2005年考研数学一真题(解析)

2005年考研数学一真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线1

22

+=x x y の斜渐近线方程为 _____________.

（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1)1(-=y の解为. ____________.

（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3

1=

n ρ，则)

3,2,1(n u

∂∂=.________.

（4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界

の外侧，则

⎰⎰∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.

（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵

),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B ..

（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则

}2{=Y P =____________.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前の字母填在题后の括号内）

（7）设函数n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→，则f(x)在),(+∞-∞内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ⇔表示“M の充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]

（9）设函数⎰

+-+-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导

数，则必有

(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y

u x u ∂∂=∂∂.

(C) 222y

u

y x u ∂∂=∂∂∂. (D)

222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ]

（10）设有三元方程1ln =+-xz

e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一个邻域，在此邻域

内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数z=z(x,y).

(B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).

(D)

可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]

（11）设21,λλ是矩阵A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关の充分必要条件是

(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]

（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A の第1行与第2行得矩阵B, *

*

,B A 分别为A,B の伴随矩阵，则

(A) 交换*A の第1列与第2列得*B . (B) 交换*A の第1行与第2行得*B . (C) 交换*A の第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A の第1行与第2行得*B -.

[ ]

（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则

(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1

(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ]

（14）设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X 为样本均值，2

S 为样本方差，

则

(A) )1,0(~N X n (B) ).(~2

2

n nS χ

(C) )1(~)1(--n t S

X

n (D) ).1,1(~)1(2

2

21--∑=n F X X n n i i [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(2

2

≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++の最大整数. 计算二

重积分

⎰⎰++D

dxdy y x xy .]1[2

2 （16）（本题满分12分）

求幂级数

∑∞

=--+

-1

21

))

12(1

1()

1(n n n x n n の收敛区间与和函数f(x).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C の方程为y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

⎰

'''+3

2.)()(dx x f x x

（18）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；

（II ）存在两个不同の点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （19）（本题满分12分）

设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰

++L

y x xydy

dx y 4

222)(ϕの值恒为同一常数.

（I ）证明：对右半平面x>0内の任意分段光滑简单闭曲线C ，有

022)(4

2

=++⎰

C

y

x xydy

dx y ϕ；

（II ）求函数)(y ϕの表达式. （20）（本题满分9分）

已知二次型212

32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=の秩为2.

（I ） 求a の值；

（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0の解. （21）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A の第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0の通解..

（22）（本题满分9分）

设二维随机变量(X,Y)の概率密度为

.,

20,10,

0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨

⎧=

求：（I ） (X,Y)の边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；