运筹学_5动态规划
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
#5 运筹学讲义[目标规划、动态规划]
![#5 运筹学讲义[目标规划、动态规划]](https://img.taocdn.com/s3/m/6b7353ccaeaad1f346933fc7.png)
3. 由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型。
解：以产品 A,B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数，模型如下：
min Z P1 d 1 2.5 P2 d 3 P2 d 4 P3 d 2 30x1 12x 2 d 1 d 1 2500 2 x x d d 140 1 2 2 2 x d d 60 1 3 3 x d d 100 2 4 4 x 60 1 x2 100 x 0 , d , d 0 ( l 1.2.3.4) l l 12
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代数
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学；运筹学 数学；计算机 数学；运筹学 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
min{d d } 2 x 2 x d d 12 2 1
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。 现假定：
选课策略
课号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
课名
微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
运筹学动态规划
基本方程为：
fk ( sk ) max{qk yk pk xk fk1 ( sk1 )}
0 yk sk 0 xk H sk yk
f1(s1 )
max
0 x1 s1
{4
x1
2s22 }
max
0 x1 s1
{4
x1
2( s1
x1 )2 }
max{4s1 ,2s12} 200
第14页 共64页
上述最短路线的计算过程可用图直观表示(标 号法)，如图4-3所示，结点上方矩形内的数字表 示该点到终点的最短距离。
5
A 18
13
B1 3
7
B2
16
13
C1 6
10 3
C2
9
3
C3
4
C4
12
7
D1
2
6
D2 1
3
D3
8
图4-3
7
E1 3
该点到G点的最短距离
4
F1 4
E2 2
5
6
E3
9
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
fk
( sk
)
max { g 0 xk sk
k
(
xk
)
fk 1 ( sk 1 )}
f4 (s4 ) 0
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
第五章 物流运筹学——动态规划
的单件重量和装载收费如表5-1所示，又规 由于它表示了由 段到 段的状态转移
因此，在物流管理中，如何进行决策，制定一个最优的设备维护更新策略，是非常重要的。
第三节 动态规划模型的建立与求解
定货物2和货物3都至多装两件。问如何装 但假设初始状态虽已给定，终点状态有多个，需比较到达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值，以选取总效益最正确的终点状
3
• 【例5-1】〔生产与存储问题〕工厂在3个季度中
• 安排某种产品的生产方案。假设该季度生产此
种产x
x2
• 品 〔吨〕，那么本钱为 元。假设当季
生产的
• 每吨产品未销售a k 掉，那么进库，季末需付存储费，
• 产品每季的存储费为1元。现估计3个季度对该 产
• 品的需求量 分别为100吨，110吨和120吨，
3
j 仪器
1
2
3
10
9
14
9
12
10
6
5
8
7
• 【例5-4】〔机器负荷问题〕设某机器可以在高、
• 低两种不同的负荷下进行生产。假设年初x 有 台
• 机器在高负荷下进行生产，那么产品年a产 8x
量
，
0.3
y
• 机器的年折损率
低
0.1
；假设年b 初5有y 台机器在
• 负荷下进行生产，那么产品年产量
，机器
的
• 年折损率
。假设初始时有性能正常的机器
1000
• 台，要求制定机器负荷的四年分配方案，确定每
年
8
A
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
运筹学动态规划
运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。
动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。
动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。
动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。
动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。
例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。
动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。
此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。
然而，动态规划方法也存在一些局限性。
首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。
其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。
