中考数学解析汇编37 代数综合型问题

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人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案

人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案 Revised by BETTY on December 25,2020中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=APOG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S=﹣．最大9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带)

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带) 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢以下是中国（）为您推荐的中考数学代数综合型问题试题整理汇集，希望本篇对您学习有所帮助。

中考数学代数综合型问题试题整理汇集11.以下说法正确的有：①正八边形的每个内角都是135°②与是同类二次根式③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数，当x0，所以===-,故A正确;B中有a-3≥0，a≥3，故B正确;因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，c也正确.=9，9的算术平方根是3，所以D错误.解答：选D.点评：本题考查的知识点有的性质、算术平方根和中点四边形，运用时，先得=|a|,再根据a得符号去掉绝对值符号，这样会有效减少错误.另外，中点四边形主要与原四边形的对角线有关，原四边形的对角线相等，则中点四边形是棱形;原四边形的对角线互相垂直，则中点四边形是矩形;原四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形是正方形.反之也成立.8、下列命题：①方程的解是②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中是真命题的有个个个c2个个【解析】：考查方程的解，平方根的意义，三角形全等的判定，中点四边形的性质【解答】：①漏了一个解;4的平方根是，不能用作三角形全等的判定由中点四边形的性质知，中点四边形一定是平行四边形。

正确的命题只有一个。

故选择D【点评】：对相关概念的准确理解和记忆，熟悉相关图形的性质，是解题的关键。

12.如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于c，D两点，分别过c，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接cF，DE.有下列四个结论：①△cEF与△DEF的面积相等;②△AoB∽△FoE;③△DcE≌△cDF;④.其中正确的结论是A.①②B.①②③c.①②③④D.②③④【解析】根据题意可求得D，c，则F，∴△DEF的面积是：，△cEF的面积是：，∴△cEF的面积=△DEF的面积，故①正确;②即△cEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EF∥cD，△AoB∽△FoE，故②正确;DF=cE，四边形cEFD是等腰梯形，所以△DcE≌△cDF，③正确;⑤∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=Ac，∴Ac=BD，故④正确;正确的有4个.【答案】c【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识并能综合运用.7.下列说法中①若式子有意义，则x>1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2是方程x2-6x+c=0的一个实数根，则c的值为8.④在反比例函数中，若x>0时，y 随x的增大而增大，则k的取值范围是k>2.其中正确命题有个个个个【解析】若式子有意义，则x≥1，①错误;由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确;反比例函数中，若x>0时，y随x的增大而增大，得：k-20，即y随x的增大而增大。

中考数学专题2024代数历年题目解析

中考数学专题2024代数历年题目解析代数作为数学的一个重要分支，是中考数学考试的重点内容之一。

通过掌握代数知识和解题技巧，可以更好地应对中考数学考试中的代数题目。

下面，本文将结合2024年中考数学实际题目，进行代数题目的历年解析，帮助同学们更好地理解和掌握代数知识。

一、线性方程组在中考数学中，线性方程组是一个常见的代数问题。

以下是2024年中考数学中的一道线性方程组题目：【题目】解方程组$$\begin{cases}2x-y=3\\x+y=5\end{cases}$$【解析】该方程组为二元一次方程组。

我们可以使用消元法或代入法进行求解。

方法一：消元法将第二个方程的等式两边同乘2，得到$2(x+y)=2 \times 5\Rightarrow 2x+2y=10$。

将该式与第一个方程相减，消去$y$，得到：$$(2x+2y)-(2x-y)=10-3$$$$3y=7$$$$y=\frac{7}{3}$$代入第二个方程，得到：$$x+ \frac{7}{3} = 5$$$$x = 5- \frac{7}{3}$$$$x = \frac{8}{3}$$所以，方程组的解为：$x=\frac{8}{3}$，$y=\frac{7}{3}$。

