2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题05《导数及其应用》【教师版】
专题05 应用导数研究不等式恒成立问题(解析版)
专题05 应用导数研究不等式恒成立问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究不等式恒成立问题的主要命题角度有：证明不等式恒成立、由不等式恒(能)成立求参数的范围、不等式存在性问题.本专题就应用导数研究不等式恒成立问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法---参变分离、数形结合、最值分析等.一、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.二、不等式恒成立问题的求解策略(1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a＞0，Δ＜0或a＜0，Δ＜0)求解．三、不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．【压轴典例】例1．（2021·全国高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（ ）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1- CD ．e【答案】D【详解】由()1ln 1n n a a +=+得()111ln 1n n n n a a a a +++-=-+，设()ln(1),1f x x x x =-+>-， ()1x f x x '=+，()f x 在(1,0)-单调递减，在(0,+∞）单调递增，故min ()(0)0f x f ==，则10n n a a +->，所以1n n a a +≤， 1n a ≥，由11n n a a λ++≥得111ln(1)n n a a λ++++≥易得11ln(11)n n a a λ++≤++，记110n t a ++=>，所以111ln(1ln )n n a t a t ++=++，记()ln t f t t=，()2ln 1()ln t f t t -'=，当ln 10t ->即()0f t '>得t e >时()f t 单调递增，当ln 10t -<即()0f t '<得0t e <<时()f t 单调递减，所以min ()()f t f e e ==，得e λ≤，例2．（2021·浙江嘉兴市·高三）已知函数()()()1x f x e a tax =-+，其中0t ≠．若对于某个t ∈R ，有且仅有3个不同取值的a ，使得关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则t 的取值范围为（ ）A ．()1,eB ．(),2e eC ．(),e +∞D ．()2,e +∞ 【答案】C【详解】显然0a ≥，否则0x e a ->，于是()()()10x f x e a tax =-+≥，即10tax +≥，这与不等式的解集为R 矛盾．又易知0a =时，不等式()0f x >恒成立．于是仅需再分析0a >的情形．易知0t >，由()()()10x f x e a tax =-+=知ln x a =或1x ta=-，所以11ln ln a a a ta t =-⇔-=．所以原问题等价于关于a 的方程1ln a a t-=有两解，设()ln h a a a =，则()ln 1h a a '=+，10a e <<时，()0h a '<，()h a 递减，1a e>时，()0'>h a ，()h a 递增，所以min 11()h a h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0x →时，()0h a →，a →+∞时，()h a →+∞，所以由关于a 的方程1ln a a t -=有两解，得110e t-<-<，所以t e >． 例3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a.(1)当a=e 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a 的取值范围.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ae x-1-.(1)当a=e 时,f(x)=e x -ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为,2,因此所求三角形的面积为.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1不满足条件;当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-.当x ∈(0,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.所以a=1满足条件;当a>1时,f(x)=ae x-1-ln x+ln a ≥e x-1-ln x ≥1.综上,a 的取值范围是[1,+∞).例4.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=e x +ax 2-x.(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≥x 3+1,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a =1时,f=e x +x 2-x ,f'=e x +2x -1,由于f″=e x +2>0, 故f'单调递增,注意到f'=0, 故当x ∈时,f'<0,f 单调递减,当x ∈时,f'>0,f 单调递增.(2)由f ≥x 3+1得,e x +ax 2-x ≥x 3+1,其中x ≥0, ①当x =0时,不等式为:1≥1,显然成立,符合题意;②当x>0时,分离参数a得,a≥-,记g =-,g'=-,令h=e x -x2-x -1,则h'=e x-x-1,h″=e x-1≥0,故h'单调递增,h'≥h'=0,故函数h单调递增,h≥h=0,由h≥0可得:e x -x2-x-1≥0恒成立,故当x ∈时,g'>0,g单调递增;当x ∈时,g'<0,g单调递减,因此,=g =,综上可得,实数a 的取值范围是.例5.(2020·天津高考·T20)已知函数f(x)=x3+k ln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②求函数g(x)=f(x)-f'(x )+的单调区间和极值;(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>.【解析】(1)①当k=6时,f(x)=x3+6ln x,f'(x)=3x2+.可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.②依题意,g(x)=x3-3x2+6ln x +,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x +-,整理可得:g'(x )=,令g'(x)=0,解得x=1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如表:x(0,1) 1 (1,+∞)g'(x) - 0 +g(x) 单调递减极小值单调递增所以,g(x)的减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.(2)由f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+.对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令=t (t >1), 则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2(f (x 1)-f (x 2))=(x 1-x 2)-2 =--3x 2+3x 1+k -2k ln =(t 3-3t 2+3t -1)+k .(ⅰ)令h (x )=x --2ln x ,x ∈(1,+∞).当x >1时,h'(x )=1+-=>0,由此可得h (x )在(1,+∞)上单调递增,所以当t >1时,h (t )>h (1),即t --2ln t >0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t -1=(t -1)3>0,k ≥-3, 所以(t 3-3t 2+3t -1)+k ≥(t 3-3t 2+3t -1)-3=t 3-3t 2+6ln t +-1.(ⅱ) 由(1)②可知,当t >1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t +>1,故t 3-3t 2+6ln t +-1>0.(ⅲ) 由(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2(f (x 1)-f (x 2))>0.所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有>.例6．（2021·江苏苏州市·高三）已知函数()e ln ax f x x x =-，其中e 是自然对数的底数，0a >.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为21e -，求a 的值；（2）对于给定的常数a ，若()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，求证：b a ≤．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析.【详解】（1）因为1()(1)ax f x ax e x'=+-，所以切线斜率为(1)(1)121a k f a e e '==+-=-，即(1)20a a ee +-=．设()(1)2x h x x e e =+-， 由于()(2)0x h x x e '=+>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，由(1)()02a a e h a e +-==可得1a =．（2）设()1t u t e t =--，则()1t u t e '=-，当0t >时，()0u t '>，当0t <时，()0u t '<，所以()u t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min()(0)0u t u ==，即()0u t ≥，所以1(*)t e t ≥+．若()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ax xe x bx --≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ln 1ax ax x xe x b e x x x --≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立．设ln 1()ax xe x g x x --=，由（*）可知ln ln 1ln 1ln 1ln 1()ax ax x xe x e x ax x x g x a x x x+----++--==≥=， 当且仅当()ln 0x ax x ϕ=+=时等号成立．由()1()00x a x xϕ'=+>>，所以()ϕx 在()0+∞，上单调递增，又()()1a a a e ae a a e ϕ---=-=-，由0a >，所以10a e --<，即()0a e ϕ-<()10a ϕ=>，则存在唯一()0,1a x e -∈使得0()=0x ϕ，即方程()ln 0x ax x ϕ=+=有唯一解()0,1a x e -∈，即()g x a ≥(对于给定的常数a ，当0x x =，()0,1a x e -∈时取等号)由ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x --≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立，所以b a ≤． 例7.(2020·江苏高考·T19)已知关于x 的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥h(x)≥g(x).(1)若f(x)=x 2+2x,g(x)=-x 2+2x,D=(-∞,+∞).求h(x)的表达式;(2)若f(x)=x 2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+∞).求k 的取值范围;(3)若f(x)=x 4-2x 2,g(x)=4x 2-8,h(x)=4(t 3-t)x-3t 4+2t 2(0<|t|≤),D=[m,n]⊆[-,],求证:n-m ≤. 【解析】(1)由f(x)=g(x)得x=0.又f'(x)=2x+2,g'(x)=-2x+2,所以f'(0)=g'(0)=2,所以,函数h(x)的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h(x)=2x.经检验:h(x)=2x 符合题意.(2)h(x)-g(x)=k(x-1-ln x),设φ(x)=x -1-ln x,则φ'(x)=1-=,φ(x)≥φ(1)=0,所以当h(x)-g(x)≥0时,k ≥0.设m(x)=f(x)-h(x)=x 2-x+1-(kx-k)=x 2-(k+1)x+(1+k)≥0,当x=≤0时,m(x)在(0,+∞)上递增,所以m(x)>m(0)=1+k ≥0,所以k=-1.当x=>0时,Δ≤0,即(k+1)2-4(k+1)≤0,(k+1)(k-3)≤0,-1≤k≤3.综上,k∈[0,3].(3)①当1≤t≤时,由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+≤0.(*)令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则Δ=t6-5t4+3t2+8.记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤),则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立, 所以φ(t)在[1,]上是减函数,则φ()≤φ(t)≤φ(1),即2≤φ(t)≤7所以不等式(*)有解,设解集为,因此n-m≤x2-x1=≤.②当0<t<1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),令v'(t)=0,得t=.当t∈时,v'(t)<0,v(t)是减函数;当t∈时,v'(t)>0,v(t)是增函数;v(0)=-1,v(1)=0,则当0<t<1时,v(t)<0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0)则f(-1)-h(-1)<0,因此-1∉(m,n).因为[m,n]⊆[-,],所以n-m≤+1<.③当-≤t<0时,因为f(x),g(x)均为偶函数,因此n-m≤也成立.综上所述,n-m≤.例8.（2020届安徽省马鞍山市高三）已知函数.（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；（2）求证：当时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意知，令，则，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又，∵在定义域内无极值点，∴ 又当时，在和上都单调递增也满足题意，所以（2），令，由（1）可知在上单调递増，又，所以存在唯一的零点，故在上单调递减，在上单调递増，∴由知 即当时，恒成立.例9．（2021·安徽高三）已知函数()2ln ,f x x ax x =+-其中0.a ≥（1）讨论()f x 的单调性；（2）若当2x >时()31,12f x x <+恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）当18a ≥时，函数()f x 在()0,∞+内单增；当108a <<，()f x 在1181180,,4,4a a a a -⎛--+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞内单增,在11811844a a a a -+-⎛ ⎝⎭内单减；当0a =时，()f x 在(0，1)内单增，在()1,+∞内单减； （2）7ln20,4-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）()212121,0ax x f x ax x x x-+=+'-=> 若()()110,21,x a f x ax f x x x-==+-=-在(0，1)内单增，在()1,+∞内单减. 若0,a >由2210ax x -+=知， 18a ∆=-.当Δ180,a =-≤即18a ≥时，2210,ax x -+≥此时()f x 在()0,∞+内单增. 当1Δ180,08a a =-><<时，1184a x a-=，此时()f x 在1181180,,4,4a a a a -⎛-+-+⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞内单增,在118118,44a a a a --+-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭内单减. 综上所述：当18a ≥时，函数()f x 在()0,∞+内单增. 当108a <<，()f x 在1181180,,4,4a a a a -⎛-+-+⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞内单增,在118118,44a a a a --+-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭内单减. 当0a =时，()f x 在(0，1)内单增，在()1,+∞内单减.（2）()3112f x x <+即231ln 1,2x ax x x +-<+ 即2311ln 2ax x x x <++- 即22111ln 2x a x x x x <++-，2x >，令()22111ln ,2,2x g x x x x x x=++-> 则()23311212ln 2x g x x x x -=---'33264ln ,22x x x x x--+=> 令()()324264ln ,2,320h x x x x x h x x x=--+>=-+>'. 所以()h x 在2x >时单增，()()()24ln222ln410h x h >=-=->，因此()0g x '>， ()g x 在2x >时单增，()()7ln224g x g ->=，于是7ln2.4a -≤ 故a 的取值范围是7ln20,.4-⎡⎤⎢⎥⎣⎦例10.（2020届山西省孝义市一模）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）由可得的定义域为，且， 若，则，函数在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立， 即，不等式恒成立.∵当时，，∴， 即证当时，大于的最大值.又∵当时，，∴，综上所述，.【总结提升】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得的范围. 【压轴训练】1．（2021·长宁区·上海市延安中学高三）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D【详解】当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-的最小值是1,4-由()()22f x f x +=知，当(]2,4x ∈时，()()192224f x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦的最小值是1,2-当(]4,6x ∈时，()()194444f x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦的最小值是1,-要使()23f x ≥-，则()1924443x x -+-≥--，解得：194x ≤或16.3x ≥2．（2020·河津中学高三）若函数2()cos sin 3f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(其中a 为参数)在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【详解】函数1()sin sin 23f x a x x x =-+在R 上单调递增，等价于2245()cos cos21cos cos 0333f x a x x x a x =-+=-++'在R 上恒成立.设cos x t =，则245()033g t t at =-++在[1,1]-上恒成立，所以45(1)0,3345(1)0,33g a g a ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=--+⎪⎩解得.3．（2021·全国高三专题练习）已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【详解】设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212ln x kx x x x >-，等价于1221ln 1x kx x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-.设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=.所以0k ≤，k 的最大值为0.4．（2019·天津高考模拟）已知函数23ln ,1(),46,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩ 若不等式()|2|f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．13,3e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[3,3ln 5]+ C ．[3,4ln 2]+D ．13,5e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意得：设g(x)=|2|x a -，易得a ＞0，可得2,2g(x)=2,2a x a x a x a x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＜，g(x)与x 轴的交点为(,0)2a，① 当2a x ≥，由不等式()|2|f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，可得临界值时，()g()f x x 与相切，此时2()46,1f x x x x =-+>，()2,2ag x x a x =-≥，可得'()24f x x =-，可得切线斜率为2，242x -=，3x =，可得切点坐标（3，3）， 可得切线方程：23y x =-，切线与x 轴的交点为3(,0)2,可得此时322a =，3a =， 综合函数图像可得3a ≥；② 同理，当2ax ＜，由()g()f x x 与相切， （1）当2()46,1f x x x x =-+>，()2,2a g x x a x =-+＜，可得'()24f x x =-，可得切线斜率为-2，242x -=-，1x =，可得切点坐标（1，3），可得切线方程25y x =-+，可得5a =，综合函数图像可得5a ≤，（2）当()3ln ,1f x x x =-≤，()2,2a g x x a x =-+＜，()g()f x x 与相切，可得'1()f x x， 此时可得可得切线斜率为-2，12x -=-，12x =，可得切点坐标1(,32)2In +, 可得切线方程：1(32)2()2y In x -+=--，242y x In =-++可得切线与x 轴的交点为2(2,0)2In +，可得此时2222a In =+，42a In =+， 综合函数图像可得42a In ≤+， 综上所述可得342a In ≤≤+，故选C.5．（2020·广东佛山市·高三）（多选）命题:p 已知ABC 为锐角三角形，不等式cos cos log 0sin CAB≥恒成立，命题2:2q x x ax +在[1,2]x ∈上恒成立，在[1,2]上恒成立，则真命题的为（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧C ．p q ⌝∨D ．p q ∧⌝【答案】AD 【详解】因为为锐角三角形，所以0,0,0222A B C πππ<<<<<<,所以2A B π+>，则022A B ππ>>->，所以0cos cos()sin 12A B B π<<-=<，所以cos 01sin AB<<，又0cos 1C <<，所以不等式cos cos log 0sin CA B≥恒成立，故命题p 是真命题；命题2:2q x x ax +在[1,2]x ∈上恒成立()min2x a ⇔+，在[1,2]上恒成立，故命题q 是假命题所以p q ∨，p q ∧⌝是真命题.6．（2020·福清西山学校高三）（多选）记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，若存在0x I ∈，使得对任意x I ∈，不等式()()fx g x -⎡⎤⎣⎦()00x x -≥恒成立，则称()()(),f x g x 构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（ ） A ．()xf x e =，()1g x x =+B ．()ln f x x =，()1g x x= C ．()f x x =，()2g x x =D ．()f x x =，【答案】BD【详解】根据函数的新定义，可得两个函数的图象有一个交点，且交点的两侧图象一侧满足()()f x g x >，另一侧满足()()f x g x <，对于A 中，令()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，可得()1xx e ϕ'=-，当0x >时，()10xx e ϕ'=->，函数单调递增；当0x <时，()10x x e ϕ'=-<，函数单调递减，所以当0x =时，函数()x ϕ 取得最小值，最小值为()00ϕ=，即()0x ϕ≥，所以()()f x g x ≥恒成立，不符合题意；对于B 中，令()()()1ln ,0x f x g x x x x ϕ=-=->，可得()2110x x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ单调递增，又由()()11ln110,ln 0e e eϕϕ=-<=->，设0x x =满足()00x ϕ=，且01x e <<，则对任意(0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x -⎡⎤⎣⎦()00x x -≥恒成立，符合题意；对于C 中，函数()f x x =，()2g x x =，根据一次函数和二次函数的性质，可得函数()y f x =的图象由两个交点，此时不满足题意；对于D 中，令()()()1()2x x f x g x x ϕ=-=，可得()1211()ln 2022x x x ϕ-'=+>，所以()x ϕ在定义域[0,)+∞单调递增，又由()()1010,102ϕϕ=-<=>，所以方程()0x ϕ=只有一个实数根，设为0x ，则满足对任意x I ∈，不等式()()f x g x -⎡⎤⎣⎦()00x x -≥恒成立，符合题意. 7．（2020·浙江高三月考）已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln x x x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为______.【答案】3e【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=，∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞，∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33x x e ae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x xg x e=，只需max ()a g x ≥，()33x xg x e -'=，∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e ，∴3a e≥， ∴a 的最小值为3e. 8．