数形结合例题选集
数形结合的几个经典题
数形结合1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。
2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.。
3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。
于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。
4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a2－b2；而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，其面积为()()()()))((22babababababa-+=-++-+。
于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。
5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2，从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。
6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。
数形结合例题例1 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．例2 如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b，所以面积为（a-b）2；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（a+b）2，aba －baba －b甲乙每个长方形的面积为ab ，所以空白部分面积为（a +b ）2-4ab ．因此有恒等式（a +b ）2-4ab =（a -b ）2成立．故填（a +b ）2-4ab =（a -b ）2．例3 图4是由一个边长为a 的正方形与两个长、宽分别为a 、b 的小长方形拼接而成的长方形ABCD ，则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意三个等式______、______、_______．析解：读懂题意，观察图中数据关系是关键，其次利用面积写出代数式，．根据图形的组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如：a 2+2ab =a （a +2b ）；a （a +b ）＋ab =a （a +2b ）； a （a +2b ）-a （a +b ）=ab ；a （a +2b ）-ab =a （a +b ）；a （a +2b ）-a 2=2ab ；a （a +2b ）-2ab =a 2．数形结合解题1.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A()222b 2ab a b a +-=- B.()2222b ab a b a ++=+C()()22b a b -a b a -=+D.()ab a b a a -=-22.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--= B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-3.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A ．2m +3B ．2m +6C ．m +3D ．m +64.七年级学生小明剪出了多张如图⑴中的正方形和长方形的卡片，利用这些卡片他拼成了如图⑵中的大正方形，由此验证了我们学过的公式：2222)(b ab a b a ++=+．现在请你选取图⑴中的卡片（各种卡片的张数不限），并利用它们在图⑶中拼出一个长方形，由此来验证等式：2232)2)((b ab a b a b a ++=++．（请按照图⑴中卡片的形状来画图5.数形结合是一种重要的数学方法，，你能利用这种方法把算式(2a+b)(a+2b)=2a 2+5ab+2b 2的合理性解释清楚吗aa bb⑴（2）（3）。
(完整版)数形结合练习
1 / 2数形结合练习一．选择题：1．向高为 H 的水瓶中灌水，注满为止，假如灌水量 v 与水深 h 的函数关系以以以下图，那么水瓶的形状是2．已知定义在R 上的偶函数 f(x)在（ 0， +∞）上是增函数且 f( 1)＝0 则知足3f (log 1 x) ＞0 的 x 的取值范围是8（A ）{ 1} ∪(2, +∞ ) （ B ）(0,1)（C ）(0, 1)∪ (2, +∞) （D ） (2, +∞ )2223．方程 lgx=sinx 的根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）无数个4．函数 y ＝a|x|和 y= x+a 的图像恰巧有两个公共点，则实数 a 的取值范围为（A ）(1, +∞ ) （ B ）(－1, 1) （C ）(－∞ , －1) （D ）(－∞ , － 1)∪(1, +∞) 5．已知 0<a<1，方程 a |x| | log a x | 的实数根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）以上都有可能 ．若不等式2－log a ＜ 0在 (0, 1 内恒建立 ,则 a 的取值范围是6x x )2（A ）[ 1, 1)（ B ） (0, 1)（C ） ( 1, 1) （D ）(0, 1)1616167．代数式 x 2 y 2 x 2( y 1)2( x 1) 2 y 2(x 1) 2( y 1)2 的最小值为（A ）2 （B ）2 2（ C ）4 （D ）4 2．函数 ＝ sin2x+acos2x 图像的一条对称轴为 x ＝－，那么 a 等于8 y8（A ） 2（ B ）－ 2（ C ）1 （D ）－ 19．直线 y=a （a ∈R ）与曲线 y ＝ cot(ωt)，（ω＞ 0）的相邻两交点之间的距离是（A ）k（B ）2（ C ） （D ）以上都不对二．填空题：1．已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 分别为（－ 1，1）和（ 2, 2），若直线 l ：x+my+m=0 与 PQ 的延伸线订交，则 m 的取值范围是 . 2．若直线 l ：y ＝kx+1 与曲线 c ：x ＝y 2 1 只有一个公共点，则实数 k 的取值1范围是.3．函数 y=23x 的值域是1x4．若 a ∈ (0,1) ，则T＝ sin(1+a) ， T =sin(1－ a), T =cos(1+a) 的大小关系1232为．5．方程 |x－ |2x+1||=1 的不一样样样实根的个数为.6．函数 u＝2x 15 2x 的最大值是.三．解答题：．已知+十 3的最大值 .）, 求 2a b14a+9b＝10（a，b∈6 R2．假如对于x 的方程sinx+acosx= 2 恒有解，务实数 a 的取值范围3．已知函数 f(x)=ax2－c 知足一 4≤f(1)≤－ 1，－ 1≤f(2)≤5，求 f(3)的范围．4．已知 a ≥0, b≥0, a+b=1，求证：a1b 1≤2.225．若 A={ x| －2≤x≤a} ， B={ y| y＝2x+3，x∈A}, C＝{ z| z=x2, x∈ A} ，若 C B，求 a 的值．6．已知抛物线 C：y＝－ x2+mx－1，点 A（3，0）， B(0, 3), 求抛物线 C 与线段AB 有两个不一样样样交点时 m 的范围．22 / 2。
