个向量互相垂直
如果基底的两个基向量 e1 , e2 互相垂 直，则称这两个基底为正交基底。 在正交基底下分解向量,叫做正交分解。
二 、平面向量的坐标表示
在直角坐标系xoy内，分别取与x 轴、y 轴方向
相同的两单位向量 e1 、 e2 作为基底,则任一向量 a
向量的坐标运算
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) 则： a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a (x1 , y1 )
例3 在直角坐标系xoy中，已知点A、B的坐标 分别为 A（x1，y1），B（x2，y2） （1）求线段AB中点M和三等分点P，Q的坐标。 （2）求向量OA+OB的坐标。
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4
)
课时小结
1 向量坐标定义
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 则 AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
2 向量的坐标运算 a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
B2
A2
e2
y B
a
A x
O e A1 B1 1
设A、B的坐标 A（x1，y1），B(x2，y 2 )
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的终点的坐标减去始点的坐标。
探究二
当向量起点与原点重合 时，向量的坐标与终点A的 坐标有什么关系？
y A( a ,a ) 1 2
e2
a x
探究三
O e 1
例2 已知向量a ( x 3, x 3x 4)与
2
AB相等，其中（， A 1 2），（ B 3， 2），求x.
三 、平面向量的坐标表示
探究四：平面向量可以用坐标表示，向量的运
算可以用坐标来运算吗？
如何计算？
（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、 C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3， 4），求顶点D的坐标
练习 已知a (2,1), b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
解： a b (2,1) (3, 4) （ 1， 5） a b (2,1) (3, 4) （5， 3） 3a 4b 3(2,1) 4(3, 4) （ 6， 19）