勾股定理应用整理(的整理)

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(整理版)高中数学必备知识点勾股定理的应用

高中数学必备知识点勾股定理的应用勾股定理在高中有一个口诀叫“勾三股四弦五〞。

什么意思呢？也就是说勾股定理的学习按着3:4:5这个比例计算的。

勾指的是直角三角形直角边中短的那条，股市直角边稍微长的那条，弦就不说了，那就是斜边了。

这个定义具体该怎么用呢？一、经典证明方法细讲方法一：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，那么,∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2方法二作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b〔b>a〕，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如下图的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上，所以a^2+b^2=c^2。

关于勾股定理的八大应用

关于勾股定理的八大应用
对于勾股定理的八大应用，具体如下：
1)判断是否超速：利用勾股定理可以判断司机是否超速。

2)求旗杆高度：利用勾股定理可以求旗杆高度。

3)折叠问题：利用勾股定理可以解决折叠问题，例如折叠矩形
纸张的问题。

4)求树高：利用勾股定理可以求树的高度。

5)求梯子最省力的位置：利用勾股定理可以求梯子最省力的位
置。

6)求面积问题：利用勾股定理可以解决一些求面积的问题。

7)求台风问题：利用勾股定理可以解决台风问题，例如台风眼
里是否有平地的问题。

8)九章算术问题：利用勾股定理可以解决九章算术中的一些问
题。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。

它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。

本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。

一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。

举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。

此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。

二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。

通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。

三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。

通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。

四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。

天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。

五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。

图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。

综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。

它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。

通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。

因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。

勾股定理应用中的知识点总结

勾股定理应用中的知识点总结勾股定理是我们数学中的基础定理之一，它揭示了三角形中三个边的关系，也是解决直角三角形中各个边的长和角度问题的基础。

在现实生活中，勾股定理也有许多实际应用场景，如在建筑、航空、电子工程、制造业和科学研究中都有广泛的应用。

因此，深入理解和掌握勾股定理及其应用是非常重要的知识点。

一、勾股定理勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于另两边平方和。

具体来说，设三角形ABC中，∠C为直角，则有：AB² + AC² = BC²或BC² = AB² + AC²公式表达的意义是：直角边AB的平方加上直角边AC的平方等于斜边BC的平方，或者斜边BC的平方等于直角边AB的平方加上直角边AC的平方。

这个公式的证明有多种方法，其中一种简易方法是应用平行四边形法。

二、勾股定理的应用1. 计算直角三角形的各条边勾股定理可以广泛地应用于计算直角三角形的各个边长。

以一个直角三角形为例，已知斜边和一条直角边的长度，可以利用勾股定理计算第二条直角边的长度。

同样，如果已知两个直角边的长度，也可以使用勾股定理来计算斜边的长度。

2. 计算角度大小勾股定理不仅可以用于计算边长，也可以用于计算三角形的角度大小。

例如，已知一个直角三角形的两个直角边，要求计算出斜边与一条直角边之间的角度。

可以通过计算三角形中另外两个角的角度，并使用三角函数公式来得到答案。

3. 构建直角三角形勾股定理也可以用于构建直角三角形。

假设想要制作一个直角三角形，需要先确定这个直角三角形的斜边长度。

然后，在这个长度上，利用尺子和直角器可以构建出这个直角三角形的其他两个边。

4. 计算垂线长度勾股定理在计算平面几何中垂线长度也有广泛应用。

例如，在三角形中，已知一个直角边和一条角平分线，要求计算这条角平分线上的垂线长度，可以运用勾股定理来求解。

5. 计算空间几何体积勾股定理在计算空间几何体积时也有重要应用。

勾股定理中的应用问题(分类整理版)

