2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)开学数学试卷 (解析版)
湖南省长沙市长郡2020-2021学年九年级上学期第一次限时训练数学模拟试卷二
2020-2021学年九年级（上）第一次限时训练数学模拟试卷（二）一、单选题（每道题3分，共36分）1．4的平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．162．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）4．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a4﹣a3＝a D．a4÷a3＝a5．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣16．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝1007．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＞0D．k＜08．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣39．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．201910．在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°11．如图，AB⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．812．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每道题3分，共12分）13．用科学记数法表示0.000000123＝．14．已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是．15．已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．三、解答题（共72分）17．计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|． 18．先化简，再求值：÷（﹣m ﹣1），其中m ＝﹣2． 19．解方程：3x （x ﹣2）＝x ﹣2．20．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表． 借阅图书的次数0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ．（2）该调查统计数据的中位数是 ；众数是 ．（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数．（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．21．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且AE ＝AB ．（1）求∠ACB 的度数；（2）若DE ＝2，求圆O 的半径．22．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．23．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF ＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标，。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)开学数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣2x﹣1＝02．（3分）某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是753．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm4．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6B．5C．3D．45．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长为（）A．8B．6C．4D．26．（3分）如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．（3分）若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形9．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（）A．B．1C．D．210．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分11．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数图象上y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A．﹣c B．c C．﹣a+c D．a﹣c12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6D．6或或﹣19二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知函数关系式：y＝，则自变量x的取值范围是．14．（3分）已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则+＝．15．（3分）将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为．16．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．17．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．20．（8分）解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x﹣1＝0．21．（6分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是，中位数是．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？22．（8分）如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．23．（9分）庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1＝若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m≤10）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．26．（10分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝﹣x2+4mx﹣8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．【答案】D【解答】解：A、含有分式，3x2+﹣1＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、含有2个未知数，5x2﹣6y﹣3＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、当a＝8时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、3x2﹣2x﹣1＝7是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．2．【答案】D【解答】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：×[3×（80﹣80）4+（90﹣80）2+2×（80﹣75）2]＝25，正确，不符合题意；C、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6＝80，正确，不符合题意；D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．故选：D．3．【答案】B【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．4．【答案】B【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝7，∴BD＝AC＝5，故选：B．5．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝12，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴CE＝BC﹣BE＝4．故选：C．6．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，DC＝DA，∠ADE＝∠CDE＝45°．∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．7．【答案】D【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，A、一次函数图象，得a＞7，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜6，故D正确；故选：D．8．【答案】B【解答】解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∴∠EMO＝∠ENO＝90°，∴∠MEN＝90°，故选：B．9．【答案】A【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝7的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴1+m﹣m2＝1﹣（m2﹣2m）＝1﹣＝，故选：A．10．【答案】D【解答】解：根据题意得：85×+80×+90×＝17+24+45＝86（分），故选：D．11．【答案】D【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1≠x2且y3＝y2，∴x2﹣1＝1﹣x1，当x＝2时，y＝ax2﹣2ax+a﹣c＝6a﹣4a+a﹣c＝a﹣c．故选：D．12．【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+m＝﹣（x﹣）4++m，∴抛物线的对称轴为x＝，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，当﹣24时，即﹣4≤m≤8时，∴当x＝时，+m＝15，得m5＝﹣10（舍去），m2＝6；∵当﹣6≤x≤4时，y的最大值是15，由上可得，m的值是﹣19或6；故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥8．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣7，所以+＝＝＝＝﹣3．故答案为﹣3．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：设平移后的解析式为：y＝2x+b，∵将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），解得：b＝﹣5，故答案为：y＝2x﹣9．16．【答案】x（x﹣1）＝1056．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，∵AC2+BC5＝AB2＝26，∵点D为AB的中点，故答案为：．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣8b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝8，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；故答案为②⑤．三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点C（0，﹣3），解得a＝6，∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣2）．20．【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝，x2＝．【解答】解：（1）∵x2+4x+1＝0，∴x2+2x+4＝3，∴x+2＝±，（2）∵a＝7，b＝3，c＝﹣1，则x＝．∴x1＝，x2＝．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、4位的数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7环，7环．答：这10名学生的平均成绩为3.5环．答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．22．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴四边形BEDF是平行四边形；设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，∴x2＝42+（6﹣x）2，∴菱形的边长为．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，根题意得：20+20（1+x）+20（2+x）2＝95，∴该种植户每年投资的增长率为50%；（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）2＝67.5（万元）．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．令y＝7得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴OA＝3．（2）∵AC＝AB＝5，∴C（8，0）．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC4，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，（3）存在，理由如下：∴S△P AB＝××6×8＝12．∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝3，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．25．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）w＝y1•x+71（6﹣x）＝∴w＝当1＜x≤6时，﹣x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，∴当该公司每年的国内销售量为8万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．∴该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1显然当10≥m≥9时，w的值小于393，解得m＝6，∵从国内销售的每件产品中捐出2m（8≤m≤10）元给希望工程∴m＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．26．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞7）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b＝2．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．又∵AO＝AB，∴∠AOB＝60°，∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．∴b′＝6 ．∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．，故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．当x为整数时，须4m2﹣8m+1为完全平方数，设4m2﹣8m+6＝n2（n是整数）整理得：两个整数的积为3，∴或或或综上，得：m＝2或m＝0；当m＝7时，抛物线方程为y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y＝5交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡集团九年级(上)第三次限时训练数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡集团九年级第一学期第三次限时训练数学试卷一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．8月上映的战争题材影片《八佰》取材自“八百壮士”奉命坚守上海四行仓库的真实历史，呈现出平凡的中国军民共同奋勇抗战的热血情怀．截止10月17日，累计票房达到了30.81亿，登顶2020年度票房全球冠军．其中，30.81亿用科学记数法表示为（）A．30.81×108B．30.81×109C．3.081×109D．3.081×1083．点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，则a+b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣14．下列说法：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1；②若2a2与3a x+1的和是单项式，则x＝1；③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7；④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．45．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．6．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）7．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（）A．B．C．D．8．已知抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，则函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21B．28C．34D．4210．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（）A．（3，3）B．（3，2）或（﹣3，﹣2）C．（3，3）或（﹣3，﹣3）D．（2，3）或（﹣2，﹣3）11．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．12．如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）A．B．C．2D．二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．小明用s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+…+（x10﹣6）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝．15．如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为．16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝．三、解答题（共9小题，满分72分）17．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．18．先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣6＝0．19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．20．某校组织八年级部分学生开展庆“五•四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．等级频数频率A40.08B20aC b0.3D110.22请根据所给信息，解答下列问题：（1）参加此次演讲比赛的学生共有人，a＝，b＝．（2）请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；（3）已知A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．