综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
动态规划的基本概念
优指标函数(k=1，2，…，n）。
§2 动态规划的最优性原理
多阶段决策过程的特点是每个阶段都要进行决策，具有 n个阶段的决策过程的策略是由n个相继进行的阶段决策构成 的决策序列。由于前阶段的终止状态又是后一阶段的初始状态 ，因此确定阶段最优决策不能只从本阶段的效应出发，必须通 盘考虑，整体规划。就是说，阶段k的最优决策不应只是本阶 段的最优，而必须是本阶段及其所有后续阶段的总体最优，即 关于整个后部子过程的最优决策。
运筹学
动态规划
L/O/G/O
第五章 动态规划
动态规划是运筹学的一个重要分支，它是从1951年开始，由美国人贝 尔曼（R.Belman）为首的一个学派发展起来的。动态规划在经济、管理、 军事、工程技术等方面都有广泛的应用。
动态规划是解决多阶段决策过程的最优化问题的一种方法。所谓多阶段 决策过程是指这样一类决策过程：它可以把一个复杂问题按时间（或空间） 分成若干个阶段，每个阶段都需要作出决策，以便得到过程的最优结局。由 于在每个阶段采取的决策是与时间有关的而且前一阶段采取的决策如何，不 但与该阶段的经济效果有关，还影响以后各阶段的经济效果，可见这类多阶 段决策问题是一个动态的问题，因此，处理的方法称为动态规划方法。然而 ，动态规划也可以处理一些本来与时间没有关系的静态模型，这只要在静态 模型中人为地引入“时间”因素，分成时段，就可以把它看作是多阶段的动 态模型，用动态规划方法去处理。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划
C1
2
1 2 2 3
D1 D2
3
2
A
B2
5
C2
6
E
4
2
B3
C3
3
D3
同样的理由，可以递推得其余阶段的铺设路线，如阶 段3在C1点的决策是D1，阶段4在D1点的决策只有E点； 由于到E点是整个铺设管道的终点，至此，决策过程完成， 铺设一条A点到E点的管道是由四个阶段的管道组成的， 如A---B3---C1---D1---E，它也称为一个策略。
B
阶段2
C
阶段3
D
阶段4
E
5
B1
4 4
6
3 6
C1
2
1 2
2
D1 D2 D3
3 4
2
A
B2
5
C2
6
E
2
3
B3
C3
3
在阶段2，从B3点出发，只有C1、C3两种可 选择的点， 如选C1,则C1就是阶段2在B3点的决策结果； C1点既是阶段2铺设管道的终点，又是阶段3 铺设管道的起点；
5
B1
4 4
6 3 6
使S= f ( xi ) 16 u j =
i 1 6 t
f ( x ) 16(5x
为最小，其中
i 1 i
6
j 1
1
4 x2 3x3 2 x4 x5 185)
100xi ,0 xi 15 f ( xi ) 120xi 300,15 < xi 30
第5章 动态规划
运 筹 帷 幄 之 中 Dynamic Programming
决 胜 千 里 之 外
运筹学第五章动态规划
和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
《运筹学》 第五章习题及 答案
《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。
（5）试述建立动态规划模型的基本方法。
（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。
（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。
3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。
已知各线段的长度如下图所示。
6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295max x x x x z -+-=；⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ；（2）．33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。
物品重量及其价值等数据见下表。
试问每种物品装多少件，使整个 背包的价值最大？913 千克。
物品重量及其价值的关系如表所示。
试问如何装这些物品，使整个背包 价值最大？10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011 底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又 每生产100件产品的费用为1000元。
运筹学中的动态规划原理-教案
运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。
1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。
1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。
1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。
1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。
1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。
1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。
1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。
二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。
2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。