勾股定理中的应用问题(分类整理版)
引言
勾股定理是数学中一个重要的理论，它有着广泛的应用。

本文将介绍勾股定理在几个不同领域的应用问题，包括几何、物理和工程等方面。

几何应用问题
1. 求三角形的边长：勾股定理可以帮助我们在已知一个角度和两条边的情况下，计算出三角形的第三条边长。

2. 判断三角形的类型：利用勾股定理，我们可以判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形。

3. 寻找直角三角形：通过勾股定理的应用，我们可以在几何图形中寻找直角三角形的存在。

物理应用问题
1. 求物体的位移：勾股定理可以应用于物理学中，帮助我们求解物体在加速度恒定的情况下的位移。

2. 计算速度和时间：利用勾股定理，我们可以在已知物体的位移和加速度的情况下，计算出物体的速度和时间。

3. 测量斜面上物体的重力分解：物理学中经常用到勾股定理来计算斜面上物体的重力分解。

工程应用问题
1. 建筑设计：勾股定理在计算建筑物的尺寸和角度方面有着广泛的应用。

2. 地理测量：勾股定理可以用于地理测量中计算两个点之间的直线距离，帮助我们绘制准确的地图。

3. 静音设计：勾股定理在音频工程中被应用于计算扬声器的声源与反射板的距离。

总结
勾股定理在几何、物理和工程等领域中都有广泛的应用。

通过研究和理解勾股定理的应用问题，我们可以更好地解决实际生活和工作中的相关问题。

勾股定理的应用领域总结(经典、实用)

勾股定理的应用领域总结（经典、实用）
勾股定理是数学中一项经典的定理，广泛应用于各个领域。

本文将总结勾股定理在经典领域和实用领域的应用。

经典领域
几何学
勾股定理最早在几何学中得到应用，用于解决直角三角形的边长或角度问题。

在几何学中，勾股定理为计算直角三角形提供了最基本的工具。

物理学
在物理学中，勾股定理常用于计算向量的大小和方向。

它可以应用于解决力学、电磁学和流体力学等领域的问题。

导航和航空
勾股定理在导航和航空领域中有着重要的应用。

通过测量三角形边长和角度，可以计算出物体或飞机的位置、速度和方向，从而实现准确的导航和飞行控制。

实用领域
工程学
在工程学中，勾股定理广泛应用于建筑、机械和电子等领域。

例如，在建筑设计中，可以使用勾股定理计算物体的尺寸和角度，确保设计符合规格要求。

计算机图形学
在计算机图形学中，勾股定理用于计算三维空间中的距离和角度。

这对于创建模型、渲染图像和进行虚拟现实等应用非常重要。

经济学
勾股定理在经济学中也有应用，特别是在统计学中。

通过应用勾股定理，可以计算变量之间的关系和相关性，从而进行经济数据的分析和预测。

结论
勾股定理作为一项经典的数学定理，广泛应用于各个领域。

从经典领域的几何学和物理学，到实用领域的工程学、计算机图形学和经济学，勾股定理都发挥着重要作用。

通过应用勾股定理，我们可以解决各种问题，提高生产效率和实现创新发展。

勾股定理简介及应用

勾股定理简介及应用勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的一条三角形重要的几何定理，它可以用来计算三角形的边长或角度。

勾股定理的表述是：在一个直角三角形中，直角边的平方等于斜边的两个边的平方和。

即a²+ b²= c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

勾股定理的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题，以下是一些典型的应用：1. 面积计算：勾股定理可以用来计算三角形的面积。

根据定理，面积等于直角边的乘积的一半。

例如，一个直角边长为a，另一个直角边长为b的直角三角形的面积为1/2 * a * b。

2. 边长计算：勾股定理可以用来计算三角形的边长。

如果已知两个边长a和b，可以用勾股定理求解斜边的长度c。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以用勾股定理计算出斜边的长度为5。

3. 角度计算：勾股定理可以用来计算三角形的角度。

根据定理，如果已知三角形的两个边长a和b，并且要求斜边与其中一个直角边之间的角度，可以使用反正弦函数求解。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以用反正弦函数求解出斜边与边长为3的直角边之间的角度。

4. 判断三角形类型：勾股定理可以用来判断三角形的类型。

如果三个边长满足勾股定理，即a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形；如果两个边长的平方和小于第三个边长的平方，即a²+ b²< c²，那么这个三角形是钝角三角形；如果两个边长的平方和大于第三个边长的平方，即a²+ b²> c²，那么这个三角形是锐角三角形。

5. 应用于解决实际问题：勾股定理可以用来解决很多实际问题，例如在建筑工程中计算屋顶的坡度和高度、在导航中确定航程和航向、在物理中计算物体的运动轨迹等等。

总结来说，勾股定理是一条非常重要和实用的几何定理，它不仅可以用来计算三角形的边长和角度，还可以用来解决各种实际问题。

勾股定理的应用

勾股定理求线段求线段长的方法：1、直接求2、全等三角形的性质：对应线段相等3、勾股定理4、相似三角形5、三角函数一、勾股定理：a2 + b2 = c2例1、＋= x2＋=例2、直角三角形的周长为24，一直角边长为6，求其他两边的长及面积。