21．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y＝（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．（1）求k和m的值；（2）请直接写出：当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值？（3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．24．定义：若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝同时经过点P（x，y）则称二次函数y ＝ax2+bx﹣k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y＝x+2与反比例函数y＝，都经过（2，4），则y＝x2+2x﹣8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y＝2x﹣1与y＝是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，并且一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝存在“关联函数”y＝（a+c）x2+（10a﹣c）x﹣2021，求a的值．（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y＝在自变量x的值满足的m≤x≤m+6的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴相于点C，连接BC，已知点A（﹣2，0），BO＝4AO，tan∠OCB＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，求出此时点P和点D 的坐标；若不存在，请说明理由；②当以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标．参考答案一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；无理数有，π共2个．故选：B．2．8月上映的战争题材影片《八佰》取材自“八百壮士”奉命坚守上海四行仓库的真实历史，呈现出平凡的中国军民共同奋勇抗战的热血情怀．截止10月17日，累计票房达到了30.81亿，登顶2020年度票房全球冠军．其中，30.81亿用科学记数法表示为（）A．30.81×108B．30.81×109C．3.081×109D．3.081×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：30.81亿＝3081000000＝3.081×109．故选：C．3．点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，则a+b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而可得答案．解：∵点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5，故选：B．4．下列说法：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1；②若2a2与3a x+1的和是单项式，则x＝1；③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7；④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别根据倒数的定义，单项式的定义，绝对值的定义以及相反数的定义逐一判断即可．解：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1，说法正确；②若2a2与3a x+1的和是单项式，则x＝1，说法正确；③若|x|＝|﹣7|，则x＝±7，故原说法错误；④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1，说法错误，0的相反数是0．所以其中正确有①②共2个．故选：B．5．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．解：由题意可得，，故选：A．6．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．7．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：∵共4个数，数字为偶数的有2个，∴指针指向的数字为偶数的概率为＝．故选：D．8．已知抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，则函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，得方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数根，可以得到Δ＜0，从而可以得到k的取值范围，然后即可得到函数y＝的图象在哪个象限．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣k﹣2与x轴没有交点，∴方程x2+2x﹣k﹣2＝0没有实数根，∴△＝22﹣4×1×（﹣k﹣2）＝4k+12＜0，解得k＜﹣3，∴函数y＝的图象在二、四象限，故选：B．9．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21B．28C．34D．42【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（）A．（3，3）B．（3，2）或（﹣3，﹣2）C．（3，3）或（﹣3，﹣3）D．（2，3）或（﹣2，﹣3）【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案．解：∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点，∴点P的坐标为（2，2），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（﹣2×1.5，﹣2×1.5），即（3，3）或（﹣3，﹣3），故选：C．11．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝7米，∠BAC＝α，利用锐角三角函数的定义即可求出BC的高度．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，∴tanα＝，∴BC＝AC•tanα＝2tanα，故选：B．12．如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）A．B．C．2D．【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE ×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．解：如图，连接DP，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，∴DE＝DF，PE⊥DE，∵PE＝PF，PD＝PD，∴△PED≌△PFD（SSS），∵⊙P的半径为，∴DE＝，当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．小明用s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+…+（x10﹣6）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝60．【分析】根据方差的计算公式得出这组数据的平均数，再由平均数的定义求解可得答案．解：由s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+…+（x10﹣6）2]知这10个数据的平均数为6，所以x1+x2+x3+…+x10＝6×10＝60，故答案为：60．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝8cm．【分析】先根据垂径定理可得出CE的长度，再在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE 的长度，然后利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4（cm）在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝＝3（cm），∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为：8cm．15．如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为﹣．【分析】利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD＝2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝S△AOD＝，所以•|k|＝，然后根据反比例函数的性质确定k的值．解：如图，∵第一象限内的点A在反比例函数y＝上，BC、AD垂直于x轴于C、D，∴S△AOD＝×4＝2，∵OA⊥OB，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，∵∠BCO＝∠ODA＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△OBC，∵，∴＝（）2＝，∴S△OBC＝S△AOD＝×2＝，∴•|k|＝，而k＜0，∴k＝﹣．故答案为﹣．16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝3．【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG ＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，即此时顶点E在边CD延长线上时，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．三、解答题（共9小题，满分72分）17．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣2+2﹣5+×＝﹣2+2﹣5+1＝﹣4．18．先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣6＝0．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据方程x2﹣x﹣6＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：＝（）＝＝x+3，由方程x2﹣x﹣6＝0，可得x1＝3，x2＝﹣2，当x＝3时，原分式无意义，∴x＝﹣2，当x＝﹣2时，原式＝﹣2+3＝1．19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：20．某校组织八年级部分学生开展庆“五•四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．等级频数频率A40.08B20aC b0.3D110.22请根据所给信息，解答下列问题：（1）参加此次演讲比赛的学生共有50人，a＝0.4，b＝15．（2）请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；（3）已知A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；解：（1）参加演讲比赛的学生人数为4÷0.08＝50人，a＝20÷50＝0.4，b＝50×0.3＝15，故答案为：50、0.4、15；（2）扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数为360°×0.4＝144°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为＝．21．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B 地比原来少走多少路程．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×（千米），AC＝（千米），AC+BC＝80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：（AC+BC）﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y＝（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．（1）求k和m的值；（2）请直接写出：当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值？（3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．【分析】（1）连接AD，与x轴交于点E，由四边形AODC为菱形，得到AE＝DE，OE ＝CE，根据D坐标确定出DE的长，确定出AE与OE的长，进而求出A的坐标，将A 坐标代入直线解析式求出m的值，代入反比例解析式求出k的值．（2）联立两函数解析式求出B坐标，根据A与B横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可．（3）根据OC与AD的长，求出菱形ABCD的面积，设P（0，p），由OP为底，A横坐标为高表示出△OAP面积，根据△OAP的面积等于菱形OACD的面积，列出关于p的方程，求出方程的解即可得到p的值．解：（1）连接AD，与x轴交于点E，∵D（2，﹣3），∴OE＝2，ED＝3，∵菱形AODC，∴AE＝DE＝3，EC＝OE＝2，∴A（2，3），将A坐标代入直线y＝mx+1得：2m+1＝3，即m＝1，将A坐标代入反比例y＝得：k＝6．（2）联立直线与反比例解析式得：，消去y得：x+1＝，解得：x＝2或x＝﹣3，将x＝﹣3代入y＝x+1得：y＝﹣3+1＝﹣2，即B（﹣3，﹣2），则当x＜﹣3或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值；（3）∵OC＝2OE＝4，AD＝2DE＝6，∴S菱形AODC＝OC•AD＝12，∵S△OAP＝S菱形OACD，即OP•OE＝12，∴设P（0，p），则×|p|×2＝12，即|p|＝12，解得：p＝12或p＝﹣12，则P的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．【分析】（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；（2）先证明△FEA∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例求出AF＝5，BF＝20，BE ＝2AE．再根据圆周角定理得出∠AEB＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出AE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO＝90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴＝＝，∴AF•BF＝EF•EF，∴AF×（AF+15）＝10×10，解得AF＝5．∴BF＝20．∴＝，∴BE＝2AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝152，∴AE2+（2AE）2＝225，∴AE＝3．24．定义：若一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝同时经过点P（x，y）则称二次函数y ＝ax2+bx﹣k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y＝x+2与反比例函数y＝，都经过（2，4），则y＝x2+2x﹣8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y＝2x﹣1与y＝是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，并且一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝存在“关联函数”y＝（a+c）x2+（10a﹣c）x﹣2021，求a的值．（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y＝在自变量x的值满足的m≤x≤m+6的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．【分析】（1）由题意联立y＝2x﹣1与y＝，解方程组即可得出“关联点”和“关联函数”；（2）由题意根据一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝，得到它们的关联函数，利用已知得出a，b，c的关系式，再利用整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，列出不等式，即可得出结论；（2）先写出它们的关联函数，求得它的对称轴为直线x＝﹣m，然后根据已知的自变量x的取值范围分三种情况讨论，即可求得．解：（1）存在“关联点”和“关联函数”，理由如下：由题意得：，解得：，．∴“关联点”为（﹣1，﹣3）或（，2），它们的“关联函数”为：y＝2x2﹣x﹣3．（2）由“关联函数”的定义可知：一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝的“关联函数”为：y＝（1+b）x2+（2a+2）x﹣2021，∵一次函数y＝（1+b）x+2a+2与反比例函数y＝存在“关联函数”y＝（a+c）x2+（10a﹣c）x﹣2021，∴，∴．∵整数a，b，c满足条件c＜b＜8a，∴8a﹣2＜9a﹣3＜8a，∴1＜a＜3．∵a为整数，∴a＝2．（3）由题意得：一次函数y＝x+m和反比例函数y＝的“关联函数”为：y＝x2+mx ﹣m2﹣13．∴该函数的对称轴为直线x＝﹣m．①当m+6＜m，即m＜﹣4时，当x＝m+6时，函数取得最小值为6，即（m+6）2+m（m+6）﹣m2﹣13＝6．解得：m＝﹣17或m＝﹣1（舍去）．∴m＝﹣17．∴其“关联函数”的解析式为：y＝x2﹣17x﹣302．②当m＜﹣m＜m+6，即﹣4＜m＜0时，当函数在x＝﹣m处取得最小值6，∴﹣13＝6．此方程无解．③当m≥﹣m，即m≥0时，当x＝m处函数取得最小值为6，∴m2+m•m﹣m2﹣13＝6，解得：m＝±（﹣舍去）．∴m＝．∴其“关联函数”的解析式为：y＝x2+x﹣32．综上，其“关联函数”的解析式y＝x2﹣17x﹣302或y＝x2+x﹣32．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴相于点C，连接BC，已知点A（﹣2，0），BO＝4AO，tan∠OCB＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P做PD⊥BC，垂足为点D．①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，求出此时点P和点D的坐标；若不存在，请说明理由；②当以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标．【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，利用待定系数法即可求得答案；（2）①如图1，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，运用待定系数法求得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（t，t2+t+4），则K（t，﹣t+4），可得PK＝t2+2t，由△PKD∽△BCO，可求得PD＝﹣（t﹣4）2+，利用二次函数的性质可得最值及此时t的值，即可求出答案；②如图2，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，交x轴于点H，设P（t，t2+t+4），则H（t，0），K（t，﹣t+4），利用△KBH∽△CBO，求得CD＝t2+t，再分两种情况：当△CPD∽△ACO时，当△CPD∽△ACO时，分别运用相似三角形性质即可求得答案．解：（1）∵点A（﹣2，0），∴AO＝2，∵BO＝4AO，∴OB＝8，B（8，0），∵＝tan∠OCB＝2，∴OC＝4，∴C（0，4），设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），将C（0，4）代入，得：﹣16a＝4，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝x2+x+4，故该抛物线解析式为y＝x2+x+4；（2）①存在．如图1，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，在Rt△BCO中，BC＝＝＝4，设直线BC解析式为y＝kx+d，∵B（8，0），C（0，4），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（t，t2+t+4），则K（t，﹣t+4），∴PK＝t2+t+4﹣（﹣t+4）＝t2+2t，∵PK∥y轴，∴∠PKD＝∠BCO，∵∠PDK＝∠BOC＝90°，∴△PKD∽△BCO，∴＝，即＝，∴PD＝﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+，∴当t＝4时，PD取得最大值，∴P（4，6），∴PD＝，设D（x，﹣x+4），∴（x﹣4）2+（﹣x+4﹣6）2＝（）2，解得：x1＝x2＝，∴D（，）；②如图2，过点P作PK∥y轴交直线BC于点K，交x轴于点H，设P（t，t2+t+4），则H（t，0），K（t，﹣t+4），∴BH＝8﹣t，KH＝﹣t+4，∵∠BHK＝∠BOC＝90°，∠KBH＝∠CBO，∴△KBH∽△CBO，∴＝，即＝，∴BK＝（8﹣t），由①知，PK＝t2+2t，PD＝﹣t2+t，∵△PKD∽△BCO，∴＝＝，∴DK＝﹣t2+t，∴CD＝BC﹣BK﹣DK＝4﹣（8﹣t）﹣（﹣t2+t）＝t2+t，当△CPD∽△ACO时，∴＝，∴OC•CD＝OA•PD，即4（t2+t）＝2（﹣t2+t），解得：t＝0（舍去）或t＝3，∴P（3，）；当△CPD∽△CAO时，∴＝，∴OA•CD＝OC•PD，即2（t2+t）＝4（﹣t2+t），解得：t＝0（舍去）或t＝6，∴P（6，4）；综上所述，点P的坐标为（3，）或（6，4）．。
