勾股定理应用整理(的整理)
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C 30 B
17
（2）箱壁上的最短距离
如图，一圆柱高8cm，地面半径2cm，一只蚂蚁 从点A爬到点B处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路 程是多少？
A
A
B
B
18
在图中，如果在正方体箱内的A处 有一只昆虫，它要在箱壁上爬行
. 到B处，至少要爬多远？ B
.A
19
在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，
它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬多
已知： 求：
文字语言
解：如图：设AB=xm,则AC=x+0.5， 在直角三角形ABC中： x2+1.52=(x+0.5)2 解得：x=2 答：河水深2米。
B6
C
10
问题四 旗杆有多高 下图是学校的旗杆,旗杆上的绳 子垂到了地面,并多出了一段. 有一把卷尺你能想办法测量出 旗杆的高度吗? 请你与同伴交流设计方案?
11
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1米，当他们把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗 杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
远？
H
.G
E
F 120
.D
A 40
C
30
B 20
问题六 与方位相关
如图：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的 BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受 到台风影响的区域。 北 （1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城受到这次 台风影响有多长时间？
F
·
B
A
东
21
练习：如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一 棵树的树梢，至少要飞______m
A
8m
C
B
2m 8m
22
问题七 不规则图形的面积
如右图，每个小正 方形的边长为1，求 四边形ABCD的面积。
S四边形ABCD
551151241121114
ab=6
26
(4)
(3)
(2)
变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形 拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为 13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两 条直角边为a,b，求(a+b)2=?
(a+b)2=25
27
(4)
(3)
(2)
变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼 成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13， 中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直 角边为a,b，求直角三角形的周长等于多少？
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内
部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进
杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？
吸管长 １８ｃｍ
5㎝
1３㎝
？
12㎝
5㎝
14
如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、
高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖
盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长
百度文库
度是
．
？ 10㎝
10㎝？ 8㎝
周长=5+ 13 28
问题十
用方程思想解决图形 折叠问题
29
方程思想
规律
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
30
（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸 边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向 岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。
A
0.5
C
2
H
┓
印度数学家什迦逻（?x 1141年-
1225年）曾提出过“荷花问
题”：
B
9
《九章算术》中的折竹问题：“今有竹
高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高
者几何？”
题意是：有一根竹子原
A
高1丈（1丈=10尺）， 中部有一处折断，竹梢
触地面处离竹根6尺，试
x
10-x 问折断处离地面多高？
设：折断处离地面高x尺
2
2
2
2
14.5
23
问题八 在数轴上表示二次根数
在数轴上表示 1 7 的点？
17=1+16=12+42
24
在数轴上表示 7 的点？
7=169=4232
25
问题九 赵爽弦图
(4)
(3)
(2)
小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一 个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间 小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边 为a,b，求ab=?
大家好
1
勾股定理的应用
2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
a勾
b2 = c2 - a2
3
90cm
练一练(数学就在我们身边)
A
?
B
120cm
C
4
问题一 持竿进城（课本P25例1） 问题二 摆梯子（例2）
5
问题三 “引葭赴岸”
《九章算术》专设勾 股章来研究勾股问题， 共24个问题．按性质 可分为三组，其中第 一组的14个问题可以 直接利用勾股定理来 解决．很多是具有历 史地位的世界著名算 题．
6
探索(古题鉴赏)
“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题: “今有池方一 丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与 岸齐。 问水深、葭长各几何？”
A
x
x+1
C
B
5
12
练习：
如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一 杆高20m，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼 鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小 鱼（即E点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼， 结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的 距离各是多少？
D
A
C
B
E
13
问题五 （1）吸管的长度
6㎝
15
如图是一个棱长为10cm的正方体盒子，小 明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入 盒中），问最长能放入多长的铅笔？
H
G
E
F
D C
A
B
16
如图是一个40cm×30cm×120cm 的长方体空盒子。小明准备放入一些铅 笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长 能放入多长的铅笔？
H
G
E
F
D A
40
120
题意是：
有一个边长为10尺的正方形池塘， 在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺，如果把这根芦苇 沿与水池边垂直的方向拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边。请问这个 水池的深度和这根芦苇的长度各是 多少？
7
解：如图
BC为芦苇长， AB为水深，
AC为池中心点距岸边的距离。
5
设AB ＝x尺，则BC ＝（X＋1）尺，
根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2
x
X+1
即：(x+1)2- x2 =52
解得：x＝12
所以芦苇长为12＋1＝13（尺）
答:水深为12尺,芦苇长为13尺。
8
盛开的水莲 平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 渔人观看忙向前，花离原位两尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
17
（2）箱壁上的最短距离
如图，一圆柱高8cm，地面半径2cm，一只蚂蚁 从点A爬到点B处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路 程是多少？
A
A
B
B
18
在图中，如果在正方体箱内的A处 有一只昆虫，它要在箱壁上爬行
. 到B处，至少要爬多远？ B
.A
19
在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，
它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬多
已知： 求：
文字语言
解：如图：设AB=xm,则AC=x+0.5， 在直角三角形ABC中： x2+1.52=(x+0.5)2 解得：x=2 答：河水深2米。
B6
C
10
问题四 旗杆有多高 下图是学校的旗杆,旗杆上的绳 子垂到了地面,并多出了一段. 有一把卷尺你能想办法测量出 旗杆的高度吗? 请你与同伴交流设计方案?
