高中物理竞赛(动量)(学生)
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动 量
一.冲量、动量定理
1.冲量:I =Ft ,相当于F -t 图象的面积。
2.动量定理:Ft =mv 2-mv 1(是矢量关系)。
3.动量定理的推广:∑∑=v m t F ??。
1. 如图所示,水平面上有二个物体A 和B ,质量分别为m A =2Kg,m B =1Kg,A 与B 相距一定的距离,A 以v 0=10m/s 的初速度向静止的B 运动,与B 发生正碰后分开,分开后A 仍向原方向运动,已知A 从开始
运动到停下来共运动6s 时间.求碰后B 能滑行的时间.(略去A 、B 的碰撞时间,A 和
B 与地面之间的动摩擦因数都为0.1,重力加速度g =10m/s 2)
2. 以速度大小为v 1竖直向上抛出一小球,小球落回地面时的速度大小为v 2,设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比,求小球在空中运动的时间.
3.质量为m 的均匀铁链,悬挂在天花板上,其下端恰好与水平桌面接触,当上端的悬挂点突然脱开后,求当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力.
4一根均匀柔软绳长为L ,质量为m ,对折后两端固定在一个钉子上.其中一端突然从钉子
上脱落,如图所示.求下落端的端点离钉子的距离为x 时,钉子对绳子另一端的作用力.
5如图所示,质量为M 小车在光滑的水平面上以v 的速度向左作匀速直线运动.一质量为m 的小球从高为h 处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h ,小球与小车碰撞时,小球受到小车的弹力
N >>mg ,小球与小车间的动摩擦因数为μ,求小球弹起后的水平速度。
二.动量守恒定律:m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2'.
6.光滑水平面上有一平板车,质量为M ,上面站着质量为m 的人,共同以v 0的速度前进,若人相对于车以v 的水平速度跳出,求下列情况下人跳出车后车的速度大小。
(1)人向后跳出。(2)人向前跳出。
1.当速度方向不在一直线上时的动量守恒:正交分解
7、如图所示,光滑水平面上有一长为L 的平板小车,其质量为M ,车左端站着一个质量为m 的人,车和人都处于静止状态,若人要从车的左端刚好跳到车的右端,至少要多大的速度(对地)。
8、 有一个质量及线度足够大的水平板,它绕垂直于水平板的竖直轴以角速度ω旋转.在板的上方h 处有一群相同的小球
(可视为质点),它们以板的转轴为中心、R 为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示数线密度).现让这些小球同时从静止状态开始自由落下,设每个球与平板发生碰撞的时间非常短,而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变,仅是方向相反.而在水平方向上则会发生滑动摩擦,滑动摩擦系数为μ.(1)求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比1k 。
(2)如果2ωμg R <(g 为重力加速度)且2
11=k ,求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比2k 。
2.当外力不零时的动量守恒:当物体间作用时间极短时,可忽略外力的冲量,动量守恒
9、质量为m 的重锤从高为H 处自由下落,打在质量也为m 的木桩上,设重锤与木桩为完全非弹性碰撞(碰撞后速度相同),
木桩受到地的阻力与木桩进入地内的深度成正比,即f =kx (k 为已知的常数,x 是木桩打入地内的深度),设每次重锤下落的高度相同,地对木桩的阻力比重力大得多。求(1)第一次打入的深度。(2)第n 次打入的深度。
10、如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m ,发射筒与水平面成450角,小车放在光滑水平面上,被发
射的小球质量为m ,现将弹簧压缩L 后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已
知小球的射高为H ,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k .
11、 如图所示,小车的质量M =1Kg,左端放一质量m =2Kg 的铁块(可看成质点),铁块和小车间的动摩擦因数μ=0.5,
起先小车和铁块一起以v 0=6m/s 的初速度在光滑地面上向右滑行,然后与竖直的墙发生碰撞,且碰撞过程中不损失机械能.求(1)要使铁块不从小车上滑出,则小车的长度至少要多长?(2)若小车足够长,则小车与墙第一次相碰后所通过的总路程为多少?