长郡教育集团2020-2021学年度九年级第一学期期末联考数学试卷(原卷)
长郡教育集团初中课程中心2020-2021学年度初三第四次限时检测数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．下列各数中，比2-小的数是（）A．1-B．2C．0D．3-2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．2020年11月24日22时06分，嫦娥五号探测器3000N发动机工作约2秒钟，顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球截至第一次轨道修正前，嫦娥五号探测器各系统状态良好，已在轨飞行约17个小时，距离地球约16万千米，16万千米用科学记数法表示为（）A.4⨯km D.50.16101610⨯km ⨯km B.51.6101.610⨯km C.44．下列运算正确的是（）A ．339x x x ⋅=B ．842x x x ÷=C ．326()ab ab =D ．33(2)8x x =5．下列说法正确的是（ ）A ．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为23S =甲，24S =乙，说明乙的跳远成绩比甲稳定C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生6．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（ ） A ．360︒ B ．540︒C ．720︒D ．900︒7．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠B ．2x >且5x ≠C ．2xD ．2x 且5x ≠8．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若6AC =，4AB =，则△ABD 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．9第8题图 第9题图 第12题图9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为（ ）A B C ．23D ．3210．“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购买分类垃圾桶10个放在校园的公共区域，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶350元/个，B 型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方式有（ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种11．已知a 、b 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a 、b 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于（ ） A ．7B ．7或6C ．6或7-D ．612．如图，点A ，B 的坐标分别为A ，B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，当OM 最大时，M 点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．1⎛++ ⎝二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．如果样本方差222212201[(18)(18)(18)]20S x x x =-+-+⋯+-，那么这个样本的平均数是 ，样本容量是 .14．从2021年起，江苏省高考采用“312++”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 .15．如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，把这个三角形在平面内绕点C 顺时针旋转90︒，那么点A 移动所走过的路线长是 ．16．如图①，在△ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC x =，PA PE y +=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a b +的值为 ．三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，笫22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。
2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)开学数学试卷-含解析
2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若点A(2,4)在函数y=kx−2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是()A. (1,1)B. (−1,1)C. (−2,−2)D. (2,−2)2.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为()A. 16B. 12C. 24D. 203.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么()A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<04.下列说法中，错误的是()A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 平行四边形的对角线互相平分5.王明同学把5次月考成绩(单位：分，满分100分)整理如下：75，74，78，73，75，关于这组数据的说法正确的是()A. 众数为74B. 中位数为74C. 平均数为76D. 方差为2.86.用配方法解一元二次方程x2−4x=5时，此方程可变形为()A. (x+2)2=1B. (x−2)2=1C. (x+2)2=9D. (x−2)2=97.沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()A. 20(1+2x)=80B. 2×20(1+x)=80C. 20(1+x2)=80D. 20(1+x)2=808.对于实数a，b，定义运算“∗”如下：a∗b=a2−ab，例如：3∗2=32−3×2=3，则方程(x+1)∗(2x−1)=3的根的情况是()A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9.抛物线y=ax2+bx−3经过点(2,4)，则代数式8a+4b+1的值为()A. 3B. 9C. 15D. −1510. 如图，函数y =ax 2−2x +1和y =ax −a(a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D.11. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，则水面下降1m 时，水面宽度增加( )A. 1mB. 2mC. (2√6−4)mD. (√6−2)m12. 二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①a −3b +2c >0；②3a −2b −c =0；③若方程a(x +5)(x −1)=−1有两个根x 1和x 2，且x 1<x 2，则−5<x 1<x 2<1；④若方程|ax 2+bx +c|=1有四个根，则这四个根的和为−8.其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S 甲2=1.2，S 乙2=0.5，则在本次测试中，______同学的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)14. 如图，将平行四边形ABCD 的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=______．15. 已知直线y =x −3与y =2x +2的交点为(−5,−8)，则方程组{x −y −3=02x −y +2=0的解是______．16.二次函数y=x2+2x+2图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图象的顶点坐标是______．17.若关于x的一元二次方程(a−1)x2−3x+2=0有实数根，则整数a的最大值为______．18.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.解下列方程：(1)3x2−13x+14=0；(2)x2−7x=6．20.“最美的女教师”张丽莉，为了抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学八年级一班全体同学也积极参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计如图所示：(1)求该班的总人数及扇形统计图中捐款5元的人数对应的圆心角度数；(2)请将条形图补充完整，并写出捐款金额的中位数；(3)该班平均每人捐款多少元？21.已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)，(1,1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求出此二次函数的图象的顶点坐标及其与y轴的交点坐标．22.如图，O为△ABC边AC的中点，AD//BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)若BD=8，AC=6，求DE的长．23.如图，某中学有一道长为35米的墙，计划用60米长的围栏靠墙围成一个矩形草坪AB−CD，设该矩形草坪AB边长为x米．(1)用含有x的式子表示BC，并写出x的取值范围；(2)若草坪ABCD的面积为400平方米，求BC的长度．24.已知关于x的二次函数y=x2−(2k−1)x+k2+1的图象与x轴有两个交点．(1)求k的取值范围；(2)若与x轴交点的横坐标为x1，x2，且它们的倒数之和是−3，求k的值；2(3)在(2)的条件下，若该抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，求三角形ABC的面积．25. 某公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售价格p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ={14t +30(1≤t ≤24,t 为整数)−12t +48(25≤t ≤48,t 为整数)，且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：时间t/天1 3 6 10 20 40 … 日销售量y/千克 118 114 108 100 80 40 … (1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n 元利润(n <9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为(2,4)，直线x =2与x 轴相交于点B ，连接OA ，抛物线y =x 2从点O 沿OA 方向平移，与直线x =2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．(1)求线段OA所在直线的函数解析式；(2)设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵点A(2,4)在函数y=kx−2的图象上，∴2k−2=4，解得k=3，∴此函数的解析式为：y=3x−2，A、∵3×1−2=1，∴此点在函数图象上，故本选项正确；B、∵3×(−1)−2=−5≠1，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；C、∵3×(−2)−2=−7≠−2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；D、∵3×2−2=4≠−2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误．故选A．将点A(2,4)代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC=8，∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO=4，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4，∴△ABO的周长是4+4+4=12，故选B．根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．【解析】解：由题意得，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，k>0，b<0．故选B．因为一次函数y﹦kx﹢b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，即函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，即可确定k，b的符号．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本选项不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，正确，本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意．故选：A．5.【答案】D【解析】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可．分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可．【解答】解：x −=15(75+74+78+73+75)=75；∵排序后为：73、74、75、75、78，∴中位数为：75；∵75出现了2次，最多，∴众数为75，s 2=15[(75−75)2+(74−75)2+(78−75)2+(73−75)2+(75−75)2] =2.8．故选D ． 6.【答案】D【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x 2−4x =5，∴x 2−4x +4=5+4，∴(x −2)2=9．故选D ．7.【答案】D【解析】解：设增长率为x，根据题意得20(1+x)2=80，故选：D．根据第一年的销售额×(1+平均年增长率)2=第三年的销售额，列出方程即可．本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“−”)．8.【答案】A【解析】解：根据定义运算，方程(x+1)∗(2x−1)=3化为(x+1)2−(x+1)(2x−1)=3，整理，得x2−x+1=0，∵b2−4ac=(−1)2−4×1×1=−3<0，∴方程没有实数根．故选：A．先根据定义运算，将原方程化为一元二次方程，然后利用根的判别式进行判断即可．本题考查了一元二次方程，熟练运用根的判别式是解题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题的关键是将(2,4)代入解析式中求出a与b的关系式，本题属于基础题型．将(2,4)代入二次函数的解析式即可求出a与b的关系式．【解答】解：将(2,4)代入y=ax2+bx−3，∴4=4a+2b−3，∴4a+2b=7，∴8a+4b+1=2(4a+2b)+1=15故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax−a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象>0，故选项正确；应该开口向上，对称轴x=−−22aC、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象>0，故选项错误；应该开口向上，对称轴x=−−22aD、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．11.【答案】C【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：−1=−0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4．故选C．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点坐标(−2,−9a)，∴−b2a =−2，4ac−b24a=−9a，∴b=4a，c=−5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax−5a，∴a−3b+2c=a−12a−10a=−21a<0，所以①结论错误，3a−2b−c=3a+4a+5a=12a>0，故②结论错误，∵抛物线y=ax2+4ax−5a交x轴于(−5,0)，(1,0)，∴若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1，正确，故结论③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则x1+x22=−2，可得x1+x2=−4，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x3，x4，则x3+x42=−2，可得x3+x4=−4，所以这四个根的和为−8，故结论④正确，故选：B．根据二次函数的性质一一判断即可．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】乙【解析】【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲>S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．14.【答案】70°【解析】解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，∴∠BCD=∠A=110°，∴∠1=180°−∠BCD=180°−110°=70°．故答案为：70°．根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．15.【答案】{x =−5y =−8【解析】解：直线y =x −3与y =2x +2的交点为(−5,−8)，即x =−5，y =−8满足两个解析式，则{x =−5y =−8是{y =x −3y =2x +2即方程组{x −y −3=02x −y +2=0的解． 因此方程组{x −y −3=02x −y +2=0的解是{x =−5y =−8． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此点P 的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是{x =−5y =−8． 方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．