（2020·全国高三月考）已知函数()()ln 202xaf x ae a x =+->+，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(),e +∞ 【详解】()ln202x af x ae x =+->+，则()ln ln ln 22x a e a x ++>++，两边加上x 得到()()()ln 2ln ln 2ln 2ln 2x x aex a x x ex ++++>+++=++，x y e x =+单调递增，()ln ln 2x a x ∴+>+，即()ln ln 2a x x >+-，令()()ln 2g x x x =+-，则()11121x g x x x --'=-=++，因为()f x 的定义域为()2,-+∞()2,1x ∴∈--时，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈-+∞，()0g x '<，()g x 单调递减， ()()max ln 11a g x g ∴>=-=，a e ∴>.9．（2021·安徽高三开学考试）已知函数()()11ln f x a x x =+++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0x >，求证：()()22e 11exa x f x x +++>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意得，()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111a x f x a x x++'=++=， 当1a ≥-时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递增. 当1a <-时，令()0f x '>，解得11x a <-+；令()0f x '<，解得11x a >-+， ∴()f x 在10,1a ⎛⎫-⎪+⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫-+∞⎪+⎝⎭上单调递减. （2）要证()()22e 11e x a x f x x +++>，即证22e ln 0e x x x ⋅->.令()22e ln e xg x x x =⋅-，则()()22221e e e x x x g x x--'=.令()()221e e x r x x x =--，则()22e e x r x x '=-， 易得()r x '在()0,∞+上单调递增，且()212e e 0r '=-<，()223e 0r '=>，∴存在唯一的实数()01,2x ∈，使得()00r x '=，∴()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.∵()00r <，()20r =， ∴当()0r x >时，2x >；当()0r x <时，02x <<，∴()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，∴()()21ln 20g x g ≥=->.综上，22e ln 0e x x x ⋅->，即()()22e 11exa x f x x +++>.10.（2020·山东高考模拟）已知函数2()ln 2()f x x a x x a R =+-∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <且12()0f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12a ≥时，增区间为(0,)+∞；0a ≤时，增区间为1()2++∞；102a <<时，增区间为，)+∞；（2）3(,ln 2]2-∞--. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222'()22a x x af x x x x-+=+-=，令2220x x a -+=，484(12)a a ∆=-=-，1︒若12a ≥时，0∆≤，'()0f x ≥在(0,)+∞恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 2︒若12a <，>0∆，方程2220x x a -+=，两根为1x =2x =，当0a ≤时，20x >，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 当102a <<时，1>0x ，20x >， 1(0,)x x ∈，'()0f x >，()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增.综上，12a ≥时，函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞， 0a ≤时，函数()f x单调递增区间为1()2+∞， 102a <<时，函数()f x单调递增区间为1(0,2-，1()2++∞. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <时，102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=，则1112ax x +=，()1121a x x =-，且1102x <<，2112x <<. 此时()120f x mx ≥-恒成立，可化为()()21111112121ln 21f x x x x x x m x x +--≤=- ()()11111111121ln 11x x x x x x x -+-+--=-1111112ln 1x x x x =-++-恒成立， 设1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈，2221(1)1'()122ln 2ln (1)(1)x g x x xx x --=-++-=+--2(2)2ln (1)x x x x -=+-， 因为102x <<，所以(2)0x x -<，2ln 0x <，所以)'(0g x <，故()g x 在1(0,)2单调递减，13()ln 222g x g ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，所以实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--.11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三）已知()()ln 0f x x mx m =->. （1）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求其单调区间和极值;（2）若不等式()21112f x xmx ++≤对于任意的0x >恒成立，求整数m 的最小值. 【答案】（1）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，()f x 的极大值为1-，无极小值；（2）2. 【详解】（1）()1f x m x'=-，则()110f m '=-=，1m ∴=， ()ln f x x x ∴=-，定义域为(0,)+∞，()111xf x x x-'=-=令()0f x '>，得01x <<;令()0f x '<，得1x >()f x ∴的增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，且()f x 的极大值为()11f =-，无极小值.（2）因为0m >，所以()21112f x xmx ++≤对于任意的0x >恒成立，可化为21ln 122x x m x x ++≥+，设()2ln 12x x h x x x++=+，则()()()()()()2222212(ln 1)(22)12ln 22x x x x x x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+++ ⎪-++⎝⎭'==++， 设()2ln g x x x =+，则()2ln g x x x =+单调增，且111112ln 2ln 2ln 4022222g ⎛⎫=+=-=-< ⎪⎝⎭，()10g >，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00g x =，即 ()00h x '=，所以002ln 0x x +=，所以当012x x <<时，0()()0g x g x <=，()0h x '>， 当01x x <<时，0()()0g x g x >=，()0h x '<，()h x ∴在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减()()000022max000001ln 1112,12222x x x h x h x x x x x x +++⎛⎫∴====∈ ⎪++⎝⎭()()021,2m h x ∴≥∈，m ∴的最小整数值为2。
高考数学复习专题五导数及其应用专项练习理(2021学年)
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专题五《导数及其应用》数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟;命题人：ｘxx学校:____＿__＿＿__姓名：_＿_＿＿__＿_＿_班级：___＿＿_____＿考号：_＿______＿__题号一二三总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上ﻫﻫ第１卷评卷人得分一、选择题1、已知,为的导函数，则的图像是( )ﻫ A.B.ﻫＣ．ﻫＤ.２、定义在上的函数满足:,，是的导函数,则不等式（其中为自然对数的底数)的解集为( ）A。
ﻫB。
ﻫＣ。
D.3、已知函数有唯一零点,则( )Ａ。
ﻫB。
C。
ﻫ D.4、若是函数的极值点,则的极小值为（) A．ﻫB。
ﻫC。
D。
5、函数的导数是( )Ａ.B。
ﻫＣ。
ﻫD。
６、若曲线的一条切线为,其中,为正实数,则的取值范围是( )A。
B.C。
ﻫD．7、已知函数的图象在点处的切线为,若也与函数，的图象相切,则必满足（)Ａ。
ﻫ B.C。
ﻫD．8、已知函数的导数为，且对恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（)ﻫA。
B。
ﻫC。
ﻫD．9、已知函数与的图象如图所示,则函数的递减区间为（）A。
B。
,ﻫC。
ﻫ D.,10、已知函数的定义域为，为函数的导函数,当时，且,.则下列说法一定正确的是( ）ﻫA。
高考数学真题分项汇编专题05 导数选择、填空(理科)(解析版)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编导数选择、填空目录题型一：导数的概念及其几何意义 ..................................... 1 题型二：导数与函数的单调性 ......................................... 8 题型三：导数与函数的极值、最值 ..................................... 9 题型四：导数与函数的零点 .......................................... 14 题型五：导数的综合应用 ............................................ 16 题型六：定积分 (20)题型一：导数的概念及其几何意义一、选择题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( )A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<【答案】D解析:在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y ′=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t −=−，即()1t ty e x t e +−， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +−上，可得()()11t tt b ae t e a t e =+−=+−，令()()1t f t a t e =+−，则()()t f t a t e ′=−．当t a <时，()0f t ′>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t ′<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=， 当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =− D ．21y x =+ 【答案】B【解析】()432f x x x =− ，()3246f x x x ′∴=−，()11f ∴=−，()12f ′=−， 因此，所求切线的方程为()121y x +=−−，即21y x =−+． 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =的导数为y ′=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x −−，即00x x −+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x −−=，解得01x =，015x =−(舍)， 则直线l 的方程为210x y −+=，即1122y x =+． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e −=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =−，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》
2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题五 导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ）A.2sin xB.22sin xC.2cos xD.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ）3.【2017课标II ，理11】 考点14 易若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2ea b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ⎛⎫++∞⎪⎝⎭B.[),e +∞C.[)2,+∞D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难已知函数2x y =的图象在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）A ．2100<<xB ．1210<<x C ．2220<<x D ．320<<x 6．【来源】2017届河北磁县一中高三11月月考 考点14 易已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A.()f xB.()xf xC.()x e f xD.()x xe f x7．【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间为（ ）A.()0,4B.()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.40,3⎛⎫⎪⎝⎭D.()()0,1,4,+∞ 8．【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞ D ．(3,)+∞9.【2017课标3，理11】考点14 难已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）A ．12-B ．13C ．12D ．110．【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难 已知函数()f x 的定义域为R ,()'fx 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ） A.15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难 已知函数 ()()()()2325ln ,26,2f x x ax a x a Rg x x x x g x =--∈=-++-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤ 12．【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难 已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln2xf x =，且31112'()12bb dx f a b x =+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．B ．．92 D ．92+第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易 已知函数ln 4()x f x x+=，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________14．【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难若函数2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 . 15．【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ． 16．【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易如图，阴影部分的面积是_________．三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难 已知函数()xf x e ax =-，（0a >）.（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. 19．（本题满分12分）【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难 已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. （1）求()y f x =的最大值；（2）当10,a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()(](),0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.20．（本题满分12分）【来源】2017-2018学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难 已知函数22()()xf x x x cec R -=-+∈.（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围；（2）若函数5()()'()2F x f x f x =+-（其中'()f x 为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围. 21．（本题满分12分）【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难已知函数()()()()()121'10'2x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），()()212g x x ax b a R b R =++∈∈，.（Ⅰ）求()f x 的解析式及极值；（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()12b a +的最大值.22.（本题满分12分）【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.参考答案1．D 【解析】由题意得，函数的导数为()2(sin )2sin (sin )2sin cos sin 2f x x x x x x x '''==⋅==.2．A【解析】由题意得，()1sin 2f x xx '=-， 所以()11()sin()[sin ]()22f x x x x x f x ''-=---=--=-，所以函数()f x '为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当2x π=时，1()1024f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒成立，故选A.3．【答案】A 【解析】4．C【解析】设切点为),(00y x ，则有2)ln(1000-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+ae b bex a x e e x ，e a b 2,0>∴> ，212≥+=++aa b e a ，故选C. 5．D【解析】函数2y x =的导数y'2x =，2y x =在点200(,)x x 处的切线斜率为02k x =，切线方程为()20002y x x x x -=-，设切线与ln y x =相交的切点为(),ln m m ，（01m <<），由ln y x =的导数为1'y x =可得012x m =，切线方程为()1ln y m x m m-=-，令0x =，可得20ln 1y m x =-=-，由01m <<可得012x >，且201x >，解得01x >由012m x =，可得()200,ln 210x x --=，令()()2ln 21,f x x x =--()()11,'20,x f x x f x x>=->在1x >递增，且2ln 10,3ln 10ff =-<=->，则有()200ln 210x x --=的根x ∈，故选D.6．D 【解析】设()()x F x xe f x =，则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++⎡⎤⎣⎦′′′. ()()()10x f x xf x ++>′对R x ∈恒成立，且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增. 7．D【解析】()()()()()()xx xx ex f x f e e x f e x f x g -'=-'='2，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ,由图可得()()+∞∈,41,0 x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 8．A【解析】设x xg x e f x e x R =-∈（）（），（），[]1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--（）（）（）（）（），（）＞（），100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=（）（）＞，（）＞，（）在定义域上单调递增， 55x x e f x e g x +∴（）＞，（）＞，又000061500g e f e g x g x =-=-=∴∴（）（），（）＞（），＞，∴不等式的解集为0+∞（，）. 9．【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x xx a e e --+-=-+，设()11x x gx ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g=，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，10．B【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x f x =-.因为当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，所以()()22sin f x f x x -+=， 所以,，故()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以5463F F ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．B【解析】)13)(2(253)(2'+--=++-=x x x x x g ，所以)(x g 在]2,1[上是增函数，]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立， 由),1[+∞∈x 知，0ln >+x x ，所以0)(≥x f 恒成立等价于xx x a ln 2+≤在),1[+∞∈x ，时恒成立，令),1[,ln )(2+∞∈+=x x x x x h ，有0)ln (ln 2)1()(2'>++-=x x xx x x h ，所以)(x h 在),1[+∞上是增函数，有1)1()(=≥h x h ，所以1≤a . 12．C【解析】∵()x x f 1='，∴()a a f 1='，∵2212111213b b x b dx x b bb +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰，()1212113-+'=⎰b a f dx x b b，∴1212221-+=+-b a b b ，∴1212=+ba ，∵0a >，0b >，∴()()29222252225212=⋅+≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a ，当a b b a 22=且1212=+b a ，即23,3==b a 时等号成立，故选C. 13．370x y +-= 【解析】()23ln xx xf +-='，所以(1)3,(1)4k f f '==-=，切线方程为43(1),y x -=--即370x y +-=14．2ln 22a ≤-【解析】因为函数2()xf x x e ax =--，所以()2xf x x e a '=--，因为2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，所以()20xf x x e a '=-->，即2x a x e <-有解，令()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，则()20ln 2x g x e x '=-=⇒=，所以当ln 2x <时，()20x g x e '=->；当ln 2x >时，()20x g x e '=-<，当ln 2x =时，()max 2ln 22g x =-，所以2ln 22a <-. 15．)23,1[【解析】函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f ，解得21=x 或21-=x （不在定义域内舍），所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于),0()1,1(21+∞⊂+-∈a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<-≥-21121101a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．16．323【解析】由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S ，则10220(32))S x x dx x dx =--+-⎰⎰2332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-=． 17．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e【解析】（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，② (),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数；②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．………………(6分)由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减，……………………………(8分)所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e．…………(10分)18．（Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'xf x e a =-.在定义域上单调递增。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(五)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（五）理科数学一、单选题1.已知集合1|244x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭…，{|B y y ==，则A B =I （ ） A. {2} B. {0} C. [2.2]- D. [0.2]【答案】B 【解析】 【分析】分别计算集合[2,2]A =-，集合{0}B =，再求A B I .