数形结合找规律试题集锦
4=1+3 9=3+616=6+10图7 … 数形结合找规律试题集锦1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。
2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+313 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90 ，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A ．上B ．下C ．左D ．右第（4）题图5-1图5-2图5-3 …5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个.6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。
对折n次可得条折痕。
7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形（1 ）（ 2 ）（ 3 ）这n个图形共有个三角形。
六年级数形结合的典型例题
六年级数形结合的典型例题
小明和小红在操场上走路，小明每走一步，小红就走两步，他们同时从操场的同一个起点出发，小明走了10步，小红走了20步，他们此时在同一个位置上，问他们此时距离起点的距离分别是多少？
解题思路：
这是一个有关步数的问题。
由于小红每走一步，小明就走了两步，所以他们步数之间的比例是2：1，所以假设小明走了x 步，小红走了2x步，利用两点间的距离公式，可以得出小明距离起点的距离为10x，小红距离起点的距离为20x。
因为他们此时在同一个位置上，所以10x=20x，从中可以解出 x=5，因此小明距离起点的距离为50步，小红距离起点的距离为100步。
答案：小明距离起点的距离为50步，小红距离起点的距离为100步。
数形结合的题目
数形结合的题目1. 已知一个圆的面积为 $\pi$，求它的周长。
解：圆的面积为$\pi r^2$，所以$r=1$。
周长为$2\pi r=2\pi$。
2. 在一个边长为 $1$ 的正方形中，一只苍蝇从一个角爬到另一个角，求苍蝇爬行的最短距离。
解：由于正方形的两条对角线相等，所以苍蝇从一个角到另一个角的最短距离为对角线的长度，即 $\sqrt{2}$。
3. 已知一个等边三角形的周长为 $6$，求其面积。
解：设该三角形的边长为 $a$，则 $a\times 3=6$，即 $a=2$。
由于该三角形是等边三角形，所以它的高等于边长的一半，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。
所以该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 在一个正方形中，一条对角线被分成两段，比为 $3:4$。
求正方形的边长。
解：设正方形的边长为 $a$，则对角线的长度为 $\sqrt{2}a$。
由于对角线被分成的两段比为 $3:4$，所以两段分别为$\frac{3}{7}\sqrt{2}a$ 和 $\frac{4}{7}\sqrt{2}a$。
根据勾股定理，我们得到$(\frac{3}{7}\sqrt{2}a)^2+(\frac{4}{7}\sqrt{2}a)^2=(\sqrt{2}a)^2$，化简得 $a=7$。
5. 已知半径相等的两个圆相切，其中一个圆的面积为$16\pi$，求另一个圆的面积。
解：由于两个圆相切，所以它们的切点处连线的长度等于两个圆的半径之和，即 $r+r=2r$。
设另一个圆的面积为 $S$，则$S=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2$。
设第一个圆的面积为 $16\pi$，则 $\pi r^2 = 16\pi$，即 $r=4$。
所以另一个圆的面积为 $3\pir^2=3\times 16\pi=48\pi$。
数形结合找规律试题集锦.doc
判断题1.销售统计表毛利成本分析不正确的可能是由于“销售出库单”在存货系统已审核，但在销售系统中发货单还未生成“销售发票”，从而造成销售与成本不匹配。
答案:False2.销售管理中发货开票勾对表统计出客户的收款情况，作为客户信用的评估依据。
答案:False3.发货开票勾对表可以统计发货、开票、收款情况等，其中收款情况来自应收系统的核销数据。
答案:True4.发货统计表只能统计发货的数量，但不能统计发货已结算（开票）部分的数量。
答案:False5.销售统计表能够提供销售金额、折扣、成本、毛利等数据，其存货成本数据来自存货系统。
答案:True6.退货明细表与销售综合统计表均有是否退货过滤项，劳务收入统计表和发货统计表具有按按劳务过滤的功能。
答案:False7.存货核算中填制出库调整单，在收发存汇总表金额已被调整，但此单据未回写到销售统计分析表中去。
可能的原因是由于销售出库调整单上的部门、客户等信息不全。
答案:True8.销售统计表中以前各月都可以显示本期成本，但是本与月不能显示成本金额，可能是存货中单据没有记账，全月平均的仓库未进行期末处理。
答案:True9.发货统计表中可以查询到去年已发货未开票的发货单。
答案:True10.销售账表，对于其中的数字型栏目，系统默认按照一定的数字格式显示，但可以修改。
答案:True11.销售综合统计表可以按货物、客户、部门三种方式进行货龄分析，分析。
答案:False12.查询发货单开票情况的做法还可通过发货单列表，设置出结算数量来查询相关数据。
答案:True13.销售成本只有到存货核算系统月末结账后才能取得准确的数据。
答案:True14.发货统计表可以统计存货的发货、开票、结存业务数据信息，其开票数据来自与发货单相关联的销售发票、销售调拨单、零售日报及其红字单据。
答案:True15.销售统计表能够提供销售金额、折扣、成本、毛利信息，其成本来源于《存货核算》的存货明细账。
数形结合初中数学题
数形结合初中数学题
数形结合是初中数学中一个重要的概念,是指将数与形结合起来进行思考和推理。
以下是一些数形结合的初中数学题:
1. 一个圆的半径是2,它的面积是多少?
2. 一根长度为6cm的棒,它的周长是多少?
3. 一张桌子上有n个苹果,它们的重量之和是20千克,每个苹果的重量是多少?