16.【答案】(2,3)【解析】解：∵将二次函数y =x 2+2x +2=(x +1)2+1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的二次函数的解析式为：y =(x −2)2+3，∴平移后的二次函数的顶点坐标为(2,3)．故答案是：(2,3)．按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可． 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．17.【答案】2【解析】解：∵关于x 的一元二次方程(a −1)x 2−3x +2=0有实数根，∴△=9−8(a −1)≥0，且a −1≠0，解得：a ≤178且a ≠1，则整数a 的最大值为2．故答案为：2．根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，灵活意义一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．18.【答案】2【解析】解：根据题意得，CD =2x +1−x 2=−x 2+2x +1=−(x 2−2x +1−1)+1=−(x 2−2x +1)+2=−(x −1)2+2，可见函数最大值为2．故答案为2．CD 的最大值即为点C 的纵坐标减去点D 的纵坐标，据此列出CD 的表达式，为关于x 的二次函数，求出二次函数的最大值即可．本题考查了二次函数与一次函数的关系，将求CD 的最大值转化为求关于x 的二次函数的最大值是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵3x 2−13x +14=0，∴(x −2)(3x −7)=0，∴x =2或x =73．(2)∵x 2−7x =6，∴x 2−7x +494=6+494，∴(x −72)2=634， ∴x =72±3√72．【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20.【答案】解：(1)该班学生的总人数为：14÷28%=50(名)，“捐款5元”所在扇形的圆心角的度数为：1050×360°=72°；(2)捐款10元的人数为：50×32%=16(人)，捐款25元的人数为：50−(10+16+14+6)=4(人)，补全统计图如下：因为该班有50名学生，捐款数按从小到大排列后，第25、26位同学都捐了10元，所以捐款金额的中位数为10元；(3)该班平均每人捐款：5×10+10×16+15×14+20×6+25×450=640 50=12.8(元)．【解析】(1)由捐款15元的人数除以占的百分比，即可确定出该班学生的总人数；求出“捐款5元”的学生所占的百分比，再乘以360°即可得到“捐款5元”所在扇形的圆心角的度数；(2)求出捐款10元、25元的人数，补全条形统计图，根据中位数的定义确定该班捐款的中位数；(3)利用加权平均数的求解方法列式求解即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)，(1,1)，∴{9+3b+c=01+b+c=0，解得b=−4，c=3．∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．(2)∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴抛物线的顶点坐标为(2,−1)；∵当x=0时，y=3，∴与y轴的交点坐标为(0,3)．【解析】(1)把点(3,0)，(1,1)代入二次函数y=x2+bx+c，利用待定系数法即可求得；(2)化成顶点式即可求得顶点坐标；横坐标为0，即令x=0，即可求得抛物线与y轴的交点纵坐标．主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和其顶点坐标、抛物线与x轴y轴的交点坐标的求法．22.【答案】(1)证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD//BC，∴OA=OC，∠OAD=∠OCB，∠ADB=∠CBD，在△OAD和△OCB中，{∠OAD=∠OCBOA=OC∠AOD=∠COB，∴△OAD≌△OCB(ASA)，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=12BD=4，OC=12AC=3，AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴BC=√OB2+OC2=5，∵DE⊥BC，∴∠E=90°=∠BOC，∵∠OBC=∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴OCDE =BCBD，即3DE=58，∴DE=245．【解析】(1)由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD=OB，得出四边形ABCD是平行四边形，在证出∠CBD=∠CDB，得出BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形；(2)由菱形的性质得出OB=12BD=4，OC=12AC=3，AC⊥BD，由勾股定理得出BC=√OB2+OC2=5，证出△BOC∽△BED，得出OCDE =BCBD，即可得出结果．本题考查了菱形的判定与性质、平四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)设AB=x米，则BC=60−2x(12.5<x<30)；(2)根据题意，得x(60−2x)=400，整理，得：x2−30x+200=0，解得：x1=20，x2=10(不符合题意，舍去)，BC=60−2x=20米．答：BC边的长为20米．【解析】(1)根据矩形的周长和一边的长表示出另一边的长即可；(2)利用矩形面积求法得出其边长，进而得出答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出矩形的长与宽是解题关键．24.【答案】解：(1)△=b2−4ac=[−(2k−1)]2−4(k2+1)=−4k−3>0，解得：k<−34；(2)抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1+x2=2k−1，x1⋅x2=k2+1，则1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k−1k2+1=−32，解得：k=−13(舍去)或−1，故k=−1；(3)当k =−1时，y =x 2−(2k −1)x +k 2+1=x 2+3x +2，令x =0，则y =2，故点C(0,2)，即OC =2，令y =0，即x 2+3x +2=0，解得：x =−1和−2，则AB =1，三角形ABC 的面积=12×AB ⋅OC =12×1×2=1，故三角形ABC 的面积为1．【解析】(1)△=>0，即可求解；(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k−1k 2+1=−32，即可求解；(3)三角形ABC 的面积=12×AB ⋅OC ，即可求解．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．25.【答案】解：(1)设y =kt +b ，把t =1，y =118；t =3，y =114代入得到： {k +b =1183k +b =114， 解得：{k =−2b =120， ∴y =−2t +120．将t =30代入上式，得：y =−2×30+120=60．所以在第30天的日销售量是60kg ．(2)设第x 天的销售利润为w 元．当1≤t ≤24时，由题意w =(−2t +120)(14t +30−20)=−12(t −10)2+1250， ∴t =10时w 最大值为1250元．当25≤t ≤48时，w =(−2t +120)(−12t +48−20)=t 2−116t +3360， ∵对称轴t =58，a =1>0，∴在对称轴左侧w 随x 增大而减小，∴t =25时，w 最大值=1085，综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元．由题意m =(−2t +120)(14t +30−20)−(−2t +120)n =−12t 2+(10+2n)t +1200−120n ，∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，∴−10+2n2×(−12)>23.5，∴n >6.75．又∵n <9，∴n 的取值范围为6.75<n <9．【解析】(1)设y =kt +b ，利用待定系数法即可解决问题．(2)日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．(3)列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n 的取值范围． 此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．26.【答案】解：(1)设OA 所在直线的函数解析式为y =kx ，∵A(2,4)，∴2k =4，∴k =2，∴OA 所在直线的函数解析式为y =2x ．(2)①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段OA 上移动，∴y =2m(0≤m ≤2)．∴顶点M 的坐标为(m,2m)．∴抛物线函数解析式为y =(x −m)2+2m ．∴当x =2时，y =(2−m)2+2m =m 2−2m +4(0≤m ≤2)．∴点P 的坐标是(2,m 2−2m +4)．②∵PB =m 2−2m +4=(m −1)2+3，又∵0≤m ≤2，∴当m=1时，PB最短．(3)当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=(x−1)2+2即y=x2−2x+3．假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．设点Q的坐标为(x,x2−2x+3)．①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C点的坐标是(0,−1)．∵点P的坐标是(2,3)，∴直线PC的函数解析式为y=2x−1．∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x−1上．∴x2−2x+3=2x−1．解得x1=2，x2=2，即点Q(2,3)．∴点Q与点P重合．∴此时抛物线上不存在点Q(2,3)，使△QMA与△APM的面积相等．②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E、D的坐标分别是(0,1)，(2,5)，∴直线DE函数解析式为y=2x+1．∵S△QMA=S△PMA，∴点Q落在直线y=2x+1上．∴x2−2x+3=2x+1．解得：x1=2+√2，x2=2−√2．代入y=2x+1得：y1=5+2√2，y2=5−2√2．∴此时抛物线上存在点Q1(2+√2,5+2√2)，Q2(2−√2,5−2√2)使△QMA与△PMA的面积相等．综上所述，抛物线上存在点Q1(2+√2,5+2√2)，Q2(2−√2,5−2√2)使△QMA与△PMA的面积相等．【解析】(1)根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．(2)①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M 点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．(3)根据(2)中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论：①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标．②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可．(本题也可通过以AP为底，找出和点M到AP的距离相等的两条直线，然后联立抛物线的解析式进行求解即可)．本题考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、函数图象的交点、图形面积的求法等知识点，主要考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）2020年国庆长假，网红城市长沙再一次刷屏，长沙晚报报道，国庆期间，网红街“太平街”接待人数达到165万人次，165万用科学记数法表示为（）A．1.65×105B．0.165×107C．1.65×106D．1.65×107 3．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6C．a2•a3＝a6D．（a+2b）2＝a2+4b24．（3分）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）A．武大靖在2022年北京冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式C．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S甲2＝0.1，S乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据更稳定5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大6．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于（）A．25°B．40°C．50°D．55°8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝2，将P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．2B．C．D．19．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为（）A．2B．2C．D．411．（3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点F、E分别是边CD、BC边上的动点，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：9y﹣x2y＝．14．（3分）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）15．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a＝2，b＝﹣．19．（6分）解下列方程组：．20．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．（8分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，请直接写出点A1、C2的坐标，并求出旋转过程中线段OC所扫过的面积．22．（9分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求△OBD的面积；（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．23．（9分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D 作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若，AB＝10，求CE的长．24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180°得到点Q，那么称线段PQ为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．（1）当t＝3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为，点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为；（2）如果t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数的图象上时，求t的值；（3）当t＝1时，点Q为点P（2，0）的“拓展点”，如果抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，请结合图象，求m的取值范围．25．（10分）如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），∠ACB＝90°，过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B．轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．（3分）2020年国庆长假，网红城市长沙再一次刷屏，长沙晚报报道，国庆期间，网红街“太平街”接待人数达到165万人次，165万用科学记数法表示为（）A．1.65×105B．0.165×107C．1.65×106D．1.65×107【解答】解：165万＝1650000＝1.65×106，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6C．a2•a3＝a6D．（a+2b）2＝a2+4b2【解答】解：A.2a+3a＝5a，故本选项不合题意；B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）A．武大靖在2022年北京冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式C．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S甲2＝0.1，S乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据更稳定【解答】解：A、武大靖在2022年北京冬奥会短道速滑500米项目上可能获得获得金牌，也可能不获得金牌，是随机事件，故A说法不正确；B、了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查适合于抽样调查，故B说法不正确；C、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故C说法不正确；D、甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S甲2＝0.1，S乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据更稳定，故D说法正确；故选：D．5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大【解答】解：∵k＝﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．故选：D．6．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，∴，解得：a＜2．则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选：C．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于（）A．25°B．40°C．50°D．55°【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣50°＝40°，故选：B．8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝2，将P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．2B．C．D．1【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，∵将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC∴△CQA≌△BP A，∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，即∠P AQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP＝P A＝2，故选：A．9．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，又∵﹣2＜0＜4＜5，∴y1＞y3＞y2，故选：B．10．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为（）A．2B．2C．D．4【解答】解：如图所示，连接OC、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OA＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，故选：B．11．