方法二：代入法由第二个方程可得：$y=5-x$。

将该式代入第一个方程，得到：$2x-(5-x)=3$，化简得：$x=\frac{8}{3}$。

代入第二个方程，得到：$y=5-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}$。

所以，方程组的解为：$x=\frac{8}{3}$，$y=\frac{7}{3}$。

二、因式分解在代数题目中，因式分解是一个常见的解题方法。

以下是2024年中考数学中的一道因式分解题目：【题目】将多项式$3x^2-x-4$分解因式。

【解析】要想将多项式$3x^2-x-4$分解因式，我们需要找出其因式的组合，使得两个因式的乘积可以得到原多项式。

观察该多项式，可以发现它是一个二次多项式，可以用因式定理来进行分解。

2020年全国各地中考数学解析汇编37 代数综合型问题.doc

2020年全国各地中考数学解析汇编37 代数综合型问题 11. （2020山东莱芜， 11，3分）以下说法正确的有： ①正八边形的每个内角都是135° ②27与31是同类二次根式 ③长度等于半径的弦所对的圆周角为30° ④反比例函数xy 2-=，当x<0时，y 随的x 增大而增大 A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ．4个【解析】正八边形的每个内角度数：180°︒=︒-︒=︒-135451808360，①正确 27=33，31=33，27与31是同类二次根式，②正确一条非直径的弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径的弦所对的圆周角为30°错误反比例函数xy 2-=，当x<0时，y 随的x 增大而增大，④正确【答案】C ．【点评】掌握基础知识，记住当用的结论如正多边形的各个内角的计算、同类二次根式的识别判断、反比例函数的图象的性质。

对于一些多解问题，要做到思考问题全面.7. (2020山东日照，7，3分)下列命题错误．．的是（） A.若 a <1，则(a －1)a-11=－a -1 B. 若2)3(a -=a －3 ，则a ≥3C.依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形D.81的算术平方根是9解析：因为a <1，所以1-a>0，所以(a －1)a-11= (a －1)2)1(1a a --=a a --11 a -1=-a -1,故A 正确；B 中有a －3≥0，a ≥3，故B 正确；因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，C 也正确. 81=9，9的算术平方根是3，所以D 错误.解答：选D ．点评：本题考查的知识点有2a 的性质、算术平方根和中点四边形，运用2a 时，先得2a =|a|,再根据a 得符号去掉绝对值符号，这样会有效减少错误.另外，中点四边形主要与原四边形的对角线有关，原四边形的对角线相等，则中点四边形是棱形；原四边形的对角线互相垂直，则中点四边形是矩形；原四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形是正方形.反之也成立. 8、（2020深圳市 8 ，3分）下列命题：① 方程x x =2的解是x =1 ② 4的平方根是2③ 有两边和一角相等的两个三角形全等④ 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中是真命题的有（）个A . 4个B . 3个C 2个D . 1个【解析】：考查方程的解，平方根的意义，三角形全等的判定，中点四边形的性质【解答】：①漏了一个解；4的平方根是±2，SSA 不能用作三角形全等的判定由中点四边形的性质知，中点四边形一定是平行四边形。

浙江省2023年中考数学真题分类汇编代数式

浙江省2023年中考数学真题分类汇编代数式一、选择题1．（2023·绍兴）下列计算正确的是（）A ．a 6÷a 2=a 3B ．(−a 2)5=−aC ．(a +1)(a −1)=a 2−1D ．(a +1)2=a 2+12．（2023·台州）下列运算正确的是（）．A ．2(a −1)=2a −2B ．(a +b)2=a 2+b 2C ．3a +2a =5a 2D ．(ab)2=ab 23．（2023·宁波）下列计算正确的是( )A ．x 2+x =x 3B ．x 6÷x 3=x 2C ．(x 3)4=x 7D ．x 3⋅x 4=x 74．（2023·丽水）计算a 2+2a 2的正确结果是( )A ．2a 2B ．2a 4C ．3a 2D ．3a 45．（2023·温州）化简a 4⋅(−a)3的结果是（）A ．a12B ．−a12C ．a2D ．−a76．（2023·杭州）分解因式：4a 2−1=（）A ．(2a −1)(2a +1)B ．(a −2)(a +2)C ．(a −4)(a +1)D ．(4a −1)(a +1)7．（2023·金华）要使√x −2有意义，则x 的值可以是（）A ．0B ．-1C ．-2D ．2二、填空题8．（2023·金华）因式分解：x 2+x = . 9．（2023·温州）分解因式：2a 2−2a = 。

10．（2023·丽水）分解因式：x 2-9= ，11．（2023·宁波）要使分式3x−2有意义，x 的取值应满足．12．（2023·嘉兴）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x +1)，请你写出一个符合条件的多项式：。

