全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全之欧阳数创编
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 试题
2021年全国高考数学试题分类汇编 圆锥曲线制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一局部，选择题。
1． (2021全国卷Ⅰ文第6题) 双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，那么该双曲线的离心率为〔 〕〔A 〕23〔B 〕23 〔C 〕26〔D 〕332 2 (2021全国卷Ⅰ理第6题) 双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，那么该双曲线的离心率为 〔 〕〔A 〕23〔B 〕23 〔C 〕26〔D 〕332 3. 〔2021全国卷II 文第5题〕抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，那么点A 与抛物线焦点的间隔 为 ( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 54.(2021全国卷II 文第6题) 双曲线22149x y -=的渐近线方程是( )(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±5. (2021全国卷II 理第6题) 双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，那么1F 到直线2F M 的间隔 为 ( )(C)65(D)566. (2021全国卷III 理第9题，文第9题) 双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=那么点M 到x 轴的间隔 为〔 〕〔A 〕43 〔B 〕53〔C〕3 〔D7. (2021全国卷III 理第10题，文第10题) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是〔 〕〔A〕2 〔B〕12〔C〕2〔D1 8. 〔2021卷第11题〕 双曲线的中心在原点，离心率为3.假设它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，那么该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的间隔 是〔 〕A ．23+6B ．21C ．21218+D ．219.〔2021卷第6题〕抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的间隔 为1，那么点M 的纵坐标是 ( ) ( A )1617 ( B ) 1615 ( C ) 87( D ) 0 10. 〔2021卷第11题〕 点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为( )( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2111. 〔2021卷第5题〕假设焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，那么m= ( )〔Ａ〕3 〔Ｂ〕32 〔Ｃ〕83 〔Ｄ〕2312. 〔2021卷理第9题，文第9题〕 假设动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，那么x22y 的最大值为 ( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ；(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ；(C) 442+b ；(D) 2b 。
高考数学圆锥曲线大题集大全
⾼考数学圆锥曲线⼤题集⼤全⾼考⼆轮复习专项：圆锥曲线⼤题集1. 如图，直线l1与l2是同⼀平⾯内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平⾯上的⼀个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.2. (Ⅰ建⽴适当的坐标系，求动点M的轨迹C的⽅程．(Ⅱ过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ中的轨迹C于E、F两点；另外平⾯上的点G、H满⾜：求点G的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中⼼是坐标原点，焦点在轴上，离⼼率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的⽅程.3. 已知椭圆的⼀条准线⽅程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的⼀条渐近线⽅程为3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的⽅程及双曲线C2的离⼼率；（Ⅱ）在第⼀象限内取双曲线C2上⼀点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：4. 椭圆的中⼼在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜⾓为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹⾓为 a.（1）⽤半焦距c表⽰椭圆的⽅程及tg;（2）若2 <3 ，求椭圆率⼼率 e 的取值范围 .5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离⼼率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的⽅程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直⾓坐标平⾯中，的两个顶点的坐标分别为，，平⾯内两点同时满⾜下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹⽅程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7. 设，为直⾓坐标平⾯内x轴．y轴正⽅向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y的轨迹C的⽅程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满⾜(1直线AB过点（0，3），(2若，则OAPB为矩形，试求AB⽅程．8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C的准线与直线的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的⽅程；（Ⅱ）求实数p的取值范围；（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的⼀个焦点和⼀条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹⽅程．9. 如图，椭圆的中⼼在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝|AA1|.椭圆的⼀条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离⼼率e的取值范围.10. 已知三⾓形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的⼀个端点（点A在y轴正半轴上）.若三⾓形ABC的重⼼是椭圆的右焦点，试求直线BC的⽅程;若⾓A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹⽅程.11. 如图，过抛物线的对称轴上任⼀点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.(1 设点分有向线段所成的⽐为，证明:;(2 设直线的⽅程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的⽅程.12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.（1）证明：l经过⼀个定点⽽且与曲线C⼀定有两个公共点；（2）若（1）中的其中⼀个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；（3）设直线AP的倾斜⾓为，AP与l的夹⾓为，证明：或是定值.13. 在平⾯直⾓坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为、，动点满⾜，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的⾯积为，（1）求曲线C的⽅程；（2）求的值。
圆锥曲线大题20道(含答案)之欧阳体创编
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(时间：2021.02.03创作：欧阳体（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x（Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k 即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A BA B A x x k x x k kx kx x x y y x x于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22ax ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea -设M 的坐标是00(,),x y所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e aλλλλ所以 解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l ，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即.||211c PF =设点F1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1⊥l ，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x c e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得 由|PF1|=|F1F2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是3112=-=e λ 即当32=λ时，△PF1F2为等腰三角形.3.设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM=，其中M （0，3），求线段AB 的长.[启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，即232222c ba ca =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223ba=，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点. （1）求抛物线的方程；（2）若FP •=0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM=-λ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且3,OF FP t OM OP j ⋅==+ . （I ）设4t OF FP θ<<求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=.（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅ （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全(供参考)