（3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能（）A．B．C．D．【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A正确；故选：A．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点F、E分别是边CD、BC边上的动点，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图1，取AB中点G，连接CG、PG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵DF＝CE，∴BC﹣CE＝CD﹣DF，∴BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴∠APB＝90°，∵AB＝1，∴PG＝AB＝×1＝；∵CP+PG≥CG，∴CP≥CG﹣PG，∴当CP＝CG﹣PG时，CP的值最小，此时点P在线段CG上；如图2，∵∠GBC＝90°，BG＝AB＝，BC＝1，∴CG＝＝＝，∴CP＝CG﹣PG＝＝，故选：A．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：9y﹣x2y＝y（3+x）（3﹣x）．【解答】解：9y﹣x2y＝y（9﹣x2）＝y（3﹣x）（3+x）．故答案为：y（3+x）（3﹣x）．14．（3分）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是随机事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）【解答】解：经过某交通信号灯的路口，可能遇到红灯，可能遇到绿灯，也可能遇到黄灯，所以遇到红灯是随机事件，故答案为：随机．15．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为4．【解答】解：∵圆锥的母线长是5，侧面积是20π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝4，故答案为：4．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝﹣．【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝﹣1﹣（2﹣）+4﹣2＝﹣1﹣2++4﹣2＝﹣1+．18．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a＝2，b＝﹣．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab＝a2﹣ab，当a＝2，b＝﹣时，原式＝4+1＝5．19．（6分）解下列方程组：．【解答】解：方程组整理得：，①+②得：6x＝48，解得：x＝8，把x＝8代入①得：y＝8，则方程组的解为．20．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252°．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．21．（8分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，请直接写出点A1、C2的坐标，并求出旋转过程中线段OC所扫过的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）A1（1，1），C2（﹣1，4）．∵OC＝＝，∠COC2＝90°，∴线段OC所扫过的面积＝＝22．（9分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求△OBD的面积；（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为；把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，∴D（2，0），OD＝2，如图，过B作BE⊥x轴于点E，∵B（﹣1，﹣3），∴BE＝3，∴S△BOD＝×OD×BE＝×2×3＝3；（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，所以k1x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．23．（9分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D 作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若，AB＝10，求CE的长．【解答】证明：（1）连接DF，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵DE⊥AC，CE＝FE，∴DF＝DC，∴∠C＝∠DFC，∵四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD＝180°，∵∠AFD+∠CFD＝180°，∴∠OBD＝∠CFD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵OH⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，∴四边形ODEH是矩形，∴DE＝OH，OD＝EH，∵AB＝10，∴AO＝OB＝OD＝EH＝5，∴OH＝＝＝4，∴AH＝＝＝3，∵OH⊥AF，∴AH＝HF＝3，∴EF＝HE﹣HF＝2，∴CE＝2．24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180°得到点Q，那么称线段PQ为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．（1）当t＝3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为（1，5）；（2）如果t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数的图象上时，求t的值；（3）当t＝1时，点Q为点P（2，0）的“拓展点”，如果抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，请结合图象，求m的取值范围．【解答】解：（1）当t＝3时，T（0，3），则点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为（1，5），故答案为：（0，6），（1，5）；（2）∵T（0，t）（t＞1），∴点M（2，1）的“拓展点”N的坐标为（﹣2，2t﹣1），∵点N（﹣2，2t﹣1）在函数y＝﹣的图象上时，∴2t﹣1＝﹣，解得t＝2，即t的值是2；（3）∵t＝1，∴T（0，1），∵点Q为点P（2，0）的“拓展点”，∴点Q（﹣2，2），∵抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，∴当抛物线过点（2，0）时，0＝（2﹣m）2﹣1，得m＝1或m＝3，当抛物线过点（﹣2，2）时，2＝（﹣2﹣m）2﹣1，得m＝﹣﹣2或m＝﹣2，即m的取值范围是﹣2﹣≤m≤3．25．（10分）如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），∠ACB＝90°，过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，∴点O′的坐标为（4，0）；（2）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠BCE的平分线为CD，∴∠BCD＝45°，∴∠DO′B＝90°，即O′D⊥AB，圆的半径为AB＝5，故点D的坐标为（4，﹣5），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，①当点P（P′）在直线BD下方时，∵∠PDB＝∠CBD，∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点P的坐标为（，）；②当点P在BD的上方时，由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），故点P的坐标为（14，25）；故点P的坐标为：（，）或（14，25）．。
2020-2021-1九上长郡集团期末考试数学试卷
长郡教育集团初中课程中心2020-2021学年度初三第四次限时检测数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．下列各数中，比2-小的数是（ ） A ．1- B ．2 C ．0 D ．3- 2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．2020年11月24日22时06分，嫦娥五号探测器3000N 发动机工作约2秒钟，顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球截至第一次轨道修正前，嫦娥五号探测器各系统状态良好，已在轨飞行约17个小时，距离地球约16万千米，16万千米用科学记数法表示为（ ） A.41.610⨯km B.51.610⨯km C.41610⨯km D.50.1610⨯km 4．下列运算正确的是（ ） A ．339x x x ⋅=B ．842x x x ÷=C ．326()ab ab =D ．33(2)8x x =5．下列说法正确的是（ ）A ．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为23S =甲，24S =乙，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生6．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（ ） A ．360︒ B ．540︒ C ．720︒ D ．900︒7．函数y =的自变量x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠ B ．2x >且5x ≠ C ．2xD ．2x 且5x ≠8．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若6AC =，4AB =，则△ABD 的周长为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．9第8题图 第9题图 第12题图9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为（ ）ABC ．23D ．3210．“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购买分类垃圾桶10个放在校园的公共区域，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶350元/个，B 型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方式有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种11．已知a 、b 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a 、b 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于（ ） A ．7 B ．7或6 C ．6或7-D ．612．如图，点A ，B的坐标分别为A，B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，当OM 最大时，M 点的坐标为（ ） A．⎝⎭B．⎝⎭C．⎝⎭D．1⎛++ ⎝⎭二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．如果样本方差222212201[(18)(18)(18)]20S x x x =-+-+⋯+-，那么这个样本的平均数是 ，样本容量是 .14．从2021年起，江苏省高考采用“312++”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 . 15．如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，把这个三角形在平面内绕点C 顺时针旋转90︒，那么点A 移动所走过的路线长是 ．NM D CBADCBA CB A16．如图①，在△ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC x =，PA PE y +=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a b +的值为 ．三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，笫22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级上学期期中考试数学试卷
2024-2025学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级上学期期中考试数学试卷1.中国剪纸项目是“人类非物质文化遗产代表作”之一．下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.今年9月25日至26日，第三届长沙市旅游发展大会在天心区召开．在旅发大会的带动下，全市旅游热度快速升温，国庆假期7天，长沙市共计接待游客952.06万人次．经初步测算，旅发大会直接拉动文旅投资106.63亿元．另外，文旅产品供给推陈出新，尤其是夜游天心阁、油脂厂和西文庙坪项目等一批重点项目的推出，不仅加速完善了长沙市文旅产品体系格局，也进一步塑造了长沙市文旅产业的新名片．其中数据952.06万用科学记数法表示为（）A．B．C．D．3.下列运算中，计算结果正确的是（）A．B．C．D．4.某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A．94，94B．95，95C．94，95D．95，945.关于抛物线，下列说法错误．．的是（）A．抛物线开口向下B．当时，有最小值为3C．顶点坐标是D．当时，随的增大而减小6.已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．7.如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6B．2C．3D．8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是A．55°B．60°C．65°D．70°9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）A．2米B．3米C．4米D．5米10.如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法：①的最小值为；②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；③在运动过程中，点H的运动路径的长为．其中正确的有（）A．①②B．①③C．①②③D．②③11.分解因式__________．12.已知点A（a,1）与点B（-3,b）关于原点对称，则a-b的值为_______．13.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．14.二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_____．15.如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是________．16.如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是______．17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．(1)画出关于原点O对称的中心对称图形；(2)将绕点A顺时针旋转90°，在这旋转变换中，求线段扫过的面积．20.为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，今年10月份，某学校开展数学学科月活动，共开展四个项目：A．讲述数学故事；B．制作数学手抄报；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)参与此次抽样调查的学生人数是________人，补全条形统计图；(2)扇形统计图中扇形D的圆心角度数为________；(3)若该校共有学生3600人，试估计参与制作数学手抄报的学生大约有多少人？21.如图，已知二次函数的图象经过、两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的顶点为E，对称轴与x轴交于点C，求四边形的面积．22.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，且购A种型号电风扇的数量要比B型号电风扇数量的多，则共有几种采购方案，请设计出来；(3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．23.如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D．(1)试说明与相切；(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．24.我们不妨约定：当满足时，则称点A为“基础点”，点为点A的“升华点”．例如．是“基础点”，则点A的“升华点”为点．根据该约定，完成下列各题．(1)直线上的“基础点”A坐标是________，点A的“升华点”B的坐标是________；(2)已知两个“升华点”，，且的长为，若，求k的值；(3)若点Q既是“基础点”，也是一个“基础点”的“升华点”，过点Q的直线l与二次函数有两个交点，点M是这两个交点的中点，求所有点M形成的图象的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围．25.已知四边形内接于，且于点M．(1)如图1，过圆心O作于点H．①若半径为5，，求的长；②试判断与的数量关系，并写出证明过程．(2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，若，求的最小值．。
2020-2021长郡教育集团初三年级第一学期第一次月考数学试卷
