sobel算子

Sobel算子改进算法
通过以上对经典边缘检测算法的分析可知，Sobel算法的优点是计算简单，速度快。

但是由于只采用了2个方向的模板，只能检测水平和垂直方向的边缘，因此这种算法对于纹理较为复杂的图像，其边缘检测效果就不是很理想。

该算法认为：凡灰度新值大于或等于阈值的像素点时都是边缘点。

这种判断欠合理，会造成边缘点的误判，因为许多噪声点的灰度值也很大。

由于图像的边缘有许多方向，除了水平方向和垂直方向外，还有其他的方向，下面将对Sobel算子进行改进，即将算子模板扩展到8个模板，如图3.１所示。

图3.1 8个方向模板
进过8个方向模板的计算，对某一幅图像进行逐点计算，并且去最大值为像素点的新灰度值，通过阈值的设定，判断边缘点。

最大值对应的模板所表示的方向为该像素点的边缘方向。

Sobel改进算法的思想与步骤。

针对经典Sobel算子对边缘具有很强的方向性特点，设计了一种基于Sobel算子上改进的算法，其主要思想是先对图像进行全局阈值的分割处理，因为分割后的图像是二值图像，此时进行边缘提取，这就可以各个方向的边缘都可以检测到。

但也可能会丢失原本直接用算子检测到的边缘。

Sobel 算子的优点是方法简单、处理速度快, 并且所得的边缘光滑, 其缺点是
边缘较粗, 得到的边缘象素往往是分小段连续, 由于处理时需作二值化处理, 故得到的边缘与阈值的选取有很大的关系, 并且边缘图中梯度幅值较小的边缘也丢失了。

为克服
这个缺陷,对 S( i, j)引入一个衰减因子 D, 用它去除计算的结果, 即
:
(,)
S i j=（3.1）
因此，用处理后的所得到图像与Sobel 算子直接对原始图像进行边缘检测的图像相加，这一步显得尤为重要。

最后分别对数字图像和红外图像进行MATLAB 仿真，从仿真的结果可以看出，此算法具有较好的精度。

三次样条插值
Sobel 算子检测出像素级边缘后,为了得到亚像素级的边缘,要对灰度边缘图进行内插处理。

插值算法有很多种,例如最近邻插值、双线性插值、三次样条插值等等。

最近邻插值和双线性插值不如三次样条插值精度高。

为了得到精度高的亚像素级边缘,本文采用三次样条插值法对灰度边缘图进行插值处理。

下面先介绍三次样条插值函数的定义。

若函数S(x)满足:S(x)在每个子区间[xi-1, xi](i =1,2, …n)上是不高于三次的多项式,其中(a=x 0<x1<…<x n=b) 。

(1) S(x) ,S ′(x) ,S ″(x)在[a,b]上连续。

（3.1）
(2) 满足插值条件S(xi) =f(xi) (i =0,1, …,n) ,则称S(x)为函数f(x)关于节点x0,x1,…,xn 的三次样条插值函数。

在图像插值处理中,经常使用的三次样条插值函数S(ω)的数学表达式为
2323
1,1485,120,2()S ωωωωωωωωω⎧-+<⎪
⎪-+-≤<⎨
⎪
≥⎪⎩
= （3.3） 这里,三次多项式S(ω)是对理论上的最佳插值函数sinc(ω)的逼近。

具体的做法是考虑一个浮点坐标(i +μ,j +v)周围的十六个邻点,目的像素c 的值
(i ,j v)f μ++可通过如下的插值公式得到:
(i ,j v)f ABC μ++= （3.4）
其中：
(1)()(1)(2)A S u S u S u S u ⎡⎤⎣⎦=+-- （3.5）
(1)()(1)(2)S v S v S v S v C +⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
= （3.6） (1,1)(1,)(1,1)(1,2)(,1)(,)(,1)(,2)(1,1)(1,)(1,1)(1,2)(2,1)
(2,)(2,1)(2,2)f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j B ----+-+⎡⎤⎢⎥-++⎢
⎥⎢⎥
+-+++++⎢
⎥
+-+++++⎣⎦
= （3.7） 最大类间方差法（Ostu ）
对上述插值得到的图像进行二值化，从而得到边缘信息，其中阈值的选择是关键。

