大学物理.力对物体的时间累积效应

2.2 力对物体的时间累积效应
三大 守恒定律
动量守恒定律 动能转换与守恒定律 角动量守恒定律 物理学大厦 的基石
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2.2 力对物体的时间累积效应
力的瞬时效应
加速度 a
F (t )对 t积累 I , p F 对 r 积累 W , E
力的累积效应
动量、冲量 、动量定理、动量守恒
dp 2 v ax 2ax ax 3ax dt
F xg
根据动量定理，得到
X
F
a

x
O
xg
N
dp F xg 3ax dt
F xg 3xa
(l x) g
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2.2 力对物体的时间累积效应 o 例2、 一质量均匀分布的柔软细 绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水 x 平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将 落在桌面上。试证明：在绳下落的过程 中，任意时刻作用于桌面的压力，等于 已落到桌面上的绳重量的三倍。 x 证明：取如图坐标，设绳长为 l . t时刻，系统总动量
ex F
ex dp , F 0, dt
pC
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2.2 力对物体的时间累积效应
讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一 物体的动量是可变的．
(2) 守恒条件：合外力为零．
ex ex F Fi 0
i
ex in 当 F F 时，可近似地认为
t1 t1 t2
t1 t2
说明
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
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2.2 力对物体的时间累积效应
二
质点系的动量定理
质点系
对两质点分别应用 质点动量定理：
t2
F1
F21 F12
m1
F2
m2
( F F ) d t m v m v 1 12 1 1 1 10 t1 t2 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20
M 2 2 F v v 而v 2 gx F 2Mgx / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
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证明二：
2.2 力对物体的时间累积效应 o x
取如图坐标，设t时刻已有x长的 柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有 质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt 的速率碰到桌面而停止，它的动量变 化为：
p (l x)v
dp 2 v (l x) g dt
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2.2 力对物体的时间累积效应
t时刻，系统受合外力
根据动量定理:
F (l x) g
dp 2 v (l x) g F (l x) g dt
柔绳对桌面的冲力 F F 即：
x
dp vdm vdx
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
dp vdx F ＝ ＝－v 2 dt dt
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2.2 力对物体的时间累积效应 柔绳对桌面的冲力 F F 即：
M 2 F v v L
2
而v 2 gx F 2Mgx / L
2
已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
t 越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
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2.2 力对物体的时间累积效应
质点系动量定理
ex Fi dt pi pi 0 t0 i i i ex ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
则系统的总动量不变 ——动量守恒定律
i
t I
系统总动量守恒．
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2.2 力对物体的时间累积效应
ex ex ex (3) 若 F Fi 0 ，但满足 Fx 0
有 px
m v
i i
i
ix
Cx
i
F
F
ex x
ex y
0,
0,
px mi vix Cx
i
p y mi viy C y
pz mi viz Cz
t2
t1

t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
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2.2 力对物体的时间累积效应

t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 p p0 i 1 i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
ex F F1 F2 FN I p p0
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2.2 力对物体的时间累积效应
注意
区分外力和内力
内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
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2.2 力对物体的时间累积效应
讨论 （1） F 为恒力
F
I Ft
O
t1
t2
动能、功、动能定理、机械能守恒
2
2.2 力对物体的时间累积效应
一
冲量
质点的动量定理
dt
dp 由F ma 可得：F
t2 冲量（矢量） I Fdt
t1
3
2.2 力对物体的时间累积效应
dp d (mv) 微分形式 F dt dt t2 I Fdt mv2 mv1 积分形式
i
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F 0,
ex z
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基 本的定律之一．
2.2 力对物体的时间累积效应
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度
的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若 用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。 当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。ຫໍສະໝຸດ t（2） F 为变力
t2 I Fdt F (t2 t1 ) F t1
O
F
t1
t2
t
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2.2 力对物体的时间累积效应
动量定理常应用于碰撞问题
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv
t1
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2.2 力对物体的时间累积效应
t1 (F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 t1 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
M
m
M
f mM
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2.2 力对物体的时间累积效应
例4 如图所示，A、B、C三物体的质量均为 M，B、C之间有一长度为l0 的细绳连接，放 在光滑的桌面上， t 0 时，B、C距离为零。 求（1）A、B运动后多长时间，C开始运动； （2）C刚开始运动时的速度。
N C
B

NB
TA TB TB
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
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2.2 力对物体的时间累积效应 例3 一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水 平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速 度 υ0 滑向车顶。设物体和车顶之间的摩擦系 数为 ，欲使物体不滑下车顶，求小车的长 度至少为多少。
υ0
m
f mM
解：以链条为系统，向上为 X 正向，地面为原点 建立坐标系。 X t时刻，系统总动量 p xv v a dx dv dp d(xv) v x x dt dt dt dt
v ax
2
O
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2.2 力对物体的时间累积效应 系统动量对时间的变化率为：
t时刻，系统受合外力
N
B
A
Mg
A
TA Mg
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t1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力 作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量．
4
2.2 力对物体的时间累积效应
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z