长郡教育集团初中课程中心 2020-2021学年度初三第一次限时检测数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 12020-的绝对值是（ ） A.2020- B.12020-C.12020D.2020 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3. 下列计算正确的是（ ）A.()22a b a b --=-+B.2222c c -=C.22243x y yx x y -=- D.325a b ab += 4. 对于二次函数()223y x =-+的图象，下列说法不正确的是（ ） A.开口向下 B.对称轴是直线3x =-C.顶点坐标为（3-，0）D.当3x <-时，y 随x 的增大而减小 5. 如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（ ） A.△ABC 的三条内角平分线的交点处 B.△ABC 的三条高线的交点处 C.△ABC 三边的中垂线的交点处 D.△ABC 的三条中线的交点处6. 如图，在O 中，∠BOD=120°，则∠BCD 的度数是（ ）A.60°B.80°C.120°D.150°7. 用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（ ） A.有一个内角小于90° B.每一个内角都大于90° C.有一个内角小于或等于90° D.每一个内角都小于90°8. 如图，在△ABC 中，∠C=64°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，得到△A’B’C’，且点C’在BC 上，则∠B’C’B 的度数为（ ）A.42°B.48°C.52°D.58°9.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）10.如图，已知点A （2，1），B （0，2），将线段AB 绕点M 逆时针旋转到11A B ，点A 与1A 是对应点，则点M 的坐标是（ ） A.（0，2-） B.（1，1-） C.（0，0） D.（1-，1-）A B C D11. 二次函数288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.2k < B.2k <且0k ≠ C.2k ≤ D.2k ≤且0k ≠ 12. 如图，P 为O 内的一个定点，A 为O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与O 交于B 、C 两点.若O 的半径长为3，OP=5，则弦BC 的最大值为（ ）A.23B.3C.6D.32二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13.把多项式344x x -因式分解为： .14.使得()011x x -+有意义的x 的取值范围是 .15.如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线分别相交于C 、D ，已知△PCD 的周长等于10cm ，则PA= cm.16.如图，在正方形ABCD 中，AB=8，点M 在CD 边上，且DM=2，△AEM 与△ADM 关于AM 所在直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为 .三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.（6分）计算：()()230111 3.142π-⎛⎫--+⨯- ⎪⎝⎭18.（6分）先化简，再求值：2443111x xxx x-+⎛⎫÷-+⎪++⎝⎭，其中4x=.19.（6分）求解不等式组()328131522x xx x--≤⎧⎪⎨-<-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.20.（8分）2020年是特殊的一年，新年以来我们经历了新型冠状病毒肺炎、举国上下众志成城，共同抗疫.严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大.口罩也成为人们防护防疫的必备武器，某县某药店有2500枚口罩准备出售.从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：（1）求图①中m的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有多少枚？21.（8分），M是AC 如图，MB，MD是O的两条弦，点A、C分别在MB，MD上，且AB CD的中点.（1）求证：MB MD =；（2）过O 作OE MB ⊥于点E ，当OE=1，MD=4时，求O 的半径.22.（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都是格点. （1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△111A B C ；（2）作△111A B C 关于点O 成中心对称的△222A B C ；（3）求12B B 的长以及四边形2211C B C B 的面积.23.（9分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，AC=AB ，O 为△ABC 的外接圆.（1）如图1，求证：AD 是O 的切线；（2）如图2，CD 交O 于点E ，过点A 作AG BE ⊥，垂足为F ，交BC 于点G.①求证：AG BG =；②若2AD =，3CD =，求GF 的长.24.（10分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：（1）求y与的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值.25.（10分）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （3，0），与y 轴交于C （0，3），又经过点B （4，1）.（1）求抛物线的函数关系式；（2）如图1，连接AB ，在题1中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的外接圆圆心恰好在PA 上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标.。
2020-2021-1长郡九上入学考试-数学试卷
长郡2020-2021学年度初三年级暑假作业检测数 学时量：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共36分)1.下列方程一定是一元二次方程的是( ) A.22310x x +-=B.25630x y --=C.20ax bx c ++=D.23210x x --= 2.某班六名同学体能测试成绩(分)如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是( )A.众数是80B.方差是25C.平均数是80D.中位数是753.菱形的两条对角线分别为60cm 和80cm ，那么边长是( )A.80cmB.60cmC.50cmD.40cm4.如图，在矩形ABCD 中，点A 的坐标是()1,0-，点C 的坐标是()2,4，则BD 的长是( )A.6B.5C.D.5.如图，在平行四边形ABCD 中，12AD =，8AB =，AE 平分BAD ∠，交BC 边于点E ，则CE 的长为( )A.8B.6C.4D.2第4题图 第5题图 第6题图6.如图，在正方形ABCD 中，点F 是AB 上一点，CF 与BD 交于点E .若25BCF ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A.60︒B.65︒C.70︒D.75︒7.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y ax b =+的图象大致是( ) A. B.C. D.8.若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD 四边的中点，得到的图形一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形9.若m 是方程2210x x --=的根，则2112m m +-的值为( ) A.12 B.1 C.32 D.210.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )A.255分B.84分C.84.5分D.86分 11.已知()11,A x y ，()22,B x y 是二次函数图象上()220y ax ax a c a =-+-≠的两点，若12x x ≠且12y y =，则当自变量x 值取12x x +时，函数值为( )A.c -B.cC.a c -+D.a c - 12.已知二次函数2y x mx m =-++(m 为常数)，当24x -≤≤时，y 的最大值是15，则m 的值是( )A.19-或315 B.19-或6 C.6或315或10- D.6或315或19- 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13.已知函数1y x =-，则自变量x 的取值范围是________.14.已知1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则2121x x x x +=________.15.将直线21y x =+平移后经过点()5,1，平移后的直线解析式为________.16.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为________.17.如图，每个小正方形的边长为1，在ABC △中，点D 为AB 的中点，则线段CD 的长为________.18.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =，下列5个结论：①0abc <；②240a b c -+=；③20a b +>；④230c b -<；⑤()a b m am b +≤+.其中正确的结论为________.(注：只填写正确结论的序号)第17题图 第18题图三、解答题(8小题，共66分)19.(6分)已知一个二次函数的图象经过点()1,0A -、()3,0B 和()0,3C -三点.(1)求此二次函数的解析式；(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.20.(8分)解一元二次方程(1)2410x x ++=(配方法)；(2)用公式法解方程：22310x x +-=.21.(6分)某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6 7 8 9 人数 1 5 2(1)填空：10名学生的射击成绩的众数是________，中位数是________；(2)这10名学生的平均成绩为________；(3)若9环(含9环)以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有________是优秀射手.22.(8分)如图，矩形ABCD ，6AB =，4BC =，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB 、CD 边于点E ，F .(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形；(2)当四边形DEBF 是菱形时，求菱形的长.23.(9分)某市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称.优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种.某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求该种植户每年投资的增长率；(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材.24.(9分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB △沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.(1)求AB 的长；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)y 轴上是否存在一点P ，使得12PAB OCD S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.25.(10分)某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润1y (元)与国内销售量x (万件)的函数关系式为()()180018116y x x x ≤≤⎧⎪⎨-+<≤=⎪⎩，若在国外销售，平均每件产品的利润为71元. (1)求该公司每年的国内和国外销售的总利润w (万元)与国内销售量x (万件)的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)该公司每年的国内国外销售量备为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？(3)该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出()2510m m ≤≤元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m 元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m 的值.26.(10分)如果一条抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是________三角形；若抛物线()20y x bx b =-+>的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b =________；(2)如图，OAB △是抛物线()20y x b x b ''=-+>的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；(3)若抛物线2484y x mx m =-+-+与直线3y =交点的横坐标均为整数，是否存在整数m 的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由.。
2021年湖南省长沙市长郡教育集团初三中考第一次模拟考试数学试卷
长郡教育集团初中课程中心2020—2021学年度初三第一次模拟考试数学注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.若a 、b 互为相反数，则()23a b +-的值为（）A.1- B.3- C.1 D.22.x 的取值范围是（）A.2x ≥ B.0x > C.2x ≥- D.2x >3.北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（）A.42.510⨯B.42510⨯C.60.2510⨯D.52.510⨯4.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图①表示的是()()22++-，根据刘徽的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为（）A.()()36+++B.()()36-+-C.()()36-++ D.()()36++-5.下列图象中，能反映函数y 随x 增大而减小的是（）A. B. C. D.6.下列命题正确的是（）A.若甲组数据的方差20.68S =甲，乙组数据的方差20.54S =乙，则甲组数据比乙组数据更稳定B.从1、2、3、4、5中随机抽取一个数，抽到偶数的概率比抽到奇数的概率大C.数据2-、1、3、4、4的中位数是3，众数是4D.若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖7.如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（）A. B. C. D.8.艺术课上，老师将一矩形纸片对折后再对折，如图所示，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（）A.三角形B.矩形C.菱形D.正方形9.中国5G 技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现5G 信号全覆盖.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，5G 网络比4G 网络快90秒.若设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆数据，则由题意可列方程（）A.449010x x -= B.449010x x -= C.40490x x -= D.44090x x-=10.边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，如图所示，使点B 恰好落在函数2y ax =（0a <）的图象上，则a 的值为（）A. B.1- C.324- D.23-二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数是3.请写出一个同时满足上述两个条件的单项式.12.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，则纸扇外边缘弧BC 长为cm.第12题图第13题图13.如图，△ABC ≌△DCB ，AC 与BD 相交于点E ，若∠ACB=40°，则∠BEC 等于.14.钓鱼岛是中国固有领土，2021年4月26日，国家自然资源部发布了钓鱼岛地形地貌调查报告，钓鱼岛中央山脊呈东西走向，北坡稍缓，南坡陡峭，已知主峰高华峰北坡AB 坡度i=1：1.7，海平面上BC 的水平距离约为615米，则主峰高华峰的高度AC 约为米.（精确到1米）第14题图15.在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的位置如图所示，其中B （1-，1-），AB=3，BC=4，AB ∥y 轴，则顶点D 的坐标为.第15题图第16题图16.如图，点O 是三角形ABC 内的一点，OA=OB=OC=4，∠BAC=45°，已知2AOC AOB S S -= ，则∠BOC=，S △ABC =.三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分6分）计算：()201113tan 302π-⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭18.（本小题满分6分）先化简，再求值：()()()()221613232a a a a a -++-+-，其中2220210a a +-=.19.（本小题满分6分）如图所示，平面直角坐标系xOy 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 顶点都在网格线的交点上，点B 坐标为（3-，0），点C 坐标为（2-，2）.（1）画出△ABC 向右平移4个单位的图形△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A 2B 2C 2；（3）写出点A 绕B 点顺时针旋转90°对应的点的坐标.为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖.为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率.21.（本小题满分8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠CAO=30°，OC=4，求阴影部分面积.已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货11吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货19吨，某物流公司现有50吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？23.（本小题满分9分）数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线.小姝的作法是：①在直线l上任取两点A、B；②以D为圆心，AB长为半径作圆弧；③以B为圆心，DA 为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接CD，则直线CD即为直线l的平行线.（1）根据小姝的作法，请你证明直线CD∥直线l；（2）在第（1）问条件下，如图2，在线段CD上取一点E，连接BE并延长交AD的延长线于P，连接AE、BD交于点M，连接PM并延长交CD于F，交AB于G.①求证：DF EF GB GA；②求△PAG与△PGB的面积之比.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的k （（0k >）倍，则称这样的方程为“k 系方程”.如方程()()120x x --=的两根分别为：11x =，22x =，212x x =，则方程()()120x x --=为“2系方程”.（1）下列方程是“3系方程”的是（填序号即可）；①()()3110x x ++=；②2230x x --=；③()244x -=.（2）若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）是“2系方程”.①求证：2902b ac -=；时的最②若c=2，且关于x 的函数2223b y ax x =-+，当121a x a a +≤≤时的最大值为1，求a 的值.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，2-），抛物线的顶点D的坐标为（32，258-）.（1）求抛物线L的函数表达式；（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作EG⊥BC于点G，求EG的最大值，及此时点E的坐标；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//BC，点P，Q分别为直线l和抛物线L上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQBC∽△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.。
湖南省长沙市天心区部分学校2020-2021学年九年级上学期开学数学试题
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱
7．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A＝60°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( )
A． B．
C． D．
3．分式 的值为0，则
A．x=－2B．x=±2C．x=2D．x=0
4．某校男子足球队年龄分布条形图如图所示，该球队年龄的众数和中位数分别是
A． B．
C． D．
5．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）
A．2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cmD．4cm，5cm，6cm
参考答案
1．B
【解析】
∵−2<0，3>0，
∴(−2,3)在第二象限，
故选B.
