高考数列求和的八种重要方法与例题

求S .
n-1 n
n-1 n
QS =lgx +lg(x ·y)+...+lgy ·y)+...+lgy
S =lgy +lg(y ·x)+... x ·x)+... +lg
n n
∴2S =lg (xy) +lg (xy) +...+lg (xy)
Байду номын сангаас
n
= 2n(n+1) ∴S = n(n+1) S
2.错位相减 2.错位相减 是等差数列， 当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 是等比数列， 数列{a 的前n项和适用错位相减 数列{anbn}的前n项和适用错位相减
数列{a 满足 满足a 且 + 数列 n}满足 1=1且8an+1−16an+1+2an+5=0 (n≥1)。记 bn = = ≥ 。 + 1 (n≥1)。 ≥ 。 an − 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； 的值； 求 (2)求数列 n}的通项公式及数列 nbn}的前 项和 n。 求数列{b 的通项公式及数列 的通项公式及数列{a 的前n项和 求数列 的前 项和S
{an+bn+cn}
等差
等比
错位相减 或裂项相消
并项求和
典型6 典型6：
+(2n1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？ +(2n 局部重组转化为常见数列
交错数列， 交错数列，并项求和
n b }型 既{（-1） n 型 ）
练习10： 练习10： 10
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1), 已知S 1+3-5+7+ +(- (2n+(
（I）求a2，a3； ） （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； ）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； 是否为等比数列 （III）求 T n = b1 + b2 + b3 + L + bn ． ）
1 1 1 1 1 因为b a2n－ = (a2n－1－ ) 因为 n+1＝a2n+1－ = － 4 2 4 2 4 1 = bn, (n∈N*) ∈ 2 1 1 所以{bn}是首项为 － 所以 是首项为a－ , 公比为 的等比数列 是首项为 4 2
1
2 4 6 3 4 − + = 0,即bn+1 = 2bn − , bn+1bn bn+1 bn 3 Sn = 1 (b1 + b2 + L + bn ) + n
4 4 4 2 ∴ bn +1 − = 2(bn − ), b1 − = ≠ 0, 3 3 3 3
4 2 ∴{bn − }是首项为 , 公比q = 2的等比数列 3 3 4 1 1 4 ∴ bn − = ⋅ 2 n , 即bn = ⋅ 2n + ( n ≥ 1). 3 3 3 3
深化数列中的数学思想方法： 深化数列中的数学思想方法：
热点题型1 递归数列与极限. 热点题型1：递归数列与极限. 1 2 an n为偶数 1 an +1 = 设数列{a 的首项 的首项a 设数列 n}的首项 1=a≠ ，且 a + 1 n为奇数 4 n

,
1 记 bn = a2 n −1 − 4
数列求和
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法. 1.倒序相加法. 倒序相加法 2.错位相减法. 2.错位相减法. 错位相减法 3 . 法 ： . 4 . 裂
倒序相加法: 倒序相加法
如果一个数列{a 如果一个数列{an}，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（ 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值）， ），可采用把正着写和 相等，为定值），可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加， 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和， 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法. 为倒序相加法.
1)求 1)求S20,S21 2)求 2)求Sn S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39 （ ）
=20
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41） （ ） （ ）
=-21
总的方向： 总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项 怎样的类型 看通项（ 类型） 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 等差、 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 5.拆项分组求和法 5.拆项分组求和法 6.并项求和法 6.并项求和法
类型a 类型 1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
2.倒序相加法 典例. 典例. 已知 lg(xy) = 2 2.倒序相加法 n n-1 1 n-1 n ·y)+ ...+lg(x·y S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lg(x·y )+lgy ,
(x > 0,y > 0)
n
n
拆项分组求和: 拆项分组求和: 典例5 典例5： 数列{a 的通项a 数列{an}的通项an=2n+2n-1， +2n求该数列的前n项和. 求该数列的前n项和.
同类性质的数列归于一组， 同类性质的数列归于一组，目的 是为便于运用常见数列的求和公式. 是为便于运用常见数列的求和公式.
分组求和法： 分组求和法： 把数列的每一项分成两项， 把数列的每一项分成两项 ， 或把数 列的项“ 在一块重新组合， 列的项“集”在一块重新组合，或把整 个数列分成两部分， 个数列分成两部分，使其转化为等差或 等比数列， 等比数列，这一求和方法称为分组求和 法.
热点题型1 递归数列与极限. 热点题型1：递归数列与极限. 1 2 an n为偶数 1 设数列{a 的首项 的首项a 设数列 n}的首项 1=a≠ ，且 an +1 = a + 1 n为奇数 4 n

,
1 记 bn = a2 n −1 − 4
4
，n＝l，2，3，…·． ＝， ， ， ．
热点题型3 递归数列. 热点题型3：递归数列.

1 1 22 = − ⋅ bn −1 2 2 =L
2
1 即an = 2 + bn = 2 − 2
2n −1
2
1 (1 − 2n ) 5 3 = + n 1− 2 3 1 n = (2 + 5n − 1) 3
1 a 已知数列{a 的各项都是正数 且满足： 的各项都是正数， 已知数列 n}的各项都是正数，且满足：a0=1，n +1 = an (4 − an ). ， 2 (n∈N)（2）求数列 n}的通项公式 n 的通项公式a ∈ （ ）求数列{a 的通项公式 1 1 Q an +1 = an (4 − an ) = [ −( an − 2) 2 + 4], 2 2 ∴ 2( an +1 − 2) = −( an − 2) 2 1+ 2 +L+ 2n−1 1 2n 令bn = an − 2, b0 = − 2 1 2 则bn = − bn −1 2 又b0=－1 2 2n −1 1 1 2 1 = − − bn − 2 ∴ bn = − , 2 2 2
4
，n＝l，2，3，…·． ＝， ， ， ．
（I）求a2，a3； ） 是否为等比数列， （II）判断数列 n}是否为等比数列，并证明你的结论； ）判断数列{b 是否为等比数列 并证明你的结论； （III）求 Tn = b1 + b2 + b3 + L + bn ． ）
热点题型2 递归数列与转化的思想方法. 热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{a 满足 满足a 且 + 数列 n}满足 1=1且8an+1−16an+1+2an+5=0 (n≥1)。记 bn = = ≥ 。 + 1 (n≥1)。 ≥ 。 an − 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； 的值； 求 (2)求数列 n}的通项公式及数列 nbn}的前 项和 n。 求数列{b 的通项公式及数列 的通项公式及数列{a 的前n项和 求数列 的前 项和S 1 1 1 bn = 得an = + , 代入递推关系8an +1an − 16an +1 + 2an + 5 = 0, 1 bn 2 an − 1 2 ∴ anbn = bn + 1
= 2 ( n n + 2 )
2n 变 式 2： 通 项 改 为 2 4n - 1
1 1 1 1 = + （ ) 2 4 2n - 1 2n + 1
2
分裂通项法： 分裂通项法： 把数列的通项拆成两项之差， 把数列的通项拆成两项之差 ， 即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差， 列的每一项都可按此法拆成两项之差 ， 在求和时一些正负项相互抵消， 在求和时一些正负项相互抵消 ， 于是前 项的和变成首尾若干少数项之和， n 项的和变成首尾若干少数项之和 ， 这 一求和方法称为分裂通项法. 一求和方法称为分裂通项法. 见到分式型的要往这种方法联想） 分式型的要往这种方法联想 （见到分式型的要往这种方法联想）