三、计算题13．（2023·温州）计算：（1）|−1|+√−83+(13)−2−(−4).（2）a 2+2a+1−31+a.14．（2023·宁波）计算：（1）(1+√83)0+|−2|−√9．（2）(a +3)(a −3)+a(1−a)．15．（2023·金华）已知x =13，求(2x +1)(2x −1)+x （3−4x ）的值.16．（2023·嘉兴）（1）解不等式：2x −3>x +1．（2）已知a 2+3ab =5，求(a +b)(a +2b)−2b 2的值．四、综合题17．（2023·嘉兴）观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，⋯（1）写出192−172的结果．（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、a6÷a2=a4，故此选项计算错误，不符合题意；B、(-a2)5=-a10，故此选项计算错误，不符合题意；C、(a+1)(a-1)=a2-1，故此选项计算正确，符合题意；D、(a+1)2=a2+2a+1，故此选项计算错误，不符合题意.故答案为：C.【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，进行计算可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；由平方差差公式，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D选项.2．【答案】A【解析】【解答】解：A、2（a-1）=2a-2，故此选项计算正确，符合题意；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；C、3a+2a=5a，故此选项计算错误，不符合题意；D、（ab）2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意.故答案为：A.【分析】根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），即可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故A不符合题意；B、x6÷x3=x3，故B不符合题意；C、（x3）4=x12，故C不符合题意；D、x3·x4=x7，故D符合题意；故答案为：D【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对D作出判断.4．【答案】C【解析】【解答】解：a2+2a2=3a2，故答案为：C【分析】利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，据此可求解. 5．【答案】D【解析】【解答】解：a4·（-a）3=a4·（-a3）=-a7.故答案为：-a7.【分析】直接根据同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）计算即可. 6．【答案】A【解析】【解答】解：4a2-1=（2a）2-1=（2a-1）（2a+1）.故答案为：A.【分析】直接利用平方差公式分解即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，解得x≥2，所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有选项D符合题意.故答案为：D.【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.8．【答案】x(x+1)【解析】【解答】解：x2+x=x（x+1）.故答案为：x（x+1）.【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.9．【答案】2a(a−1)【解析】【解答】解：2a2-2a=2a(a-1).故答案为：2a(a-1).【分析】直接利用提取公因式法分解分解因式即可.10．【答案】(x+3)(x-3)【解析】【解答】解：x 2-9=（x+3）（x-3）故答案为：（x+3）（x-3）【分析】观察此多项式的特点：有两项，两项符号相反，都能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.11．【答案】x ≠2【解析】【解答】解：∵ 分式3x−2有意义，∴x-2≠0，解之：x≠2. 故答案为：x≠2【分析】利用分式有意义，则分母不等于0，可得到关于x 的不等式，然后求出不等式的解集.12．【答案】x 2−1（答案不唯一）【解析】【解答】解：令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)=x 2-1.故答案为：x 2-1.（答案不唯一）【分析】令另一个因式为(x-1)，则该多项式为(x+1)(x-1)，然后利用平方差公式进行计算.13．【答案】（1）解：原式=1−2+9+4=12；（2）解：原式=a 2+2−3a+1=a 2−1a+1=(a+1)(a−1)a+1=a −1.【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、立方根的的定义、负整数指数幂的性质及去括号法则分别化简，再计算有理数的加减法运算即可；（2）根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算，进而将分子利用平方差公式分解因式后约分化简即可.14．【答案】（1）解：(1+√83)0+|−2|−√9=1+2−3=0；（2）解：(a +3)(a −3)+a(1−a)=a 2−9+a −a 2=a −9．【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，再利用有理数的加减法法则进行计算.（2）利用多项式乘以多项式的法则和多项式除以单项式的法则，先去括号，再合并同类项.15．【答案】解：原式=4x 2−1+3x −4x 2=−1+3x.当x=13时，原式=−1+3×13=0.【解析】【分析】先根据平方差公式及单项式乘以多项式的法则分别计算，再合并同类项化简，最后将x的值代入化简结果按有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.16．【答案】（1）解：移项，得2x−x>1+3，解得，x>4．（2）解：原式=a2+2ab+ab+2b2−2b2，=a2+3ab，=5．【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项的步骤进行求解；（2）根据多项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则即可对待求式进行化简，然后将已知条件代入进行计算.17．【答案】（1）8×9（2）(2n+1)2−(2n−1)2=8n（3）(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n×2=8n。