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若MP AM =. 求证：.0=•AB MN4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tan α;（2）若2<tan α<3，求椭圆率心率e 的取值范围.5. 已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆交于C D 两点 问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总
在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上， 离心率为 两点，且 △ ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 。
2 。 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31． ［2010 年高考全国新课标文数第 5 题］ 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为 （ A） 6 （B） 5 （C）
∆ ABP 的面积为
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
29． ［2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题］ 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍， 则 C 的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 30． ［2011 年高考全国新课标理数第 14 题］ （D）3
1 3
（B）
1 2
（C）
2 3
（D）
3 4
7． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题］
8． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题］
1
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9． ［2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题］
63 32
D. 9
4
15． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题］ 已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2，则 a = （ a2 3
）
16． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题］
2
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
高考数学圆锥曲线试题汇编 试题
2021年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线〔2021文数〕23〔此题满分是18分〕此题一共有3个小题，第1小题满分是4分，第2小题满分是6分，第3小题满分是8分.椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.〔1〕假设点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标； 〔2〕设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .假设2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；〔3〕设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是〔-8，-1〕，假设椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标. 解析：(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x p x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)， 那么212102221201022212x x a k p x a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．〔2021文数〕19.〔本小题满分是13分〕为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系〔图4〕。
圆锥曲线的焦半径公式之欧阳道创编
圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。
利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
1.椭圆的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0.(2) 若P(x 0,y 0)为椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0.2.双曲线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为双曲线22x a -22y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.(2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a.3.抛物线的焦半径公式(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2p(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2pp (3) 若P(x0,y0)为抛物线x2=2py(p>0)上任意一点，则PF= y0+2p (4)若P(x0,y0)为抛物线x2=-2py(p>0)上任意一点，则PF= -y0+2不能，请说明理由.(答案：点P不存在)。
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集1.如图,直线l 1与12是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A,点B 、D 在直线1 i 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在1i 上的射影点是 N,且|BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程.(II)过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上 的点G H 满足:uuur UULT uuur 2G H;?GH EF 0.L 1 2 b 的一条渐近线万程为 3x- 5y=0.(I)求椭圆C 的方程及双曲线 C 的离心率;(n)在第一象限内取双曲线 C 2上一点P,连结AP 交椭圆G 于点M,连结PB 并延 长交椭圆C 于点N,假设AM MP .求证：MN ?AB 0.4.椭圆的中央在坐标原点 O,右焦点F(c,0 )到相应准线的距离为1,倾斜角为45 的直线交椭圆于 A, B 两点.设AB 中点为M,直线AB 与OM 的夹角为 a.(1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tanC ■— C 2 - 2 uuur uuur uuur UULTAG AD(R); ?GE GF22(2)假设2<tan <3,求椭圆率心率e的取值范围.X 2 y 2 • 62 "e、,, 一 一5 .椭圆a b (a>b>0)的离心率3,过点A (0, -b)和B (a, 0)的、.3直线与原点白距离为方 (1)求椭圆的方程(2)定点E (-1 , 0),假设直线y = kx + 2 (k 手0)与椭圆交于 C D 两点 问： 是否存在k 的值,使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由 6 .在直角坐标平面中,ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为A( 1.),B(1,0),平面内两点G ,M 同时满足以下条件:(1)求ABC 的顶点C 的轨迹方程;(2)过点P (3,°)的直线l 与(1)中轨迹交于E ,F 两点,求PE PF 的取值范围7 .设x ,y R, 7为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向量,假设a xi (y 2)j,b xi (y 2)j ,且 |a| |b| 8(I)求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；(n)设曲线C 上两点A B,满足(1)直线AB 过点(0, 3), (2)假设而5A OB,那么 OAP 的矩形,试求 AB 方程.28 .抛物线C ： y m(x n),(m °,n °)的焦点为原点,C 的准线与直线1 :kx y 2k 0(k 0)的交点M 在x 轴上,l 与C 交于不同的两点 A B,线段AB 的 垂直平分线交x 轴于点N (p, 0).(I)求抛物线C 的方程; (II)求实数p 的取值范围;(田)假设C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线,试求 Q 的短轴的端点的① GA GB GC 0 ；②MA MB MC;③ GM // AB轨迹方程.9.如图,椭圆的中央在原点,长轴AA在x轴上.以A、A i为焦点的双曲线交椭圆于1 AEC、RD、G四点,且|CD| =5|AA i|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E,设EC2 3当3 4时,求双曲线的离心率e的取值范围., 2 210 .