2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。
2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。
2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。
2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。
2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。
2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。
2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。
2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
运筹学(第5版)
变量或剩余变量构造。
迭代过程
02
通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过
程。
最优性检验
03
判断当前基可行解是否是最优解的方法，通常通过比较目标函
数值或检验数进行。
线性规划问题的应用
01
生产计划
确定各种产品的生产 数量，以最大化利润 或最小化成本。
02
资源分配
将有限的资源分配给 不同的项目或任务， 以最大化效益或最小 化浪费。
06
存储论
Chapter
存储论的基本概念
包括固定成本（如租金、设备折 旧等）和变动成本（如保管费、 保险费等）。
根据需求和成本等因素制定的存 储计划和管理方法。
存储 存储成本 缺货成本 存储策略
将物品或资源保存在某个地方， 以备将来使用或销售。
由于存储不足而导致的生产中断 、销售损失等费用。
确定型存储模型
其他领域
除了以上领域，运筹学还在医 疗、教育、环境等领域得到了 广泛应用。
02
线性规划
Chapter
线性规划问题的数学模型
01
02
03
目标函数
表示决策者希望达到的目 标，通常是最大化或最小 化某个线性函数。
约束条件
表示决策变量必须满足的 限制条件，通常是一组线 性不等式或等式。
决策变量
表示决策者可以控制的变 量，通常是连续的或离散 的。
线性规划问题的图解法
可行域
满足所有约束条件的决策 变量的集合，通常表示为 一个多边形区域。
目标函数等值线
表示目标函数值相等的点 的集合，通常是一组平行 线。
最优解
使目标函数达到最优值的 决策变量的取值，通常位 于可行域的某个顶点上。
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s5 u5 E1 E1F1 E1F2 E2 E2F1 E2F2 E3 E3F1 E3F2
当k=6时 此问题的基本方程为 fk(sk)＝Min{dk(uk)+fk+1(sk+1)} s6 u6 D(u6)+f7(s7) F6(s6)
uk∈Dk(sk)
k＝6,5,4,3,2,1
F1 F1G F2 F2G
4+0=4* 3+0=3*
4 3
f7(s7)＝0
按基本方程由后向前继续递推有:
当k=5时 当k=4时
4.4 动态规划的应用(一)
1 求解静态规划问题
某些静态规划问题可用动态规划法来求解。 例 用动态规划法求解 max z=x12.x22.x3 x1+x2+x3=c xi≥0 i=1,2,3
4.4 动态规划的应用(二)
2 资源分配问题 资源分配问题可描述如下：设有某种原料， 总数量为a，分配给n个使用者。已知第i个使用 者得到数量xi的资源，可创造的收益为gi（xi）。 问应如何分配该资源，才能使总收益最大。 用动态规划法处理这种问题时，通常把给一 个使用者分配资源的过程看成一个阶段，按n 个使用者分成先后n个决策阶段。即先给第1个 使用者分配资源，为第一阶段；再给第2个使 用者分配，为第2阶段；依此类推，最后给第n 个使用者分配，为第n阶段。
(7)基本方程 通常动态规划问题的最优值函数满足
递推关系式。设过程指标函数为各阶段指标函数的和 的形式，即Vk,n＝∑vj(sj,uj)，则有 fk(sk)＝ opt {vk(sk,uk)+fk+1(sk+1)} u ∈D (s ) (k＝n,n-1,…,1) 递推方程
k k k
fn+1(sn+1)＝0
(4)策略（policy）把从第一阶段开始到最后阶段终 止的整个决策过程，称为问题的全过程；而把从第k 阶段开始到最后阶段终止的决策过程，或称为k子过 程。在全过程上，各阶段的决策按顺序排列组成的决 策序列p1,n＝{ u1,u2,……,un }称为全过程策略，简 称 策 略 ； 而 在 k 子 过 程 上 的 决 策 序 列 pk,n＝ { uk,uk+1,……,un }称为k子过程策略，也简称子策略。 (5)状态转移方程 若第k阶段的状态变量值为sk，当 决策变量uk 的取值决定后，下一阶段状态变量sk+1 的 值也就完全确定。即sk+1的值对应于sk和uk的值。这种 对应关系记为sk+1＝Tk(sk,uk)，称为状态转移方程。 状态转移方程描述了由一个阶段的状态到下一阶段的 状态的演变规律。
例：机器负荷问题 某种机器可以在高低两种 不同的负荷下进行生产．在高负荷下进行生产 时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u的 关系为 g＝8u, 这时机器的年完好率为 a=0.7．在低负荷下生产时，产品的年产量h和 投入生产的机器数量v的关系为h＝5v, 这时机 器的年完好率为b=0.9．假定开始生产时完好 的机器数量为s1，要求制定一个五年计划,在 每年开始时决定机器在两种不同负荷下生产的 数量,使五年内产品的总产量最高。
0≤xk≤sk
当k=5时 f5(s5)＝ max{5s5+3x5+f6(s6)}= max{5s5+3x5}=8s5 (x5*=s5) 0≤x5≤s5 0≤x5≤s5