人教版七年级数学上册代数式中考真题汇编[解析版]

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：________ 方法②：________请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：________（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：，求的值；②己知：，求的值.【答案】（1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2（2）解：①把代入∴，∴②原式可化为：∴∴∴【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面积=（a-b）（a-b）= ．方法②：草坪的面积= ；等式为：故答案为：，；【分析】（1）方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即可得出答案；方法②是正方形的面积减去两条道路的面积，即可得出剩余草坪的面积；根据（1）得出的结论可得出；（2）①分别把的值和的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根据题意，把（x-2018）和（x-2020）变成（x-2019）的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案.2．|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离，例如：|3|＝|3﹣0|，即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|，解决下面问题：（1）数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________；数轴上P、Q两点的距离为6，点P表示的数是2，则点Q表示的数是________；（2）点A在数轴上表示数为x，点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC ＝2OB时，求t的值；________②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________，直接写出距离之和的最小值为________.【答案】（1）3；8或﹣4（2）解：∵多项式2m2n+mn﹣2的常数项是﹣2，次数是3，∴点B、C在数轴上表示的数分别为﹣2、3.；运动t秒，B点表示的数为﹣2+3t，C点表示的数为3+2t，∵OC＝2OB，∴3+2t＝2× ，∴3+2t＝2（﹣2+3t），或3+2t＝2（2﹣3t），解得t＝，或t＝，故所求t的值为或；；5.【解析】【解答】（1）解：数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是|2﹣（﹣1）|＝3；设点Q表示的数是m，则|m﹣2|＝6，解得m＝8或﹣4，即点Q表示的数是8或﹣4.故答案为3，8或﹣4。

九年级数学代数综合问题华东师大版知识精讲

初三数学代数综合问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数综合问题【典型例题】例1. 如果5223313535()()x a a x a x +=++=-①与②是关于x 的同解方程，求a 的值。

解：解方程①得：x a =-275解方程②得：x a =-95∵方程①②是关于x 的同解方程∴-=--=-=27595279711a a a a a例2. 若方程x px q 220+-=（p ，q 是实数）没有实数根，求证：p q +<14。

证明：方程x px q 220+-= 判别式∆=+⨯=+()244422p q p q 依题意：4402p q +<()()()()2414410214410441212104410142222p p p q p p q p q p p p q p q -+++-<-++-<+-<----≤∴+-<∴+<方法二： p q 20+< ∴++<+<-+-+=--p p q p p q p p p p p p 2222 ()=--+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+≤∴+<p p p p q 22141412141414例 3. 已知方程27302x x ++=的解满足不等式13222-->-x x ，求方程3220x y -+=的解。

解：方程27302x x ++=解之：x x 12123=-=-，不等式：13222-->-x x解集为：x <0∵方程的解满足不等式∴=-=-x x 12123，∴=--+===--+==-∴=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪把代入方程中把代入方程中x x y y x x y y x y x y 112211221232201433220721214372例4. 已知无论k 取何值，关于x 的方程2326kx m x nk+=+-的解总是x =1，求m ，n 的值。

数学中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(提高)

