固体物理之四

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固体物理第四章_晶体的缺陷

习题测试1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量与X射线衍射测定的晶格常数相对变化量存在差异，是何原因？3.KCl晶体生长时，在KCl溶液中加入适量的CaCl溶液，生长的KCl晶体的质量密度比理2论值小，是何原因？4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?5.金属淬火后为什么变硬?6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?12.一个空位花费多长时间才被复合掉？13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？17.离子晶体的导电机构有几种?习题解答1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量与X射线衍射测定的晶格常数相对变化量存在差异，是何原因？[解答]肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X射线衍射测定的晶格常数相对变化量, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式>.溶液，生长的KCl晶体的质量密度比理3.KCl晶体生长时，在KCl溶液中加入适量的CaCl2论值小，是何原因？[解答]由于离子的半径(0.99)比离子的半径(1.33)小得不是太多, 所以离子难以进入KCl晶体的间隙位置, 而只能取代占据离子的位置. 但比高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据离子的一个将引起相邻的一个变成空位. 也就是说, 加入的CaCl越多, 空位就越多. 又因为的原子量(40.08)与的2溶液引起空位, 将导致KCl 原子量(39.102)相近, 所以在KCl溶液中加入适量的CaCl2晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为和, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为和, 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为和, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为, 则由(4.47)矢可得,,,.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即<,<. 由问题1.已知, 所以有<, <. 另外, 由于和的离子半径不同, 质量不同, 所以一般, .也就是说, 一般. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数,空位机构自扩散系数.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, <,<, 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是, 平均来说, 填隙原子要跳步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间.由以上两式得>>1.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时, 它才扩散一步, 所需等待的时间是. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率, 晶体结构(晶格常数), 激活能()三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间后变成填隙原子, 又平均花费时间后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间.因为>>,所以填隙原子自扩散系数近似反比于. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？[解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷,这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.17.离子晶体的导电机构有几种?[解答]离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. 离子晶体中有4种缺陷: 填隙离子, 填隙离子, 空位, 空位. 也就是说, 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. 离子晶体中, 空位附近都是负离子, 空位附近都是正离子. 由此可知,空位的移动实际是负离子的移动, 空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, 填隙离子和空位的漂移方向与外电场方向一致, 而填隙离子和空位的漂移方向与外电场方向相反.。

固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以及电子波函数反对称性而带来的交换作用。能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似：原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

固体物理学：第四章第二节平面波法

V(K4 K2)
V (K4 K3)
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波叠加，得到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出 100个能量本征值:
n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
上面波函数还可以写成上面波函数还可以写成写成狄拉克符号形式写成狄拉克符号形式其中其中kk平面波平面波所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加
第四章能带论
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定平面波的数目，相当于给定一个电子的最大动能。由此我们可以定义一个平面波的截断能量(cut-off energy):
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃，那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而为相对于平均势的起伏
用| k+K h’>齐次方程

固体物理-第4章-晶体中的缺陷和扩散-4

这种空位—间隙原子对称为弗伦克尔缺陷。
（成对出现）
4、杂质原子在材料制备中，有控制地在晶体中引入杂质原子
A、杂质原子取代基质原子而占据格点位置,称替代式杂质。
（二者相接近或前者大一些）
B、杂质原子占据格点间的间隙位置，称填隙式杂质。
（杂质原子比基质原子小）
点缺陷的运动 1、空位的运动
空位运动势场示意图
原子结合成晶体的源动力:原子间的吸引力. 理想晶体的生长
问题4：当初如何提出位错概念？位错滑移如何理解？
Ax A d
a
x a 2
xa 2
弹性形变
范性形变原子不能回到原来位置,易到A
即发生滑移
Ax A
d a
?有问题
最初认为: 滑移是相邻两晶面整体的相对刚性滑移
则可计算:使其滑移的最小切应力: c
第四章晶体中的缺陷和扩散
原子绝对严格按晶格的周期性排列的晶体不存在
缺陷举例：如晶体表面、晶粒间界、人为掺杂等
如金刚石
空位
点缺陷填隙原子（0维）
杂质原子
刃位错
线缺陷
晶体缺陷的基本类型（1维）
（按维度或尺寸分类）
螺位错
大角晶界
晶粒间界
面缺陷
小角晶界
（2维）堆垛间界（层错）
问题1：点缺陷的定义、分类、运动及其对晶体性能影响？
若某一晶面A丢失，则原子面排列： ABCABCBCABC………..
问题7:一定温度下,系统达统计平衡时,
热缺陷（空位.间隙原子）数目？
热力学平衡条件
平衡状态下晶体内的热缺陷数目
系统自由能F U TS 最小
F n T
0
热缺陷的数目
1、肖脱基缺陷（或空位）浓度