4. 一个矩形的长和宽相等,高是4cm,它的面积是多少?
5. 一个三角形的三个底之和等于12,求这个三角形的高的值。
6. 一根长度为10cm的棒,它的重心在它的5cm直径的截面的中心,那么这个棒的质量是多少?
7. 一个正方形的边长是5cm,它的周长是多少?
8. 一个圆的半径是3cm,它在平面上的位置是A,它在立体空间的坐标是多少?
这些题目通过将数形结合,提供了更多的思考方法和解决问题的思路。
学生可以通过理解这些题目,掌握数形结合的概念和技巧,提高自己的数学思维能力。
小学数学数形结合练习题
小学数学数形结合练习题题目一：数形结合的认知训练1. 看图填空：(a) 在图中，将所有的三角形标记一下。
(b) 将你周围的物体，如书桌、椅子等尽可能多地找出正方形、长方形和圆形，并分别写下它们的名称。
2. 计算下列各图形的周长和面积：(a) 根据提供的边长，计算正方形的周长和面积。
(b) 根据提供的长和宽，计算长方形的周长和面积。
(c) 根据提供的半径，计算圆形的周长和面积。
(d) 尝试设计一个你认为面积最大的正方形，画出它的示意图，并计算周长和面积。
3. 图形转换：(a) 请将以下图形按照标号进行旋转，并写出每个旋转后的图形名称。
图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形(b) 请将以下图形按照标号进行翻转，并写出每个翻转后的图形名称。
图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形4. 找规律：(a) 请观察以下数字序列，找出其规律，并写出下一个数字：1, 4, 9, 16, ...(b) 请观察以下形状序列，找出其规律，并画出下一个形状：△, □, ○, ▽, ...5. 图形拼凑：(a) 使用提供的拼图块，组合成一个正方形。
(b) 使用提供的拼图块，组合成一个长方形。
(c) 使用提供的拼图块，组合成一个圆形。
6. 图形推理：给出以下图形的排列顺序，请写出图形编号，并解释其排列规律。
图1：▽图2：□ 图3：○ 图4：△题目二：数形结合的实际应用1. 实际问题运用：(a) 小明家花园的形状是长方形，长为8米，宽为5米，他要在花园的四周围上一圈砖。
砖的规格是2米长、1米宽，请问他需要多少块砖？如果砖的价格是每块20元，他需要多少钱？(b) 小红的家有一个圆形的花坛，直径是3米。
她想在花坛周围种植一圈花草，每株花草之间的间距是20厘米。
她需要多少株花草？题目三：数形结合的解决问题能力训练1. 智力题：(a) 小明手上有12枚硬币，其中有一个是假币，假币的重量比真币轻。
小明有一个天平，最多能使用3次天平，能否找出假币？如果能，请写出解决方法；如果不能，请解释原因。
数形结合专项训练(含答案)-
数形结合专项训练一、选择题1．有理数a，b在数轴上的对应点如图1所示，则│a│+│a+b│-│b-a│等于（）A．2b+a B．2b-a C．a D．bba c0a(1) (2)2．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图2所示，则下列关系式中成立的是（）A．c+b>a+b B．bc>ab C．b-c>a-c D．ca>ba3．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2003应在（• ）A．○A位 B．○B位 C．○C位 D．○D位4．a，b为数轴上的两个数，且a在b的右边，那么a+b（）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定5．数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是4，这两个数是（）A．0和4 B．0和-4 C．2和-2 D．4和-46．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图3所示，则下列结论中正确的是（）A．b>a B．│a│>-b C．│b│>-a D．│a│>│b│(3) (4) (5)7．有一个密码系数，其原理如下面的杠图所示：输入x → x+6 →输出，当输出的结果为10时，则输入的x为（）A．4 B．-4 C．16 D．-16二、填空题8．已知a，b，c•在数轴上的位置如图4所示，•用“<•”或“>•”连接，•则a-b_____0，abc_______0，b_______c．9．数a，b在数轴上的位置如图5所示，则│b│_____│a│．（填“>”“<•”或“＝”）10．m，n都是负数，n比m大，那么在数轴上，m，n都在原点的________侧，m点比n•点距离原点______．11．若x<y<0，则（x+y）（x-y）的符号为______，（x+y）·（x-y）的符号为____，（x-y）（y-x）的符号为_____．三、解答题12．如图所示，小丽在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试确定墨迹盖住的整数共有几个？13．如图所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，•如果小颖输入2后，所得的结果为5，这个计算装置中究竟是怎样进行计算的呢？•若小颖输入的数为x，请你用x表示运算规则．（至少写出三种运算规则）14．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A后，继续向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据点C在数轴上的位置，说明点C可以看作是蚂蚁从原点出发，•向哪个方向爬行了几个单位长度得到的．答案:1．C [提示：由图可知a<0，a+b<0，b-a>0，所以│a│-│a+b│-│b-a│=-a+（a+b）-（b-a）=-a+a+b-b+a=a，故选C．] 2．B [提示：由图可知，a>0，b>0，因为a>c，所以a+b>c+b，故A错；因为b<a，•所以b-c<a-c，故C错；因为c<b，a>0，所以ca>ba，故D错，因为bc>0，ab<0，所以bc>ab，故选B．]3．B [提示：由图可观察到：A位置的数为4n+2；B位置的数为4n+3；C位置的数为4（n+1）；D位置的数为4n+5（n为自然数），而2003=4×500+3，故2003应在B位置，故选B] 4．D [提示：因为a在b的右边，所以a+b>0或a+b<0或a+b=0，故大小不能确定，应选D] 5．C [提示：因为互为相反数的两个点之间的距离为4，而2和-2既互为相反数，又│2│+│-2│=4，故选C．]6．C [提示：由图可知0<a<1，b<-1，所以b>a错误；│a│-b错误；│a│>│b│也错误，│b│>-a正确，故选A．]7．A [提示：由图可知输入的x与6的和为10，则x=4，故选A．]8．> > > [提示：由图可知，a>0，b<0，c<0，且│a│>│b│．]9．> [提示：从图中可以看到a>0，b<0，所以a>b．]10．左远 [提示：因为m<n<0，所以m，n都在原点左侧，但m点比n点距离原点远．] 11．正负负 [提示：因为x<y<0，所以x+y<0，x-y<0，所以（x+y）（x-y）>0，•即符号为正，同样可得（x+y）（y-x）及（x-y）（y-x）的符号为负．]12．解：原点左边的-1的负号被盖住，-6．3与-1之间有5个整数，0与4．1之间有4个整数，所以共有9个整数．13．解：能用x表示运算规则：如2x+1，x2+1，3x-1．14．解：（1）点A表示4，点B表示6，点C表示-4．（2）点C是蚂蚁从原点出发向左爬行了4个单位长度得到的．。