3.连接体
12、 质量分别为m 1、m 2和m 3的三个质点A 、B 、C 位于光滑的水平面上,用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB 和BC
连结,角ABC 为π-α,α为一锐角,如图所示,今有一冲量为J 的冲击力沿BC 方
向作用于质点C .求质点A 开始运动时的速度.
13、如图所示,三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上(图中纸面),A 、B 之间,B 、C 之间分别
用刚性轻杆相连,杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的(不能对小球产生
垂直于杆方向的作用力).已知杆AB 与BC 的夹角为π-α,α<π/2.DE 为固定在桌
面上一块挡板,它与AB 连线方向垂直.现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行
于AB 连线方向向DE 运动,已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用,
求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为零这一极短时间内挡板对C 的冲量的
大小.
三.碰撞
1.完全非弹性碰撞:碰后v 1'=v 2'=v ,只有压缩过程,动能损失最大。
动量守恒:m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v .
2.完全弹性碰撞:能恢复原状,无机械能损失。
由动量守恒:m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2',或m 1(v 1-v 1')=m 2(v 2'-v 2) 机械能守恒:2222112222112
121212
1v m v m v m v m '+'=+,或m 1(v 1-v 1')(v 1+v 1')=m 2(v 2'-v 2)(v 2'+v 2)。 解得碰后的速度:221121211222121212112,2v m m m m v m m m v v m m m v m m m m v +-++='+++-='。 讨论:当m 1=m 2时,v 1'=v 2,v 2'=v 1.速度交换。
当一个物体静止时,如v 2=0, 12
1121212112,v m m m v v m m m m v +='+-='. 当v 2=0且m 1<
3.一般碰撞: 由动量守恒:m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2'. 机械能关系:22221122221121212121v m v m v m v m '+'>+
。 4.恢复系数: 2112
v v v v e -'-'=(在力作用方向上速度分量)。
弹性碰撞:v 2'-v 1'=v 1-v 2,e =1(相对速度大小不变).
其它碰撞:e <1.
13、 如图所示,质量为3m 的物体P 静止在光滑的水平面上,另有一质量为m 的物体Q 以速度v 0正对P 滑行,则碰撞后Q
的速度可能是( )
A.v 0/2,方向向右
B.v 0/5,方向向右
C.v 0/3,方向向左
D.2v 0/3,方向向左(答案:BC )
15、
网球拍以速率v 击中以速率v 0飞来的网球,被击回的网球最大速率可能为多少?
16、 如图所示,两个弹性小球互相接触,下面小球的质量为M ,上面小球的质量为m ,让两个小球从高为h 处由静止开始自由下落.下落时这两个小球的球心始终在一条竖直线上,与地碰撞后弹起,而且所有碰撞均为弹性碰撞(设M >>m ,两小球均可看成质点).上面这个小球反弹后能达到的最大高度.
四.质心运动定律
1.质心:x c =(m 1x 1+m 2x 2+????)/(m 1+m 2+???),质心和重心不一定重合。
2.质心运动定律:F 合=Ma C 。
当F 合=0时,系统的质心作匀速运动或静止,其速度为Λ
Λ++++=
212211m m v m v m v c 。 质点系的总动量P 总=M 总v c ,相对质心的总动量P 总=0。 17、如图所示,一长直光滑板AB 放在平台上,OB 伸出台面,在左侧的D 点放一质量为
m 1的小铁块,它以初速度v 向右运动.假设直板相对桌面不发生滑动,经时间T 0后
直板翻倒.现让直板恢复原状,并在直板O 点放上另一质量为m 2的小物体,同样
让m 1从D 点开始以v 的速度向右运动,并与m 2发生正碰,那么从m 1开始运动后
经过多少时间直板翻倒?
