高考数列求和的八种重要方法与例题

类型a 类型 1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
2.倒序相加法 典例. 典例. 已知 lg(xy) = 2 2.倒序相加法 n n-1 1 n-1 n ·y)+ ...+lg(x·y S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lg(x·y )+lgy ,
(x > 0,y > 0)
n
n
典例3: 典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n来自百度文库3n-1=？ × × × × ？
错位相减法： 错位相减法： 如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成， 应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法. 用错位相减法.
既{anbn}型 等差 等比
典 例 4： 4、裂项相消 1 1 1 1+ + +… + = ? 1× 2 2 × 3 n(n + 1) 1 变 式 1： 通 项 改 为 n(n + 2) 1 1 1
1)求 1)求S20,S21 2)求 2)求Sn S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39 （ ）
=20
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41） （ ） （ ）
=-21
总的方向： 总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项 怎样的类型 看通项（ 类型） 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 等差、 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 5.拆项分组求和法 5.拆项分组求和法 6.并项求和法 6.并项求和法
数列求和
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法. 1.倒序相加法. 倒序相加法 2.错位相减法. 2.错位相减法. 错位相减法 3 . 法 ： . 4 . 裂
倒序相加法: 倒序相加法
如果一个数列{a 如果一个数列{an}，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（ 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值）， ），可采用把正着写和 相等，为定值），可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加， 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和， 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法. 为倒序相加法.
{an+bn+cn}
等差
等比
错位相减 或裂项相消
并项求和
典型6 典型6：
+(2n1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？ +(2n 局部重组转化为常见数列
交错数列， 交错数列，并项求和
n b }型 既{（-1） n 型 ）
练习10： 练习10： 10
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1), 已知S 1+3-5+7+ +(- (2n+(
（I）求a2，a3； ） （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； ）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论； 是否为等比数列 （III）求 T n = b1 + b2 + b3 + L + bn ． ）
1 1 1 1 1 因为b a2n－ = (a2n－1－ ) 因为 n+1＝a2n+1－ = － 4 2 4 2 4 1 = bn, (n∈N*) ∈ 2 1 1 所以{bn}是首项为 － 所以 是首项为a－ , 公比为 的等比数列 是首项为 4 2
数列{a 满足 满足a 且 + 数列 n}满足 1=1且8an+1−16an+1+2an+5=0 (n≥1)。记 bn = = ≥ 。 + 1 (n≥1)。 ≥ 。 an − 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； 的值； 求 (2)求数列 n}的通项公式及数列 nbn}的前 项和 n。 求数列{b 的通项公式及数列 的通项公式及数列{a 的前n项和 求数列 的前 项和S 1 1 1 bn = 得an = + , 代入递推关系8an +1an − 16an +1 + 2an + 5 = 0, 1 bn 2 an − 1 2 ∴ anbn = bn + 1
4
，n＝l，2，3，…·． ＝， ， ， ．
（I）求a2，a3； ） 是否为等比数列， （II）判断数列 n}是否为等比数列，并证明你的结论； ）判断数列{b 是否为等比数列 并证明你的结论； （III）求 Tn = b1 + b2 + b3 + L + bn ． ）
热点题型2 递归数列与转化的思想方法. 热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
2
1 (1 − 2n ) 5 3 = + n 1− 2 3 1 n = (2 + 5n − 1) 3
1 a 已知数列{a 的各项都是正数 且满足： 的各项都是正数， 已知数列 n}的各项都是正数，且满足：a0=1，n +1 = an (4 − an ). ， 2 (n∈N)（2）求数列 n}的通项公式 n 的通项公式a ∈ （ ）求数列{a 的通项公式 1 1 Q an +1 = an (4 − an ) = [ −( an − 2) 2 + 4], 2 2 ∴ 2( an +1 − 2) = −( an − 2) 2 1+ 2 +L+ 2n−1 1 2n 令bn = an − 2, b0 = − 2 1 2 则bn = − bn −1 2 又b0=－1 2 2n −1 1 1 2 1 = − − bn − 2 ∴ bn = − , 2 2 2
1
a1 = 1, 故b1 =
1 1 1− 2
= 2;
7 1 8 a2 = , 故b2 = = 7 1 3 8 − 8 2
3 1 13 20 a3 = , 故b3 = = 4; a4 = , 故b4 = . 3 1 4 20 3 − 4 2
热点题型2 递归数列与转化的思想方法. 热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
热点题型1 递归数列与极限. 热点题型1：递归数列与极限. 1 2 an n为偶数 1 设数列{a 的首项 的首项a 设数列 n}的首项 1=a≠ ，且 an +1 = a + 1 n为奇数 4 n