三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x 5y 80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程；假设角A为900, AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.211 .如图,过抛物线x 4y的对称轴上任一点P(0,m)(m.)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.uum uuur uuu uuu⑴设点P分有向线段AB所成的比为,证实：QP (QA QB)；(2)设直线AB的方程是x 2y 12 0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C 的方程.2p p pI12 .动点P (p, -1 ), Q (p, 2 ),过Q作斜率为2的直线l , P Q中点M的轨迹为曲线C.(1)证实：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；(2)假设(1)中的其中一个公共点为A,证实：AP是曲线C的切线；(3)设直线AP的倾斜角为,AP与l的夹角为,证实:是定值.13 .在平面直角坐标系内有两个定点F1、F 2和动点P, F 1、F 2坐标分别为F 1( 1,0)、|PF i |2F2(1,0),动点P 满足1PF 21 2 ,动点P 的轨迹为曲线C ,曲线C 关于直线y x 的对 称曲线为曲线C',直线y x m 3与曲线C'交于A 、B 两点,O 是坐标原点,△ ABO 的面积为用, (1)求曲线C 的方程；(2)求m 的值.1(a 0,b 0)的左右两个焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线右支上.3,41 16(丁,三时,PF 1 PF2,求双曲线的方程; (U )假设1 PF 1| 3|PF 21,求双曲线离心率,的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程22x y15 .假设F 1、F 2为双曲线a bOF 1 OM(曰二M)( 0)OF I OM I(1)求该双曲线的离心率；(2)假设该双曲线过 N (2,6),求双曲线的方程；(3)假设过NI (2, ^3)的双曲线的虚轴端点分别为 B 1、B 2 (B 1在y 轴正半轴上), 点A 、B 在双曲线上,且B 2AB 2B,求B I AB I B时,直线AB 的方程.uuu uuur uuir16 .以O 为原点,OF 所在直线为x 轴,建立如 所示的坐标系.设OF?FG 1,点F的坐标为(t ,0) , t [3,),点G 的坐标为(x 0,y 0)o(1)求X .关于t 的函数x 0 f ⑴的表达式,判断函数f ⑴的单调性,并证实你的判断；S 31 tUULT(2)设AOFG 勺面积 6 ,假设以O 为中央,F 为焦点的椭圆经过点 G,求当|OG|取最小值时椭圆的方程;22x y14.双曲线/ /(I)假设当点P 的坐标为1的左右焦O 为坐标原点,P 在双曲线的左支F 1O PM ,OP上,点M 在右准线上,且满足;9 一一(0 _)uuir UULT (3)在(2)的条件下,假设点P的坐标为,2 D是椭圆上的两点,且PC PD( 1),求实数的取值范围.2 217.点C为圆(x 1)y 8的圆心,点A (1, 0), P是圆上的动点,点Q在MQ AP 0, AP 2AM .(I)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;‘(n)假设直线v kx々F与(I)中所求点二f 弋的轨迹交于不同两点F, H, O是坐标原点, 、一)2 ———— 3—OF OH且3 4 ,求^ FOH的面积的取值范围.18 .如下图,O是线段AB的中点,|AB| =2c,以点A为圆心,2a为半径作一圆, 其中a c.(1)假设圆A外的动点P到B的唧离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系, A OB求动点P的轨迹方程,并谕明轨条是何种曲线；(2)经过点O的直线l与直线AB成60°角,当c = 2, a=1时,动点P的轨迹记为E,设过点B的直线m交曲线E于M N两点,且点M在直线AB的上方,求点M到直线l的距离d的取值范围2 219 .设O 为坐标原点,曲线x y 2x 6y 1 0上有两点P 、Q 满足关于直线X my 4 0对称,又以PQ 为直径的圆过O 点.(2)求直线PQ 的方程.r - r _20.在平面直角坐标系中,假设 a (x M ,y),b (X 二,y),且(i )求动点Q(x ,y )的轨迹C 的方程;(2)定点P(t ,0)(t 0),假设斜率为1的直线।过点P 并与轨迹C 交于不同的两点uumuur uurA ,B,且对于轨迹C 上任意一点M ,都存在 [.,2 ],使得OM cos OA sin OB成立,试求出满足条件的实数 t 的值.F 是双曲线的右焦点.(I)求证：PF± l ;(II )假设APQF 为等边三角形,且直线 y=x+b 交双曲线于A, B 两点,且AB <30 求双曲线的方程；(III )延长FP 交双曲线左准线11和左支分别为点 M N,假设M 为PN 的中点,求双 曲线的离心率e .22 .又曲线 口力 在左右顶点分别是 A, B,点P 是其右准线上的一点,假设点A 关于点P 的对称点是M,点P 关于点B 的对称点是N,且M N 都在此双曲线 上.(I)求此双曲线的方程；(II )求直线MN 的倾斜角.23 .如图,在直角坐标系中,点 A (-1,0),B (1,0),P (x,y)(y 0).设 AP 、OP 、BP 与x 轴正方向的夹角分别为 a 、B 、丫,假设.(1)求m 的值; 2x221.双曲线 a2L 1 b 2(a>0,b>0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于两点P 、Q,(I )求点P 的轨迹G 的方程;(II )设过点C (0,-1 )的直线l 与轨迹G 交于不同两点 M N .问在x 轴上是 否存在一点E X 0,0 ,使4MN 由正三角形.假设存在求出x .值；假设不存在说明理由. 22八x y24 .设椭圆•不b 2 a 过点M 媚,1 ,且焦点为F l 42,0. (1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P 4,1的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A 、B 时,在线段AB 上取点Q,MN 2NP(1)求动点N 的轨迹E 的方程;(2)过定点C( c,0)(c 0)任意作一条直线l 与曲线E 交与不同的两点A 、B,问在x 轴上是否存在一定点Q ,使得直线AQ 、BQ 的倾斜角互补？假设存在,求出 Q 点的坐 标；假设不存在,请说明理由.3127.如图,直角梯形 ABC 冲,/ DAB 90 , AD// BC, AB=2 AD=2 , BC=2 椭圆F 以A 、B 为焦点,且经过点 D,(I )建立适当的直角坐标系,求椭圆 F 的方程;满足 uun uuurAPgQB uur um AQ gPB,证实：点Q 总在某定直线上.25.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A (1, 0)、B (0, — 2),点C 满足OC OA OB,其中 R,且(1)求点C 的轨迹方程;(2)设点C 的轨迹与双曲线22xy2 221(a 0,b 0)交于两点 M N,且以MN 为直径?』为定值的圆过原点,求证：a 2 b 226.设旭0), M 、P 分别为x 轴、y 轴上的点,且PM ?PF 0,动点N 满足:(II)是否存在直线l与椭圆F交于M、N两点,且线段MN的中点为点C ,假设存在, 线I的方程；假设不存在,说明理由B (- c , 0),C (c, 0), AHL BG 垂H,且BH 3HC .(1)假设AB AC=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭离心率;(2) D分有向线段AB的比为,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,7当一5W < 2时,求椭圆的离心率e的取值范围.29.在直角坐标平面中, ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A( 1,0), B(1,0)内两点G,M同时满足以下条件:(1)求ABC的顶点C的轨迹方程;(2)过点P(3,0)的直线I与(1)中轨迹交于E,F两点,求PE PF的取值范围答案:1.解：(I)以A点为坐标原点,l1为x轴,建立如下图的坐标系,那么D(1, 0),B(4, 0),设M (x, y),那么N (x, 0).「|BN|=2|DM| ,「• |4 -x|=2 V(x -1)2+y2 ,整理得3x2+4y2=12,「•动点M的轨迹、〒…x2 y2 万程为4^+ 3 =1 . 求直28.如下图,① GA GB GC 0 ；②MA MB MC;③ GM // AB足为uuur uuur(n )..AG AD( R),uuui uuur uuur・•・A 、D G 三点共线,即点G 在x 轴上；又「 GE GF 2GH ,,H 点为线段EF 的中 uuur uuui点；又... GH EF 0,点G 是线段EF 的垂直平分线GHf x 轴的交点. 设 l : y=k(x -1)(k 才 0),代入 3x2+4y2=12 得(3+4k2)x2 -8k2x+4k2-12=0,由于 l 过点 D(1, 0)是椭圆的焦点,••• l 与椭圆必有两个交点,设 E(x1 , y1) , F(x2 , y2) , EF 的中点 H 的坐标为(x0, y0),••・线段EF 的垂直平分线为 y — y0 = — : (x — x0),令 y=0 得, k一八中—3k2 4k2 k2 点G 的横坐标xG = kyO+x .= 淑3 +不而=诉2 13= - ----------- - . 4 4(3+4k2), .・ k*0,k2>0, •.3+4k2>3, 0</,»<1(3+4k2)3xG= 7 —: c 、(0,3) 4 4(3+4k2)' ' 4.••点G 的横坐标的取值范围为(0, J ). 4 3 3 ec a2.解：:2 ,22,22〜由a b c 得 a 2bx1+x2=8k2 3+4k2 x1x2=4k2 —12 3+4k2x0=-- 2x1+x2 4k2 -3k至,y °=k(x°T 尸=,1 3 4 < — 4(3+4k2)2 设椭圆的方程为4b 2 y 1(b 0)2 一2 ,2即x 4b 4yb y b)设M (x,y)是椭圆上任意一点,那么| PM .2 2 , ~ 2 — 2| x (y 3) 3(y 1) 4b212 y b)b,那么当y1时, 2|PM |max 4b212由有4b212 16,得b 1；b时, |PM Lax b26b 9 由有b26b 9 16,得b 7 (舍去).综上所述,b所以,椭圆的方程为3.解:(I )由「•椭圆的方程为2 x25(n)由(i)2 acba2c254352a b2解之得：,双曲线的方程.二双曲线的离心率A (—5, 0),B (5, 0)345MP得M为AP的中••.P点坐标为(2x0 5,2y.) 将M p坐标代入c1、c2方程得2 2x°N O25 9(2x0 5)252y oc 2消去 y0 得 2x0 5x0 25 0 x—或 x 0解之得 25(舍)由此可得P (10, 3 3) 当P 为〔10, 3J3)时 PB3、. 