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx=和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴2,11.aa k⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得2,1.ak=⎧⎨=⎩(2)将2yx=代入y＝kx+1，消去y，得220kx x+-=．∵k ≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k ．∴1+8k ≥0，解得k ≥18-． ∴k ≥18-且k ≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．【答案】解：(1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1.∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）.将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21c b a∴抛物线解析式为23212-+=x x y . (2)由2)1(21232122-+=-+=x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==.1,3k b∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /与x 轴交点M 即为所求的点.设直线Q A /的函数关系式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+，由于△＝(-m)2－4×1×221202m m ⎛⎫+=--< ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴没有交点．对于关于x 的二次函数2222m y x mx +=--，由于△＝2222()413402m m m ⎛⎫+--⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．故图象经过A ，B 两点的二次函数为22202m y x mx +=--=． (2)将A(-1，0)代入2222m y x mx +=--，得22102m m ++-=．整理，得220m m -=．解之，得m ＝0，或m ＝2．①当m ＝0时，21y x =-．令y ＝0，得210x -=．解这个方程，得11x =-，21x =．此时，B 点的坐标是B(1，0)．②当m ＝2时，223y x x =--．令y ＝0，得2230x x --=．解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3．此时，B 点的坐标是B(3，0)．(3)当m ＝0时，二次函数为21y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．当m ＝2时，二次函数为2223(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例3】【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设xy O 此抛物线在－3≤x ≤12-之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3 =(3m －1)2.∵ (3m －1)2≥0，∴ △≥0，∴ 原方程有两个实数根．（2）解：令y =0，那么 mx 2+(3m +1)x +3=0.解得 13x =-，21x m=-. ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，∴m =1.∴抛物线的表达式为243y x x =++.（3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1.又∵点A 在点B 左侧，∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）.设直线CD 的表达式为y =kx +b .∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得33.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线CD 的表达式为y =－3x +3. 又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54）， ∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）. 当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时，∴－3(－3+n )+3=0，∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时，∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭， ∴n =1312. ∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. 类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．【答案与解析】解：(1)B(1，3)．(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，3)，得33a =．所以232333y x x =+． (3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则 3,20.k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得3,323.k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此直线AB 的解析式为323y x =+．当1x =-时，33y =．因此点C 的坐标为31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． (4)如图所示，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．设点P 的横坐标为x ．则PAB PAD PBD S S S =+△△△ 1122PD AE PD BF =⨯+⨯ 1()2PD AE BF =⨯⨯+ 1()()2D P B A y y x x =-- 2132332332x x ⎡⎤⎫=-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233319332x x ⎫==+⎪⎝⎭ 当12x =-时，△PAB 的面积的最大值为938，此时13,24⎛-- ⎝⎭．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【答案与解析】解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--. 令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】解：(1)∵23y ax bx =++，∴C(0，3)．又∵1tan 3OCA ∠=，∴A(1，0)．又∵6ABC S =△，∴1362AB ⨯⨯=， ∴AB ＝4。

初中数学专题复习代数综合题(含答案)

初中数学专题复习代数综合题(含答案)代数综合题是一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，需要用到化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等数学思想方法。

解决代数综合题需要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破。

同时，需要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，从而达到解决问题的目的。

已知关于x的一元二次方程x－(k＋1)x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值。

解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2 x1 =－6，∴x1 =－3.由韦达定理：－3+2= k＋1，∴k=－2.已知关于x的一元二次方程（k+4）x＋3x+k－3k－4=0的一个根为2，求k的值。

解：把x=0代入这个方程，得k－3k－4=0，解得k1＝1，k2＝－4.因为k+4≠0，所以k≠－4，所以k＝1.需要注意需满足k+4的系数不能为0，即k≠－4.已对方程2x+3x－l＝0，求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数。

解：设2x+3x－l＝0的两根为x1、x2，则新方程的两根为1/x1、1/x2.得到1/x1+1/x2=3，所以新方程为y2－3y－2=0.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）xxxxxxxx… y（件）xxxxxxxx…（省略号表示数据继续往下延伸）。

⑴在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y与x的恰当函数模型。

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上，∴设y=kx+b（k≠0）。

⑵由题意可知每件产品的销售价应为20元，此时每日销售利润为200元。

1、根据题意可列出函数关系：y=ax^2+bx+c，代入三组数据得到三个方程组成的线性方程组：begin{cases} 8.6=1990a+1990b+c \\ 10.4=1995a+1995b+c \\ 12.9=2000a+2000b+c \end{cases}$$解得：$a=0.45,b=-1792.5,c=xxxxxxx$，所以二次函数为$y=0.45x^2-1792.5x+xxxxxxx$，代入$x=15$得到2005年该市国内生产总值为14.1亿元人民币。

最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合）典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

2021届新中考数学必考精点考点专题专题37 二次函数问题原卷版

2021届新中考数学必考精点考点专题专题37 二次函数问题1.二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