练习：1、小明想知道学校旗杆的高度，他把绳子一端挂在旗杆顶端，发现绳子垂到地面时余1米，当他把绳子下端拉开5米后，下端绳子刚好接触地面，如图，则旗杆的高度AC= .2、如图所示，一架长2.5米的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端需要离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙面的方向拉多远？3、铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C,D为两村庄（视为两个点），CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=15千米，DB=10千米。

现要在A、B之间建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，此时AE= .二、勾股定理只能用于直角三角形例3、在△ABC中，∠ACB=90o，AC=9，BC=12，则AB上的高CD的长度为例4、如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于？1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为2、如果Rt△两直角边的比为5∶12，则：斜边上的高与斜边的比为3、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=4，BD=5，则AC的长为三、折叠问题观察下列两幅图，试说明折叠与轴对称之间有怎样的关系？例5、如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm．现将直角边AC沿AD折叠，使C点落在斜边AB上E处，求CD的长.1、如图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将Rt△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE。

求：CD的长2、如图，在长方形纸片ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠使点D与点B重合，折叠后BE的长是（）。

3.3勾股定理的应用

3 巩固新知
PART THREE
【例 1】如图，带阴影的矩形面积是多少？
解：在Rt△ADE中， AD2=AE2+DE2=82+152=172，所以AD=17，所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．
【变式 1】如图，某隧道的截面是一个半径为 4.2m 的半圆形，一辆高 3.6m，宽 3m 的卡车能通过该隧道吗？
C．三边之比为 1：2：2 D．三边之比为 3：4：5
B 4．将直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则斜边扩大多少倍（）．
A． 1 B．1 C．2 D．4 2
5.小红要求△ABC 最长边上的高，测得 AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知
B 最长边上的高是（）
A.48cm
B.4.8 cm
48 cm
D. 5 cm
6．如图，已知 ABC中， ACB 90,A 30,CD AB 于 D，若 DB 2 ，则
C AB 的长为（）．
A．4 B． 4 3 C．8 D．16
7．某日早 5 点，甲、乙两艘轮船同时从同一港口出发，甲以 30 海里／小时向北偏东 45°航行，乙以 15 海里／小时向北偏西 45°航行，问早 7 点时两船的距离是多少？
图一
图二
当OB=1.5cm
AB AO2 OB2 4.22 1.52 15.39m 3.6 12.9615.39m
可以通过隧道
【例 2】代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：有一个水池，水面的
边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如
果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深
C 个三角形是（）．

《勾股定理的应用方法小结》[5篇范例]

《勾股定理的应用方法小结》[5篇范例]第一篇：《勾股定理的应用方法小结》谈谈勾股定理及其逆定理的应用绵竹市紫岩雨润中学岳关芬谈到勾股定理及它的逆定理，它是中学数学中最重要的定理之一，是几何学中的明珠，充满了魅力，我国把它又称为毕达哥拉斯定理。

这是由于，他们认为最早发现直角三角具有“勾²+股²=弦²”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯。

勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系。

具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理揭示了从三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形。

具体的内容是：在三角形中，如果较小两边的平方和等于第三边的平方，那么三角形是直角三角形。

它们不但是解直角三角形的重要依据，是每年中考的必考知识点之一，而且在实际生活中的应用十分的广泛。

我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。

学习勾股定理时，应抓住三大关键，一是勾股定理及其逆定理的证明方法，二是勾股定理及其逆定理的应用，三是怎样寻找勾股数。

对于第二个问题，又应抓住四个方面，一：是勾股定理在几何计算中的应用。

二：是勾股定理在几何证明中的应用。

三：是勾股定理及其逆定理的综合应用。

四：是勾股定理在代数证题中的应用。

在初中数学中常常提到的数学思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想.在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想。

作为一名长期从事中学数学教学工作的教师，在教学的过程当中，我经常发现有许多学生在涉及到计算直角三角形中线段的长以及判断三角形的形状等问题时，还是不明白该如何入手解决问题。

在此，我主要想谈谈在这两类问题上，怎样正确快速的应用勾股定理和它的逆定理解决问题。

所以把自己总结的一些经验与大家一起分享，共同学习。

一：怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长： 1：直接把勾股定理变式计算线段的长已知两条边的具体的值，求第三边。