18、一根质量为M 均匀的麦管放在无摩擦的水平桌面上,麦管有一半突出桌子外,一只质量为m 的苍蝇降落到麦管在桌内
末端上,并从麦管的末端爬到另一端.麦管没有倾覆.甚至当有另一只苍蝇在此时落到第一只苍蝇身上时,麦管也没有倾覆,问第二只苍蝇质量最大值是什么?
19、在光滑水平面上放置一个质量为M ,截面是1/4圆(半径为R )的柱体A ,如图所示.柱面光滑,顶端放一质量为m 的小滑块
B .初始时刻A 、B 都处于静止状态,在固定的坐标系xoy 中的位置如图所示,设小滑
块从圆柱顶端沿圆弧滑下,试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程.
20、如图所示,质量为M 的刚性均匀正方形框架在某边的中心开一个小缺口,缺口对质量分布的影响可以忽略,将框
架静止地放在以纸平面为代表的光滑水平面上,现有一质量为m 的刚性小球在此
水平面上从缺口处以速度v 0进入框架内,方向如图所示,α=45?。设小球与框架
发生的碰撞均为无摩擦的完全弹性碰撞。
(1)若框架的边长为a ,求小球从进入框架到离开框架这一过程中,小球相对水
平面的位移大小。
(2)小球离开框架时,框架的速度大小。
3.质心系的动能(柯尼希定理) 以二个质点为例,质量分别为m 1和m 2,相对于静止参考系的速度分别为1v ρ和2v ρ,质心C 的速度为c v ρ,二质点相对于质心的速度分别为1v 'ρ和2
v 'ρ,于是2211,v v v v v v c c '+='+=ρρρρρρ, 质点系的动能2222112121v m v m E +=
, 把1v ρ和2v ρ代入,且)(22112211v m v m v v v m v v m c c c '+'?='?+'?ρρρρρρρ,括号中的求和表示质心对于自己的速度(或两物体相对质心的动量为零),心定为零。 质点系的动能E E v m v m v m m v m v m E c c '+='+'++=+=2222112212222112
121)(212121, 由此可见,质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和,对于都个质点,这个关系也成立。
当质点只有二个时,质点组的动能还可以用两物体的相对速度r v 和质心的速度c v 表示:
根据动量守恒定律c v m m v m v m ?ρρ)(212211+=+,和相对速度关系12v v v r ρρρ-=可得1v ρ和2v ρ,代入质点系的动能
2222112121v m v m E +=得22121221)
(21)(21r c v m m m m v m m E '+++=。 4.质点系动能定理:21222
121mv mv W W ∑∑∑∑-=+内外 5.角动量定理和角动量守恒定律
(1)质点的角动量:L =mvr sin α;
(2)角动量定理:Mt =L 2-L 1.
(3)角动量守恒定律:冲量矩:Mt .当M =0时,L =恒量。
如在有心力场作用下运动的物体,力矩为零,其角动量守恒。如卫星绕地球的运动,对地心的角动量不变,开普勒第二定律实际上对有心力点的角动量守恒,对其它点不一定守恒。
21、两个滑冰运动员,质量分别为M A =60kg ,M B =70gk ,它们的速率v A =5m/s ,v B =10m/s ,在相距1.3m 的两平行
线上相向而行,当两者最接近时,便拉起手来开始绕质心作圆周运动,并保持二人之间的距离1.3m 不变。求:
(1)二人拉手后,系统的角速度。
(2)计算两个人拉手前后的动能是否相等,并说明理由。
22、如图所示,质量为m 的长方形箱子放在光滑的水平地面上,箱内有一质量也为m 的小滑块,滑块与箱底之间无摩
擦。开始时箱子不动,滑块以速度v 0从箱子的A 壁向B 壁处运动,然后又与B 壁碰撞。假定滑块每碰撞一次,两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e 倍(即恢复系数为e ),42/1=e 。
(1)要使滑块与箱子这一系统的动能的总损耗不超过其初始动能的40%,滑块与箱壁最多可碰撞几次?
(2)从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间,箱子的平均速度是多少?