抛物线叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点（3）交点式.式。

4．根据图像判断a,b,c的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

6．函数平移规律：左加右减、上加下减.【例题1】（2020贵州黔西南）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A. 点B坐标为(5，4)B. AB＝ADC. a＝D. OC•OD＝16【对点练习】（2020湖北天门模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【例题2】（2020•无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．【对点练习】已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=．【例题3】（2020•河南）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q 的纵坐标y Q的取值范围．【对点练习】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一、选择题1．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y 轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定3．（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣35．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．B．C．D．9.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）．A．B．C．D．10.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是A．B．C．D．二、填空题11．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是．12．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．（2020•泰安）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）14．（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．15．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：．16．（2020•上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．17．（2020•黔东南州）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．18．（2020•灌南县一模）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为．19.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是．20.（2019江苏镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．21.（2019内蒙古赤峰）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x ＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）三、解答题22．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．23．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．24．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．25．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．27．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y ＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．28．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y x+5与x轴、y轴分别交于点A、B （如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．29．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．30．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．31．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？32．（2019贵州贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．。

代数综合问题(含答案)

代数综合问题1、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C （0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE 面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．4、如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交B，与二次函数的图象交另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．（1）求点A的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx 经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．7、如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b 的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．9、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？参考答案1、方法一：解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）设N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，∴MN=﹣，当t=﹣时，MN有最大值，MN=．（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN=BC=，即﹣=，∴t1=﹣1，t2=﹣2，①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴K NC==2，∵K AB=﹣，∴K NC×K AB=﹣1，∴NC⊥BM．②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），∴K NC==，K AB=﹣，∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．2、解：（1）依题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．3、解：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），∵点A，B，C在抛物线上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=4，∵C（0，3），∴OC=3，∴S△ABC=AB×OC=6，∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC，∴，∴S△PBE=（1﹣x）2，∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x+1）2+，当x=﹣1时，S△PCE的最大值为．（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，∴MQ=OQ，∴=，∴8x2+18x=7=0，∴x=，∴y=或y=，∴Q（，），或（，）．4、方法一：解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．∵AC：BC=3：1，∴=．∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO，∴===，∴OA=4CM=4，∴点A的坐标为（﹣4，0）；（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），∴16a﹣4b=0，∴b=4a，∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，得﹣4k+n=0，∴n=4k，∴直线AB的解析式为y=kx+4k，∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，∴3k=a﹣4a，∴k=﹣a．∵△AED中，∠AED=90°，∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°，∴△FCD∽△AED．∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠DAE=45°，∴∠OBA=45°，∴OB=OA=4，∴4k=4，∴k=1，∴a=﹣1，∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．方法二：（1）略．（2）∵A（﹣4，0），x=﹣=﹣2，∴b=4a，∴抛物线：y=ax2+4ax，∴C（﹣1，﹣3a），F（﹣2，﹣4a），∵△FCD∽△AED，∠AED=90°，∴AC⊥FC，则K AC×K FC=﹣1，∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣3a），F（﹣2，﹣4a），∴=﹣1，∴a2=1，∴a1=1（舍），a2=﹣1，∴此时抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣4x．5、解：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点P（a，﹣2a2+6a），则OG=a，PG=﹣2a2+6a．∵S梯形DOGP=（OD+PG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA=OD•OA=×1×1=，S△AGP=AG•PG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△PDA=S梯形DOGP﹣S△ODA﹣S△AGP=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△PDA的最大值为．∴点P的坐标为（，）．6、解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．7、解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得：m=．将点A（2，3）代入y=﹣x2+x+n中，3=﹣1+1+n，解得：n=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．（2）∵P、A、B三点共线，PA：PB=3：1，且点A、B位于点P的同侧，∴y A﹣y P=3y B﹣y P，又∵点P为x轴上的点，点A（2，3），∴y B=1．当y=1时，有﹣x2+x+3=1，解得：x1=﹣2，x2=4，∴点B的坐标为（﹣2，1）或（4，1）．将点A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中，，解得：；将点A（2，3）、B（4，1）代入y=kx+b中，，解得：．∴一次函数的解析式y=x+2或y=﹣x+5．（3）假设存在，设点C的坐标为（1，r）．∵k＞0，∴直线AP的解析式为y=x+2．当y=0时，x+2=0，解得：x=﹣4，∴点P的坐标为（﹣4，0），当x=1时，y=，∴点D的坐标为（1，）．令⊙与直线AP的切点为F，与x轴的切点为E，抛物线的对称轴与直线AP的交点为D，连接CF，如图所示．∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，∴∠DCF=∠EPF．在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF=，CD=﹣r，∴CD=CF=|r|=﹣r，解得：r=5﹣10或r=﹣5﹣10．故当k＞0时，抛物线的对称轴上存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，点C的坐标为（1，5﹣10）或（1，﹣5﹣10）．8、解：由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3），令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；∴DF=4设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；，解得，∴解析式为；y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），∴EF=2，∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，∵E（1，2），∴2=k+b，∴k=2﹣b，∴直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，∵点M、N的坐标是的解，整理得：x2﹣bx+b﹣3=0，∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3；∵|x1﹣x2|====，∴当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2，∵b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，∴直线MN∥x轴．（3）如图2，∵D（1，4），∴tan∠DOF=4，又∵tan∠α=4，∴∠DOF=∠α，∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，∵∠DAO+∠DPO=∠α，∴∠DPO=∠ADO，∴△ADP∽△AOD，∴AD2=AO•AP，∵AF=2，DF=4，∴AD2=AF2+DF2=20，∴OP=19，同理，当点P在原点左侧，OP=17．∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．9、解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅰ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．。