这里采用最大类间方差法（也叫Otsu 法）自动确定阈值。

该方法具有简单，处理速度快的特，是一种常用的阈值选取方法。

其基本思想如下：设图像像素数为N ，灰度范围为[0,1]L -，对应灰度级i 的像素数为i N 几率为;
/,0,1,2...1i i p n N i L ==- （3.8）
1
1L i
i p
-==∑ （3.9）
把图像中的像素按灰度值用阈值T 分成两类 01C C 和，0C 由灰度值在[0,T]之间的像素组成，1C 由灰度值在[+1,-1]T L 之间的像素组成，对于灰度分布几率，整幅图像的均值为；
-1
=0
=L T i
i u iP ∑ （3.10）
则01C C 和的均值为
00
=0
-1
11
=T+1
=/=/T
i i L i i u iP u iP ωω∑∑ （3.11）
其中
0=0
L-1
10
=T+1
===1-T
i
i i i P P ωωω∑∑ （3.12）
由上面式子可得：
T 0011u =u +u ϖϖ 类间方差的定义为：
222
B 00T 11T 2200T T 010011T
222
0011T 2
2
2
0011
0011220001110101
2
0101=u -u +u -u =u -u +u (+)-2(u +u )u =u +u -u =u +u -(u +u )=u (1-)+u (1-)-2u u =(u -u )σϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ（）（）
（）
让T 在[0,-1]L 范围内依次取值，使2
B σ最大的T 值为Otso 法的最佳阈值。

Matlab 中的graythresh 函数求取阈值采用的就是Otso 法
算法实现
由于经典Sobel 算子只有检测水平和垂直两个方向的3×3邻域模板,而实际图像边缘的方向会有8个方向。

因此在Sobel 算子的基础上定义了8个方向模板,使模板表示的方向为图像的实际边缘方向。

在边缘检测时,将这8个模板分别与被检测图像中的3×3邻域进行卷积,取模板卷积结果中的最大值作为梯度幅度值,得到灰度边缘图G 。

但是这样检测出的边缘仍然较粗,为了能够得到较细的边缘,我们引入衰减因子D 对计算的结果进行处理。

因此最后得到的梯度幅度值为原来的1/ D,从而保留了较小的梯度幅度值,得到了不失真的灰度边缘图G ′。

Sobel 算子检测出像素级边缘后,为了得到亚像素级的边缘,要对灰度边缘图进行内插处理。

为了得到精度高的亚像素级边缘,本文采用三次样条插值法对灰度边缘图进行插值处理。

插值后的灰度边缘图已经达到亚像素级,为了得到最后的二值边缘图,要对灰度边缘图进行阈值分割。

在众多的阈值化分割算法中,最大类间方差法是性能评估最好的方法之一, Matlab中的graythresh函数来Matlab实现边缘检测。

实验结果
图3.6 衰减后灰度边缘图
图3.7 插值后灰度边缘图
图3.4 lena 原灰度图
图3.5改进sobel 算子提取的像素
图3.8 亚像素级边缘提取图（放大4
图3.9 原始灰度图 3.10 sobel算子的检测结果
图3.11基于灰度矩的亚像素边缘检测结果图
实验结果分析
上面是对120 120的lena图像分别进行像素级和亚像素级边缘检测的结果，如图3.5到3.8的所示的图，图3.5是采用经典sobel算子的像素级边缘检测结果，可以看出，采用Sobel 较难检测出有效的边缘。

利用本文章法，图3.6是经sobel算子检测后引入衰减因子的灰度图像的边缘这里衰减因子取4，已检测出有效边缘：图3.7是图3.6灰度边缘图经三次样条插值后所得的图像，插值后灰度边缘图像图放大倍数4倍，可以看出插值后图像变得更加平滑，图3.7为图3.8的亚像素边缘提取图，可以看出亚像素边缘更清晰，定位精度更高，优于传统的边缘检测方法。

本章小结
本文设计了一种Sobel算子和三次样条插值结合起来的得到亚像素级边缘检测的方法，先用Sobel算子粗定位边缘，再用三次插值样条法对边缘图进行插值处理，获得
亚像素级边缘，最后利用最大类间方差法判断出边缘点，得到二值化的边缘图像。

实验结果表明，该方法能精确定位目标边缘，优于传统方法的边缘检测方法，,有利于图像高精度测量和匹配的后续处理。