2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(3)
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2020年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 2
1- 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）
6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）
A. 62
B. 66
C. 68
D. 74
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，3
32为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ，
b 1=d 2
，且3
21232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 设∑=-+=
n
k n k n k a 1)1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1+=x x
x y 交于两个不同点M 和N 。求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹。
15. 设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x )，求证：存在4个函数f i (x )(i =1，2，3，4)满足：（1）对i =1，2，3，4，f i (x )是偶函数，且对任意的实数x ，有f i (x+π)=f i (x )；
（2）对任意的实数x ，有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。
2020年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ）
A. 71
B. 71-
C. 21
D. 2
1- 【答案】B
【解析】如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故
2272⋅=⨯AM ，由此得2
7==AM CM 。在△AMC 中，由余弦定理得7
12cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ）
A. 8152
B. 8159
C. 8160
D. 81
61 【答案】D
【解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。