勾股定理的应用(3种题型)

第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。

初中数学：勾股定理的15种应用

初中数学：勾股定理的15种应用
勾股定理的15种应用
应用1 勾股定理理解三角形
应用2 勾股定理与网格问题
应用3 利用勾股定理解决折叠问题
应用4 利用勾股定理证明线段的平方关系
应用5 利用勾股定理解决实际问题:求梯子滑落高度
应用6 利用勾股定理解决实际问题:求旗杆高度
应用7 利用勾股定理解决实际问题:求蚂蚁爬行距离
应用8 利用勾股定理解决实际问题:求大树折断前的高度
应用9 利用勾股定理解决实际问题:求水杯中筷子长度问题
应用10 利用勾股定理解决实际问题: 解决航海问题
应用11 利用勾股定理解决实际问题: 求河宽
应用12 利用勾股定理解决实际问题: 求台阶上的地毯长度
应用13 利用勾股定理解决实际问题:判断是否超速
应用14 利用勾股定理解决实际问题:判断是否受台风影响
应用15 利用勾股定理解决实际问题: 利用勾股定理选址使到两地距离相等
【小结】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．
【变式求解】。

勾股定理应用题型大汇总(经典)

勾股定理题型汇总一、用勾股定理解决实际问题【经典例题】 1.水中芦苇问题在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

2.梯子滑动问题一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？【练一练】1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？AA ′BA ′ O二、最短路径问题1、如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，问：爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?3：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？5、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)A B 5 316、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ，蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)7、如图，圆锥的侧面展开图是半径为22cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行，问：（1）爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．8、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为三、面积问题1. 已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．AB CD E FGA ·B · A· B ·FE DABC2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．3．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______ ___． 4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③5．如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an ，根据上述规律，则第n 个正方形的边长an ＝___ _____记正方形AB －CD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，……，S n (n 为正整数)，那么S n ＝____ ____．6.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．四、翻折问题1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=求BF 的长．G AD A B C DAA B C D EG FF 4、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。

勾股定理中的应用场景问题(分类整理版)

勾股定理中的应用场景问题(分类整理版)
一、建筑工程中的应用
在建筑工程中，勾股定理常常用于计算房屋的直角边长和斜边长度。

例如，在设计一座楼梯时，勾股定理可以用来确定楼梯的踏步和扶手的长度，以保证楼梯的安全性和舒适度。

此外，在设计房屋的斜面屋顶时，勾股定理可以帮助工程师计算出屋顶的倾斜角度和斜角边的长度。

二、航空航天中的应用
在航空航天领域，勾股定理被广泛应用于飞机和的轨迹计算。

在发射时，通过测量的位置和速度，利用勾股定理可以准确计算的航向和飞行距离。

在飞机导航中，勾股定理也可用于计算飞机在空中的相对位置和距离，以实现安全的飞行操作。

三、地理测量中的应用
在地理测量学中，勾股定理被广泛应用于地图测量和导航。

通
过测量两个已知点之间的距离和角度，勾股定理可以用来计算其他
未知点的位置和距离。

例如，在进行地图测量时，勾股定理可以用
来计算山脉的高度和斜坡的角度。

此外，在GPS导航系统中，勾
股定理有助于准确计算车辆或行人与目的地之间的距离和方位。

四、物理学中的应用
在物理学中，勾股定理常常与牛顿运动定律结合应用。

例如，
在斜面上滑动的物体，可以通过勾股定理和牛顿第二定律计算斜面
的倾斜角度和物体的加速度。

此外，在力学中，勾股定理还可以用
来计算物体的位移和速度，以解决各种运动问题。

总结：
勾股定理作为数学中的重要工具，在各个领域都有广泛的应用。

从建筑工程到航空航天，从地理测量到物理学，勾股定理帮助解决
了许多实际问题。

熟练地掌握勾股定理的应用，有助于提高工作效
率和问题解决能力。

勾股定理中的应用问题(分类整理版)

勾股定理中的应用问题(分类整理版)一、勾股定理的基本概念勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一条基本定理，也被称为毕达哥拉斯定理。

它表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的数学表示如下：$a^2 + b^2 = c^2$其中，a、b表示直角边的长度，c表示斜边的长度。