,
1 记 bn = a2 n −1 − 4
4
，n＝l，2，3，…·． ＝， ， ， ．
求S .
n-1 n
n-1 n
QS =lgx +lg(x ·y)+...+lgy ·y)+...+lgy
S =lgy +lg(y ·x)+... x ·x)+... +lg
n n
∴2S =lg (xy) +lg (xy) +...+lg (xy)
n
= 2n(n+1) ∴S = n(n+1) S
2.错位相减 2.错位相减 是等差数列， 当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 是等比数列， 数列{a 的前n项和适用错位相减 数列{anbn}的前n项和适用错位相减
拆项分组求和: 拆项分组求和: 典例5 典例5： 数列{a 的通项a 数列{an}的通项an=2n+2n-1， +2n求该数列的前n项和. 求该数列的前n项和.
同类性质的数列归于一组， 同类性质的数列归于一组，目的 是为便于运用常见数列的求和公式. 是为便于运用常见数列的求和公式.
分组求和法： 分组求和法： 把数列的每一项分成两项， 把数列的每一项分成两项 ， 或把数 列的项“ 在一块重新组合， 列的项“集”在一块重新组合，或把整 个数列分成两部分， 个数列分成两部分，使其转化为等差或 等比数列， 等比数列，这一求和方法称为分组求和 法.
= 2 ( n n + 2 )
2n 变 式 2： 通 项 改 为 2 4n - 1
1 1 1 1 = + （ ) 2 4 2n - 1 2n + 1
2
分裂通项法： 分裂通项法： 把数列的通项拆成两项之差， 把数列的通项拆成两项之差 ， 即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差， 列的每一项都可按此法拆成两项之差 ， 在求和时一些正负项相互抵消， 在求和时一些正负项相互抵消 ， 于是前 项的和变成首尾若干少数项之和， n 项的和变成首尾若干少数项之和 ， 这 一求和方法称为分裂通项法. 一求和方法称为分裂通项法. 见到分式型的要往这种方法联想） 分式型的要往这种方法联想 （见到分式型的要往这种方法联想）
数列{a 满足 满足a 且 + 数列 n}满足 1=1且8an+1−16an+1+2an+5=0 (n≥1)。记 bn = = ≥ 。 + 1 (n≥1)。 ≥ 。 an − 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； 的值； 求 (2)求数列 n}的通项公式及数列 nbn}的前 项和 n。 求数列{b 的通项公式及数列 的通项公式及数列{a 的前n项和 求数列 的前 项和S
1
2 4 6 3 4 − + = 0,即bn+1 = 2bn − , bn+1bn bn+1 bn 3 Sn = 1 (b1 + b2 + L + bn ) + n
4 4 4 2 ∴ bn +1 − = 2(bn − ), b1 − = ≠ 0, 3 3 3 3
4 2 ∴{bn − }是首项为 , 公比q = 2的等比数列 3 3 4 1 1 4 ∴ bn − = ⋅ 2 n , 即bn = ⋅ 2n + ( n ≥ 1). 3 3 3 3
深化数列中的数学思想方法： 深化数列中的数学思想方法：
热点题型1 递归数列与极限. 热点题型1：递归数列与极限. 1 2 an n为偶数 1 an +1 = 设数列{a 的首项 的首项a 设数列 n}的首项 1=a≠ ，且 a + 1 n为奇数 4 n

,
1 记 bn = a2 n −1 − 4
热点题型3 递归数列. 热点题型3：递归数列.

1 1 22 = − ⋅ bn −1 2 2 =L
2
1 即an = 2 + bn = 2 − 2
2n −1