关于数形结合的高考题
1. 题目：一个正方形的边长为2cm，一条与其边平行的线段将该正方形分成两个小正方形和两个等边三角形。
求线段的长度。
答案：线段的长度为2√2 cm。
2. 题目：一个圆的半径为3cm，在圆的内部画一个正方形，且正方形的四个顶点分别位于圆的四个切点上。
求正方形的面积。
答案：正方形的面积为18 cm²。
3. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为6cm，顶边长度为2cm。
求截面的高度。
答案：截面的高度为3cm。
4. 题目：一个球的体积为36πcm³，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求球的半径。
答案：球的半径为3 cm。
5. 题目：一个正方体的表面积为96 cm²，将其剖开后得到的截面是一个正方形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为4 cm。
6. 题目：一个圆柱的底面积为16πcm²，高度为10 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为8cm，顶边长度为2cm。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
7. 题目：一个圆锥的底面积为9πcm²，高度为12 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为3 cm。
8. 题目：一个正方体的表面积为150 cm²，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为5 cm。
9. 题目：一个圆柱的底面积为25πcm²，高度为8 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
10. 题目：一个圆锥的底面积为16πcm²，高度为6 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为2 cm。
初一数形结合的典型例题
初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。
解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。
正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。
例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。
解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。
长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。
例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。
解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。
圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。
例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。
解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。
这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。
当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。
希望这些例题能对你有所帮助。
六年级数形结合练习题
六年级数形结合练习题题目一：图形排序小明在一张纸上画了一些图形，他想将这些图形按照形状的大小进行排序。
请你帮助小明完成以下练习：1. 将下列图形按照形状的从小到大的顺序排列：a) 正方形 b) 矩形 c) 三角形 d) 圆形2. 根据以下条件，将下列图形按照面积的从小到大的顺序排列：a) 正方形的边长为2cm b) 矩形的长为3cm，宽为2cm c) 三角形的底边为3cm，高为4cm d) 圆形的半径为1cm题目二：数列问题小明正在学习数列，下面是一些数列，他需要判断它们有没有规律，并完成一些题目：1. 计算下列数列的前三个项： 2, 5, 8, 11, 14, ...2. 编写一个规律，完成以下数列的前三个项： 1, 4, 9, 16, 25, ...3. 判断以下数列是否满足等差或等比数列，并给出公差或公比的值：a) 3, 6, 9, 12, 15, ...b) 2, 4, 8, 16, 32, ...题目三：面积问题小明对面积的计算很有信心，帮助他解答下面的问题：1. 一个长方形的长为5cm，宽为3cm，计算它的面积是多少？2. 一个正方形的边长为4cm，计算它的面积是多少？3. 如果正方形的面积是25平方米，那么它的边长是多少米？4. 一个圆形的半径为2cm，计算它的面积是多少？题目四：几何问题小明喜欢解决几何问题，帮助他解决下面的题目：1. 画一个直角三角形ABC，其中∠B为直角，AB = 3cm，BC =4cm。
请计算三角形的周长。
2. 画一个等边三角形DEF，DE = 5cm，请计算三角形的周长和面积。
3. 画一个平行四边形GHJK，GH = 5cm，GJ = 4cm，请计算四边形的周长和面积。
题目五：应用题小明在家里的花园中发现了一个三角形草坪，他想计算这个草坪的面积并决定铺上蓝色的瓷砖。
帮助他完成以下问题：1. 测量底边为6m，高为4m的三角形的面积是多少平方米？2. 如果每块瓷砖的边长为30cm，计算需要多少块瓷砖才能覆盖整个三角形草坪？3. 如果一块瓷砖的价格为10元，请计算铺满整个草坪需要花费多少钱？注意：以上题目仅供参考，可以根据实际情况进行调整和组合，以满足题目要求。
华罗庚数形结合的题目
华罗庚数形结合的题目可能涉及数学中的代数与几何的结合，特别是在解析几何和代数几何等领域。
这些题目通常要求学生能够将数学问题中的数值与相应的几何图形结合起来，以便更直观地理解和解决问题。
以下是一些华罗庚数形结合思想的题目示例：
