压杆稳定的概念

§压杆稳定的概念

构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄

壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可

能发生失稳。

由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。

“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。

受压直杆同样存在类似的平衡性质问

题。例如，图15-3a所示下端固定、上

端自由的中心受压直杆，当压力小于

某一临界值时，杆件的直线平衡形式

是稳定的。此时，杆件若受到某种微小

干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微

弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回

到原来的直线平衡位置（图15-3c）。

但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表

明原有的直线平衡形式是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用

表示。

为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。可见，临界力的确定是非常重要的。

本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提高压杆承载能力的措施。

§15-2 细长压杆的临界力

根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度，杆件长度和两端的约束

情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。

1．两端铰支压杆的临界力

两端铰支中心受压的直杆如图15-4a所示。

设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形

式，如图15-4b所示。建立坐标系，任

意截面（）处的内力（图15-4c）为：

，

在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程

，得到：。

令，得微分方程：（a），此方程的通解为：

。

利用杆端的约束条件，，得，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函

数：（b）。

利用约束条件，，得：。

这有两种可能：一是，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处

于微弯平衡形式）不符；二是π，１、２、３……。由此得出相应于临界状态的临界力表达式：。

实际工程中有意义的是最小的临界力值，即时的值：

（15-1）

此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的也称为欧拉

临界力。此式表明，与抗弯刚度（）成正比，与杆长的平方（）成反

比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的应为截面最小的形心主轴惯性矩。

将代入式（）得压杆的挠度方程为：（c），在处，有最大挠度。

在上述分析中，的值不能确定，其与的

关系曲线如图15-5中的水平线所示，这是

由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如

采用挠曲线的精确微分方程，则得曲线

如图15-5中ＡＣ所示。这种曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压

杆的稳定性及失稳后的特性。可以看出，当<时，压杆只有一条平衡路径Ｏ

Ａ，它对应着直线平衡形式。当时，其平衡路径出现两个分支（AＢ和A

Ｃ），其中一个分支（AＢ）对应着直线平衡形式，另一个分支（AＣ）对应着弯曲平衡形式。前者是不稳定的，后者是稳定的。如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将

达到ＡＣ路径上同一值的点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳

定的。平衡路径出现分支处的值即为临界力，故这种失稳称为分支点失稳。分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。

对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即

处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。当压力<，处于路径ＯＦ

Ｇ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平

衡而被压溃。压力称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力小，

且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近。因的计算比

较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。

2．其他约束情况压杆的临界力

用上述方法，还可求得其他

约束条件下压杆的临界力，

结果如下：

1）一端固定、一端自由的压

杆（图15-6a）

2）两端固定的压杆（图

15-6b）

3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c）

综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为：（15-2）