高中物理竞赛(动量)(学生)

动 量

一.冲量、动量定理

1.冲量：I =Ft ，相当于F -t 图象的面积。

2.动量定理：Ft =mv 2-mv 1(是矢量关系)。

3.动量定理的推广：∑∑=v m t F ??。

1. 如图所示,水平面上有二个物体A 和B ,质量分别为m A =2Kg,m B =1Kg,A 与B 相距一定的距离,A 以v 0=10m/s 的初速度向静止的B 运动,与B 发生正碰后分开,分开后A 仍向原方向运动,已知A 从开始

运动到停下来共运动6s 时间.求碰后B 能滑行的时间.(略去A 、B 的碰撞时间,A 和

B 与地面之间的动摩擦因数都为0.1,重力加速度g =10m/s 2)

2. 以速度大小为v 1竖直向上抛出一小球,小球落回地面时的速度大小为v 2,设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比,求小球在空中运动的时间.

3.质量为m 的均匀铁链,悬挂在天花板上,其下端恰好与水平桌面接触,当上端的悬挂点突然脱开后,求当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力.

4一根均匀柔软绳长为L ,质量为m ,对折后两端固定在一个钉子上.其中一端突然从钉子

上脱落,如图所示.求下落端的端点离钉子的距离为x 时,钉子对绳子另一端的作用力.

5如图所示,质量为M 小车在光滑的水平面上以v 的速度向左作匀速直线运动.一质量为m 的小球从高为h 处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h ,小球与小车碰撞时,小球受到小车的弹力

N >>mg ,小球与小车间的动摩擦因数为μ,求小球弹起后的水平速度。

二.动量守恒定律：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2'.

6.光滑水平面上有一平板车，质量为M ,上面站着质量为m 的人,共同以v 0的速度前进,若人相对于车以v 的水平速度跳出，求下列情况下人跳出车后车的速度大小。

（1）人向后跳出。（2）人向前跳出。

1.当速度方向不在一直线上时的动量守恒：正交分解

7、如图所示，光滑水平面上有一长为L 的平板小车,其质量为M ，车左端站着一个质量为m 的人,车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（对地）。

8、 有一个质量及线度足够大的水平板,它绕垂直于水平板的竖直轴以角速度ω旋转.在板的上方h 处有一群相同的小球

(可视为质点),它们以板的转轴为中心、R 为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示数线密度).现让这些小球同时从静止状态开始自由落下,设每个球与平板发生碰撞的时间非常短,而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变,仅是方向相反.而在水平方向上则会发生滑动摩擦,滑动摩擦系数为μ.（1）求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比1k 。

(2)如果2ωμg R <（g 为重力加速度）且2

11=k ，求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比2k 。

2.当外力不零时的动量守恒：当物体间作用时间极短时，可忽略外力的冲量，动量守恒

9、质量为m 的重锤从高为H 处自由下落,打在质量也为m 的木桩上,设重锤与木桩为完全非弹性碰撞(碰撞后速度相同),

木桩受到地的阻力与木桩进入地内的深度成正比，即f =kx (k 为已知的常数，x 是木桩打入地内的深度)，设每次重锤下落的高度相同，地对木桩的阻力比重力大得多。求（1）第一次打入的深度。（2）第n 次打入的深度。

10、如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m ,发射筒与水平面成450角,小车放在光滑水平面上,被发

射的小球质量为m ,现将弹簧压缩L 后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已

知小球的射高为H ,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k .

11、 如图所示,小车的质量M =1Kg,左端放一质量m =2Kg 的铁块（可看成质点）,铁块和小车间的动摩擦因数μ=0.5,

起先小车和铁块一起以v 0=6m/s 的初速度在光滑地面上向右滑行,然后与竖直的墙发生碰撞,且碰撞过程中不损失机械能.求(1)要使铁块不从小车上滑出,则小车的长度至少要多长?(2)若小车足够长,则小车与墙第一次相碰后所通过的总路程为多少?

3.连接体

12、 质量分别为m 1、m 2和m 3的三个质点A 、B 、C 位于光滑的水平面上,用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB 和BC

连结,角ABC 为π-α,α为一锐角,如图所示,今有一冲量为J 的冲击力沿BC 方

向作用于质点C .求质点A 开始运动时的速度.

13、如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别

用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生

垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为π-α，α<π/2．DE 为固定在桌

面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行

于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，

求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为零这一极短时间内挡板对C 的冲量的

大小．

三.碰撞

1.完全非弹性碰撞：碰后v 1'=v 2'=v ,只有压缩过程，动能损失最大。

动量守恒：m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v .

2.完全弹性碰撞：能恢复原状，无机械能损失。

由动量守恒：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2'，或m 1(v 1-v 1')=m 2(v 2'-v 2) 机械能守恒：2222112222112

121212

1v m v m v m v m '+'=+，或m 1(v 1-v 1')(v 1+v 1')=m 2(v 2'-v 2)(v 2'+v 2)。 解得碰后的速度：221121211222121212112,2v m m m m v m m m v v m m m v m m m m v +-++='+++-='。 讨论：当m 1=m 2时，v 1'=v 2,v 2'=v 1.速度交换。

当一个物体静止时，如v 2=0, 12

1121212112,v m m m v v m m m m v +='+-='. 当v 2=0且m 1<>m 2时，v 1'=v 1,v 2'=2v 1.

3.一般碰撞： 由动量守恒：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2'. 机械能关系：22221122221121212121v m v m v m v m '+'>+

。 4.恢复系数： 2112

v v v v e -'-'=（在力作用方向上速度分量）。

弹性碰撞:v 2'-v 1'=v 1-v 2,e =1（相对速度大小不变）.