3 10(x 5) Spy335(x 5) 代入25 1 得:2x 215x 25x5或5(舍)X N X N X M MN ±x 轴即 MN AB4.解: (1) 由题意可知c 1,那么 a 2c ,___ _所以椭圆方程为2 x ~~2~ c 设"“,丫1〕,3仁2,丫2〕,将其代入椭圆方程相减,将 y 1 y 2 1 与 k oMy 〔 y 2 X 1 X 2 X1X2代入可化得(2)假设 2<tan <3,2 c —23, 1 c 2,那么 e ccac c 2 c..2 .6、 (—,—)235.解：〔1〕直线AB 方程为: bx-ay-ab =0c 6 a 3 ' ab依题意a 2b 2椭圆方程为〔2〕假假设存在这样的解得k 值,由kx 2,23y 2 3.得(1 3k 2) x 212kx 9 0 _2 _____ _ 2(12k)36(1 3k ) 0X i X2设C(X1 , Y i) D(x2 , y2), X i X2i2ki 3k2'9I~2i 3k2而y i Y2 (kX i 2)(kX2 2) 2k X1X22k(X i X2) 4要使以CD为直径的圆过点E(-i , 0),当且仅当CE!DE时,y i y2 i 那么X i 1 X21,即Y i Y2 (X i i)(X2 i) 02 _(k i)x i X2 2(k i)(X i X2) 5 0将②式代入③整理解得7经验证,k I使①成立综上可知,存在,使得以CD为直径的圆过点E 6.解：〔i〕设C〔X,y〕G(X0, y0), M(X M ,y M ).MA 由又GA MBA( i,0), B(i,0), GB GC 0 M点在线段AB的中垂线上XM 0；又GM // AB ,2X顶点C的轨迹方程为yM y.〔2〕设直线l方程为: k(X3), E(X i, y i) F(X2, Y2)k( X 2 y3 3)消去y得:k23X26k2X 9k2X i X26k2k 3 , X i X29k2k2PF PE PF cos0 PE PF i k2,i k2 3 x2由方程①知2226k2 4 k223 9k23 >0 k2<7.解：解：令 M (x, y), F I (0, 2), F 2 (0,2)即 |F I M | |F ?M | 8k ;,5•. x 1 x 2 y 1 y 2得k V二+土工口,y -x 3 所求直线万程为4m准线方程x 4 n 且有m=4n.kx y 2k 02 22得k x(II )由 y 4(x 1)4(k 2 1)x 4(k 2 1) 0 (k 0)32 .k 0, 0 v kv 8 ,k 2 3 3,27————一PE PF888 8,7•••准线与直线l 交点在X 轴上,交点为(j 0)又1与x 轴交于〔—2, 0), m=4, n=1 「•抛物线方程为y2=4 (x+1)那么 a F I M ,b F 2 M即 |a| |b | | F 1 M |IF 2M I又..F I F24 2C_ .212所求轨迹方程为2 y16 2—112〔n 〕解：由条件〔 2) 可知OA 坏共线,故直线 AB 的斜率存在设AB 方程为ykx 3, A(x i , y i ), B(X 2, y 2)y kx 322y x1那么16 12,〜2(3k 22-4)x 218kx 21 0「OAPB^矩形,OAL OBOA OB8.解：〔I 〕由题意,抛物线顶点为〔一0), 又「焦点为原点, m> 0一2一p 2 2(1k )2. 得p 2 k 2k 2+OO )・•. x= —2是Q 的左准线,a2=b2+c2=x2+y222x y…- -二-二 1-设双曲线的方程为a 2b 2,将) , 、 y ・••AB 的中垂线方程为21 2(1 k )人丁[x —尸」],令yk kAE为C 、D 到x 轴的距离) ECc c - ____ 2_ c( 2) h X E,y E 1 2( 1)1c( 2) h 即E 点坐标为(2(1)'(III ) .•.抛物线焦点F (0, 0),准线 x= —2设Q 的中央为O' (x, 0),那么短轴端点为(土x, V ) 假设F 为左焦点,那么c=x>0, b 二|y|2a—c依左准线方程有 c2即(x>0)假设F 为右焦点,那么xv0, 故 c=—x, b=|y| a2=b2+c2=x2+y22ac依左准线方程有c22x y / 、 ——(x)即 x 「化简得 2x2+2x+y2=04(x I)2 2y 2 即 2(xv0, y 乎0)x 9.解：建立如原题图所示的坐标系,那么 AB 的方程为30 y20 ............................. (20 &)设P 点的坐标为(,3).那么长方形面积S (100 x) ? [80(20 i,由于点P 在AB 上,可2x—)](0 x 30). 3c ae 代入方程,得2 2 2空工 1c 2 b 2 Vr-) 日工 1 e 2(__2)2 (—)2h 2 1 1代入①式,整理得4亍,4( 1)(1)『两式作差有(X 1 X 2)(X 1 X 2)(y 1 y 2)(y 1 y)2016X 0 y 0 k 5 4(1)X 1 X 2 2F(2,0)为三角形重心,所以由3,得X0 3y 〔 V2 4 0由 3得y 02,… / 6代入(1)得 5直线BC 的方程为6x 5y 28 02)由 AB,AC 得为小 Y I Y 2 14(Y I V2) 16 0(2)22设直线BC 方程为y kx b ,代入4x 5y 80 ,得2 2 2 _(4 5k )x 10bkx 5b 80 04b 2 80k 224 5k 代入(2)式得- 2 - 9b 32b 16 c,40 b［,得 2 e 2消去■ e 2 1,所以2e2 e2 由于3 ■3,故 7 4e 2 107e 10.10.解: 1)设 x1, y 1),C( x 2y 2),BC 中点为(X0, y0),F(2,0)2X12 y1那么有20 16 221^ I, 2016C(c,h),E(c(一2),- 将 22( 1)X I X 210kb 4 5k 2 , X I X 25b 2 80 4 5k 28k 4 5k 2,y*即 9y 2 9x 2 32y 16 0QP (QA QB) 2m [必y 2 (1 )m]QP (QA QB).x 2y 12 0,〔2〕由x 2 4y, 得点A ,B 的坐标分别是〔6, 9〕、〔一 4, 4〕 1 2 1-x , y -x,4 2所以抛物线x 2 4y 在点A 处切线的斜率为y x6 3222设圆C 的圆心为〔a,b 〕,方程是〔xa 〕 〔yb 〕 r ,b 91,a 633 232125那么(a 6)2 (b 9)2 (a 4)2 (b 4)2.解得 a 3 b 曰,r 丁直线过定点〔0, 9 ,设 D (x,y )所以所求点 D 的轨迹方程是(y16、28)20 2(y) (y 4)11.解：〔1〕依题意,可设直线 一、一一. , ......... . 2AB 的方程为y kx m ,代入抛物线方程x4y 得2x 4kx 4m 0.设A ,B两点的坐标分别是〔x1,y J 、〔x2,y2〕,那么为总是方程①的两根所以x1x24m.—X1 x 2 0 即由点p 〔0,m 〕分有向线段AB 所成的比为,得1’x 1X2又点Q 与点P 关于原点对称,故点Q 的坐标是〔0,m 〕,从而QP(0,2m)x x 22m(x 1 x 2)x 1x 2 4m 4x 22m(x 1x 2)4m 4m4x 20.所以由-4y/ 3、2 / 23 0 125 (x -) ( V ---- ) --- , 2 2___ ________ _那么圆C 的方程是 2 2 2 (或x y 3x 23y 72 0.)2Px 4 0,其中△ =4p2+16,所以l 经过一个定点而且与曲线一定有两个公共点.—2—(p p 2 4)2(2)由 x 2 2Px 4 0,设 A ( p ' 0'4),(P "2 4)2 1k Ap -------------------- 4==——P VP 2 4 那么 J p 4 =2,2xxp . p 4__ y ］一 ........................... ....... 人一,一 -------- 二 -- -一__ 一又函数 4的导函数为 2 ,故A 处的切线的斜率也是 2,从而AP 是曲线C 的切线.对于另一个解同样可证.12.解：〔1〕直线l 的方程是,即y i x1,经过定点〔0,又 M (p,2P4 ),设x= p , y= 4 ,消去p,得到的轨迹方程为:2x y了 p d y x 1 由 2 有(3)4,(p . p 2 4)2 )时, tanp p 2 42tan 2 d p . p 21 -------------2p24p 22 p 2 4tantan =1,又易知与都是锐角,所以=90° ;. p p 2 4, 当A ((p . p 2 4)2〕时,tanp 2 4213.解：〔i 〕设P 点坐标为〔x ,y 〕,那么22-所以曲线C 的方程为〔x3〕 y 8；〔2〕曲线C 是以〔3,°〕为圆心,2/为半径的圆,曲线C'也应该是一个半径为2V2的圆,点〔3,0〕关于直线y x 的对称点的坐标为〔°,3〕,所以曲线C'的方程为2_ 2一x (y 3)8该圆的圆心〔0, 3〕到直线y x m 3的距离d 为 d l0 ( 3) m 3| |m|d.22 Qy i ( i) ,4 22mm172,或2,3,41 16、,3.41 16(c ----------- , —)(c --------- ,—14.解：(I)(法一)由题意知,PF 15 5,PF255/ 3 41. / 3.41、/ 16.2 八■ ■ ■■( c ---------- ) (c ---------- ) ( —) 0PF 1 PF 2, PF 1 PF 2 0,(5 5 5( 1 分)a 3,b 42L解得c 25,c 5.由双曲线定义得：|PF 11 |PF 21 2a ,4tanP 、P 2 4 p2 2 P , P 2 4 p1 -------------------- ----2 22 p .. p 2 4tan tan =-1 ,又易知 是钝角, 都是锐角,所以=90° .总之 或 是定值.(x 1)2 ,(x 1)2y 2 二,.22y ,化简得(x 3)8,所以,m 无,或mV14o2a3-415)2(16、2)(53. 41216〕〔5〕；(41 3)2(. 41 3)26〔法二〕因PF 1 PF 2,由斜率之积为1,可得解.(II)设 IP' I 「1,严2|「2此时双曲线的渐进线方程为 (法二)设 F 1PF 2,(0,]. 时r 1r 2 2c,且0 3r 2,2c 4r 22a r 1r 22r 2〔2〕当 〔0,〕,由余弦定理得2c r 2 .. 10 6 cos . 10 6 cose ---- -------------------------- -------------------2a 2r 2 2cos 〔1,1〕, e 〔1,2〕,综上,e 的最大值为2,但e 无最小值.〔以下法一〕一 OF 1 OM_0P ()PM知四边形PF 10M 为平行四边形,:l 0F 1l l 0M l(0),OP 平分/ F 10M ,,平行四边形PFOM 为菱形,又; 0F 1 cPF j C,|PM| C, e 4 e 2 0,e 22 x2(2) e 2c 2a .•.双曲线的万程为a2\ 1,其过点 N 〔2「.3〕,3a所求双曲线4y- 19〔 法一〕设 P 的坐标为 〔x,y 〕, 由焦半径公式得r 1 | a ex | aex ,r 2 | a ex | exr 1 3r 2, a ex 3(ex a), x -------------------------c2a 2a, 一 ce的最大值为2,无最小值2 2c - b . c a 2,- ------------------止匕时a a a,e 21 、.3 e此时2c 4r 2 2a 2 r 215.