11
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1米，当他们把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗 杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
远？
H
.G
E
F 120
.D
A 40
C
30
B 20
问题六 与方位相关
如图：A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的 BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受 到台风影响的区域。 北 （1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城受到这次 台风影响有多长时间？
F
·
B
A
东
21
练习：如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一 棵树的树梢，至少要飞______m
A
8m
C
B
2m 8m
22
问题七 不规则图形的面积
如右图，每个小正 方形的边长为1，求 四边形ABCD的面积。
S四边形ABCD
551151241121114
ab=6
26
(4)
(3)
(2)
变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形 拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为 13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的两 条直角边为a,b，求(a+b)2=?
(a+b)2=25
27
(4)
(3)
(2)
变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼 成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13， 中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直 角边为a,b，求直角三角形的周长等于多少？
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内
部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进
杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？
吸管长 １８ｃｍ
5㎝
1３㎝
？
12㎝
5㎝
14
如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、
高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖
盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长
百度文库
度是
．
？ 10㎝
10㎝？ 8㎝
周长=5+ 13 28
问题十
用方程思想解决图形 折叠问题
29
方程思想
规律
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
30
（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸 边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向 岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。
A
0.5
C
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┓
印度数学家什迦逻（?x 1141年-
1225年）曾提出过“荷花问
题”：
B
9
《九章算术》中的折竹问题：“今有竹
高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高
者几何？”
题意是：有一根竹子原
A
高1丈（1丈=10尺）， 中部有一处折断，竹梢
触地面处离竹根6尺，试
x
10-x 问折断处离地面多高？
设：折断处离地面高x尺
2
2
2
2
14.5
23
问题八 在数轴上表示二次根数
在数轴上表示 1 7 的点？
17=1+16=12+42
24
在数轴上表示 7 的点？
7=169=4232
25
问题九 赵爽弦图
(4)
(3)
(2)
小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一 个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间 小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边 为a,b，求ab=?
大家好
1
勾股定理的应用
2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方
c
股
弦
b
a2 + b2 = c2 a2 = c2 - b2
a勾
b2 = c2 - a2
3
90cm
练一练(数学就在我们身边)
A
?
B
120cm
C
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问题一 持竿进城（课本P25例1） 问题二 摆梯子（例2）
5
问题三 “引葭赴岸”
《九章算术》专设勾 股章来研究勾股问题， 共24个问题．按性质 可分为三组，其中第 一组的14个问题可以 直接利用勾股定理来 解决．很多是具有历 史地位的世界著名算 题．
6
探索(古题鉴赏)
“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题: “今有池方一 丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与 岸齐。 问水深、葭长各几何？”
A
x
x+1
C
B
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练习：
如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一 杆高20m，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼 鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小 鱼（即E点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼， 结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的 距离各是多少？
D
A
C
B
E
13
问题五 （1）吸管的长度
6㎝
15
如图是一个棱长为10cm的正方体盒子，小 明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入 盒中），问最长能放入多长的铅笔？
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F
D C
A
B
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如图是一个40cm×30cm×120cm 的长方体空盒子。小明准备放入一些铅 笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长 能放入多长的铅笔？
H
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F
D A
40
120
题意是：
有一个边长为10尺的正方形池塘， 在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺，如果把这根芦苇 沿与水池边垂直的方向拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边。请问这个 水池的深度和这根芦苇的长度各是 多少？
7
解：如图
BC为芦苇长， AB为水深，
AC为池中心点距岸边的距离。
5
设AB ＝x尺，则BC ＝（X＋1）尺，
根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2
x
X+1
即：(x+1)2- x2 =52
解得：x＝12
所以芦苇长为12＋1＝13（尺）
答:水深为12尺,芦苇长为13尺。
8
盛开的水莲 平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。 渔人观看忙向前，花离原位两尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？