全国高中数学联赛及答案

全国高中数学联赛试题

第一试10月12日

一、选择题

本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，

得到一个新数列.

这个数列的第

2003

项是

【答】（）

（A ）2046 (B) 2047

(C) 2048

(D)

2049

2.设,,0,a b

R ab 那么直线0ax

y b 和曲线2

2

bx

ay

ab 的图形是【答】（

）

(A) (B)

(C) (D)

3. 过抛物线

2

82

y

x 的焦点F 作倾斜角为60的直线. 若此直线与抛物线交于

A ，

B 两点，

弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于【答】（

）

（A ）

163

(B)

83(C)

1633

(D) 83

4. 若5,

,123

x

则2tan tan cos 3

6

6

y

x

x

x

的最大值是

（A ）

1225

(B)

112

6

(C)

127

(D)

125

【答】（

）

5. 已知

,x y 在区间

2,2内，且1,xy

则函数2

2

494

9

u

x

y

的最小值是

（A ）

85

(B)2411

(C) 127

(D)

125

【答】（）

6.在四面体ABCD 中设1,3AB CD

，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为

3

，则四面体

ABCD 的体积等于【答】（

）

（A ）

32

(B)

12

(C)

13

(D)

33

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式

3

2

2430x

x

x

的解集是______________

8．设12,F F 是椭圆

2

2

194

x y

的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF ，则12

PF F 的面积等于_____________. 9. 已知

2

43

0,,A

x x x x R 12

20,275

0,.x

B

x a

x a

x

x

R 若A

B ，则实数a 的取值范围是

_____________. 10.

已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,2

4

a c b

d

若9a c ，则

b d

____________.

11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于

________.

12．设_____________

120.011,2,

,1),1,

n

n i n

M n a a a a i

n a 十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则

lim

n n

n

S T ________.

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．设

35,2

x 证明不等式2123153219.

x x x y

x

y

x

y

x

x

y