解：〔1〕由 F 1O〔3〕依题意得B©3〕,B 2〔0, 3〕,...B 2AB 2B, A 、B ?、B 共线,不妨设直线AB 为:y kx 3y=kx-3,A(x i ,y i ),B(x 2,y 2),那么 有 2匕i9 ,得〔3.2、 2k )x 6kx i8 0 ,由于1的渐进线为出时,AB 与双曲线只有一个交点,不合题意, 亚.•・ xiX 26k3 k 2 , X i ?X 218 c cy i y 2 ------------------------- 2,y i ?y 2 93 k 2又 B i A (X i,y i 3), B i B gy 3) ,所求的直线 AB 的方程为y . 5x 3, y .. 5x 3 uum uuuri6.解：(i)由题意知 FG (x ° t,y o ),OF 〔t,.〕,那么 uuur uuirOF ?FG t(x . t)i,x o t函数f ⑴在［3,〕是单调递增函数. 〔证实略〕〔4分〕,S (2)由 i uuur 2|OF ||y 0|y . f(t) t因uuu 2 ,|OG|点小 : (t ；)23i 9 i :在［3,〕上是增函数,当t 3时, uuir |OG| -io F(3,0),G(T,依题意椭圆的中央在原点,一个焦点 F 〔3, 0〕,设椭圆方程为 2 2x y —2 i(a a bb 0)由G 点坐标代入与焦点 F 〔3, 0〕, 可得椭圆方程为:2xi8(9分)uuir 9 uur 9(3)t5 c(x ,y),D(m ,n),那么 PC (x ,y ]),PD (m,n £),win 99 PD, (x, y -)(m,n -)22 ,13 5 13 5-------- Q |n | 3, | -------- 1 4 ,又 41[-,1〕U 〔1,5] 那么实数的取值范围为5o17.解：〔1〕由题意MQ1线段AP 的垂直平分线,于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 我>|CA|=2,于是点Q 的轨迹是以点C,A 为焦点,半焦距c=1,长半轴a=J 2的椭圆,短半轴b <a 22x 2 .y 1 点Q 的轨迹E 方程是：2 . c 2 1, (2)设F ( x1, y1) H (x2, y2),贝由 y kx 消去 y 得(2k 21)x 2 4k/lx 2k 20,,k 2 1 28k 0( k 0)又点O 到直线FH 的距离d=1,18.解：〔1〕以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,那么 A (-c, 0), B (c, 0) 依题意：|PA| 2a |PB|,|PA| |PB| 2a 2c ・,点P 的轨迹为以A 、B 为焦点,实半轴为a,虚半轴为Uc 2 a 2的双曲线右支 2 24 T-2 1(x a)「•轨迹方程为：a c a . (2)法:设 M ( x 1 , y1) , N ( x 2 , y 2)uui r PC由x m, y因点 C 、D 在椭圆上,代入椭圆方程得, 22m n18 9/ 9 9.2(n — —)2 2 1822yx — 1(x 1)3, l的方程为y 、3x22yx —3 y k(x•.・直线m:y k(x 2)与双曲线右支交于不同的两点.. x 1x2及 x 1x 2,从而 k 233x 2 3k ------------------ 3( x 2)由①得 x 4x 45 x 解得 4且x 2x (5 x1(,当x = 2时,直线m 垂直于x 轴,符合条件,,4,X 2 1) 323 d(x)-- 设 22—[5,)x 与y Mx 1均为区间4 的增函数.[5,),d(x)在4 单调递减x 2 1设直线m 的方程为 y k(x 2)2_2 (k 3)x .2. 24kx 4k 3 0 4k 24k 2 3x 1 x 22-(k 3 0)d又设M 到l 的距离为d,那么I 3x iyiI由方程组 2),消去y 得X ix [51) 4 由于函数y-5、 ,3 d (一)—・•.d(x)的最大值=44一 ,一― x i (5, ) d 而M 的横坐标 4 ,.二 法二：l ：g ^x 为一条渐近线①m 位于l 1时,m 在无穷远,止匕时d 05 3 3…,、। t M (-,——).②m 位于l 2时,4 4 , d 较大y 3(x 2) 2 x 2 — 1 由 35 3、,3、 一(1 ~r) 点M 4 4d .3d —42x 6y 1 0表示以(13)为圆心,以3为半径的圆,圆上两点P 、Q 满足关于直线x m y 4 0对称,那么圆心(13)在直线x my 4 0上, 代入解得 m 1.(2)直线PQ 与直线y x 4垂直,所以设PQ 方程为y x b P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2) ,.22将直线y x b 与圆的方程联立得2x 2(4 b)x b 6b 1 0 由 0,解得2 3<2 b 2 3超又「lim xd(x)lim,3 21 2x *x 1,3(0R )19.解:又以PQ 为直径的圆过O 点OP OQ x i x 2 y i y 2 0解得 b 1 〔2 3<,2,2 342〕.故所求直线方程为x y 1 0. - -r । r20.解：〔i 〕•••a〔x百,y〕b〔x后丫〕,且 ab 4,・•.动点Q 〔x ,y 〕到两个定点E 〔m ,0〕,3〔直0〕的距离的和为4,2__ 七 2・•・轨迹C 是以F 1〔m,0〕,F 2〔出,0〕为焦点的椭圆,方程为了 y2-y 2 1(2)设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线 AB 的方程为 y x t,代入 4--__ 2_2.消去 y 得 5x 8tx 4t 4 0,x 1 x 2 b 4,x 1x 2b 2 6b 1X I x 2且8t一,X 1X254t 2 4 5- y 〔y 2 (X I t)(x 2 t)t 2 45uuuu uur设点 M (x, y),由 OM cos OA sin uuuOB 可得x x 1 cos x 2 sin y y 1 cosy 2 sin•・•点 M(x ,y)在C 上, , 2,2 2 • 4 x 4y(X I cos x z sin ) 4(y 〔cos 2y z sin )• 2sin cos (x 1x 2 4y l y 2) 0 又由于［0,2 ］的任意性,・•. X 1X 2 4y l y 2 0, 4t 2 4 4(t 2 4) 0 _j0.•.5 5 ,又t 0, 得t 2 , ■、石.10代入t 2检验,满足条件,故t 的值是2e= 522.解：(I)点A 、B 的坐标为A (-3, 0), B (3, 0),设点P 、M N 的坐标依次为9. 18 c9 人p<-r t)r 十3口口 N (；6c ccl : y b x,c a 221.解：(1)不妨设 a b 2a 2 a 2 ab l 2 :x —, p.(——,)c c c, F.(c,0) 设l 的斜率为K,PF 的斜率为k 2. ab c 2a—— c k2= c ab%7a , b,k1k2= —1.即 PF 71 l . (2) 由题a.3,a.3 —b. 3y :2 x 1 h 2 _ b3 b,2y- 1b 2X I x 2 x2 -bx-b2=0,x 1x 2b b 2• • a=1,「•双曲线方程为1.(3) l:PF y= “x 一 bc)M(/ 2a(abcc 2) X P X N 2 3a 2 c 2a(3a bc c 2) )9a 22又N 在双曲线上.二. c2a 2 c 3a (—c1,e 一, a②4-①得"二,解得c=5亡一亡二】故所求方程是.-—=(3--)3 -l |t|=-^S(II )由②得,16 5 Jd £一....... 皿一两代一「0所以,M N的坐标为 5 , 5K-MK _= ：t = ±2而12 4T所以MN的倾斜角是.「二.,「！」.K23.解：(I )由x 0,当x 1时,当x 1时,P 1,亚,也满足方程<1>-2 2 …八-、••.所求轨迹G方程为3x y 1(y 0, x 0)(II )假设存在点Ex.,0 ,使MN E为正△2 2设直线i方程：y kx 1代入3x y 1(x 0 y 0)_ .2 2 〜一一得.3kx 2kx 2 0F,上 F 2 2,MN 中点 3 k 3 k—|MN EF在正△EMN^, 2.二不存在这样的点E X0, 0 使4MN时正△24.解:(1)由题意:2c2F a2c212a b2解得4,b2 2所求椭圆方程为2y_万X1 X2 X1 X212k2 1 2k2uuuAPuurQBuur uuuAQ PBuuuAPuuAQuuuPBuurQB X1X1X04 X2X0 X2化简得：8X0 4 X o X1X22X1X2°,8X0 4 X016k2 4k2k2 132k2 16k2k2 1去分母展开得:化简得：2X04k kX02X0解得:X0 4又「Q在直线y 1y.1 2X0-------- X0X0 4 V. 1 1 2X0即2X0y c 2 0,Q恒在直线2X0上.25.解：(1)解：设C(x,y),由于OC OA OB,那么(x,y) (1,0) (0, 2)即点C 的轨迹方程为x+y=1P 〔0,a PM 26.解：〔1〕设 N 〔x ,y 〕,那么 2、M 〔 x ,〕, 又 PM PF 0 , 2yx —— 40 2 / ,即 y 4x 〔2〕设直线l 的方程为：y 假设存在点Q 〔t ,0〕满足题意, y 24x y k(x c),即 k 2x 22 0 k AQx i x 2 c ,又 y . t) y 2(x i t) (x, /)、PF (1, -y) 2 2k(x c), A(x i -yi )> B(x 2,y 2) 那么 k AQ k BQ- 2 _ 2(ck 2)xk BQ 弋 x 1 t k(x 1 c)(x 2 k[2x i x 2 (c t)(x ix 2) 2ct] 0 y 2 x 2 t °, 0, xi y i (x 2 t) 2x 1x 2 由于k 0,那么 (c 对不同的k 值恒成立,2(ck 2 2)x 2 -------------- 2 ----------k,y 2(x t) (x i t)(x 2 t) k(x 2 c)(x 1 t)(x i x 2) 2ct 2c 2 ck 2 2 9 t x e L (c故存在点Q 〔c ,0〕符合题意2ct t)27.解：〔I 〕以AB 中点为原点O, AB 所在直线为那么 A (-1,0) B(1,0)D(-i,t) t) (c 2 k 2设椭圆F 的方程为a2yb 2(a 2(ck 22) t)^^ 0 0对不同的k 值恒成立,x 轴, 32)b 0)建立直角坐标系,如图232二(1) 212,21ab2 2得a b 1得 4a 4 17a 2 4 0a 2 14b 2所求椭圆F方程4(n)解：假设存在这样的直线不垂直x轴故所求直线(n)解法2y132y13 两式相减得X1 X2一y2得X1 X2设l方程y代入42 y_Tl方程k(x 1)得(3 4k2)X28k q1 2k)X 4(k -)212N(X2,y2)X1有2X218k(k 万)3 4k2, 1 一一一X点C(1,—)在椭圆—2 42:假设存在这样的直线l122(X1 X2 )4一y2有X1 X22点C在椭圆—又4 28.解：(1)由于BH 3HC 1 2 23(y1 y2) 03 X14 y内部X2V2斜率为1 ,、内部M (X i, y1)、N (X2, y2)故所求直线l方程£,0所以H 2,又由于AFUBC,所以设c一,y0A2,由AB AC 0 得一c -c23 2 c亍y 0c亍y 0y ；-c 22 2 即 4 所以|AB|二 2 23c 3c - 一 一 3c 2 4 , |AC | = 3c 2 __ c 4 椭圆长轴 2a = |AB| + |AC| =( 工3+ 所以, (2)设 D (x1 , yi),由于D 分有向线段通的比为,所以 X iV 0 1-设椭圆方程为 2 yb 2 = 1 (a > b > 0),将A 、D 点坐标代入椭圆方程得 2y1 『12 _ 2 e (1 2 ) 4 (1 2 V . 由①得b 2 )22 V 0b 2 由于 了,代入②并整理得 7e 2 5< <〞所以 f-3,所以与29.解:(1) 设 C(X , y) , G(X °, y °), M (X M , Y M ). MA 由 又GA MBA( 1,0), B(1,0), GB GC 0 M 点在线段AB 的中垂线上 X M 0 ；又 GM // AB , yMy.2X顶点C 的轨迹方程为(2)设直线l 方程为: k(x3),E(X 1,y 1)F(X 2,y 2)k(x 2 y 3 3) 消去y 得:k 2 3x 2 6k 2x 9k 2X 1X 2 6k 2k 3 ,X 1X29k 2 k 2PF PE PF cos0 PE PF1 k 2,1 k 2 3 x 2由方程①知22 26k 24 k 223 9k 23>0 k 2v227 一— 88 k 3 3,—— PE PF 8,—894 5k 2,解得b 4ctr^93 2 -k 0, 0 v k v 8 ,。