【详解】由1244x剟，得22x -剟，即[2,2]A =-，由y =，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =I . 故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题. 2.设a R ∈，若复数1ia i-+在复平面内对应的点位于实轴上，则a =（ ） A. 2 B. 1C. -1D. -2【答案】C 【解析】 【分析】 化简1i a i -+得()2111a a i a --++，再根据条件求a . 【详解】由于()()()22111111i a i a a ii a i a a ----+-==+++ 由复数1ia i-+在复平面内对应的点位于实轴上. 所以10a +=，所以1a =-.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，和复数在复平面上对应的点，属于基础题.3.l 、m 、n 表示空间中三条不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n B. 若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβC. 若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则αβ⊥D. 若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各选项中命题的正误，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 无公共点，所以m 与n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则α与β平行或相交，B 选项错误；对于C 选项，若l αβ=I ，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，则α与β斜交或垂直，C 选项错误； 对于D 选项，若m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，由平面与平面垂直的判定定理可得αβ⊥，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查线面关系、面面关系有关命题真假的判断，可以利用空间中平行、垂直的判定和性质定理进行判断，也可以利用几何体模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知a v ，b v 为互相垂直的单位向量，若c a b =-v v v，则cos ,b c =v v （ ）A. 2-B.2C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：cos ,b a b b c b c b c ⋅-⋅<>==⋅r r r r r r rr r22===-r r r ，故选A. 【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.设12,F F 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与E 相交于,A B 两点，若1F AB ∆为正三角形，则a = （）A.2C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由2F A x ⊥ 轴，可求出2AF ，在12Rt AF F ∆中可以建立关于a 的方程，求解出a . 【详解】设2(,0),F c 由2F A x ⊥ 轴，则(,)A c y ，则222222211c a c y a a a -=-==，1221F F AF a ==， 在12Rt AF F ∆中，122tan60F F AF =. 1a =，即424430a a --=，解得232a =， a =故选：A【点睛】本题考查椭圆的基本性质，求椭圆方程中的参数，属于基础题. 6.设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A. 2211x x x x++≥C. 12x y x y-+≥- D. x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x +>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立，若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式． 7.在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a =3b c +=，则ABC ∆的面积为( )D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求得bc ,再根据三角形面积公式即可求解.【详解】在ABC ∆中,60A =︒,a =3b c +=由余弦定理2222cos a b c bc A =+-代入可得223b c bc =+-,即()233b c bc =+-所以2bc =则ABC ∆的面积1133sin 22222ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选:B【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,属于基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知2111ln 0x x y --=，2220x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】根据条件得到()()221212x x y y -+-表示的是曲线2111ln x x y -=，222x y -=上两点的距离的平方，∵y=x 2﹣lnx ，∴y′=2x﹣1x（x ＞0）， 由2x ﹣1x=1，可得x=1，此时y=1， ∴曲线C 1：y=x 2﹣lnx 在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=x ﹣1，即x ﹣y=0，与直线x ﹣y ﹣2=0的距离为2=2， ∴()()221212x x y y -+-的最小值为2． 故答案为B ．点睛：本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用，求出曲线C 1：y=x 2-lnx 与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.9.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A. 46B. 44C. 42D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字. 【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244++++++++++++++=.故选B.【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.10.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +='交于M ,N 两点,若||6MN =则MNF V 的面积为( )A.2 B.38C.32D.32【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，32p =， ∴3(,0)4F ，113332248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．11.在内接于球O 的四面体ABCD 中,有AB CD t ==,6AD BC ==,7AC BD ==,若球O 的最大截面的面积是554π,则t的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意将四面体放入长方体中,由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题意求出外接球的半径,进而求出t的值.【详解】将四面体放入到长方体中,AB与CD,AD与BC,AC与BD相当于一个长方体的相对面的对角线,设长方体的长,宽,高分别是,,a b c则22222222276a b tb ca c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩,∴()2222285a b c t++=+球O的最大截面的面积是554π,球的最大截面即是过球心的大圆,设球的半径为R则2554Rππ=,∴2222(2)55,2R R a b c==++∴2222(2)R a b c=++,255285t∴⨯=+,解得:5t=,故选:A.【点睛】考查三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.已知函数22()ln(1)f x x x a x=--(a∈R),若()0f x≥在x∈(0,1］时恒成立,则实数a的取值范围是 A.［4,+ ∞） B. [12,+∞) C. [2,+∞) D. [1,+∞)【答案】B 【解析】 【分析】首先将式子化简，将参数a 化为关于x 的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进行简化，最后用洛必达法则，通过极限求得结果.【详解】根据题意，有22ln (1)0,((0,1])x x a x x --≥∈恒成立，当1a ≠时，将其变形为22ln 1x xa x ≥-恒成立，即2max 2ln ()1x x a x ≥-，令22ln ()1x xg x x =-，利用求得法则及求导公式可求得3222ln '()(1)x x x x g x x --=-，令3()2ln h x x x x x=--，可得22'()312ln 232ln 3h x x x x x =---=--，可得26(26233''()6x x x h x x x x x+--=-==，因为(0,1]x ∈，所以(0,)3x ∈时，''()0h x <，,1]3x ∈时，''()0h x >，所以函数)'(h x在(0,3x ∈时单调减，在3x ∈时单调增，即'()132ln ln 32h x h ≥=--=-，而'(1)0h =，所以()h x在上是减函数，且(1)0h =，所以函数()h x在区间上满足()0h x ≥恒成立，同理也可以确定()0h x ≥在上也成立，即'()0g x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，即22ln ()1x xg x x =-在(0,1]x ∈上单调增，且22111ln 2ln 2ln 11lim lim lim 1222x x x x x x x x x x x →→→++===-，故所求的实数a 的取值范围是1[,)2+∞，故选B. 点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中，注意构造新函数，并且反复求导，研究函数的单调性，从而确定出函数值的符号，从而确定出函数的单调性，从而得出函数在哪个点处取得最值，还有需要应用洛必达法则求极限来达到求最值的目的.二、填空题13.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，1cos 2a Bbc +=，则角A 的大小为___________. 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角A . 【详解】因为a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边,1cos 2a Bbc += 由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B B C += 因为sin sin()C A B =+ 展开化简可得1sin cos sin sin cos sin cos 2A B B A B B A +=+ 即1sin sin cos 2B B A = 因为三角形中sin 0B ≠ 则1cos 2A = 解得3A π=故答案:3π 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.14.现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为______. 【答案】48 【解析】 【分析】先求得五个人的全排列,除去相邻的情况,即为同一年级学生不相邻的情况. 【详解】将五个人全排列,共有55A 种;高一学生和高二学生都相邻:捆绑法把高一两个人和高二两个人看成一个整体,再三个团体全排列,共有223223A A A 种. 高一学生相邻,高二学生不相邻:捆绑法把高一学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高二的学生插3个空位中的两个,共有222223A A A 种. 高二学生相邻,高一学生不相邻:捆绑法把高而学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高一的学生插3个空位中的两个,共有222223A A A 种. 所以满足同一年级的学生不能相邻的总排列方法有5223222222522322322312024242448A A A A A A A A A A ---=---=种故答案为:48【点睛】本题考查了排列问题的综合应用,对于相邻问题,通常使用捆绑法作为一个整体处理,对于不相邻问题,通常采用插空法处理,属于中档题.15.已知直线1y x =-与双曲线()2210,0ax by a b +=><的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为a b =______.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程,与直线方程联立可得,A B 两点坐标,利用中点坐标公式求得中点M 的坐标.即可由直线斜率公式求得ab. 【详解】双曲线()2210,0ax by a b +=><所以其渐近线方程为y x = 因为直线1y x =-与渐近线交于A ,B 两点则1y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩即两个交点坐标为A ⎛,B ⎛ 设,A B 中点坐标为M 则由中点坐标公式可得11,1a b M a a bb ⎛⎫ ⎪ ⎝+⎪⎪+⎭由题意OM k =则2M OM My a k x b===-故答案为: -【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的简单应用,直线交点坐标的求法,斜率公式及中点坐标公式的应用,化简过程较为繁琐,属于中档题.16.已知边长为ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________.【答案】20π 【解析】 【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为23,且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π==⨯=G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为r 在Rt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以球的表面积为()2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题17.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =；（1）求四棱锥S ABCD -的体积；（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．【答案】(1) 66；(2) 3π．【解析】 【分析】（1）求出1BD =，3AC =，2SD =，由此能求出四棱锥S ABCD -的体积．（2）取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM 与SB 所成角．【详解】解：（1）∵四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =，∴1BD =，11211cos1203AC =+-⨯⨯⨯︒=，22312SD BD SB =-=-=，1131322ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=， ∴四棱锥S ABCD -的体积113623326ABCD V S SD =⨯⨯=⨯⨯=． （2）取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，()1,0,0A ，(2S ，12,0,22M ⎛ ⎝⎭，132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 122DM ⎛= ⎝⎭u u u u r ，1322SB ⎛= ⎝u u r ，设异面直线DM 与SB 所成角为θ，则31cos 2DM SB DM SBθ⋅===⋅u u u u r u u r u u u ur u u r ，故3πθ=， ∴异面直线DM 与SB 所成角为3π． 【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式，异面直线所成的角可采用空间向量法进行求解． 18.已知函数3()sin cos 22f x x x ωω=+（其中0>ω）． （1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若2ω=，0α<<π，且3()2f α=，求α的值． 【答案】（1）23ω=，递增区间332k k π⎡⎤π-ππ+⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）；（2）12πα=或4π.【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f （x ）的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间； （2）将ω＝2，可得f （x ）解析式，0＜α＜π，由()32f α=，利用三角函数公式即可求α的值． 【详解】解：（1）函数()322f x sin x x ωω=+=sin （ωx 6π+）， ∵函数f （x ）的最小正周期为3π，即T ＝3π2πω=∴ω23=那么：()236f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2222362k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 得：332k x k ππππ-≤≤+∴函数f （x ）的单调递增区间为332k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ；（2）函数()32f x sin x x ωω=+=（ωx 6π+），∵ω＝2∴f （x）=（2x 6π+）， ()32f α=，可得sin （2α6π+）=∵0＜α＜π，∴6π≤（2α6π+）136π≤2α63ππ+=或23π解得：α4π=或α12π=．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1()2nn a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足*2()n n T b n N =-∈.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和'n S . 【答案】（1）21n a n =-,112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）23'32n nn S +=-. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得12,a a ，然后求得公差，即可求出数列{}n a 的通项，再利用11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩ 求得{}n b 的通项公式； （2）先求出2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，然后利用数列求和中错位相减求和'n S . 【详解】解：（1）由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，得211112a S a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得11a =. 由222122112a S a a a +⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，解得23a =或21a =-.若21a =-，则2d =-，所以33a =-.所以2331312a S +⎛⎫=-≠= ⎪⎝⎭，故21a =-不合题意，舍去. 所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=， 故21n a n =-.数列{}n b 对任意正整数n ，满足2n n T b =-. 当1n =时，1112b T b ==-，解得11b =；当1n >时，()()11122n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-， 所以()1122n n b b n -=≥. 所以{}n b 是以首项11b =，公比12q =的等比数列， 故数列{}n b 的通项公式为112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知2122n n n a b n -=， 所以2311352321'...22222n n nn n S ---=+++++，①所以2311132321' (22222)n nn n n S +--=++++，② ①-②，得2311122221'...222222n n n n S +-=++++-211111121 (22222)n n n -+-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 111112212112212n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+--1111211222n n n -+-⎛⎫=+--⎪⎝⎭， 所以23'32n nn S +=-. 【点睛】本题主要考查了数列的综合（包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P【解析】 【分析】（1）由椭圆C的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F1，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C的离心率e =，且椭圆上一动点M 到2F1，可得22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴()()()222222218211k k kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数1()ln f x a x x=-，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-． 【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析 【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．（2）由于21()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立，即()f x 在上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得．当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在单调递减． 又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负．所以当时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，且0)απ<<，在以O为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为22tan cos ρθθ=，设直线l 经过定点P ，且与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求证：不论a 为何值时，2211||||+PA PB 为定值．【答案】（Ⅰ）直角坐标为(1,0)，22(0)y x x =≠；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意,令直线l 的参数方程中0t =即可求出点P 的直角坐标，整理化简曲线C 的极坐标方程,结合cos ,sin x y ρθρθ==,即可得到曲线C 的直角坐标方程;（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数t 的几何意义,利用韦达定理即可证明2211||||+PA PB 为定值. 【详解】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，且0)απ<<， 所以当0t =时，得点(1,0)P ，即点P 的直角坐标为(1,0)；又曲线C 的极坐标方程为22tan cos ρθθ=， 2sin 2cos 0ρθθ∴=≠，22sin 2cos 0ρθρθ∴=≠，Q cos ,sin x y ρθρθ==，22(0)y x x ∴=≠，即曲线C 的直角坐标方程为22(0)y x x =≠；（Ⅱ）证明：将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(0)y x x =≠， 整理得22sin 2cos 20t t αα--=，其中0απ<<，所以判别式△2224cos 8sin 44sin 0ααα=+=+>，由韦达定理可得,1222cos sin t t αα+=，1222sin t t α-=， 由参数方程中参数的几何意义可得,2221212222221212()211114cos 4sin 1||||()4t t t t PA PB t t t t αα+-++=+===， 即不论a 为何值时，2211||||+PA PB 都为定值1． 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及参数方程中参数的几何意义;利用参数方程中参数的几何意义是证明2211||||+PA PB 为定值的关键;属于中档题、常考题型. 23.已知不等式|2||1|5x x -++…的解集为M ．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）设m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足a b m +=【答案】（Ⅰ）{|23}M x x =-剟；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用分段讨论法,分12x -<<，1x ≤-,2x ≥三种情况分别去绝对值解不等式,然后再取并集即可; （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3a b +=，先平方,利用均值不等式求出2的最大值,然后再开方即可。
2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题04《函数的图象、函数的应用》【教师版】
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2020 衡水名师原创理科数学专题卷
三.解答题（共 70 分）
y
17．（本题满分 10 分）
已知函数 f (x) x2 2 x 1. (1)证明函数 f (x) 是偶函数； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 f (x) 的图象． 【答案】（1）利用定义证明 f ( x) f (x)
令
x
1 ，则
f
1
2 1 e1
1 cos1
1 e 1 e
cos1
0 ，故选
B．
4. 已知当 x 0,1 时，函数 y mx 12 的图象与 y x m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值
范围是
（A） 0,1 2 3,
（C） 0, 2 2 3,
（B） 0,13,
C．
2e,
6 e3
D． 0, 2e
【答案】A
【解析】显然当 m 0 时，原方程可化为 f (x) 0 仅有两个解，排除 B,C,当 m 1时，设 h x ex x2 3 仅