2．D
【解析】
【分析】
根据0指数幂、同底数幂除法、乘法、积的乘方及幂的乘方的运算法则逐一计算即可得答案.
【详解】
A.(-2019)0=1，故该选项计算错误，不符合题意，
B. x4，故该选项计算错误，不符合题意，
C. a8b12，故该选项计算错误，不符合题意，
D. ，计算正确，符合题意，故D.【点睛】本题考查0指数幂、同底数幂除法、乘法、积的乘方、幂的乘方，任何非0实数的0次幂都等于1；同底数幂相乘底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，把各个因式分别乘方；熟练掌握运算法则是解题关键.
湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．中国剪纸项目是“人类非物质文化遗产代表作”之一．下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．今年9月25日至26日，第三届长沙市旅游发展大会在天心区召开．在旅发大会的带动下，全市旅游热度快速升温，国庆假期7天，长沙市共计接待游客952.06万人次．经初步测算，旅发大会直接拉动文旅投资106.63亿元．另外，文旅产品供给推陈出新，尤其是夜游天心阁、油脂厂和西文庙坪项目等一批重点项目的推出，不仅加速完善了长沙市文旅产品体系格局，也进一步塑造了长沙市文旅产业的新名片．其中数据952.06万用科学记数法表示为（）A．695.20610⨯B．70.9520610⨯C．69.520610⨯D．79.520610⨯3．下列运算中，计算结果正确的是（）A．326(2)4a a=B．222(2)24a b a ab b+=++C．632a a a÷=D．2233a a-=4．某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A．94，94B．95，95C．94，95D．95，945．关于抛物线253y x=-+，下列说法错误．．的是（）A．抛物线开口向下B．当0x=时，y有最小值为3C．顶点坐标是()0,3D．当3x>时，y随x的增大而减小6．已知二次函数()2220y ax ax a=+-<图象上三点()12A y-，、()21B y-，、()34C y，，则1y，2y，3y的大小关系为（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<7．如图，∠AOB =60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于C ，D 两点；分别以C ，D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段OM =6，则M 点到OB 的距离为（）A ．6B ．2C ．3D ．8．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是()A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心．5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB 长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米10．如图，矩形ABCD 中，2AB =，AD =动点P 从点A 出发向终点D 运动，连接BP ，并过点C 作CH BP ⊥，垂足为H ．有下列说法：①AH ；②在运动过程中，BP 扫过的面积始终等于CH 扫过的面积；③在运动过程中，点H ．其中正确的有（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③二、填空题11．分解因式34a a -=．12．已知点A （a ,1）与点B （-3,b ）关于原点对称，则a -b 的值为．13．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是°．14．二次函数21232y x x =-+的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为．15．如图，四边形ADBC 内接于O ，四边形ADBO 是平行四边形，则ABD ∠的度数是．16．如图，直线y mx n =+与抛物线2y ax bx c =++交于()1,A p -，()4,B q 两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +<++的解集是．三、解答题17．计算：220241112-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值：2141693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中x =19．利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．(1)画出ABC V 关于原点O 对称的中心对称图形111A B C △；(2)将ABC V 绕点A 顺时针旋转90°，在这旋转变换中，求线段AC 扫过的面积．20．为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，今年10月份，某学校开展数学学科月活动，共开展四个项目：A ．讲述数学故事；B ．制作数学手抄报；C ．制作数学模型；D ．挑战数学游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)参与此次抽样调查的学生人数是________人，补全条形统计图；(2)扇形统计图中扇形D 的圆心角度数为________；(3)若该校共有学生3600人，试估计参与制作数学手抄报的学生大约有多少人？21．如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A 、()0,6B -两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的顶点为E ，对称轴与x 轴交于点C ，求四边形ABCE 的面积．22．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量销售收入A 种型号B 种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）(1)求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，且购A 种型号电风扇的数量要比B 型号电风扇数量的13多，则共有几种采购方案，请设计出来；(3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．23．如图，ABC V 中，30B C ∠∠︒＝＝，点O 是BC 边上一点，以点O 为圆心、OB 为半径的圆经过点A ，与BC 交于点D ．(1)试说明AC 与O 相切；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．24．我们不妨约定：当(,)A a b 满足2a b +=时，则称点A 为“基础点”，点(2,2)B a b a b +-为点A 的“升华点”．例如．(31)A -,是“基础点”，则点A 的“升华点”为点(1,5)B ．根据该约定，完成下列各题．(1)直线y x =上的“基础点”A 坐标是________，点A 的“升华点”B 的坐标是________；(2)已知两个“升华点”()111P x y '，()222P x y '，且12PP ，若()2222211221122220k x y x y k x y x y -+++=，求k 的值；(3)若点Q 既是“基础点”，也是一个“基础点”的“升华点”，过点Q 的直线l 与二次函数2610y x x =-+有两个交点，点M 是这两个交点的中点，求所有点M 形成的图象的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围．25．已知四边形ABCD 内接于O ，且AC BD ⊥于点M ．(1)如图1，过圆心O 作OH CD ⊥于点H ．①若O 半径为5，8CD =，求OH 的长；②试判断AB 与OH 的数量关系，并写出证明过程．(2)如图2，记ABM ，BCM ，CDM V ，DAM △的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，若133S S =，求AC BD ⋅的最小值．。
2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)入学数学试卷
2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）入学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．135°2．某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：成绩（分）909195969799人数（人）232431则这组数据的中位数和众数分别为（）A．95，95B．95，96C．96，96D．96，973．如果一次函数y＝kx+b的函数值y随x的增大而减小，那么函数y＝kx﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．4．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表．若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应选择（）甲乙丙丁平均数x/m11.111.110.910.9方差s2/m2 1.1 1.2 1.3 1.4A．甲B．乙C．丙D．丁5．已知一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞26．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为（）A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m7．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.208．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣19．已知x＝t﹣1，y＝t+3，且﹣2≤t≤2，令S＝xy，则函数S的取值范围是（）A．﹣4≤S≤5B．﹣3≤S≤5C．﹣4≤S≤﹣3D．﹣4≤S≤0 10．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2019B．2020C．2021D．202211．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点M是对称轴上的一个动点．连接AM，BM，当|AM﹣BM|最大时，点M的坐标是（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（1，﹣6）12．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作平行四边形EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，平行四边形EFGH的面积（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大，再减小二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．函数y＝﹣x+3的图象向下平移3个单位，所得新图象的函数表达式是．14．近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意则可以列出的方程是．15．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是．16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，则AC的长为．17．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有．三、解答题（共66分）19．解一元二次方程：（1）x2+2x﹣2＝0．（2）2x2﹣5x﹣3＝0．20．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y ＝3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．（1）求AB的函数表达式；（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=13S△BOC，求点D的坐标．21．6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了了解竞赛情况，从这两个年级分别随机抽取了10名学生的成绩，将收集到的数据整理分析并绘制成两个不完整的统计表．整理数据：分数80859095100七年级/人22321八年级/人124a1分析数据：平均数中位数众数方差七年级89b9039八年级c90d30请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的学生成绩比较好，说明你的理由；（3）该校七、八年级学生共有600人，本次竞赛成绩不低于90分为“优秀”，估计这两个年级达到成绩“优秀”的学生共有多少人．22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．23．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．24．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量的取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上．（1）n＝（用含m的代数式表示）；（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；（3）①设m＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y＝x2+mx+n的最小值；②若﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m的值．26．已知抛物线的解析式y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（﹣1，0），抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一动点，过P作PG⊥AC，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求点P的坐标．。
长郡教育集团2020九上入学考试数学试卷答案
长郡教育集团初中课程中心2020－2021学年度初三年级暑假作业检测数学参考答案一、选择题二、填空题13．x ≥1 14.－3 15.y ＝2x －9 16.x (x －1)＝1056 17.26218.②⑤ 三、解答题19．解：(1)设二次函数解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，∵抛物线过点C (0，－3)，∴－3＝a (0＋1)(0－3)，解得a ＝1， ∴y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.(4分) (2)由y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－4)．(2分) 20．(1)∵x 2＋4x ＋1＝0， ∴x 2＋4x ＋4＝3， ∴(x ＋2)2＝3， ∴x ＋2＝±3，∴x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(4分) (2)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－1， ∴Δ＝32－4×2×(－1)＝17＞0，则x ＝－3±174.∴x 1＝－3＋174，x 2＝－3－174.(4分)21. 7环，7环，7.5环，100人(2分一空)22．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD ， ∴∠OBE ＝∠ODF ， ∴△BOE ≌△DOF (ASA)， ∴EO ＝FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；(4分) (2)解：当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ， 设BE ＝x ，则 DE ＝x ，AE ＝6－x ， 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴x 2＝42＋(6－x )2， 解得：x ＝133，∴菱形的边长为133.(4分)23．【解析】(1)设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为x ，则2017年种植户投资为 20(1＋x )万元，2018年种植户投资为20(1＋x )2万元，据题意得：20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝95， 解得：x ＝－3.5(舍去)或x ＝0.5＝50%. ∴该种植户每年投资的增长率为50%；(5分)(2)2019年该种植户投资额为：20(1＋50%)3＝67.5(万元)．(4分) 24．【解析】(1)令x ＝0得：y ＝4，∴B (0，4)．∴OB ＝4， 令y ＝0得：0＝－43x ＋4，解得：x ＝3，∴A (3，0)．∴OA ＝3.在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝5.(2分) (2)∴OC ＝OA ＋AC ＝3＋5＝8， ∴C (8，0)．(2分)设OD ＝x ，则CD ＝DB ＝x ＋4.在Rt △OCD 中，DC 2＝OD 2＋OC 2，即(x ＋4)2＝x 2＋82，解得：x ＝6， ∴D (0，－6)．(2分) (3)∵S △P AB ＝12S △OCD ，∴S △P AB ＝12×12×6×8＝12.∵点P 在y 轴上，S △P AB ＝12，∴12BP ·OA ＝12，即12×3BP ＝12，解得：BP ＝8， ∴P 点的坐标为(0，12)或(0，－4)．(3分)25．【解析】(1)w ＝y 1·x ＋71(6－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋426－71x （0≤x ≤1）－x 2＋81x ＋426－71x （1<x ≤6）＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋426（0≤x ≤1），－x 2＋10x ＋426（1<x ≤6）. ∴w ＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋426（0≤x ≤1），－x 2＋10x ＋426（1<x ≤6）.