全国高考数学试题分类汇编9圆锥曲线
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（ 高考江西卷（理））过点2,0)引直线l 与曲线21y x =+A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD =++3B ．3C ．3D ．3【答案】B2 ．（ 普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 C 25D 45【答案】C 3 ．（ 普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．2145x -=B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．2125x =【答案】B4 ．（ 高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)5,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（ 高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（ 高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B 3C ．1D 3【答案】B7 ．（ 普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D 8 ．（ 普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 3则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 9 ．（ 普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B OxyA BF 1F 210．（ 普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B 2C 2D ．2【答案】D11．（ 高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=3,则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y =2C ．12y x =±D ．2y x = 【答案】B 12．（ 普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A 3B 3C 23D 43【答案】D13．（ 高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 14．（ 普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（ 上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】C 16．（ 普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．524-B 171C ．622-D 17【答案】A 二、填空题 17．（ 普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±= 18．（ 高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________ 【答案】619．（ 高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___. 【答案】320．（ 高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,2BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________ 46. 21．（ 普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（ 普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（ 普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.324．（ 普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________ 31-25．（ 高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于___9_____. 【答案】9 26．（ 普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5727．（ 上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28y x =的准线方程是_______________【答案】2x =- 28．（ 普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（ 普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F 为抛物线xy C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题 30．（ 上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程. [解](1) (2)【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即7k =故直线l 的方程为710x -=或710x -=.31．（ 高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:222212414121123333a PF PF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,2a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率22c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为350,2⎛ ⎝(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即660,x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝. 又350,2⎛-⎝满足()22102318y x --=,故66x ⎛∈ ⎝. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则135,22y ⎛∈ ⎝. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,66x ⎛∈ ⎝,135,22y ⎛∈ ⎝ 32．（ 普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,3,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==32 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=(Ⅱ)由题意可知:11||||PF PM PF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PMPF ⋅,设00(,)P x y 其中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠,所以034m x =,而0(2,2)x ∈-,所以33(,)22m ∈- (3)由题意可知,l 为椭圆的在p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:0014x x y y +=,所以004x k y =-,而0012,33y y k k x x ==+-,代入1211kk kk +中得 001233114()8x x kk kk x x +-+=-+=-为定值.33．（ 高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(3,0)F ,过F 的直线3x =-C 1交于2(3,),与C 2交于(3,(31))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为3x =; (2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,221k <+化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点, 即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” . 34．（ 普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（ 高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l . (I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <; (II)若点M 到直线l 75,求抛物线E 的方程. 