有一个零点（如下图），故原方程仅有一个解排除 D,故选 A．
11． 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%．己知在过滤过程中废气中的污染
（D） 0, 2 3,
【答案】B
【解析】当 0 m 1时， 1 1 ， y (mx 1)2 单调递减，且 y (mx 1)2 [(m 1)2,1] ， y x m 单 m
调递增，且 y x m [m,1 m] ，此时有且仅有一个交点；当 m 1时，0 1 1 ，y (mx 1)2 在[ 1 ,1]
【解析】设
,
,
有两个交点
如图，
只有当第二个交点与 个交点．于是：切点：
衡水中学专版——导数及其应用(含解析)
衡水中学专版——导数及其应用 一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2B ．[)2ln3,2-C ．(]0,2ln3-D ．()0,2ln3-2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( ) A ．(e,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,e)D ．(0,1)3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()()()ln 2240f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)0,2ln3- C ．()0,2ln3-D ．(]0,2ln3-4.【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的()0,y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞ C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞-5. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数()()()ln ,23f x x g x m x n ==++，若对任意的()0,x ∈+∞,总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1e C ．21eD6. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知0x 是方程222ln 0x x e x +=的实根，则下列关于实数0x 的判断正确有______.①0ln2x ≥ ②01x e< ③002ln 0x x += ④002ln 0xe x +=8.【衡水中学2019届高三开学二调考试】 已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．9. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】 已知函数，则满足的x 的取值范围是（ ）A ．1<x<3B ．0<x<2C ．0<x<eD ．1<x<e 二、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】已知定义域为()0,∞+的函数()xe g x x=，()22ln 1h x x x =++，若存在唯一实数0x ，使得()()003g x m h x e -=，则实数m 的值是__________. 2．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】已知方程2()()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围是____.3. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调】设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.4.【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知0,0,k b >>且()ln 2kx b x +≥+对任意的2x >-恒成立，则bk的最小值为_____． 三、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】 已知函数()ln(1)1x f x e x ax x =--+-． （1）若0a =，证明：()0f x ≥．（2）若函数()f x 在0x =处有极大值，求实数a 的取值范围． 2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()21ln 22f x a x x ax =+-，0a >，a 为常数.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的最小值.3．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若定义在R 上的函数()()1xf x e a x =--，a ∈R .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若x ，y ，m 满足x m y m -≤-，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由.4．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()1ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，a R ∈.（1）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合；（2）证明：()12ln 2xe x e x x+≥-+- 5．【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】 已知函数()11f x a x=+-（a ∈R ）.（1）若2a =，证明：当1x >时，()2ln x f x >；（2）若对于任意的0x >且1x ≠，都有()()2ln 1a f x x -⋅>，求a 的取值集合. 6. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】 已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R .（1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数.7. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】 设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．8．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】 已知函数22()x f x e ax =-，a ∈R .（1）若()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(0,)+∞内存在极大值M ，证明：4aM <. 9．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图像与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--.（1）求证：2(1)()x f x x-≤；（2）若21x b <<，求证：2(1)0()2b g x -<<.10.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知函数.（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.11. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值； （2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：．13. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.14. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数()22ln 2(0)f x x mx x m =-+>（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当32m ≥时，若函数()f x 的导函数()'f x 的图象与x 轴交于,A B 两点，其横坐标分别为1212,()x x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且12,x x 恰为函数()2ln h x x cx bx =--的零点，求证：()()1202'ln23x x h x -≥-+ 15. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：．16. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.17. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】 已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数的零点的个数。
专题5.1 导数的概念及其意义、导数的运算【原卷版】
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即.2．函数f (x )的导函数 称函数为f (x )的导函数．1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆专题5.1 导数的概念及其意义、导数的运算2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2.特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线（1）曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． （2）曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，点P 不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 3．几类重要的切线方程(1)y ＝x －1是曲线y ＝l n x 的切线，y ＝x 是曲线y ＝l n (x ＋1)的切线，…，y ＝x ＋n 是曲线y ＝l n (x ＋n ＋1)的切线，如图1.(2)y ＝x ＋1与y ＝e x 是曲线y ＝e x 的切线，如图2. (3)y ＝x 是曲线y ＝si n x 与y ＝t an x 的切线，如图3.(4)y ＝x －1是曲线y ＝x 2－x ，y ＝x l n x 及y ＝1－1x 的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如l n x ≤x －1，x ＋1≤e x 等．1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y ＝f (x)的导数为f ′(x)，若f ′(x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f ′(x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的． 3．熟记以下结论： (1) 211()'x x=-； 2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．考点01 导数的概念【典例01】（2023上·北京·高三北京市第三十五中学校考阶段练习）某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数，记作：()y f t =．若()00f y =，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，()f t 的导函数()f t '满足：()()()()500f t kf t f t '=-（k 为正的常数），则函数()f t 的图像可能为（ ）【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； （2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； （4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.考点03 曲线切线的斜率、倾斜角问题【典例05】（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）奇函数()()()324f x ax a x x =+-∈R 在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）()()1,1f 处切线方程为 ．【规律方法】以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．考点05 求过一点的切线方程（斜率）【典例09】（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线()2ln ,2,1,2x x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩相切的一条切线的方程为 .【典例10】（2023下·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知函数()3234f x x x =--.(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线1l 的方程； (2)求过原点O 与曲线()y f x =相切的直线2l 的方程. 【总结提升】如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f (x 0)，y 1－y 0x 1－x 0＝f ′(x 0)，得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．考点06 求切点坐标【典例11】（2023·高二课时练习）曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标【典例12】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（e ，1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .考点07 切线的平行与垂直ln230x y -+=平行，则实数=a （ ）A ．ln22-B ．ln2-C ．2ln2-D ．3ln2-考点08 曲线的公切线问题【典例15】（2023下·四川绵阳·高二校考期中）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（ ）A ．2B ．3C ．1【规律总结】1.解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.2.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．考点09 求参数问题【典例17】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【典例18】（2023下·广东汕头·高二统考期末）已知直线(,0)y ax b a b =+∈>R 是曲线()e x f x =与曲线已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题．考点10 导数几何意义相关的应用问题【典例19】（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ） A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．3.（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 一、单选题1．（2022下·安徽滁州·高二统考期末）已知函数()2ln f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数，则()1f '的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22.（2023上·山东济宁·高三统考期中）若曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线方程是210x y -+=，则=a（ ）． A ．3B ．2C ．1D ．03．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）若曲线2ln 1y x x =++在点(1,2)处的切线与直线10x ay +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．－4B ．－3C ．4D ．34．（2023下·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线0x y a ++=是曲线()314f x x bx =+-与曲线()23ln g x x x =-的公切线，则a b -=（ ）．A ．26B ．23C ．15D ．11二、多选题5．（2023下·湖南·高二期中）过点(2,6)P -作曲线3()3f x x x =-的切线，则切线方程可能是（ ）A ．30x y +=B ．24540x y --=C ．9240x y --=D ．12240x y --=匀速旋转(到OB 处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．若把图中的圆改成如图（1）所示的半圆，正确的答案是哪个？如果改成图（2）中的三角形呢？12．（2010上·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数()316f x x x =+-．(1)求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线方程；(2)直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．。
2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题05《导数及其应用》
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题
目要求的。）
1.函数 f x sin2 x 的导数是（ ）
A. 2sin x
B. 2 sin2 x
C. 2cos x
D. sin 2x
2．已知 f x 1 x2 cos x ， f ' x 为 f x 的导函数，则 f ' x 的图像是（ ）
6． 已知函数 f x 的导数为 f′ x ，且 x 1 f x xf ′x 0 对 x R 恒成立，则下列函数在实数集
内一定是增函数的为（ ）
A. f x
B. xf x
C. ex f x
D. xex f x
7．
已知函数
f
x 与
f
' x 的图象如图所示，则函数 g x
A． (0, )
B． (, 0) (3, )
C． (, 0) (1, )
D． (3, )
2
2020 衡水名师原创理科数学专题卷
9. 已知函数 f (x) x2 2x a(ex1 ex1) 有唯一零点，则 a=（
1 A． 2
1 B． 3
1 C． 2
） D．1
10 ． 已 知 函 数 f x 的 定 义 域 为 R , f ' x 为 函 数 f x 的 导 函 数 ， 当 x 0, 时 ，
A． 4 2 B． 2 2 C． 9 D． 9 2 2 22
3
2020 衡水名师原创理科数学专题卷
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．
已知函数 f(x )
2023衡水名师原创 理科数学 精品专题卷 专题五 导数及其应用
2023衡水名师原创 理科数学 精品专题卷 专题五 导数及其应用 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、函数()3121x x f x ++=的导数是( ) A. 32121x x (++) B. 2323x 221x x +(++) C. 2323x 221x x --(++) D. 2323x 21x x -(++)2、定义在R 上的函数()f x 满足: ()()'1f x f x +>,()04f =,则不等式()3e e x x f x >+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A. ()0,+∞B. (,0)(3,)-∞⋃+∞C. ()(),00,-∞⋃+∞D. ()3,+∞3、已知函数322()f x x ax bx a ++=+在1x =处有极值10，则(2)f 等于 ( )A ．11或18B ．18C ． 11D ．17或184、直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线,则实数b 的值为( ) A.2 B.ln21+ C. ln21- D. ln25、若函数(x)y f =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称(x)y f =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )A.sin y x =B.ln y x =C.e x y =D.3y x =6、已知定义在R 上的偶函数()x f 的导函数为()x f ',且()()x f x f <',则以下不等式成立的是( )A.()()()120e 1e 2f f f -<< B. ()()()21e 20e 1f f f -<< C. ()()()21e 2e 10f f f -<< D. ()()()12e 10e 2f f f -<< 7、函数()y f x =的导函数()'y f x =的图像如图所示,则函数()y f x =的图像可能是( )A. B. C. D.8、已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,()2'(),(0)1f x f x f +>=,则不等式ln[()2]ln 3f x x +>+的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞ 9、函数()32724f x x x a =-++有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.()29,26-B.()28,25-C.()28,26-D.()29,25-10、定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，当π3π[,]22x ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( ) A ．π4π(,)33 B ．π4π(,)33- C. π(0,)3 D ．ππ(,)33- 11、若函数()33f x x x =-在()2,6a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A.()7,1-B.(7,1⎤-⎦C.()7,2-D.(7,2⎤--⎦12、已知()207sin d x x ϕπ-=⎰，则sin 2ϕ=（ ） A.34 B.916 C.34- D.3-二、填空题13、曲线3ln (1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 .14、若函数()()52123++-=x x a x f 在R 上是增函数，则a 的取值范围是 .15、已知函数21()e ,(,R),2x f x a x b a b =--∈若函数2121(),,3,x f x x x x ≥有两个极值点且则实数a 的取值范围为__________.16、已知函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象如图所示,它与直线 0y =在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274,则a 的值为__________. 三、解答题17、已知函数()ln f x x x =.1.求()f x 的最小值；2.若对所有的1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围．18、已知函数2()e 2e 4x x f x x =--.1.求()f x 的单调区间；2.当0x >时，()e (41)xaf x a x <-+恒成立，求a 的取值范围.19、已知0a >,函数()24ln 2a f x x x a =+-+ 1.记()()2g a f a =,求()g a 的最小值2.若()y f x =有三个不同的零点,求a 的取值范围20、设函数2()(1)ln .2a f x x a x x =+-- 1.当2a =-时,求f ()x 在1[,e]2上的最值;2.当0a >时,若2()ln f x a>-对任意的()0,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 21、已知函数()ln 2f x x x =-.1.求函数()f x 的极值；2.若21()(3)1(R)2g x mx m x m =+--∈，是否存在整数m 使()()f x g x ≤对任意(0,)x ∈+∞成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案1、答案：C解析：()()32232321'322121x x x x x x f x x -(++)--=(++++=) 2、答案：A解析：3、答案：B解析：4、答案：C解析：∵ ln y x =的导数为1y x '=,∴112x =,解得2,x = ∴切点为(2,ln 2)将其代入直线12y x b =+得ln21b =- 5、答案：A解析：当sin y x =时，cos ,cos0cos π1y x '=⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A6、答案：D解析：7、答案：D解析：原函数先减再增,再减再增,因此选D.8、答案：B解析：9、答案：D解析：10、答案：D解析：11、答案：D解析：由题意()33f x x x =-， 所以()()()233311f x x x x '==+--， 当1x <-或1x >时，()0f x '>；当11x -<<时，()0f x '<，故1x =-是函数()f x 的极大值点，()1132f -=-+=，332x x -=，解得2x =，所以由题意应有：222616162a a a a a ⎧<-⎪<-⎪⎨->-⎪⎪-≤⎩，解得2a <≤．故选：D ．12、答案：B解析：由题意，根据微积分定理，得()π20sin d sin cos 4x x ϕϕϕ-=-=⎰ ，两边平方，得71sin 216ϕ-= ， 所以79sin 211616ϕ=-= ，故正确答案为B. 13、答案：43y x =-解析：14、答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21解析：15、答案： 解析：16、答案：-3解析：由图知方程()0?f x =有两个相等的实根120x x ==,于是0b =,∴()()2f x x x a =+,有()434320270044312a a x ax a x ax dx --⎛⎫⎡⎤=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰, ∴3a =±.又00a a ->⇒<,得3a =-. 故答案为:-3.17、答案：1.()f x 的定义域为(0,),'()1ln f x x +∞=+，令'()0f x >，解得1ex > 令'()0f x <，解得10ex <<. 从而()f x 在1(0,)e 上减少；在1(,)e +∞上增加，所以当1e x =时，()f x 取得最小值1e-. 2.由题意得在[1,)+∞上恒成立，即不等式1ln a x x ≤+对于[1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln g x x x =+， 则22111'()x g x x x x-=-=. 当1x >时，'()0g x >，∴()g x 在[1,)+∞上是增加的，所以()g x 的最小值为(1)1g =.则1a ≤.故a 的取值范围是(,1]-∞．解析：18、答案：1. 