固体物理知识点总结第四章

第四章金属自由电子理论总
电子气的热容量功函数和接触电势差
结
自由电子气的能量状态
自由电子气的能量状态
一、自由电子气的能量状态 1.自由电子气(自由电子费米气体)：是指自由的、无相互：是指自由的、作用的、遵从泡利原理的电子气。作用的、遵从泡利原理的电子气。 2.自由电子气的能量
2πnx kx = L ; 2πny ; ky = L k = 2πnz ; z L
−( E0 −EF )
4πem j＝ 3 (kBT)2 e h
3.接触电势
kBT
= AT e
2 −ϕ kBT
两块不同的金属A 两块不同的金属A和Ｂ相接触，或用导线连接起来，两块相接触，或用导线连接起来，金属就会彼此带电产生不同的电势V 称为接触电势。金属就会彼此带电产生不同的电势 A和VB，称为接触电势。
1 VA − VB = ( ϕ B −43; C = γT + bT
e V a V
3
π2 k２ R 2 B ＝ π Z γ = N0 Z 0 2 EF 2T 0 F
12 Rπ4 b= 3 5 θD
功函数和接触电势差
1.功函数：电子在深度为E 的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属，电子在深度为 0的势阱内，要使费米面上的电子逃离金属，的能量，称为脱出功又称功函数。至少使之获得ϕ=E0－ＥＦ的能量，ϕ称为脱出功又称功函数。 2.里查逊—德西曼公式
h2k 2 h2 2 2 E= (kx + k 2 + kz ) = y 2m 2m
3.能态密度
∆Z dZ N(E) = lim = E dE ∆E→0 ∆
自由电子气的能态密度
dZ = cE1 2 N(E) = dE

固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板

Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性

能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面

等能面等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li

固体物理(2011) - 第4章能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波

2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相

固体物理学：第四章第六节赝势方法

将4.6.1式代入，得到
左边可以得到：
将上式写为
其中
称为赝势。而
是在赝势作用下运动电子的波函数。
对比4.6.3和4.6.7可以看到，赝势下的赝波函数与真实势下的布洛赫波函数具有完全相同的能量本征值。
固体能带论主要关心的是导带和价带电子的能带结构，而不是波函数本身。我们可以选择适当的赝势，则可以比较容易地求解出基本真实的能谱。
1990年，David Vanderbilt提出了USPP。
氧的2p轨道
超软赝势一般对于较“硬”的元素也可以得到较“软”的波函数，从而可以减少平面波数目，减少计算量。当然由于去掉了模守恒条件，USPP在形式上相对复杂一些，在计算电荷密度时候需要进行补偿等。
赝势的好坏
结果是否准确计算量大小可移植性好坏
正交化平面波法中的正交项起到了抵消势能的作用，给出了一个比真实势弱得多的有效势。在此基础上，菲利普（J. C. Phillips）和克雷曼（L. Kleinman）于 1959年发展了所谓的赝势方法。
将正交化平面波法的波函数改写为：
这里引入了一个新的函数
它是一个简单由平面波叠加的函数，只是展开式的系数a由正交化平面波法确定。晶体中的布洛赫波满足薛定谔方程：
模守恒赝势以单个原子的全电子（AE）薛定谔方程的解为参考，需要满足如下条件：
能量本征值相同
赝径向波函数没有能量节点
在截断半径rc之外，PS与AE径向波函数相同在截断半径rc之内，PS与AE径向波函数平方（电荷密度）的积分数值相同（模守恒条件）。这样保证可以产生正确的电荷密度。
PP for Au
产生赝势是一个十分需要经验的事情，产生的赝势一般需要严格的测试，才能用于实际计算！