(3分)(2)由(1)知，当x ＝1时，9x ＋426的最大值为435；当1＜x ≤6时，－x 2＋10x ＋426的最大值为x ＝5时的值，即451， 451＞435，∴当该公司每年的国内销售量为5万件，国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．(3分)(3)∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件， ∴该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1， 则总利润w ＝(80－2m )x ＋(71－m )(6－x )＝(9－m )x ＋426－6m ， 显然当9≤m ≤10时，w 的值小于393，当5≤m ＜9时，9－m ＞0，当x ＝1时，令w ＝(9－m )×1＋426－6m ＝393，解得m ＝6，当x ＝0时，令w ＝426－6m ＝393，解得m ＝5.5.∵从国内销售的每件产品中捐出2m (5≤m ≤10)元给希望工程， ∴x ＝0不符合题意．∴m ＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．(4分) 26．【解析】(1)等腰(1分)．b ＝2.(2分)(2)存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形．当OA ＝OB 时，平行四边形ABCD 是矩形，又∵AO ＝AB ，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB ＝60°，作AE ⊥OB ，垂足为E ，∴AE ＝3OE . ∴b ′24＝3×b ′2(b ′＞0)． ∴b ′＝2 3.∴A (3，3)，B (23，0)． ∴C (－3，－3)，D (－23，0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2＋nx ，则⎩⎨⎧12m －23n ＝0，3m －3n ＝－3， 解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝23，故所求抛物线的表达式为y ＝x 2＋23x .(3分) (3)由－x 2＋4mx －8m ＋4＝3，x ＝4m ±16m 2－4（8m －1）2＝2m ±4m 2－8m ＋1，当x 为整数时，须 4m 2－8m ＋1为完全平方数，设 4m 2－8m ＋1＝n 2 (n 是整数)整理得： (2m －2)2－n 2＝3，即 (2m －2＋n )(2m －2－n )＝3，两个整数的积为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝1，2m －2－n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝3，2m －2－n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝－1，2m －2－n ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋n ＝－3，2m －2－n ＝－1. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝0，n ＝－1， 综上，得：m ＝2或m ＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长， 当m ＝2时，抛物线方程为y ＝－x 2＋8x －12＝－(x －4)2＋4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m ＝0时，抛物线方程为y ＝－x 2＋4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长； ∴抛物线与直线y ＝3交点的横坐标均为整数时m ＝2或m ＝0.(4分)。
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2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题）.1．下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0 2．某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是75 3．菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm4．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD 的长是（）A．6B．5C．3D．45．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长为（）A．8B．6C．4D．26．如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形9．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（）A．B．1C．D．210．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分11．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数图象上y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A．﹣c B．c C．﹣a+c D．a﹣c12．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6D．6或或﹣19二、填空题（共6小题）.13．已知函数关系式：y＝，则自变量x的取值范围是．14．已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则+＝．15．将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为．16．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m （am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．20．解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x﹣1＝0．21．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是，中位数是．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？22．如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．23．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1＝若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m ≤10）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．26．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝﹣x2+4mx﹣8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（共12小题）.1．下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0解：A、含有分式，3x2+﹣1＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、含有2个未知数，5x2﹣6y﹣3＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、3x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．2．某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是75解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：×[3×（80﹣80）2+（90﹣80）2+2×（80﹣75）2]＝25，正确，不符合题意；C、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6＝80，正确，不符合题意；D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．故选：D．3．菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．4．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD 的长是（）A．6B．5C．3D．4解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．5．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长为（）A．8B．6C．4D．2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝12，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝8，∴CE＝BC﹣BE＝4．故选：C．6．如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，DC＝DA，∠ADE＝∠CDE＝45°．又DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠DAE＝∠DCE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．解：由二次函数图象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；故选：D．8．若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO＝∠ENO＝90°，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN＝90°，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故选：B．9．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（）A．B．1C．D．2解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴1+m﹣m2＝1﹣（m2﹣2m）＝1﹣＝，故选：A．10．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分解：根据题意得：85×+80×+90×＝17+24+45＝86（分），故选：D．11．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数图象上y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A．﹣c B．c C．﹣a+c D．a﹣c解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1≠x2且y1＝y2，∴A（x1，y1）和B（x2，y2）关于直线x＝1对称，∴x2﹣1＝1﹣x1，∴x1+x2＝2，当x＝2时，y＝ax2﹣2ax+a﹣c＝4a﹣4a+a﹣c＝a﹣c．故选：D．12．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6D．6或或﹣19解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+m＝﹣（x﹣）2++m，∴抛物线的对称轴为x＝，∴当＜﹣2时，即m＜﹣4，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝﹣2时，﹣（﹣2）2﹣2m+m＝15，得m＝﹣19；当﹣24时，即﹣4≤m≤8时，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝时，+m＝15，得m1＝﹣10（舍去），m2＝6；当＞4时，即m＞8，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝4时，﹣42+4m+m＝15，得m＝（舍去）；由上可得，m的值是﹣19或6；故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．已知函数关系式：y＝，则自变量x的取值范围是x≥1．解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．14．已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则+＝﹣3．解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，所以+＝＝＝＝﹣3．故答案为﹣3．15．将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为y＝2x﹣9．解：设平移后的解析式为：y＝2x+b，∵将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），∴1＝10+b，解得：b＝﹣9，故平移后的直线解析式为：y＝2x﹣9．故答案为：y＝2x﹣9．16．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为x（x﹣1）＝1056．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056．17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m （am+b）．其中正确的结论为②⑤．（注：只填写正确结论的序号）解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3），∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．（2）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）．20．解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x﹣1＝0．解：（1）∵x2+4x+1＝0，∴x2+4x+4＝3，∴（x+2）2＝3，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，∴△＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，则x＝．∴x1＝，x2＝．21．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是7环，中位数是7环．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？解：（1）射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7环，7环．（2）＝7.5环，答：这10名学生的平均成绩为7.5环．（3）500×＝100人，答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．22．如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∴菱形的边长为．23．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．25．某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1＝若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m ≤10）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．解：（1）w＝y1•x+71（6﹣x）＝＝∴w＝（2）由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；当1＜x≤6时，﹣x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，451＞435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．（3）∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件∴该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝（80﹣2m）x+（71﹣m）（6﹣x）＝（9﹣m）x+426﹣6m显然当10≥m≥9时，w的值小于393，当5≤m＜9时，9﹣m＞0，当x＝1时，令w＝（9﹣m）×1+426﹣6m＝393解得m＝6，当x＝0时，令w＝426﹣6m＝393，解得m＝5.5∵从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m≤10）元给希望工程∴x＝0不符合题意．∴m＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．26．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝﹣x2+4mx﹣8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．则b＝2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．∴＝×（b＞0）．∴b′＝2 ．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，则，解得，故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．（4）由﹣x2+4mx﹣8m+4＝3，x＝＝2m±，当x为整数时，须4m2﹣8m+1为完全平方数，设4m2﹣8m+1＝n2（n是整数）整理得：（2m﹣2）2﹣n2＝3，即（2m﹣2+n）（2m﹣2﹣n）＝3两个整数的积为3，∴或或或解得：或或或，综上，得：m＝2或m＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，当m＝2时，抛物线方程为y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m＝0时，抛物线方程为y＝﹣x2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．。