2'()2e 2e 4(2e 2)(e 2)x x x x f x =--=+-，令'()0f x =，解得ln 2x =，当(,ln 2)x ∈-∞，'()0f x <，则函数()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞，'()0f x >，则函数()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增.2.令2()()e (41)e(21)e x x x g x af x a x a a x =-++=-++，根据题意，当(0,)x ∈+∞时，()0g x <恒成立. 2'()2e (21)e 1(2e 1)(e 1)x x x x g x a a a =-++=--. ①当102a <<，(ln 2,)x a ∈-+∞时，'()0g x >恒成立， 所以()g x 在(ln 2,)a -+∞上是增函数，且()((ln 2),)g x g a ∈-+∞，所以不符合题意； ②当12a ≥，(0,+)x ∈∞时，'()0g x >恒成立， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，且()((0),)g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a ≤时，因为(0,)x ∈+∞，所以恒有'()0g x <，故()g x 在(0,)+∞上是减函数， 于是“()0g x <对任意(0,)x ∈+∞都成立”的充要条件是(0)0g ≤，即(21)0a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤.综上，a 的取值范围是[1,0]-.解析：19、答案：1. ()22241ln 22ln 1a g a a a a a a ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭,()()222111'2a g a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以01a <<,()g a 单调递减;1a >时(),'0g a >,()g a 单调递增,所以()g a 的最小值为()10g =2. ()()()()22422222414',0x a a x a a f x x x x a x x a +-+=-=>++ 因为()y f x =有三个不同的零点,所以() f x 至少有三个单调区间,而方程()224240x a a x a +-+=至多有两个不同正根,所以,有()222401610a a a a ⎧-<⎪⎨∆=->⎪⎩,解得, 01a <<, 由1得,当x 1≠时, ()0g x >,即110lnx x +->,所以1ln x x >-,则()10x e x x>->, 令2,2a x =得2222a e a >-. 因为()()222222122420,0a f e f a a a a a -⎛⎫-<-+-=-<> ⎪⎝⎭, 所以()y f x =在()()22222,,,1,1,e a a e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-内各有一个零点, 故所求a 的范围是01a <<.解析：20、答案：1. (21)(1)'()x x f x x--=- 列表,比较(2)f 与()f e 的大小, ∵21()32(1)(2)0()2f e e e e e f =-+-=---<<∴max ()(1)2f x f ==,2min ()()32f x f e e e ==-+-2.由1(1)(1)()(1).ax x f x ax a x x+-'=+--= 知0a >时, f ()x 在(]0,1上单调递减, ()1,+∞上单调递增,所以f ()x 在1x =处取得最小值(1)12a f =-, 若2()ln f x a>-对任意的()0,x ∈+∞恒成立,只需21ln 2a a ->-,即ln 1022a a +-< 设2a t =,令()ln 1g t t t =+-, 则()g t 在()0,+∞上单调递增,且(1)0g =由()001g t t <⇒<<,则()0,2a ∈,所以a 的取值范围是()0,2.解析：21、答案：1.极大值1()ln 212f =--不存在极小值；2.2解析： 1.112()ln 2'()2x f x x x f x x x -=-⇒=-= 令'()0f x =，则12x = 分析知，当1(0,)2x ∈时，'()0f x >；当1(,)2x ∈+∞时，'()0f x < ∴函数()f x 在区间1(0,)2上单调递增，在区间(0,)x ∈+∞上单调递减 ∴函数()f x 在12x =处取得极大值11()ln 1ln 2122f =-=--，不存在极小值 2.据题意，得21ln 2(3)12x x mx m x -≤+--对任意(0,)x ∈+∞成立 21ln (1)102x mx m x ∴-+-+≤对任意(0,)x ∈+∞成立 设函数21()ln (1)12h x x mx m x =-+-+ 可知()0h x ≤对任意(0,)x ∈+∞成立221(1)1(1)1(1)(1)'()(1)mx m x mx m x x mx h x mx m x x x x -+-++--+-∴=-+-==-=-①当0m ≤时'()0h x >对任意(0,)x ∈+∞成立，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增 又13(1)(1)112022h m m m =-+-⨯+=-+> 0m ∴≤不满足题设；②当0m >时，1(1)()'()m x x m h x x +-=-令'()0h x =，则1x =-（舍），1x m =分析知，函数在区间1(0,)m 上单调递增，在区间1(,)m+∞上单调递减 2max 11111111()()ln ()(1)1ln ln 222h x h m m m m m m m m m m∴==-⋅⋅+-⋅+=+=-+ 又函数1()ln 2P m m m=-+在(0,)+∞上单调递减 11(1)ln10122P =-+=>⨯411(2)ln 2ln 2ln 0224P =-+=-+=<⨯ 所求整数m 的最小值为。
2020年衡水高考数学专题复习试题分类、立体几何
四、立体几何一、选择题1.（重庆理9）高为2的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为A ．24 B ．22C ．1D 2【答案】C2.（浙江理4）下列命题中错误的是A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D3.（四川理3）1l ，2l ，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面【答案】B【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4.（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．283π-B．83π-C ．82π-D ．23π【答案】A5.（浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D6.（山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A．3 B．2C．1 D．0【答案】A7.（全国新课标理6）。
在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为3 32正视图侧视图俯视图 图1 【答案】D8.（全国大纲理6）已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．23B ．33 C ．63 D ．1【答案】C9.（全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 【答案】D10.（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．9122π+ B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+【答案】B11.（江西理8）已知1a ，2a ，3a 是三个相互平行的平面．平面1a ，2a之间的距离为1d ，平面2a ，3a 之间的距离为2d ．直线l 与1a ，2a ，3a 分别相交于1p ，2p ，3p ，那么“12P P =23P P ”是“12d d =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C12.（广东理7）如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．63B．93C．123D．183【答案】B13.（北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A．8 B．62C．10 D．82【答案】C14.（安徽理6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）48（B）32+817（C）48+817（D）80【答案】C15.（辽宁理8）。
衡水名师原创模拟卷理科数学(四) 答案
专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版)
导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、知识储备1、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 二、例题讲解1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()e e x x f x x =+. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）讨论函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是(,2)-∞-，单调递增区间是(2,)-+∞，极小值为21e -，无极大值；（2）详见解析. 【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得极值.（2）由（1）画出()f x 大致图象，由此对a 进行分类讨论，求得()g x 的零点个数. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且()(2)e x f x x '=+， 令()0f x '=得2x =-，则()'f x ，()f x 的变化情况如下表示：(2,)-+∞.当2x =-，()f x 有极小值为21(2)e f -=-，无极大值. （2）令()0f x =有1x =-：当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，且()f x 经过212,e A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)B -，(0,1)C .当x →-∞，与一次函数相比，指数函数e x y -=增长更快，从而1()0e xx f x -+=→；当x →+∞时，()f x →+∞，()f x '→+∞，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数为()y f x =与y a =的交点个数. 当2x =-时，()f x 有极小值21(2)e f -=-. ∴关于函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点个数有如下结论： 当21e a <-时，零点的个数为0个； 当21e a =-或0a ≥，零点的个数为1个； 当210ea -<<时，零点的个数为2个. 【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解.感悟升华（核心秘籍）本题讨论()()()g x f x a a =-∈R 零点的个数，将问题分解为()y f x =与y a =交点的个数，注意在利用导函数求()f x 单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限x →-∞时，()0f x →，从而将草图画的更准确；三、实战练习1．（2022·河南高三开学考试（文））若函数()34f x ax bx =+－，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的递减区间；（2）若关于x 的方程()0f x k -=有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）递减区间为()2,2-；（2）428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）对函数进行求导，利用()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩，解方程即可得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，对函数求导，根据导数的性质列表，即可得答案；（2）作出函数的图象，直线与函数图象需有1个交点，即可得答案； 【详解】（1）()23f x ax b '=-，由题意知()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩解得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故所求的解析式为()31443f x x x =-+，可得()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，得2x =或2x =-，由此可得所以函数的递减区间为2,2-.(2)由(1)知，得到当2x <-或2x >时， ()f x 为增函数; 当22x -<<时， ()f x 为减函数，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当43k <-或283k >时， ()f x 与y k =有一个交点，所以实数k 的取值范围为428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性做出该函数的大致图像，进而利用数形结合求解，考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．（2022·陕西西安中学高三月考（理））已知函数()()1xf x e ax a R =--∈.（1）试讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()()ln 1ln xg x e x =--，且()()f g x f x <⎡⎤⎣⎦在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）(],1-∞【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，可得()x f x e a '=-，则有：①若0a ，则()0x f x e a '=->，此时可得函数()f x 在R 上单调递增， 又因为(0)0f =，所以函数只有一个零点； ②若0a >，令()0f x '=，则有ln x a =，所以()0ln f x x a '>⇒>，此时函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增；()0ln f x x a '<⇒<，此时函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；即()(ln )1ln min f x f a a a a ==--，则有：()i 当ln 01a a =⇒=时，则()0f x ，此时函数()f x 只有一个零点；()ii 当ln 0a ≠时，即1a ≠时，则(ln )(0)0f a f <=，又因为x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 根据零点存在定理可得，此时函数()f x 在R 上有两个零点． 综上可得，当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）下面证明：0x ∀>，有()0g x x <<，先证：0x ∀>，有()0g x >，由（1）可知当1a =时，()()00min f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()()()1ln 1ln ln ln10x xe g x e x g x x ⎛⎫-=--==>= ⎪⎝⎭，再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x xe e x-<，即证0x ∀>，1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+> 令()1(0)x x H x xe e x =-+>()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，即得函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()(0)0H x H >=，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有()0g x x <<，当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意， 综上可得，1a ，即(],1a ∈-∞． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）()0,1. 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）把()f x 有两个零点，转化为2ln x xa x +=有两个解，令()2ln x x h x x+=，二次求导后得到函数()h x 的单调性和极值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）若()f x 有两个零点，即2ln 0ax x x --=有两个解，2ln x x a x +=．设()2ln x x h x x +=，()312ln x h x xx '-=-， 设()12ln F x x x =--，因为函数()F x 在()0,∞+上单调递减，且()10F =， 所以当01x <<时，()0F x >，()0h x '>，当1x >时，()0F x <，()0h x '<． 以函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 且 x →+∞时，()0h x →，()11h =， 所以01a <<．即实数a 的取值范围为()0,1.4．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数()e 1xf x x a -=++（R a ∈）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）()20,e -.【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断0a >，根据（1）可知()()min ln 0f x f a =<，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()1e xf x a -'=-，①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =， 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）由（1）可知，0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，因为函数有2个零点，所以()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=.记()()e 0x g x x x =-<，则()e 1xg x '=-，所以(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()010g x g >=>，则e xx >，于是2e2x x ->-，则x <0时，2e 4xx ->. 所以当x <0时，()214ax f x x >++，限定1x <-，则()()212844ax f x x x ax >+=+， 所以当1x <-且8x a<-时，()0f x >.于是，若函数有2个零点，则()20,e a -∈.【点睛】在“()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用e xx >得到2e2x x->-，进而根据放缩法得到结论. 5．（2022·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数()e 2xf x x =+. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()()()g x f x ax a =-∈R ，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数；（2）⎛⎫+∞⎪⎪⎭. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析可知，直线y a =与函数()22xeh x x x=+（0x ≠且2x ≠-）的图象有三个交点，利用导数分析函数()22xe h x x x=+的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()e 2xf x x =+的定义域为{}2x x ≠-，且()()()212x e x f x x +'=+，则当2x <-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当21x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，综上可得：()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数； （2）令函数()()0g x f x ax =-=，因为0x =不是方程的解，所以可得22xe a x x=+，构造函数()22xeh x x x =+（0x ≠且2x ≠-），则()()()22222x e x h x x x -'=+，由()0h x '=可得x =作出函数()h x 的图象如下图所示：由图可知，当a >时，函数y a =与函数()y h x =的图象有三个不同的交点，因此实数a 的取值范围是⎛⎫+∞⎪⎪⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．（2022·天津静海一中高三月考）已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）-9，单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据(1)0f '-=即可求得a 的值，利用导函数求解单调区间；（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，转化为()g x 有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得2()36f x x x a '=-+， ∵在1x =-处的切线与x 轴平行 ∴(1)0f '-=，解得9a =-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'--- 由()0f x '>，解得3x >或1x <-； 由()0f x '<，解13x ．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-． （2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点． ∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--， ∴由()0g x '>，解得2x >或1x <； 由()0g x '<，解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-．依题意得10210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<．故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3()=ln 24min f x +，()2max f x =；（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）当1a =时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）由()()0g x f x x =-=，分离参数得2ln ()x a h x x ==，根据函数2ln ()xh x x =得单调性作图，结合图像即可得出答案. 【详解】解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，(21)(1)()x x f x x-+'=，∴()f x 在11[,)32单调递减，在1(,1]2单调递增，11114ln ln 339339f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()414112ln 993f e f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，∴13()()ln 224min f x f ==+，()(1)2max f x f ==.（2）()()0g x f x x =-=2ln ()x a h x x ⇔==，则312ln ()xh x x -'=，∴()h x在单调递增，在)+∞单调递减，12h e=，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 作出函数2ln ()x h x x =和y a=得图像， ∴由图象可得，1(0,)2a e∈.8．（2022·全国高三专题练习）已知函数()ln f x a x bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--. （1）若对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，求实数k 的范围. 【答案】（1）[ln31--，)+∞；（2）3(ln2,0)4-.【分析】（1）()af x b x'=+，(0)x >，根据函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--．可得f '（1）2=-，f （1）3=-，解得a ，b ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数m 的取值范围． （2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数k 的取值范围．【详解】解：（1）()a f x b x'=+，(0)x >.函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--. f '∴（1）2=-，f （1）3=-，∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =.()ln 3f x x x ∴=-.13()13()3x f x x x --=-='，1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴.∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()ln313f =--.对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，所以()max m f x ，1[,)3x ∈+∞.ln31m ∴--.∴实数m 的取值范围是[ln31--，)+∞.（2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1. 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当2x =时，函数()g x 取得极大值13()ln224g k =-++.要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 3ln2040k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3ln204k -<<， 则实数k 的取值范围3(ln2,0)4-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．9．