【答案】解:(Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、, 的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（ 普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=;(Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为21d k =+,所以直线1l 被圆224x y +=所xOyBl 1l 2 PDA（第21题图）截的弦222234241k AB dk+=-=+;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以2222222816481||(1)4(4)4D P k k k x x DP k k k k ++=-∴=+=+++,所以 2222222211234818434843||||224443131ABDk k k k S AB DP k k k k∆+++⨯+==⨯⨯==+++++2222232323216131313431321343434343k k k k k ==≤=+++++++, 当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立,此时直线110:12l y x =±- 37．（ 普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（ 普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（ 高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,3的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=23当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M 211k =+,解得2k =当k 2时,将22y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x 462-±2121||k x x +-=187.当k 2时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=2340．（ 普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 43(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.【答案】41．（ 高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（ 普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=32.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由02322c --=0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 43．（ 普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】44．（ 高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:21λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=222A y a m k ⇒=+ 同理可得,222B y a n k=+又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+, Ox yBA 第21题图CDMN即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+= ∴当12λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当112λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45．（ 高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即3m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||322OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46．（ 高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点. 【答案】解:(Ⅰ)A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（ 普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（ 普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 的两个交点间的距离为6. (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF ,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（ 上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =： 的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax x y y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年全国高考数学试题分类汇编圆锥曲线第一局部，选择题。
1．(2021全国卷Ⅰ文第6题)双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，那么该双曲线的离心率为〔〕〔A 〕23〔B 〕23 〔C 〕26 〔D 〕332 2(2021全国卷Ⅰ理第6题)双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，那么该双曲线的离心率为〔〕〔A 〕23 〔B 〕23 〔C 〕26 〔D 〕332 3.〔2021全国卷II 文第5题〕抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，那么点A 与抛物线焦点的 间隔为()(A)2(B)3(C)4(D)54.(2021全国卷II 文第6题)双曲线22149x y -=的渐近线方程是()(A)23y x =±(B)49y x =±(C)32y x =±(D)94y x =±5.(2021全国卷II 理第6题)双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，那么1F 到直线2F M 的间隔为()(C)65(D)566.(2021全国卷III 理第9题，文第9题)双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=那么点M 到x 轴的间隔为〔〕〔A 〕43〔B 〕53〔C 〕233〔D 〕37.(2021全国卷III 理第10题，文第10题)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是〔〕〔A 〕22〔B 〕212-〔C 〕22-〔D 〕21- 8.〔2021卷第11题〕双曲线的中心在原点，离心率为3.假设它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，那么该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的间隔是〔〕A ．23+6 B ．21 C ．21218+D ．219.〔2021卷第6题〕抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的间隔为1，那么点M 的纵坐标是()(A)1617(B)1615(C)87(D)010.〔2021卷第11题〕点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为()(A)33(B)31(C)22(D)2111.〔2021卷第5题〕假设焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，那么m=()〔Ａ〕3〔Ｂ〕32〔Ｃ〕83〔Ｄ〕2312.〔2021卷理第9题，文第9题〕假设动点(x ,y )在曲线14222=+b y x (b >0)上变化，那么x 22y 的最大值为()(A)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ；(B)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ； (C)442+b ；(D)2b 。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)之欧阳术创编
2018年数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠. 已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x=t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，）.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>. 设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=2841kmk -+，x1x2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121kk +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 2016年数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
2.设椭圆的中心是坐标原点，核心在 轴上，离心率 ，已知点 到那个椭圆上的点的最远距离是4，求那个椭圆的方程.
3.已知椭圆 的一条准线方程是 其左、右极点别离
是A、B；双曲线 的一条渐近线方程为3x－5y=0.
（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，假设 .求证：
答案：
1.解：(Ⅰ)以A点为坐标原点，l1为x轴，成立如下图的坐标系，那么D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），
则N（x，0）.
∵|BN|=2|DM|，
∴|4－x|=2 ,
整理得3x2+4y2=12,
∴动点M的轨迹
方程为 .
(Ⅱ)∵
∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵ ∴H点为线段EF的中点；又∵ ∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。
20.在平面直角坐标系中，假设 ，且 ，
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）已知定点 ，假设斜率为 的直线 过点 并与轨迹 交于不同的两点 ，且关于轨迹 上任意一点 ，都存在 ，使得 成立，试求出知足条件的实数 的值。
21.已知双曲线 （a>0,b>0）的右准线 一条渐近线 交于两点P、Q，F是双曲线的右核心。
又
， 极点 的轨迹方程为 .
(2)设直线 方程为： ， ，
由 消去 得： ①
，
而
由方程①知 ＞ ＜
， ＜ ＜ ， .