其它碰撞：e <1.

13、 如图所示,质量为3m 的物体P 静止在光滑的水平面上,另有一质量为m 的物体Q 以速度v 0正对P 滑行,则碰撞后Q

的速度可能是( )

A.v 0/2,方向向右

B.v 0/5,方向向右

C.v 0/3,方向向左

D.2v 0/3,方向向左（答案：BC ）

15、

网球拍以速率v 击中以速率v 0飞来的网球,被击回的网球最大速率可能为多少？

16、 如图所示,两个弹性小球互相接触,下面小球的质量为M ,上面小球的质量为m ,让两个小球从高为h 处由静止开始自由下落.下落时这两个小球的球心始终在一条竖直线上,与地碰撞后弹起,而且所有碰撞均为弹性碰撞(设M >>m ,两小球均可看成质点).上面这个小球反弹后能达到的最大高度.

四.质心运动定律

1.质心：x c =(m 1x 1+m 2x 2+????)/(m 1+m 2+???),质心和重心不一定重合。

2.质心运动定律：F 合=Ma C 。

当F 合=0时，系统的质心作匀速运动或静止，其速度为Λ

Λ++++=

212211m m v m v m v c 。 质点系的总动量P 总=M 总v c ，相对质心的总动量P 总=0。 17、如图所示,一长直光滑板AB 放在平台上,OB 伸出台面,在左侧的D 点放一质量为

m 1的小铁块,它以初速度v 向右运动.假设直板相对桌面不发生滑动,经时间T 0后

直板翻倒.现让直板恢复原状,并在直板O 点放上另一质量为m 2的小物体,同样

让m 1从D 点开始以v 的速度向右运动,并与m 2发生正碰,那么从m 1开始运动后

经过多少时间直板翻倒?

18、一根质量为M 均匀的麦管放在无摩擦的水平桌面上,麦管有一半突出桌子外,一只质量为m 的苍蝇降落到麦管在桌内

末端上,并从麦管的末端爬到另一端.麦管没有倾覆.甚至当有另一只苍蝇在此时落到第一只苍蝇身上时,麦管也没有倾覆,问第二只苍蝇质量最大值是什么?

19、在光滑水平面上放置一个质量为M ,截面是1/4圆(半径为R )的柱体A ,如图所示.柱面光滑,顶端放一质量为m 的小滑块

B .初始时刻A 、B 都处于静止状态,在固定的坐标系xoy 中的位置如图所示,设小滑

块从圆柱顶端沿圆弧滑下,试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程.

20、如图所示，质量为M 的刚性均匀正方形框架在某边的中心开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略，将框

架静止地放在以纸平面为代表的光滑水平面上，现有一质量为m 的刚性小球在此

水平面上从缺口处以速度v 0进入框架内，方向如图所示，α=45?。设小球与框架

发生的碰撞均为无摩擦的完全弹性碰撞。

（1）若框架的边长为a ，求小球从进入框架到离开框架这一过程中，小球相对水

平面的位移大小。

（2）小球离开框架时，框架的速度大小。

3．质心系的动能（柯尼希定理） 以二个质点为例，质量分别为m 1和m 2，相对于静止参考系的速度分别为1v ρ和2v ρ，质心C 的速度为c v ρ，二质点相对于质心的速度分别为1v 'ρ和2

v 'ρ，于是2211,v v v v v v c c '+='+=ρρρρρρ， 质点系的动能2222112121v m v m E +=

， 把1v ρ和2v ρ代入，且)(22112211v m v m v v v m v v m c c c '+'?='?+'?ρρρρρρρ，括号中的求和表示质心对于自己的速度（或两物体相对质心的动量为零），心定为零。 质点系的动能E E v m v m v m m v m v m E c c '+='+'++=+=2222112212222112

121)(212121， 由此可见，质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和,对于都个质点，这个关系也成立。

当质点只有二个时，质点组的动能还可以用两物体的相对速度r v 和质心的速度c v 表示：

根据动量守恒定律c v m m v m v m ?ρρ)(212211+=+，和相对速度关系12v v v r ρρρ-=可得1v ρ和2v ρ，代入质点系的动能

2222112121v m v m E +=得22121221)

(21)(21r c v m m m m v m m E '+++=。 4.质点系动能定理：21222

121mv mv W W ∑∑∑∑-=+内外 5.角动量定理和角动量守恒定律

（1）质点的角动量：L =mvr sin α；

（2）角动量定理:Mt =L 2-L 1.

（3）角动量守恒定律：冲量矩:Mt .当M =0时，L =恒量。

如在有心力场作用下运动的物体，力矩为零，其角动量守恒。如卫星绕地球的运动，对地心的角动量不变，开普勒第二定律实际上对有心力点的角动量守恒，对其它点不一定守恒。

21、两个滑冰运动员，质量分别为M A =60kg ，M B =70gk ，它们的速率v A =5m/s ，v B =10m/s ，在相距1.3m 的两平行

线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来开始绕质心作圆周运动，并保持二人之间的距离1.3m 不变。求：

（1）二人拉手后，系统的角速度。

（2）计算两个人拉手前后的动能是否相等，并说明理由。

22、如图所示，质量为m 的长方形箱子放在光滑的水平地面上，箱内有一质量也为m 的小滑块，滑块与箱底之间无摩

擦。开始时箱子不动，滑块以速度v 0从箱子的A 壁向B 壁处运动，然后又与B 壁碰撞。假定滑块每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e 倍（即恢复系数为e ），42/1=e 。

（1）要使滑块与箱子这一系统的动能的总损耗不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？

（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？