（2022·全国高三开学考试）已知函数()()()21102f x x a x x =-+>. （1）若()()ln g x f x a x =+，讨论函数()g x 的单调性；（2）已知()()()2ln 222m x f x x x a x a =-++-+，若()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论：①0a ≤；②01a <<；③a =1；④a >1，利用导数研究单调性. （2）把()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点转化为关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭利用导数判断单调性，求出值域，即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,+∞)，()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=. ①当0a ≤时，令()0f x '<，得到01x <<；令()0f x '>，得到1x >，此时()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当01a <<时，令()0f x '<，得到1<<a x ；令()0f x '>，得到0x a <<或1x >，此时()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数；③当a =1时,显然()0f x '≥恒成立，此时()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时,令()0f x '<，得到1x a <<；令()0f x '>，得到01x <<或x a >.此时()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.综上：①当0a ≤时， ()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当01a <<时， ()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数； ③当a =1时，()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时，()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.（2）()()()22ln 222ln 22m x f x x x a x a x ax x x a =-++-+=---+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，即关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭则()()2232ln 4=2x x x h x x +--'+， 令()2132ln 4,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭，，则()()()212x x p x x-+'=，显然()0p x '≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立,故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为p (1)=0，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0p x <，即()0h x '<所以()h x 单调递减；当()1x ∈+∞，，有()0p x >，即()0h x '>所以()h x 单调递增； 因为()()9ln 24=,1,0111423ln 21532h h h h ⎛⎫⎛⎫+==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 10．（2022·贵州贵阳一中（文））已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【分析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值； （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 【详解】解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++，令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．。
专题05 极值点的偏移问题-2020年数学(理)冬令营集训之函数、三角函数、导数
专题05 极值点的偏移问题一般化的极值点偏移问题：如图1，曲线y=f(x)上两点()()()()1122,,,A x f x B x f x ，记直线AB 的斜率为k ，则存在()012,x x x ∈使得()0f x k '= (由拉格朗日中值定理保证).若1202x x x +≠，则称函数f （x ）的图象存在偏移现象。
特别地，取()()12f x f x =，则()00f x k '==，巧为f （x)的报值点，即为极值点偏移问题.1.2.3.【例1】已知函数()e ()xf x x x R -=∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +> 解：（Ⅰ）f ’()(1)xx x e -=-，令f ’(x)=0,解得x=1当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e-令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).（Ⅲ）（1）若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题五《导数及其应用》
2019衡水名师原创文科数学专题卷专题五 导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1.函数()2sin f x x =的导数是（ ）A.2sin xB.22sin xC.2cos xD.sin 2x 2．已知()21cos 4f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3. 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e - D.1 4． 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2ea b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ⎛⎫++∞⎪⎝⎭B.[),e +∞C.[)2,+∞D.[)2,e 5． 已知函数2x y =的图象在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）A ．2100<<x B ．1210<<x C ．2220<<x D ．320<<x 6． 已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A.()f xB.()xf xC.()xe f xD.()xxe f x7． 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的递减区间为（ ）A.()0,4B.()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.40,3⎛⎫⎪⎝⎭D.()()0,1,4,+∞ 8．定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞ D ．(3,)+∞9. 已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12-B ．13C ．12D ．110． 已知函数()f x 的定义域为R ,()'f x 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ） A.15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11． 已知函数 ()()()()2325ln ,26,2f x x ax a x a Rg x x x x g x =--∈=-++-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤12． 已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln2xf x =，且31112'()12bb dx f a b x =+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．B ．．92 D ．92+第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13． 已知函数ln 4()x f x x+=，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________14． 若函数2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 .15． 若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ． 16．如图，阴影部分的面积是_________． 三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）已知函数()xf x e ax =-，（0a >）.（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. 19．（本题满分12分） 已知函数()()ln ,ln 12x ax f x g x x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. （1）求()y f x =的最大值；（2）当10,a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()(](),0,y g x x e =∈有最小值. 记()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 20．（本题满分12分） 已知函数22()()xf x x x cec R -=-+∈.（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数5()()'()2F x f x f x =+-（其中'()f x 为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围. 21．（本题满分12分）已知函数()()()()()121'10'2x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），()()212g x x ax b a R b R =++∈∈，.（Ⅰ）求()f x 的解析式及极值； （Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()12b a +的最大值.22.（本题满分12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】由题意得，函数的导数为()2(sin )2sin (sin )2sin cos sin 2f x x x x x x x '''==⋅==.2．A【解析】由题意得，()1sin 2f x x x '=-， 所以()11()sin()[sin ]()22f x x x x x f x ''-=---=--=-，所以函数()f x '为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当2x π=时，1()1024f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒成立，故选A.3．【答案】A 【解析】4．C【解析】设切点为),(00y x ，则有2)ln(1000-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+ae b bex a x e e x ，e a b 2,0>∴> ，212≥+=++aa b e a ，故选C. 5．D【解析】函数2y x =的导数y'2x =，2y x =在点200(,)x x 处的切线斜率为02k x =，切线方程为()20002y x x x x -=-，设切线与ln y x =相交的切点为(),ln m m ，（01m <<），由ln y x =的导数为1'y x =可得012x m =，切线方程为()1ln y m x m m-=-，令0x =，可得20ln 1y m x =-=-，由01m <<可得012x >，且201x >，解得01x >由012m x =，可得()200,ln 210x x --=，令()()2ln 21,f x x x =--()()11,'20,x f x x f x x>=->在1x >递增，且2ln 10,3ln 10ff =-<=->，则有()200ln 210x x --=的根x ∈，故选D.6．D 【解析】设()()x F x xe f x =，则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++⎡⎤⎣⎦′′′. ()()()10x f x xf x ++>′对R x ∈恒成立，且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增. 7．D【解析】()()()()()()xx xx ex f x f e e x f e x f x g -'=-'='2，令()0<'x g 即()()0<-'x f x f ,由图可得()()+∞∈,41,0 x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D. 8．A【解析】设x xg x e f x e x R =-∈（）（），（），[]1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--（）（）（）（）（），（）＞（），100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=（）（）＞，（）＞，（）在定义域上单调递增， 又000061500g e f e g x g x =-=-=∴∴（）（），（）＞（），＞，∴不等式的解集为0+∞（，）. 9．【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x xx a e e --+-=-+，设()11x x gx ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g=，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ， 10．B【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x fx =-.因为当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，所以()()22sin f x f x x -+=，所以,，故()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以5463F F ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．B【解析】)13)(2(253)(2'+--=++-=x x x x x g ，所以)(x g 在]2,1[上是增函数，]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立， 由),1[+∞∈x 知，0ln >+x x ，所以0)(≥x f 恒成立等价于xx x a ln 2+≤在),1[+∞∈x ，时恒成立，令),1[,ln )(2+∞∈+=x x x x x h ，有0)ln (ln 2)1()(2'>++-=x x xx x x h ，所以)(x h 在),1[+∞上是增函数，有1)1()(=≥h x h ，所以1≤a . 12．C【解析】∵()x x f 1='，∴()a a f 1='，∵2212111213b b x b dx x b bb +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰，()1212113-+'=⎰b a f dx x b b，∴1212221-+=+-b a b b ，∴1212=+ba ，∵0a >，0b >，∴()()29222252225212=⋅+≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a ，当a b b a 22=且1212=+b a ，即23,3==b a 时等号成立，故选C. 13．370x y +-= 【解析】()23ln xx xf +-='，所以(1)3,(1)4k f f '==-=，切线方程为43(1),y x -=--即370x y +-=14．2ln 22a ≤-【解析】因为函数2()xf x x e ax =--，所以()2xf x x e a '=--，因为2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，所以()20xf x x e a '=-->，即2x a x e <-有解，令()2x g x x e =-，则()2x g x e '=-，则()20ln 2x g x e x '=-=⇒=，所以当ln 2x <时，()20x g x e '=->；当ln 2x >时，()20x g x e '=-<，当ln 2x =时，()max 2ln 22g x =-，所以2ln 22a <-. 15．)23,1[【解析】函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f ，解得21=x 或21-=x （不在定义域内舍），所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于),0()1,1(21+∞⊂+-∈a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<-≥-21121101a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．16．323【解析】由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S ，则1220(32))S x x dx x dx =--+-⎰⎰2332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-=． 17．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e 【解析】（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，② (),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数；②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．………………(6分)由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减，……………………………(8分)所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e．…………(10分)18．（Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'x f x e a =-.在定义域上单调递增。
专题03 导数与应用(解析版)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题03 导数及应用一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()ln3,2 B ．[)2ln3,2-C ．(]0,2ln3-D ．()0,2ln3-【答案】C【解析】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调考试】已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足R x ∀∈，()()f x f x '>且(1)e f =，则不等式(ln )f x x >的解集为( ) A ．(e,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,e) D ．(0,1)【答案】A【解析】令ln t x =，则(ln )()e tf x x f t >⇔>，令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>， ()g x ∴在R 上单调递增，()()e 1e t t f t f t ∴>⇔>()(1)1ln 1e g t g t x x ⇔>⇔>⇔>⇔>，故选A.3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()()()ln 2240f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．()ln3,2B ．[)0,2ln3- C ．()0,2ln3- D ．(]0,2ln3-【答案】D【解析】令()0f x >，则：()()ln 22400x a x a a +--+>>，()22ln 40ax a x x a ∴->-->，设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，故121'()2x g x x x-=-=， 由()'0g x =可得12x =，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，'()0g x <，()g x 为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，'()0g x >，()g x 为增函数， ()()20h x ax a a =->的图像恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图像，如图所示，若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，则0(1)(1)(3)(3)a h g h g >⎧⎪>⎨⎪≥⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩， 解得：02ln3a <≤-. 故选：D .4.【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的()0,y ∈+∞，使得ln ln 1y y x x a y +++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞ C ．2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],1-∞- 【答案】B【解析】()ln g x x x =, ()1ln g x x ='+,故函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增, ()ln 1yf y y =+,()21ln yf y y -'=,故函数在()0,e 上递减.所以()()11e e { 11g f g f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>,解得0a ≤,故选B.5. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数()()()ln ,23f x x g x m x n ==++，若对任意的()0,x ∈+∞,总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．e【答案】C【解析】由题意得()ln 23x m x n ≤++对任意的()x 0,∞∈+恒成立，所以230m +>，令()y ln 23x m x n =-+-，得()11'23023m x x m =-+=⇒=+，当123x m >+时， 0y '<；当1023x m <<+时， 0y '>；所以当123x m =+时， 1max 1ln10,2323n y n m e m --=--≤+≥+，从而()()123,n n m n f m n e ++≥=，因为()11,0,1n nf m n n e+='-==，所以当1n >时， (),0f m n '<；当1n <《时， (),0f m n '>；因此当1n =时， ()2max 1,f m n e=，选C.6. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】很明显，由题意可得：，则由 可得，由题意得不等式：，即： ，综上可得的取值范围是 .本题选择D 选项.7. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知0x 是方程222ln 0x x e x +=的实根，则下列关于实数0x 的判断正确有______. ①0ln2x ≥ ②01x e< ③002ln 0x x += ④002ln 0xe x += 【答案】③.【解析】令()(0)xf x xe x => ，则()()'10xf x ex =+> ，函数()f x 在定义域内单调递增，方程即： ()00022ln 200002ln ,2ln xx x x e x x e e x -=-=- ，即()()002ln f x f x =- ，结合函数的单调性有： 00002ln ,2ln 0x x x x =-∴+= . 本题选择C 选项.8.【衡水中学2019届高三开学二调考试】 已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令，则，所以在单调递减，单调递增，所以，则, 所以，令， 则，， 则在区间上，，则单调递减， 又，所以在单调递增，单调递减，所以， 所以，故选A 。