中考数学分类汇编解析：代数几何综合

中考全国100份试卷分类汇编代数几何综合1、（潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . （2）由（1）知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k )，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得（3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -=假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上，则（1）式变为NM N M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

中考数学复习实践应用性问题第37课代数应用性问题(1)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

解析：如图，设小正方形旳边长为单位1，又设EF＝5x，EH＝3x，则2(5x＋3x)＋4×1＝148，x＝9，所以AD＝5×9＋2＝47， AB＝3×9＋2＝29， AD∶AB＝47∶29.
题型分类深度剖析
题型一列代数式解应用题【例 1】据国家税务总局告知，从2023年1月1日起，个人年所
知能迁移1 出租车司机小李某天下午旳营运全是在东西走向旳人民大道上进行旳．假如要求向东为正，向西为负，他这天下午旳行程是(单位：km)：＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18. (1)将最终一名乘客送到目旳地时，小李距下午出车点旳距离是多少？ (2)若汽车旳耗油量为a公升/km，那么这天下午汽车共耗油多少？
解：(1)设AC距离为x千米，则BC距离为(x－10)千米，
由题意得
＝
－10，x2－8x－180＝0，
解之得，x1＝18，x2＝－10. 经检验：x1＝18， x2＝－10是原方程旳根，但距离不能为负数，所以取x＝18. 所以AC两地间旳距离是18千米．
(2)10km≤d≤26km.
题型四列一元二次方程解应用题【例 4】机械加工需要用油进行润滑以降低摩擦，某企业加工
解：(1)70×(1－60%)＝28(公斤)． (2)设乙车间加工一台大型机械设备润滑油用量是x公斤，则有：x[1－60%－(90－x)×1.6%]＝12，整顿，得x2－65x－750＝0，(x＋10)(x－75)＝0， ∴x1＝－10，x2＝75(舍去x1＝－10)，用油旳反复利用率是60%＋(90－75)×1.6%＝84%. 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是75公斤，用油旳反复利用率是84%.
3．给出实际问题旳图象或图表等数学模型，利用数学知识求解．

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)
以下是为您推荐的中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)
11. (2012 山东莱芜，11，3 分)以下说法正确的有：
①正八边形的每个内角都是135 度
②与是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30 度
④反比例函数，当x 小于0 时，y 随的x 增大而增大
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D.4 个
【解析】正八边形的每个内角度数：180 度，①正确
= ，= ，与是同类二次根式，②正确
一条非直径的弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径的弦所对的圆周角为30 度错误
反比例函数，当x 小于0 时，y 随的x 增大而增大，④正确
【答案】C.
【点评】掌握基础知识，记住当用的结论如正多边形的各个内角的计算、同类二次根式的识别判断、反比例函数的图象的性质。

对于一些多解问题，要做到思考问题全面.
7. (2012 山东日照，7，3 分)下列命题错误的是( )
A.若a 小于1，则(a-1) =-
B. 若=a-3 ，则a≥3
C.依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
今天的努力是为了明天的幸福。