1. 已知直线y = 2x + 3 与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B。
求线段AB 的中点坐标。
2. 在直角坐标系中，点P(2, -3) 关于x 轴的对称点Q 的坐标是什么？
3. 设直线l 的斜率为k，且经过点P(a, b)。
求直线l 的方程。
4. 已知圆的半径为r，圆心在原点(0, 0)。
求该圆的方程。
5. 平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，且AB = 3, BC = 4。
求平行四边形的高。
6. 在直角三角形中，两个锐角的正切值分别是3 和4。
求这个三角形的面积。
7. 已知椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
求椭圆的标准方程。
8. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3) 到原点O(0, 0, 0) 的距离是多少？
9. 已知双曲线的实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
求双曲线的标准方程。
10. 平行线l1: 2x + 3y + 1 = 0 和l2: 2x - 3y + c = 0 之间的距离是多少？
这些题目要求学生能够将数学中的数值与几何图形相结合，从而更直观地理解问题和解题过程中的几何意义。
四年级数学数形结合经典题
数形结合是一种重要的数学思想，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些适合四年级学生的数形结合经典题目：
1.小明用棋子摆成一个正方形实心方阵，最外边的一层共用96个棋子。
小明摆这个方
阵共用了多少个棋子？
2.小军用棋子摆成了一个空心方阵，最外边的一层共用棋子80个。
最里边的一层共用
棋子48个。
这个空心方阵共有几层？
3.小丽用棋子摆成了一个三角形实心方阵，最外边的一层共用72个棋子。
小丽摆这个
方阵共用了多少个棋子？
4.小华用棋子摆成一个空心三角形，最外边的一层共用96个棋子。
最里边的一层共用
24个棋子。
这个空心三角形共有几层？
5.小明用棋子摆成一个长方形实心方阵，最外边的一层共用88个棋子。
如果最外边一
边有n个棋子，那么这个长方形方阵共有多少个棋子？
这些题目需要学生通过观察图形，理解数形结合的思想，并运用数学公式和推理方法来解决问题。
小学数形结合练习题
小学数形结合练习题
1. 数轴上表示1和2的点的距离是多少？表示-1和2的点的距离是多少？
2. 在一条直线上，有两个点A和B，点A在点B的左边。
现在有4个单位长度的棒，如何用这些棒把A和B连接起来？
3. 将一根绳子绕成一个圆形，然后从圆心处将绳子剪断，拉直后得到的直线长度是多少？
4. 用3个边长为2cm的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少cm？
5. 一个长方形的长是宽的3倍。
如果长和宽各增加2cm，那么新的长方形的周长是原来的多少倍？
答案：
1. 在数轴上表示1和2的点的距离是1，表示-1和2的点的距离是3。
2. 在一条直线上，有两个点A和B，点A在点B的左边。
现在有4个单位长度的棒，可以这样连接A和B：将第一个棒放在点A右边一个单位长度处，第二个棒放在点B左边一个单位长度处，第三个棒放在点B右边一个单位长度处，第四个棒放在点A左边一个单位长度处。
这样就能将A和B连接起来。
3. 将一根绳子绕成一个圆形，从圆心处将绳子剪断后拉直得到的直线长度等于圆的周长。
4. 用3个边长为2cm的正方形拼成的长方形周长是16cm。
5. 一个长方形的长是宽的3倍。
如果长和宽各增加2cm，那么新的长方形的周长是原来的多少倍？
原来的长方形周长为： 2 × (3 + 1) = 8cm
新的长方形周长为： 2 × (3 + 3) = 12cm
所以新的周长是原来的 12/8 = 1.5倍。
高中数学数形结合思想经典例题（含解析）
高中数学数形结合思想经典例题（含解析）高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<1<="" bdsfid="103" p="">9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝?－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝?|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝?3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<－5<="" bdsfid="173" p=""><－5<="" bdsfid="175" p="">6.<－5<="" bdsfid="177" p="">又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.<－5<="" bdsfid="179" p="">不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<="" )＝ln|x="" 3．函数f=""<－5<="" bdsfid="182" p=""><－5<="" bdsfid="184" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="186" p="">【解析】因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排除B ，选A.<－5<="" bdsfid="188" p="">4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）<－5<="" bdsfid="190" p="">x <0的解集为( )<－5<="" bdsfid="192" p="">A ．(－2，0)∩(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="194" p="">B ．(－∞，－2)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="196" p="">C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="198" p="">D ．(－2，0)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="200" p="">【答案】 D<－5<="" bdsfid="202" p="">【解析】由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）<－5<="" bdsfid="204" p="">x <0.