固体物理学的奥妙

固体物理学的奥妙固体物理学是物理学的一个重要分支，研究物质的固态结构、性质和相互作用规律。

固体物理学的研究对象是固体，固体是物质的一种状态，具有一定的形状和体积，其分子或原子排列紧密，具有一定的结构和性质。

固体物理学的研究内容涉及晶体结构、晶体缺陷、晶体生长、固体的热学性质、电学性质、磁学性质等方面，揭示了固体的许多奥妙。

固体物理学的奥妙之一在于晶体结构的研究。

晶体是固体物质中具有长程有序结构的物质，其原子或分子按照一定的规律排列，形成周期性的结构。

固体物理学家通过X射线衍射等方法揭示了晶体的结构，揭示了晶体中原子或分子的排列方式，从而揭示了固体的性质和行为。

晶体结构的研究不仅揭示了物质的微观结构，还为材料设计和制备提供了重要的理论基础。

固体物理学的奥妙之二在于晶体缺陷的研究。

晶体缺陷是指晶体中原子或分子的周期性排列被破坏所形成的缺陷，包括点缺陷、线缺陷和面缺陷等。

晶体缺陷对固体的性质和行为具有重要影响，如固体的导电性、热导率、机械性能等都与晶体缺陷密切相关。

固体物理学家通过实验和理论研究揭示了晶体缺陷的形成机制和对固体性质的影响规律，为材料的性能优化和改进提供了重要的参考。

固体物理学的奥妙之三在于固体的热学性质研究。

固体的热学性质包括热容、热传导、热膨胀等，这些性质反映了固体在温度变化下的行为。

固体物理学家通过热力学和统计物理学的理论分析，揭示了固体的热学性质与其微观结构之间的关系，为固体材料的热管理和应用提供了理论支持。

固体物理学的奥妙之四在于固体的电学性质研究。

固体的电学性质包括导电性、介电常数、电磁感应等，这些性质与固体中电荷载体的运动和排列有关。

固体物理学家通过量子力学和固体物理学理论，揭示了固体的电学性质与其晶体结构、电子结构之间的联系，为固体材料的电子器件设计和应用提供了理论指导。

固体物理学的奥妙之五在于固体的磁学性质研究。

固体的磁学性质包括顺磁性、铁磁性、反铁磁性等，这些性质与固体中原子或分子的磁矩排列有关。

固体物理：能态密度和费米面

第四章能带理论
例二
3
V N(E)
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
3
g(E) N(E) V
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
概念：能态密度的临界点（范霍夫奇点）
第四章能带理论例四
费米能级EF即如何来算费米能级
费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：
EF gE dE n或 EF N E dE N
0
0
费米球半径kF
N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包括的状态数恰好等于N，即
V
2 2 3
4
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
一、能态密度函数
第四章能带理论
1、能态密度函数定义：
在E—E+ ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则能态密度函数定义为：
Z N(E) lim
E0 E
或N (E) dZ dE
单位体积能态密度g(E)：
k y dk dV dsdk
g(E) 1 N(E) V
里渊区的高对称点处。
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点。
第四章能带理论例四
k E s (k ) 0的点 :
Γ点[
k
0,0,0
]是极小值点；E (k )