7.解：解：令
则 即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全之欧阳科创编
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集时间：2021.02.05 创作：欧阳科2.如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D在直线l1上(B、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：求点G的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.A DMBNl2l1（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB 中点为M，直线AB与OM的夹角为 a.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan;（2）若2<tan<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7. 设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若，则OAPB为矩形，试求AB方程．8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C的准线与直线的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）求实数p的取值范围；（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝|AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离心率e的取值范围.10. 已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 11. 如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；（3）设直线AP的倾斜角为，AP与l的夹角为，证明：或是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为，（1）求曲线C的方程；（2）求的值。
圆锥曲线经典题目(含答案)之欧阳物创编
圆锥曲线经典题型时间：2021.02.07 命题人：欧阳物一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞） D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A． B．C． D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|P F1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞） D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A． B．C． D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是20 ．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF 交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．时间：2021.02.07 命题人：欧阳物。
圆锥曲线练习题(附答案)之欧阳地创编
圆锥曲线时间：2021.03.04创作：欧阳地一、填空题 1、对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25其中所有正确命题的序号为_____________.2、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足021=⋅PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为3.若0>m ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为.4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为． 5、已知点P是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是．6. 在ABC 中,7,cos 18AB BC B ==-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =．7.已知ABC ∆的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC的中点，AB和AC边上的中线交于G，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为8.离心率35=e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是.9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________;10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为. 11、抛物线)0(12<=m x m y 的焦点坐标是. 12.已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||OA 为.14.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =． 二.解答题15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-.（Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.16、已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。
圆锥曲线硬解定理之欧阳道创编
圆锥曲线硬解定理时间：2021.03.06 创作：欧阳道圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理，其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时∆、x1+x2 、x1• x2及相交弦长的简便算法。
适用领域范围：标准双曲线与抛物线定理内容若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:其中，△‘为一与△同号的值，定理说明:1.应用该定理于椭圆时,应将代入。
2.应用于双曲线时,应将代入,同时不应为零,即ε不为零。
3.求解y1+y2与y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。
定理补充联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。
其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。
这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
1.若曲线与直线y=kx+相交于E、F两点,则:这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。
由这个公式我们可以推出：2.若曲线为椭圆则3.若曲线为双曲线则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：联立两方程得……（二次式子）（*）所以x1+x2=……①，x1x2=……②；所以|x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。
时间：2021.03.06 创作：欧阳道。
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高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集时间：2021.03.02创作：欧阳数2.如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C 于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：求点G的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.A DMBNl2l1（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan;（2）若2<tan<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7. 设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若，则OAPB为矩形，试求AB方程．8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C 的准线与直线的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）求实数p的取值范围；（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝|AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离心率e的取值范围.10. 已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.11. 如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；（3）设直线AP的倾斜角为，AP与l的夹角为，证明：或是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为、，动点满足，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为，（1）求曲线C的方程；（2）求的值。
14. 已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.15. 若F、F为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足；.（1）求该双曲线的离心率；（2）若该双曲线过N（2，），求双曲线的方程；（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B、B （B在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且时，直线AB的方程.16. 以O为原点，所在直线为轴，建立如所示的坐标系。
设，点F的坐标为，，点G的坐标为。
（1）求关于的函数的表达式，判断函数的单调性，并证明你的判断；（2）设ΔOFG 的面积，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G ，求当取最小值时椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为，C、D是椭圆上的两点，且，求实数的取值范围。
17. 已知点C 为圆的圆心，点A（1，0），P 是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，且，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a 为半径作一圆，其中。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距A O B离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a ＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E 于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。
19. 设O为坐标原点,曲线上有两点P、Q满足关于直线对称，又以PQ为直径的圆过O点.（1）求的值; （2）求直线PQ的方程.20. 在平面直角坐标系中，若，且，（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值。
21. 已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。
（I）求证：PF⊥；（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。
22. 已知又曲线在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P 关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。
（I）求此双曲线的方程；（II）求直线MN的倾斜角。
23. 如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。
设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若。
（I）求点P的轨迹G的方程；（II）设过点C（0，-1）的直线与轨迹G交于不同两点M、N。
问在x轴上是否存在一点，使△MNE为正三角形。
若存在求出值；若不存在说明理由。
24. 设椭圆过点，且焦点为。
（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B 时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上。
25. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN 为直径的圆过原点，求证：. 26. 设，、分别为轴、轴上的点，且，动点满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、，问在轴上是否存在一定点，使得直线、的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.27. 如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=椭圆F以A、B为焦点，且经过点D，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；（Ⅱ）是否存在直线与两点，且线段，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.28. 如图所示，B（– c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足为H ，且．（1）若= 0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；C BD（2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当―5≤≤时，求椭圆的离心率e的取值范围．29. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围答案：1.解：(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），则N（x，0）.∵|BN|=2|DM|，∴|4－x|=2(x－1)2+y2 ,整理得3x2+4y2=12,∴动点M的轨迹方程为x24+y23=1 .(Ⅱ)∵∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G 是线段EF 的垂直平分线GH 与x 轴的交点。
设l ：y=k(x －1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l 过点D(1，0)是椭圆的焦点，∴l 与椭圆必有两个交点，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF 的中点H 的坐标为（x0，y0），∴x1+x2= 8k23+4k2 ，x1x2= 4k2－123+4k2 ，x0= x1+x22 = 4k23+4k2 ，y0=k(x0－1)= －3k3+4k2 ，∴线段EF 的垂直平分线为y － y0 =－1k(x －x0)，令y=0得，点G 的横坐标xG = ky0+x0 = －3k23+4k2 + 4k23+4k2 = k23+4k2= 14 －34(3+4k2)， ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<1(3+4k2) <13 ，∴－14 <－34(3+4k2)<0，∴xG= 14 －34(3+4k2)(0，14）∴点G 的横坐标的取值范围为(0，14）.2.解：∵，∴由得∴设椭圆的方程为（）即（）设是椭圆上任意一点，则（）若即，则当时，由已知有，得；若即，则当时，由已知有，得（舍去）.综上所述，，.所以，椭圆的方程为.3.解：（I）由已知∴椭圆的方程为，双曲线的方程.又∴双曲线的离心率（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）设M得M为AP的中点∴P点坐标为将M、p坐标代入c1、c2方程得消去y0得解之得由此可得P（10，当P为（10，时 PB：即代入MN⊥x轴即4.解：（1）由题意可知所以椭圆方程为设，将其代入椭圆方程相减，将代入可化得（2）若2<tan<3，则5.解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0依题意解得∴椭圆方程为（2）假若存在这样的k值，由得∴①设，，，则②而要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即∴③将②式代入③整理解得经验证，，使①成立综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 6.解：（1）设，点在线段的中垂线上由已知；又∥，又，顶点的轨迹方程为.(2)设直线方程为：，，由消去得：①，而由方程①知＞＜，＜＜，. 7.解：解：令则即即又∵∴所求轨迹方程为（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在设AB方程为则∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB∴得所求直线方程为…8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0准线方程且有m=4n. ∵准线与直线交点在x轴上，交点为又与x轴交于（－2，0），∴m=4，n=1∴抛物线方程为y2=4（x+1）（II）由∴－1＜k＜1且k≠0∴AB的中垂线方程为得∴p∈（2，+∞）（III）∵抛物线焦点F（0，0），准线x=－2∴x=－2是Q的左准线设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（±x，y）若F为左焦点，则c=x＞0，b=|y|∴a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有即y2=2x （x＞0）若F为右焦点，则x＜0，故c=－x，b=|y|∴a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有即化简得2x2+2x+y2=0即（x＜0，y≠0）9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB的方程为由于点P在AB上，可设P点的坐标为则长方形面积化简得易知，当（21）解：设A（－c,0）,A1(c,0)，则（其中c 为双曲线的半焦距，h为C、D到x轴的距离）即E点坐标为设双曲线的方程为，将代入方程，得①将代入①式，整理得消去由于10.解：1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有(1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得由得，代入（1）得直线BC的方程为2)由AB⊥AC得（2）设直线BC方程为，得，代入（2）式得，解得或直线过定点（0，，设D（x,y）则即所以所求点D的轨迹方程是。