二、勾股定理的应用问题分类勾股定理在数学和实际问题中有广泛的应用。

我们可以将勾股定理的应用问题分为以下几类：1. 直角三角形的边长问题在已知一个直角三角形中的两条边长，可以利用勾股定理求解第三条边长。

例如，已知直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度c可以通过$a^2 + b^2 = c^2$计算，代入已知数据得到：$3^2 + 4^2 = c^2$$9 + 16 = c^2$$25 = c^2$$c = \sqrt{25}$$c = 5$所以，斜边的长度为5。

2. 直角三角形的角度问题在已知直角三角形中的两条边长，可以利用勾股定理求解角度。

例如，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边与其中一直角边的夹角。

解答：通过勾股定理求解斜边的长度，得到斜边的长度为5。

然后，利用三角函数计算角度。

$\sin(x) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$$x = \arcsin(\frac{3}{5})$所以，斜边与其中一直角边的夹角为$\arcsin(\frac{3}{5})$。

3. 实际问题中的勾股定理应用勾股定理在实际问题中也有许多应用，例如建筑、测绘、航海等。

例如，在测量直角墙角时，可以利用勾股定理计算墙角的大小。

假设墙角两边的长度分别为3和4，求墙角的大小。

解答：利用勾股定理计算斜边的长度，得到斜边的长度为5。

然后，利用三角函数计算墙角的大小。

$\cos(x) = \frac{3}{5}$$x = \arccos(\frac{3}{5})$所以，墙角的大小为$\arccos(\frac{3}{5})$。

勾股定理知识归纳勾股定理的应用

勾股定理知识归纳勾股定理的应用勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，以下是由店铺整理关于勾股定理知识归纳的内容，希望大家喜欢!一、勾股定理1、勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：(1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;(2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

4、勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理1、逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b、2、利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边;(2)算出最大边的平方与另两边的平方和;(3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数、四、勾股定理的一个重要结论由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。

五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

17.2.2勾股定理的应用(精讲)