当k=4时 f4(s4)＝max{5s4+3x4+8s5}=max{5s4+3x4+8(0.9s4-0.2x4)} 0≤x4≤s4 0≤x4≤s4 = max{12.2s4+1.4x4}=13.6s4 (x4*=s4) 0≤x4≤s4 当k=3时 f3(s3)＝max{5s3+3x3+13.6s4}=max{5s3+3x3+13.6(0.9s3-0.2x3)} 0≤x3≤s3 0≤x3≤s3 = max{17.24s3+0.28x3}=17.5s3 (x3*=s3) 0≤x3≤s3 当k=2时 f2(s2)=max{5s2+3x2+17.52s3}=max{5s2+3x2+17.52(0.9s2-0.2x2)} 0≤x2≤s2 0≤x2≤s2 = max{20.77s2-0.504x2}=20.7s4 (x2*=0) 0≤x2≤s2 f1(1000)=23700 f1(s1)=23.7s1 (x1*=0) 当k=1时 s3=810, x3*=810 s2=900, x2*=0 s1=1000, x1*=0 s5=397, x5*=397 s4=576, x4*=576
4.3 动态规划的步骤（二）
现在把动态规划法的步骤归纳如下： (1) 将所研究问题的过程划分为n个恰当的阶段， k＝ 1,2,…,n； (2) 正确地选择状态变量Sk，并确定初始状态S1的值； (3) 确定决策变量uk以及各阶段的允许决策集Dk(Sk)； (4) 给出状态转移方程； (5) 给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最优 值函数； (6) 写出递推方程和边界条件，建立基本方程； (7) 按照基本方程递推求解。 以上步骤是动态规划法处理问题的基本步骤，其中 的前六步是建立动态规划模型的步骤。
以上两个问题都可以划分为先后 多个决策阶段。这类问题就称为多 阶段决策问题。多阶段决策问题的 过程如下图所示：
决 策 1 决 策 2 状 2 态 状 1 态 状 态 3 ２ １ ． ． ． 状 态 n 决 策 n ｎ 状 态 n+1
多阶段决策问题和我们前面遇到的决策问题 不同，它是和时间有关的。与时间有关的活动过 程称为动态过程，其优化方法称为动态规划。而 与时间无关的活动过程称为静态过程，相应的的 优化方法称为静态规划。
价 格 概 率 500 0. 3 600 0. 3 700 0.4
4.4 动态规划的应用(四)
解: (1)按年数划分为5个阶段，k=1,2,3,4,5 (2)取第k年初完好的机器数sk为状态变量, s1=1000
(3)取第k年投入高负荷的机器数xk为决策变量, 0≤xk≤sk (4)状态转移方程为 sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk)=0.9sk-0.2xk (5)指标函数为Vk,5=∑[8xj+5(sj-xj)]=∑(5sj+3xj) (6)基本方程为 fk(sk)＝ max {5sj+3xj +fk+1(sk+1)} k=5,4,3,2,1 f6(s6)＝0
例 某工业部门根据国家计划安排，拟将 五台某种高效率的机器分配给所属的甲、 乙、丙三个工厂，各工厂得到不同数量的 机器可获得的收益如下表。问应如何分配 机器，才能使各厂的总效益最大。
工厂 机器数 0 1 2 3 4 5 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
边界条件
递推方程和边界条件一起称为动态规划的基本方程。
可根据边界条件，从k=n开始，由后向前逆推，逐
步求得各阶段的最优决策和相应的最优值，最后求出
f1(s1)时，就得到整个问题的最优解。
4.3 动态规划的步骤（一）
例最 路 题 短 问
1 B1 5 A 3 8 7 B2 6 3 6 C1 6 8 2 D1 2 1 D2 2 3 D3 3 E1 3 5 5 E2 2 6 E3 6 F2 3 F1 4 G 3 C2 5 3 C3 3 8 C4 4
3 D3 3
例2 机器负荷分配问题 某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产．在高负 荷下进行生产时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u的关 系为 g＝g(u), 这时机器的年完好率为a（0<a<1)．在低负荷 下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量v的关系为h ＝h(v), 这时机器的年完好率为b（a<b<1）．假定开始生产时 完好的机器数量为s1，要求制定一个五年计划,在每年开始时决 定机器在两种不同负荷下生产的数量,使五年内产品的总产量 最高。
当k=2时
s2 u2 B1C1 B1C2 B1C3 B2C2 B2C3 B2C4 d(u2)+f3(s3) f2(s2) 1+13=14 3+10=13* 6+9=15 8+9=17 7+9=16* 6+12=18
B1
10
13
B2
9 12
16
当k=1时
s1 u1 d(u1)+f2(s2) f1(s1) 由此可以看出，A到G 的最短路长为18，路径为： A AB1 5+13=18* 18 A→B1→C2→D1→E2→F2 AB2 3+16=19 →G
4.2 动态规划的基本概念（一）
(1)阶段（stage）把所研究的决策问题，按先后顺序 划分为若干相互联系的决策步骤，以便按一定的次序进 行求解。描述阶段的变量称阶段变量，常用k表示。 (2)状态（state）状态表示每个阶段开始时所处的自 然状况或客观条件，它描述了影响决策的因素随决策进 程的变化情况，它既是前面阶段所作决策的结果，又是 本阶段作出决策的出发点和依据。描述状态的变量称为 状态变量，第k阶段的状态变量常用sk表示。通常，在第 一阶段状态变量s1是确定的，称初始状态。 (3)决策（decision）决策表示在某一阶段处于某种 状态时，决策者在若干种方案中作出的选择决定。描述 决策的变量称决策变量，第k阶段的决策变量常用uk表 示。决策变量的取值会受到状态变量的制约，被限制在 某一范围之内。
4.4 动态规划的应用(三)