若x >0，则需<－5<="" bdsfid="206" p="">有f (x )<0，结合图象可知00，结合图象可知<－5<="" bdsfid="209" p="">－2<0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．<="" bdsfid="210" p=""><－5<="" bdsfid="212" p="">5．实数x ，y 满足不等式组<－5<="" bdsfid="214" p="">?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )<－5<="" bdsfid="216" p="">A.215<－5<="" bdsfid="218" p="">5<－5<="" bdsfid="220" p="">B ．21<－5<="" bdsfid="222" p="">C ．20<－5<="" bdsfid="224" p="">D ．25<－5<="" bdsfid="226" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="228" p="">【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4| <－5<="" bdsfid="230" p="">5<－5<="" bdsfid="232" p="">·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．<－5<="" bdsfid="234" p="">由?<－5<="" bdsfid="236" p="">x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max<－5<="" bdsfid="238" p="">＝21.<－5<="" bdsfid="240" p="">6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)<－5<="" bdsfid="242" p="">B ．(1<－5<="" bdsfid="244" p="">2，1)<－5<="" bdsfid="246" p="">C ．(1，2)<－5<="" bdsfid="248" p="">D ．(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="250" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="252" p="">【解析】在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故1<－5<="" bdsfid="254" p="">2<－5<="" bdsfid="256" p=""><1.<="" bdsfid="257" p=""> <－5<="" bdsfid="259" p=""><－5<="" bdsfid="261" p="">7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y<－5<="" bdsfid="263" p="">x ＋y 的最小值为( )<－5<="" bdsfid="265" p="">A.53 B ．2 C.35<－5<="" bdsfid="267" p="">D.12<－5<="" bdsfid="269" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="271" p="">【解析】依题意，得实数x ，y 满足<－5<="" bdsfid="273" p="">?x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴<－5<="" bdsfid="275" p="">影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋y<－5<="" bdsfid="277" p="">x 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[5<－5<="" bdsfid="279" p="">3，2]，故<－5<="" bdsfid="281" p="">选A.<－5<="" bdsfid="283" p="">8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<="" p="" 【答案】=""><－5<="" bdsfid="286" p="">【解析】本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于<－5<="" bdsfid="288" p="">(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<="" )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x="" 1x="" 1＜x="" 2 <－5<="" bdsfid="291" p=""><－5<="" bdsfid="293" p="">A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="295" p="">B.f （x 1）x 1＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="297" p="">x 2<－5<="" bdsfid="299" p="">C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="301" p="">D ．不能确定<－5<="" bdsfid="303" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="305" p="">【解析】如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝<－5<="" bdsfid="307" p="">f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0<－5<="" bdsfid="309" p="">＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="311" p="">x 2，由于0＜x 1<－5<="" bdsfid="313" p="">＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）<－5<="" bdsfid="315" p="">x 2<－5<="" bdsfid="317" p="">，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组<－5<="" bdsfid="319" p="">?2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 <－5<="" bdsfid="321" p="">＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4<－5<="" bdsfid="323" p="">3)<－5<="" bdsfid="325" p="">B ．