固体物理学：第四章第五节正交化平面波法

比如Li，它的电子组态是1s2 2s1，内层电子只有一个带，如果取一个正交化平面波取构造导带电子的布洛赫波，得到这里
得到Li的合理的能谱：
对比4.2.13和4.5.13，可以看到，与平面波不同的是，现在用有效势U替代了真是势V。
U的第一项来源于真是势V，它是负值。第二项来源于正交化手续，它是一个正量。
1940年，赫令（Herring）提出了一种克服平面波方法收敛性差的方案。原则上，固体能带可分为两类：一类是内层电子的能带，它是一种窄带。内层电子的状态可以用紧束缚波函数来描述：
用狄拉克符号写为：
它满足
H是晶格哈密顿量，Ec是内层电子能带，c表示内层电子波函数的量子数。另一类是外层电子的能带，是一种宽带。我们把最高被电子占满的能带称为价带，而最低空带或者半满带称为导带。固体的物理性质主要决定于价带和导带中的电子。
第四章能带论
§4.5 正交化平面波法
Orthogonalized plane wave
前面讨论了平面波方法，它是一种严格求解周期势场中单电子波函数的方法，物理图像也很清楚。但平面波有个致命的弱点，即收敛性差，要求解的本征值行列式阶数很高。
这是因为固体中价电子的波函数，在离子实区域以外是平滑函数，而在离子实区有较大的振荡，以保证与内层电子波函数正交，要描述这种振荡波函数，就需要大量的平面波。
导带和价带电子，离子实区和离子实区域外是两种性质不同的区域。在离子实区，电子感受到弱的势场作用，波函数是平滑的，很像平面波。
而在离子实区域，由于强烈的局域势作用，波函数急剧震荡，和平面波相差很多。
因此最好用平面波
和壳层能带波函数
的线性组合来描述价带和导带电子的布洛赫波函数：

孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.2 长波近似

因此恢复力又可写为:
um1 um F c a/2
此外,因第m +1个原子的位移而引起的对第m 个原子产生的恢复力可写为:
F ( u u ) m 1 m
mM 对于一维复式格子,质量密度为： 1 a c 2 v a 弹 2 ( m M )
对于长光学波,用u+表示质量为M的正离子位移,用u-表示质量为m的负离子位移. 由正、负离子的相对位移所引起的宏观电场强度设为E.这时,作用在离子上的除了准弹性恢复力之外,还有电场的作用. 但是,必须注意,作用在某一离子上的电场不能包括该离子本身所产生的电场. 从宏观电场强度E中减去该离子本身所产生的场强,称为有效场强,用E有效表示
N N W u W u V V
N * N E q u /1 u W / 把 E 有效 V 3 V 0 0 3
N V
代入
u u q E 得：
* 有效
N N N N * * W / W / qE u / 1 q V V V V 0 0 3 3 整理得： * 2 * ( ) /3 0V N q Nq W W E N V N 1 1 3 0V 3 V 0
一、长声学波由前面一维双原子链的色散关系,声学波：
1 2 m M m M 2 1 4 2 2 () q 1 1 s i n a A q 2 m M m M ) 2 (
当波矢q
2 A qa (m M ) 2
* 有效
其中b12 =b21, 这组方程是黄昆在1951年讨论光学波的长波近似时引进的,通称为黄昆方程.

固体物理(第4课)倒易空间

b2，-b2．
-b1＋b2
－b1-b2
b1＋b2 b1-b2
离原点再远的倒格点有４个：
２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1 －２b２
二维正方晶格的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格a. 简来自方晶格倒易空间示意图aaa321
ai aj ak
图5 闪锌矿结构的本征GaN材料的能带结构图，导带最小和价带最大。
作
业
1 试证简单立方晶格的倒易点阵仍为简单立方晶格，体心立方和面心立方互为倒易点阵。分别计算其第一布里渊区的体积（假设其晶胞晶格常数为a）。
2 有一二维晶格，其原胞基矢分别为
a1
2
i
，a2
4j
（a1、a2的长度均以
A为单位），
布里渊区示意图2-2
：坐标原点0,0,0 ： 100 H： 2 1,0,0
a
： 110 N： 2 1 , 1 ,0
a 2 2
： 111 P： 2 1 , 1 , 1
a 2 2 2
简约布里渊区：正十二面体
V
2
2
a
3
V倒易原胞
返回
布里渊区示意图3-1
倒易
面心立方的倒易点阵是体心立方
结论：若两矢量点积为2的整数倍，且其中一个矢量
为正点阵位矢，则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2 b3 )

孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.4 晶格比热

下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规
律。
一、晶体比热的一般理论晶体的定容比热定义为：
CV

T
V
是晶体的平均内能, 包括与热运动无关的基态能量、
晶格振动的平均能量(晶格热能)和电子热能三部分.
CV CVa CVe
晶格振动比热晶体电子比热
通常情况下， CVe CVa 本节只讨论晶格振动比热. 根据经典统计理论的能量均分定理,每一个自由度的
e
kBT
s (q )
kBT
2 1

s
(q
)
kBT
2

将CV中的求和改成积分，认为频率在q空间为球面, 则：体积元dq对应的波矢数目为：
V
(2
)3

4
q2dq

V
2
2
q2dq
qy
所以有：
qx
s (q )
CV

kBV
2 2
3p s
FBZ
e
e
kBT
s (q ) kBT
考虑到：s (q) cs (q)q,
2

2
O
m
在很低温度下：CV

T
s
cs (q)q Vdq
e
cs (q)q kBT
1
8 3
A
π
o
2 M
πq
a
a
注意：这和第一章态密度的求法类似。且
我们考虑的是整个晶体V。积分范围限制在第
一布里渊区。
不过,按照前面的分析,在很低的温度下, s(q) kBT 部分对上面的积分贡献很小，因而，积分也可看成是在整个q空间进行。

固体物理考题第四章能带理论

第四章能带理论1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a 处的能隙2怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明）3简单推导布洛赫（Bloch ）定理4对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ，λ 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区；λ 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线；λ 画出其态密度随能量变化的示意图。

5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。

6推导bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。

7在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。

设晶体中第m 个原子的位矢为：112233m m m m =++R a a a …………………………………………………………（5-4-1）若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()i m ϕ-r R ，该波函数满足方程：22()()()2m i m i i m V m ϕεϕ⎡⎤-∇+--=-⎢⎥⎣⎦r R r R r R …………………………（5-4-2）其中()m V -r R 为上述第m 个原子的原子势场，i ε是与束缚态i ϕ相对应的原子能级。

如果晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量i ε的束缚态波函数i ϕ。

因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并的系统：能量为i ε的N 度简并态()i m ϕ-r R ，m=1，2，…，N 。

实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。

由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个能级构成的能带。

根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合(,)()()m i m ma ψϕ=-∑k r k r R …………………………………………………（5-4-3）作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为：22()()()2U E m ψψ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦r r r ……………………………………………………（5-4-4）其中晶体势场U (r )是由原子势场构成的，即()()()n l nU V U =-=+∑r r R r R ……………………………………………………（5-4-5）微扰计算（5-4-4）式可以转化为如下形式：()()22()()()2m m V U V E m ψψ⎡⎤-∇+-+--=⎢⎥⎣⎦r R r r R r r 代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得：[()()()]()0mi m i m m a E U V εϕ-+---=∑r r R r R ……………………………………（5-4-5）在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较i ϕ态的轨道大得多，不同原子的i ϕ重叠很小，从而有：()()*i n i m nm d ϕϕδ--=⎰r R r R r ……………………………………………………（5-4-6）现以()*i n ϕ-r R 左乘方程（5-4-5），并对整个晶体积分，可以得： *()()[()()]()n i m i m m i m ma E a U V d 0εϕϕ-+---⋅-∑⎰r R r r R r R r =……………（5-4-7）首先讨论（5-4-7）式中的积分。

固体物理第四章(1)Bloch定理

i

ˆ H i i r i Ei i r i

（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。

周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有电子都适用，是所有电子的解。如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N

（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且

ik r r e uk r

（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r