17.2.2勾股定理的应用题型1：勾股定理的应用-求树/旗杆的高度1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米B．米C．4米D．6米【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D【变式1-1】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCA＝30°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DCA＝30°，∴AC＝2AD，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝（AC）2+62，解得AC＝4，故拉线AC的长是4m，故选：C【变式1-2】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米B．4米C．5米D．7米【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m），故离门4米远的地方，灯刚好打开．故选：B【变式1-3】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．10米B．15米C．16米D．20米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米．故选：B题型2：勾股定理的实际应用-梯子问题2如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴A′C＝2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，∴B′C＝＝＝1.5m，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．故选：D【变式2-1】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）A．8m B．9m C．10m D．12m【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，∴BC＝＝＝（m），∵8＜＜9，∴云梯的长度至少9m，故选：B【变式2-2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（）尺．A．8B．10C．13D．12【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺，故选：D【变式2-3】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是　12　m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动　（12﹣）　m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝5（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案为：（12﹣）题型3：勾股定理的实际应用-九章算术3在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【变式3-1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为尺．【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，根据勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55题型4：勾股定理的实际应用-影响范围4如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h 的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（）小时它就会进入台风影响区．A．10B．7C．6D．12【分析】首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．【解答】解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE＝40x千米，BB′＝20x千米，∵BC＝500km，AB＝300km，∴AC＝400（km），∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，∴AE2+AB′2＝EB′2，即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，解得：x1＝15，x2＝7，∴轮船经7小时就进入台风影响区．故选：B【变式4-1】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，∵ED＝＝140（km），∴EF＝280km，∵台风的速度为28千米/小时，∴280÷28＝10（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为10小时．【变式4-2】如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉机的速度是5米/秒，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；若受到影响，那么学校受到的影响的时间为多少秒？【分析】作AH⊥MN于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH＝AP＝80，则点A 到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性质得BH＝CH，利用勾股定理计算出BH＝60，得到BC＝2BH ＝120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【解答】解：过A作AH⊥MN于H，如图，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160＝80，∵80＜100，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴＝24（秒），答：学校受到的影响的时间为24秒．题型5：勾股定理的实际应用-速度问题5如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB＝＝15（海里），答：甲、乙两渔船相距15海里，故选：D．【变式5-1】在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（）A．北偏东60°B．北偏东50°C．北偏东40°D．北偏东30°【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），又∵AB＝30海里，∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝50°，∴∠BOD＝40°，则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，故选：C．【变式5-2】一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点的直线距离有（）千米．A．26B．18C．13D．32【分析】根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．【解答】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根据勾股定理得AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝242+102，∴AC＝26km．故选：A【变式5-3】如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB＝＝＝60（米）．∴该河流的宽度为60米题型6：勾股定理的实际应用-立体图形的最短路径问题6如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( )A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．+´，【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(23)3dm则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．【变式6-1】如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A ．20cm B ．13cm C ．14cm D ．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP 即可．【答案】解：如图展开，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C Ð=°，11052AC cm cm =´=，20BC cm =Q ，35PC BC =，12CP cm \=，由勾股定理得：222251213()AP AC CP cm =+=+=，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm ，故选：BA ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B ¢，则13138()AA cm ¢=+++=，6A B cm ¢¢=，根据两点之间线段最短，228610AB cm ¢=+=．故选：C ．【变式6-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A ¢®，将圆柱展开，2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ¢¢=+=¸+-+=，最短路程为10PA cm ¢=．故选：B题型7：折叠问题7如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG=10，当折痕的另一端F 在AB 边上时，求△EFG 的面积．【答案】25.【解析】解：如图，过G 作GH ⊥AD 于H ，∵在Rt △GHE 中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，∴EH=102―82=6，∴AE=10﹣6=4．设AF=x ，则EF=BF=8﹣x ，∵在Rt △GHE 中，∠A=90°，∴AF 2+AE 2=EF 2，即x 2+42=（8﹣x ）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5，∴△EFG 的面积=12EF•EG=12×5×10=25．【变式7-1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为．【分析】因为BC 为AF 边上的高，要求△AFC 的面积，求得AF 即可，求证△AFD ′≌△CFB ，得BF ＝D ′F ，设D ′F ＝x ，则在Rt △AFD ′中，根据勾股定理求x ，∴AF ＝AB ﹣BF ．【解答】解：易证△AFD ′≌△CFB ，∴D ′F ＝BF ，设D ′F ＝x ，则AF ＝8﹣x ，在Rt △AFD ′中，（8﹣x ）2＝x 2+42，解之得：x ＝3，∴AF ＝AB ﹣FB ＝8﹣3＝5，∴S △AFC ＝•AF •BC ＝10．故答案为：10【变式7-2】矩形纸片ABCD 中，AD ＝10cm ，AB ＝4cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE ＝ cm ．【分析】根据已知条件可以知道，DE＝BE，若设DE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝10﹣x，在Rt△ABE中可以利用勾股定理，列方程求出DE的长．【解答】解：设DE＝x，则BE＝DE＝x，AE＝10﹣x，又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，即42+（10﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案为：【变式7-3】如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是．【分析】根据△ADE≌△AFE，得AD＝AF，已知AB，AF根据勾股定理计算BF，FC＝BC﹣BF．【解答】解：沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，AF＝AD＝13cm，在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，∴BF＝＝5cm∴FC＝BC﹣BF＝8cm．故答案为8cm。

勾股定理的八大应用

勾股定理的八大应用
1. 测量直角三角形边长和角度：勾股定理可以用来确定直角三角形的斜边长，也可以用来计算两侧的直角边的长度。

它还可以用来计算三角形角度。

2. 计算斜率和距离：勾股定理可以用来计算误差，比如在工程学中，测量仪器的精度可以通过勾股定理来检验。

3. 计算面积和体积：勾股定理可以用来计算任意形状的物体的表面积和体积。

4. 面对三角形和圆形的圆角问题，勾股定理可以帮助我们解决。

5. 在游泳、篮球和足球比赛中，勾股定理可以帮助我们预测运动员的最终目标。

6. 在数学中，勾股定理是三角函数的基础，可以用来证明一些三角函数的恒等式。

7. 勾股定理可以用来推导其他数学和物理方程的解，如波动方程。

8. 勾股定理也可以用于解决实际问题，例如构建建筑物或在电路中设计电路。

勾股定理应用(含解答)

勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．（图1）（2）（3）由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）．例2：如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )A ．a 3B ．a )21(+C ．3aD ．a 5 解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+= 故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．∙ ∙AB C图3⑵∙ AB图3⑴下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．，、点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析（1）由点A 作AD⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．。

勾股定理的纯数学应用

勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。

例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。

2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。

例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。

3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。

例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。

4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。

例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。

5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。

例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。