(－∞，1<－5<="" bdsfid="327" p="">3)<－5<="" bdsfid="329" p="">C ．(－∞，－2<－5<="" bdsfid="331" p="">3)<－5<="" bdsfid="333" p="">D ．(－∞，－5<－5<="" bdsfid="335" p="">3<－5<="" bdsfid="337" p="">)<－5<="" bdsfid="339" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="341" p="">【解析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．<－5<="" bdsfid="343" p="">要使可行域内包含y ＝1<－5<="" bdsfid="345" p="">2<－5<="" bdsfid="347" p="">x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝<－5<="" bdsfid="349" p="">12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23<－5<="" bdsfid="351" p="">. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269<－5<="" bdsfid="353" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="355" p="">【解析】由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →<－5<="" bdsfid="357" p="">＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，4<－5<="" bdsfid="359" p="">3)，所以AE →＝(23，<－5<="" bdsfid="361" p="">23)，AF →＝(13，4<－5<="" bdsfid="363" p="">3)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109<－5<="" bdsfid="365" p="">. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 <－5<="" bdsfid="367" p="">5成立，则实数a<－5<="" bdsfid="369" p="">的值为( ) A.15 B.2<－5<="" bdsfid="371" p="">5 C.12<－5<="" bdsfid="373" p="">D ．1 【答案】 A<－5<="" bdsfid="375" p="">【解析】(x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方．而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．<－5<="" bdsfid="377" p="">因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2<－5<="" bdsfid="379" p="">x<－5<="" bdsfid="381" p="">＝2，解得x ＝1.<－5<="" bdsfid="383" p="">从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为<－5<="" bdsfid="385" p="">222＋（－1）2<－5<="" bdsfid="387" p="">＝25<－5<="" bdsfid="389" p="">5，如图所示．<－5<="" bdsfid="391" p=""><－5<="" bdsfid="393" p="">故|PQ |的最小值为25<－5<="" bdsfid="395" p="">5<－5<="" bdsfid="397" p="">，<－5<="" bdsfid="399" p="">即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝4<－5<="" bdsfid="401" p="">5，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以<－5<="" bdsfid="403" p="">2a －0a －1<－5<="" bdsfid="405" p="">×2＝－1，解得a ＝1<－5<="" bdsfid="407" p="">5.<－5<="" bdsfid="409" p="">13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="411" p="">，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2<－5<="" bdsfid="413" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="415" p="">【解析】利用FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="417" p="">转化长度关系，再利用抛物线定义求解．∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴<－5<="" bdsfid="419" p="">|PQ||PF|＝3<－5<="" bdsfid="421" p="">4<－5<="" bdsfid="423" p="">.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴<－5<="" bdsfid="425" p="">|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝3<－5<="" bdsfid="427" p="">4<－5<="" bdsfid="429" p="">.