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上.（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或.②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且.③若0∆<，解集为R .(2)当0a <时，二次函数图象开口向下.①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅2、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法题型二：含参数一元二次不等式的解法题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式题型四：其他不等式解法题型五：二次函数根的分布问题【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（）A ．{2}x x <-∣B ．{1}x x >∣C ．{21}x x -<<∣D ．{2∣<-xx 或1}x >【答案】D 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可.【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >，故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（）A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-【答案】D 【解析】【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式.【详解】当2x =时，()220255154f a a -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-.故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，可得x ≥0，()f x 递增；当x ＜0时，()f x 递增；且x =0时函数连续，所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >或m <【答案】B 【解析】【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立；当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.()f x 定义域为R ，()()()2233x x f x x x f x --=+-=+=，()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称；当0x ≥时，()23x f x x =+，又3x y =，2y x 在[)0,∞+上均为增函数，()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5.故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a--≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a.故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】当1a <-时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.【详解】因为1a <-，所以1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭等价于1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭．故选：A ．【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m <<）的解集为（）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解.【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m <<所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-【答案】D 【解析】【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<，当1a >时，不等式的解集为1x a <<，当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】()(),22,∞∞--⋃+【解析】【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x a a ==+120,0x x <>，当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<> ，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x <，即12a <，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.(1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.(1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．(2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【答案】12ln2(,]43-【解析】【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x xm x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x x f x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x xm x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--，3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，u （1）10=-<，u （2）104ln20=+>．因此存在1(1,2)x ∈，使得1()0u x =，因此函数()f x 在1(0,)x 内单调递减，在1(x ,) +单调递增．f （1）14=，f （2）2ln23-=． 关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（）A ．2-B ．1C ．2D ．8【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值．【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b+=+≥，当且仅当4b =时取“=”，故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（）AB．CD．【答案】D 【解析】【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出124x x a +=，2123x x a =，再用基本不等式求出最值【详解】22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当143a a -=-即a =时，等号成立，所以1212a x x x x ++的最大值为故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确；且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确.故选：ABD .例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.【答案】{}23x x <<【解析】【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可.【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，故6a =，则不等式303x a x -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<，不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<，则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --<的解集是________.【答案】{|23}x x <<【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()(23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<，所以不等式20x bx a --<的解集是{|23}x x <<.故答案为：{|23}x x <<【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由12x >可得120x->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由12x >可得120x ->，整理可得：120x x ->，则()210x x -<，解可得：102x <<.所以不等式是12x >的解集为:10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________.【答案】()1,0-【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解.【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++,故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.【答案】02xx <-【解析】【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论.【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-，故答案为：02xx <-.（答案不唯一）例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x230≥的解集为_________.【答案】[4,5)【解析】【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++，23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩，2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5).【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法:解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-.参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____.【答案】()()3,11,2 --.【解析】【分析】关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集.【详解】若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃.故解集为：()()3,11,2 --.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．2．根式不等式绝对值不等式平方处理．题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0, +C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得5534a -≤≤-，所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（）A ．196B ．3C ．103D ．92【答案】AC 【解析】【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可.【详解】解：∵322()13f x x x ax =-+-，∴2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=即22230m m a -+-=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103.故选：AC.【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+.【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案.【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证：(Ⅰ)0a >且21ba-<<-；(Ⅱ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得；（Ⅱ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得.【详解】（Ⅰ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>.由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>.故21ba-<<-.（Ⅱ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a --，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22(0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3b a -上单调递减，在(,1)3ba-上单调递增，所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -与(,1)3ba-内分别各有一实根.【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（）A ．{}22x x -≤≤B ．{}42,3x x x -≤≤≠-C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件.故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合 234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.【详解】()()ππln ln 2cos ln 2ln cos(π)0)2()(22f x f x x x x x x x ----+----=+= ，()f x ∴图象关于点(1,0)成中心对称，又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知，()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +< ，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t <，所以01t <<.故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[1,-D．[1,【答案】A【分析】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.对k 进行讨论，即可求出答案.【详解】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.（1）当12k <时，则2()220t t k t kt -≤⇒--≤，令2()2g t t kt =--，max ()(1)101g t g k k ==--≤⇒≥-.故112k -≤<.（2）当1k >时，则2()220t k t t kt -≤⇒-+≥，令2()2g t t kt =-+①当12k<时，212k k <⇒<<，则22min ()()201242k k k g t g k ==-+≥⇒<≤②当12k≥时，2k ≥，则min ()(1)120323g x g k k k ==-+≥⇒≤⇒≤≤故13k <<（3）当112k ≤≤时，则||2t t k -≤在1[,1]2t ∈上恒成立，故112k ≤≤.综上所述：[1,3]k ∈-故选：A.7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b +=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】首先判断0,0a b >>，再化简()214224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解.【详解】解：设方程2320x x ab --=的两个异号的实根分别为1x ，2x ，则1203abx x =-<，0ab ∴>．又211a b+=，0a ∴>，0b >，则()21422448a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4a =，2b =时取“=”），由不等式222a b m m +>+恒成立，得228m m +<，解得42m -<<．∴实数m 的取值范围是()4,2-．故选：A ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C 【解析】【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【详解】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC 【解析】【分析】利用换元法令sin t x =，不等式可整理为220t at -+≥在(]0,1t ∈上恒成立，即2a t t ≤+，即min2a t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，求函数的最小值即可得解.【详解】设sin t x =，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]0,1t ∴∈则不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，即转化为不等式220t at -+≥在(]0,1t ∈上恒成立，即转化为222t a t t t +≤=+在(]0,1t ∈上恒成立，由对勾函数知2y t t =+在(]0,1t ∈上单减，min 2131y =+=，3a ∴≤故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性求出函数的最值是解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于一般题.10．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（）A ．0a <B ．0c >C ．20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．20cx bx a ++>的解集为{1x x n <或}1x m>【答案】AC 【解析】由一元二次不等式的解法，再结合根与系数的关系逐个分析判断可得答案【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，所以0a <，,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，所以A 正确；所以b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得()b m n a c mna =-+⎧⎨=⎩，因为0m >，m n <，所以0n >，又由于0a <，所以0c mna =<，所以B 错误；所以20cx bx a ++>可化为2()0mnax m n ax a -++>，即2()10mnx m n x -++<，即(1)(1)0mx nx --<，因为0n m >>，所以11n m<，所以不等式20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以C 正确，D 错误，故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法的应用，解题的关键由一元二次不等式的解法可知0a <，且,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，再利用根与系数的关系得b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再求得()b m n a c mna =-+⎧⎨=⎩，从而可求解不等式20cx bx a ++>，考查转化思想，属于中档题11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()222f x x mx m =--，则下列命题正确的有（）A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x 【答案】BC 【解析】对于A ，分0m >和0m <时求解不等式；对于B ，根据函数的单调性可判断；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式可判断；对于D ，构造函数()()(0)f x g x x x=>，看作()y f x =在y 轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率,数形结合可判断单调性，即可得出结果.对于A ，由2220x mx m --<得()(2)0x m x m -+<，当0m >时，原不等式的解集为|2m x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0m <时，原不等式的解集为|2m x m x ⎧⎫<<-⎨⎩⎭，故A 错误；对于B ，1m =时，2219()212(48f x x x x =--=--在[)1+∞，上是增函数，则1212()()0f x f x x x ->-，即()[]1212()()0x x f x f x -->，故B 正确；对于C.()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦m 上单调递减，当121,4x x m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦,时，设11(,())A x f x 、()22,()B x f x ，则AB 的中点C 1212()(),22x x f x f x ++⎛⎫⎪⎝⎭，又设1212,22x x x D f x ⎛⎫⎛++⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数形结合可知，点D 位于点C 的下方，即1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故C正确；对于D ，设()()(0)f x g x x x=>，则()g x 表示()y f x =在y 轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率,数形结合可知，()g x 是增函数，当120x x <<时，12()()<g x g x ，则1212()()f x f x x x <，即2112()()x f x x f x <，故D 错误.故选：BC.关键点睛：本题考查二次函数性质的综合应用，对于CD 选项的判断，关键是根据函数的单调性，利用数形结合的方法进行判断.12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]-D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞【答案】BC 【解析】【分析】(1,3)f 和(3,1)f 的值直接代入即可求得，1(,)4f a a ≤转化为求二次函数最大值的问题，若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立转化为关于x 的二次函数与x 轴至多有一个交点的问题，若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立转化为关于a 的一次函数在0a >内恒大于等于零恒成立的问题.【详解】对于选项A ，()(1,3)1132f =⨯-=-，()(3,1)3110f =⨯-=，即(1,3)(3,1)f f ≠，则A 选项错误；对于选项B ，()22211111(,)144244f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=--++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则B 选项正确；对于选项C ，()()()2(,)114f x a x x a x x a x a a -=--=-++-≤-+恒成立，即()2140x a x -++≥恒成立，则()21160a ∆=+-≤，解得53a -≤≤,即实数a 的取值范围是[5,3]-，则C选项正确；对于选项D ，()2140x a x -++≥恒成立，令()24 0y ax x x a =-+-+>，当0x >时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0，当0x =时，40y =≥成立，当0x <时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递增，当0a =时，24y x x =-+211544x x =-++2115024x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是(],0-∞，则D 选项错误；故选：BC .三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y【答案】[0,1]【解析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出a ，c 的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.【详解】由题知-2和1是210ax x c a++=的两根，由根与系数的关系知-2+1=21a -，−2×1＝c a，由不等式的解集为{|21}x x -<<，可知0a <，12a c ∴=-=，，则y ==因为函数y =[]0,2x ∈，令()22g x x x =-+则该函数的增区间为(],1-∞所以y =[]0,1故答案为：[]0,1.14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.【答案】()5,7【解析】【分析】首先解一元二次不等式，求出不等式的解集，再根据解集中整数的情况，得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为2(3)16x b -<，所以()()34340x b x b -+--<，解得4433b b x -+<<，所以原不等式的解集为44|33b b x x -+⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以40134343b b -⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ 解得：57b <<，即()5,7b ∈，故答案为：()5,7．15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范【答案】()(],13,4-∞ 【解析】【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对a 进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出a 的取值范围【详解】不等式()2220x a x a -++->等价于()2220x a x a -++<.令()2220x a x a -++=，解得2x =或x a =.当2a >时，不等式()2220x a x a -++<的解集为()2,a ，要想恰有1个正整数解，则34a < ；当2a =时，不等式()2220x a x a -++<无解，所以2a =不符合题意；当2a <时，不等式()2220x a x a -++<的解集为(),2a ，则1a <.综上，a 的取值范围是()(],13,4-∞ .故答案为：()(],13,4-∞ 16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++ ，则a b c ++的最大可能值为__.【答案】3【解析】【分析】可先通过赋值0x =，判断1c ≤，再令1,0c b =-=，结合二次函数最值，可得所求最大值.【详解】任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++ ，若0x =，则1c ，可取1c =-，0b =，可得211ax - ，即22ax ≤恒成立，由于201x ，可得a 最大取2，可得3a b c ++ ，即有a b c ++的最大可能值为3.故答案为：3.四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)．(1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．【答案】(1)2()1f x x =+；。
2020版高考数学一轮复习板块命题点专练(四)导数及其应用文(含解析)苏教版(最新整理)
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板块命题点专练(四) 导数及其应用命题点一导数的运算及几何意义1.(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋错误!（a,b为常数)过点P（2,－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．解析：y＝ax2＋错误!的导数为y′＝2ax－错误!，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－错误!。
由题意得错误!解得错误!则a＋b＝－3。
答案：－32．(2018·天津高考)已知函数f（x）＝e x ln x，f′(x)为f（x）的导函数，则f′(1）的值为________．解析：∵f(x）＝e x ln x，∴f′(x）＝e x ln x＋错误!，∴f′(1)＝e.答案：e（2018·全国卷Ⅲ）曲线y＝(ax＋1）e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________。
3．解析：∵y′＝(ax＋a＋1）e x，∴当x＝0时,y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案:－34．(2017·天津高考）已知a∈R,设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点（1,f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析:因为f′(x）＝a－错误!，所以f′(1）＝a－1，又f（1）＝a，所以切线l的方程为y－a＝（a－1）（x－1）,令x＝0，得y＝1。
2018衡水名师原创专题卷+理数+专题五《导数及其应用》
当
时,
时,
此时函数
和
有一个交点 ,
即
,
故选 C.
4. 答案： A
解析： 由题可得
因为 故 令 所以 所以
, 所以
, 解得
在
,
极小值为
,
,
,
或
,
单调递增 , 在
,
单调递减 , , 故选 A.
5. 答案： D
解析： 由题意得 , 函数的导数
为:
.
6. 答案： C
解析： 设切点为
, 则有
,
∵
,∴
,
, 故选 C.
绝密★启用前
2018 衡水名师原创专题卷 理数 专题五《导数及其应用》 数学试卷
考试范围： xxx ；考试时间： 100 分钟；命题人： xxx 学校： ___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________
题号
一
二
三
得分
注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 卡上
.
15、如图所示 , 则阴影部分的面积是 _________.
16、已知函数
程
.
, 求曲线
在点
处的切线方
评卷人
得分
三、解答题
17、已知函数
, 其中 为自然对数的底数 ,
...
1. 判断函数
的单调性 , 并说明理由 ;
2. 若
, 不等式
恒成立 , 求 的取值范围。
18、已知函数
.
1. 讨论
的单调性 ;
2. 若
有两个零点 , 求 的取值范围 .
19、已知函数
专题05导数及其应用解答题(原卷版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题05导数及其应用解答题1．【2022年全国甲卷理科21】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．2．【2022年全国乙卷理科21】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．3．【2022年新高考1卷22】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．【2022年新高考2卷22】已知函数f(x)=x e ax−e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1)．5．【2021年全国甲卷理科21】已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．6．【2021年新高考1卷22】已知函数f(x)=x(1−lnx).（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e.7．【2021年全国乙卷理科20】设函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．（1）求a；真题汇总（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:g(x)<1．8．【2021年新高考2卷22】已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2+b ． （1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点 ①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．9．【2020年全国1卷理科21】已知函数f(x)=e x +ax 2−x . （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 10．【2020年全国2卷理科21】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：|f(x)|≤3√38； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n .11．【2020年全国3卷理科21】设函数f(x)=x 3+bx +c ，曲线y =f(x)在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． 12．【2020年山东卷21】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．13．【2020年海南卷22】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．14．【2019年新课标3理科20】已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+b ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．15．【2019年全国新课标2理科20】已知函数f （x ）＝lnx −x+1x−1．（1）讨论f （x ）的单调性，并证明f （x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f （x ）的一个零点，证明曲线y ＝lnx 在点A （x 0，lnx 0）处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 16．【2019年新课标1理科20】已知函数f （x ）＝sin x ﹣ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明： （1）f ′（x ）在区间（﹣1，π2）存在唯一极大值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．17．【2018年新课标1理科21】已知函数f （x ）=1x −x +alnx ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2．18．【2018年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2． （1）若a ＝1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．19．【2018年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝（2+x +ax 2）ln （1+x ）﹣2x ． （1）若a ＝0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0； （2）若x ＝0是f （x ）的极大值点，求a ．20．【2017年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．21．【2017年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．22．【2017年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝x ﹣1﹣alnx ． （1）若f （x ）≥0，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，（1+12）（1+122）…（1+12n ）＜m ，求m 的最小值． 23．【2016年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个零点，证明：x 1+x 2＜2．24．【2016年新课标2理科21】（Ⅰ）讨论函数f （x ）=x−2x+2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，（x ﹣2）e x +x +2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=e x−ax−ax2（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．25．【2016年新课标3理科21】设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．26．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax+14，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．27．【2015年新课标2理科21】设函数f（x）＝e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．28．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx+be x−1x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．29．【2014年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜√2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．30．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y ＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．31．【2013年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．1．已知函数f(x)=x22+cosx−1．(1)求函数f(x)的最小值；(2)证明：∑cos1k >n+12n−1nk=1．2．已知函数f(x)=e x(sinx+cosx)−asinx..(1)当a=1时，求函数f（x）在区间[0，2π]上零点的个数；(2)若函数y=f(x)在（0，2π）上有唯一的极小值点，求实数a的取值范围3．已知函数ℎ(x)=x−alnx(a∈R).(1)若ℎ(x)有两个零点，a的取值范围；(2)若方程x e x−a(lnx+x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2x1x2.4．已知函数f(x)=a2x2+(a−1)x−lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>4时，若方程f(x)=ax2−x+a2在(0，1)内存在唯一实根x0，求证：x0∈(14,1e)．5．已知函数f(x)=e1−x+a(x2−1)，a∈R．(1)若a=12，求f(x)的最小值；(2)若当x>1时，f(x)>1x+lnx恒成立，求a的取值范围．6．已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(1)=5，函数g(x)=a(lnx+1)−f(x)x2≤0在(1,+∞)上恒成立，求整数a的最大值.7．已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=f(x)−1x，若g(x)在[1,e2]上存在极值，求a的取值范围.8．设函数f(x)=a e x−x−1，a∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；模拟好题(3)求证：当x∈(0,+∞)时，e x−1x>e x2．9．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1).(1)若f(x)恒有两个极值点x1，x2（x1<x2），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明f(x1)+f(x2)>32.10．已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2,x∈[0,π].(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数.11．已知函数f(x)=xe x−1+(1−a)lnx，g(x)=lnx+ax．(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a=2时，对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e g(x0+1)−3x0−2+b2x02<1，请说明理由；(3)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，x1是ℎ(x)的极小值点，且ℎ(x1)≥0，证明：ℎ(x1)≥2(x12−x13)．12．已知函数f(x)=ax−2e x+3(a∈R)，g(x)=lnx+x e x（e为自然对数的底数，e<259）．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=−1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，当x∈[12,1]时，ℎ(x)∈(m,n),(m,n∈Z)，求n−m的最小值．13．已知函数f(x)=a e xx+lnx−x(a∈R)．(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>1时，设F(x)=f(x)−(2lnx−x+1x )，求证：F(x)>ln(ax)x−lnx+e−1．14．设函数f(x)=m e x−1,g(x)=lnx+n，m、n为实数，若F(x)=g(x)x 有最大值为1e2(1)求n的值；(2)若f(x)e2>xg(x)，求实数m的最小整数值.15．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1),a>0.(1)若f(x)在区间(1,+∞)上有且仅有一个极值点m，求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明34<f(m)<e24.16．已知函数f(x)=ln(x−1)−mx(m∈R),g(x)=2x+n−2．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当−1≤m≤e−2时，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求n−3的最小值．m+217．已知函数f(x)=e x2lnx(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x2(0<x1<x2)满足f(x1)=f(x2)=e k．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明x2e2−2e≤e−e21．x118．已知函数f(x)=xlnx−a(x2−1),a∈R(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若过原点作曲线y=f(x)的切线有两条，求a的取值范围，并证明这两条切线的斜率互为相反数．19．已知函数f(x)=e−x+sinx−ax，g(x)为f(x)的导函数．]内存在唯一的极值点x0，√2<2cosx0<√3；(1)证明：当a=0时，函数g(x)在区[0,π2(2)若f(x)在(0,π)上单调递减，求整数a的最小值．(x>0).20．已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(1)试判断函数f(x)在(0，+∞)上单调性并证明你的结论；(2)若f(x)>k对于∀x∈(0,+∞)恒成立，求正整数k的最大值；x+1(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)⋯[1+n(n+1)]>e2n−3．。
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2020衡水名师原创理科数学专题卷专题五 导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1.函数()2sin f x x =的导数是（ ）A.2sin xB.22sin xC.2cos xD.sin 2x 答案．D【解析】由题意得，函数的导数为()2(sin )2sin (sin )2sin cos sin 2f x x x x x x x '''==⋅==.2．已知()21cos 4f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ）A 【解析】由题意得，()1sin 2f x x x '=-， 所以()11()sin()[sin ]()22f x x x x x f x ''-=---=--=-，所以函数()f x '为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当2x π=时，1()1024f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒成立，故选A.3. 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e - D.1【答案】A4． 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2ea b ++的取值范围是（ ） A.2,2e e ⎛⎫++∞⎪⎝⎭B.[),e +∞C.[)2,+∞D.[)2,e C 【解析】设切点为),(00y x ，则有2)ln(1000-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+ae b bex a x e e x ，e a b 2,0>∴>Θ，212≥+=++aa b e a ，故选C. 5． 已知函数2x y =的图象在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．2100<<x B ．1210<<x C ．2220<<x D ．320<<x D 【解析】函数2y x =的导数y'2x =，2y x =在点200(,)x x 处的切线斜率为02k x =，切线方程为()20002y x x x x -=-，设切线与ln y x =相交的切点为(),ln m m ，（01m <<），由ln y x =的导数为1'y x=可得012x m =，切线方程为()1ln y m x m m -=-，令0x =，可得20ln 1y m x =-=-，由01m <<可得012x >，且201x >，解得01x >由012m x =，可得()200,ln 210x x --=，令()()2ln 21,f x x x =-- ()()11,'20,x f x x f x x>=->在1x >递增， 且22ln 2210,33ln 2310ff=-<=->，则有()200ln 210x x --=的根02,3x ∈，故选D.6． 已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A.()f xB.()xf xC.()x e f xD.()x xe f x D 【解析】设()()x F x xe f x =，则()()()()()()()11x x x F x x e f x xe f x e x f x xf x =++=++⎡⎤⎣⎦′′′.()()()10x f x xf x ++>Q ′对R x ∈恒成立，且0x e >.()()0,F x F x >∴′∴在R 上递增.7． 已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的递减区间为（ ）A.()0,4B.()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.40,3⎛⎫⎪⎝⎭D.()()0,1,4,+∞ D 【解析】()()()()()()xx xx ex f x f e e x f e x f x g -'=-'='2， 令()0<'x g 即()()0<-'x f x f , 由图可得()()+∞∈,41,0Y x ，故函数单调减区间为()()0,1,4,+∞，故选D.8．定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞UC ．(,0)(1,)-∞+∞UD ．(3,)+∞A 【解析】设x xg x e f x e x R =-∈（）（），（），[]1'1x x x x g x e f x e f x e e f x f x f x f x '=+'-=+'--Q （）（）（）（）（），（）＞（），100f x f x g x y g x ∴+'-∴'∴=（）（）＞，（）＞，（）在定义域上单调递增， 55x x e f x e g x +∴Q （）＞，（）＞，又00061500g e f e g x g x =-=-=∴∴Q （）（），（）＞（），＞，∴不等式的解集为0+∞（，）.9. 已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x xx a e e --+-=-+，设()11x x gx e e --+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g=，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，10． 已知函数()f x 的定义域为R ,()'f x 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ） A.15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 【解析】令()()2sin F x x f x =-，则()()''sin 2F x x f x =-.因为当[)0,x ∈+∞时，()'2sin cos 0x x f x ->，即()'sin 2x f x >，所以()()''sin 20F x x f x =->，所以()()2sin F x x f x =-在[)0,x ∈+∞上单调递增. 又x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，所以()()22sin f x f x x -+=， 所以,，故()()2sin F x x f x =-为奇函数，所以()()2sin F x x f x =-在R 上单调递增，所以5463F F ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11． 已知函数 ()()()()2325ln ,26,2f x x ax a x a Rg x x x x g x =--∈=-++-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.2a ≤ B.1a ≤ C.1a ≤- D.0a ≤ B【解析】)13)(2(253)(2'+--=++-=x x x x x g ，所以)(x g 在]2,1[上是增函数，]4,2[上是减函数0)(,0)2()(≥==x f g x g 在),1[+∞∈x 上恒成立，由),1[+∞∈x 知，0ln >+x x ，所以0)(≥x f 恒成立等价于xx x a ln 2+≤在),1[+∞∈x ，时恒成立，令),1[,ln )(2+∞∈+=x xx x x h ， 有0)ln (ln 2)1()(2'>++-=x x xx x x h ，所以)(x h 在),1[+∞上是增函数， 有1)1()(=≥h x h ，所以1≤a .12． 已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且31112'()12b b dx f a b x =+-⎰，则a b+的最小值为（ ）A ．B ．C ．92 D ．92+ C 【解析】∵()x x f 1='，∴()a a f 1='，∵2212111213b b x b dx x b bb +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰，()1212113-+'=⎰b a f dx x b b ，∴1212221-+=+-b a b b ，∴1212=+b a ，∵0a >，0b >，∴()()29222252225212=⋅+≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a ，当abb a 22=且1212=+b a ，即23,3==b a 时等号成立，故选C.第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13． 已知函数ln 4()x f x x+=，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________370x y +-=【解析】()23ln xx xf +-='，所以(1)3,(1)4k f f '==-=，切线方程为43(1),y x -=--即370x y +-=14． 若函数2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 .2ln 22a ≤-【解析】因为函数2()xf x x e ax =--，所以()2xf x x e a '=--， 因为2()xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间， 所以()20xf x x e a '=-->，即2x a x e <-有解，令()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-，则()20ln 2xg x e x '=-=⇒=，所以当ln 2x <时，()20xg x e '=->；当ln 2x >时，()20xg x e '=-<，当ln 2x =时，()max 2ln 22g x =-，所以2ln 22a <-.15． 若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ．)23,1[【解析】函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f ， 解得21=x 或21-=x （不在定义域内舍）， 所以要使函数在子区间)1,1(+-a a 内存在极值等价于),0()1,1(21+∞⊂+-∈a a ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<-≥-21121101a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．16． 如图，阴影部分的面积是_________．323【解析】由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-， 解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(3,0)-，设阴影部分的面积为S ，则12203(32))S x x dx x dx =--+-⎰⎰032332)xdx x dx ---+-⎰5322392333=+-=．三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…．（Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． （Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e【解析】（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，② (),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数；②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．………………(6分)由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减，……………………………(8分) 所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,112e e．…………(10分)18．（本题满分12分）已知函数()x f x e ax =-，（0a >）. （Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围. （Ⅰ）()max 1g a =（Ⅱ）()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()'x f x e a =-.在定义域上单调递增。