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.<－5<="" bdsfid="431" p="">14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于3<－5<="" bdsfid="433" p="">4，抛物线E ：y 2＝<－5<="" bdsfid="435" p="">2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：<－5<="" bdsfid="437" p="">x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4<－5<="" bdsfid="439" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="441" p="">【解析】 x 2<－5<="" bdsfid="443" p="">a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为<－5<="" bdsfid="445" p="">x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝<－5<="" bdsfid="447" p="">|a|12＋4a 2＝34<－5<="" bdsfid="449" p="">，解得a ＝<－5<="" bdsfid="451" p="">3<－5<="" bdsfid="453" p="">2或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 2<－5<="" bdsfid="455" p="">3<－5<="" bdsfid="457" p="">－4y 2＝1.因为c ＝<－5<="" bdsfid="459" p="">34＋14<－5<="" bdsfid="461" p="">＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于<－5<="" bdsfid="463" p="">点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|<－5<="" bdsfid="465" p="">（－3）2＋42＝10<－5<="" bdsfid="467" p="">5＝2，即距离之和的最小值为2，选B.<－5<="" bdsfid="469" p="">二、填空题<－5<="" bdsfid="471" p="">15．已知函数y ＝|x 2－1|<－5<="" bdsfid="473" p="">x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是<－5<="" bdsfid="475" p="">__________．<－5<="" bdsfid="477" p="">【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】根据绝对值的意义，<－5<="" bdsfid="479" p="">y ＝|x 2－1|x －1＝<－5<="" bdsfid="481" p="">x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.<－5<="" bdsfid="483" p=""><－5<="" bdsfid="485" p="">在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<1或1<4时有两个交点．<="" bdsfid="486" p=""><－5<="" bdsfid="488" p=""><－5<="" bdsfid="490" p="">16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3)<－5<="" bdsfid="492" p="">【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．<－5<="" bdsfid="494" p="">17．已知变量x ，y 满足约束条件<－5<="" bdsfid="496" p="">?x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值<－5<="" bdsfid="498" p="">为________．【答案】－2<－5<="" bdsfid="500" p="">【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1<－5<="" bdsfid="502" p="">x ＋1<－5<="" bdsfid="504" p="">＝<－5<="" bdsfid="506" p="">y －（－1）<－5<="" bdsfid="508" p="">x －（－1）<－5<="" bdsfid="510" p="">，则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．<－5<="" bdsfid="512" p=""><－5<="" bdsfid="514" p="">18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．【答案】 14<－5<="" bdsfid="516" p="">【解析】如图所示，圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝1，抛物线的焦点F (2，0)，准线x ＝－2.<－5<="" bdsfid="518" p=""><－5<="" bdsfid="520" p="">由y ＝x －2，y 2＝8x ，<－5<="" bdsfid="522" p="">得x 2－12x ＋4＝0，设直线与抛物线交于A (x A ，y A )，D (x D ，y D )，则x A ＋x D ＝12. |AB |＋|CD |＝(|AF |－|BF |)＋(|DF |－|CF |)＝(|AF |－1)＋(|DF |－1)＝|AF |＋|DF |－2，由抛物线的定义得|AF |＝x A ＋2，|DF |＝x D ＋2，故|AB |＋|CD |＝(|AF |＋|DF |)－2＝x A ＋x D ＋2＝14.<－5<="" bdsfid="524" p="">19．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="526" p="">－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．<－5<="" bdsfid="528" p="">【答案】 [－2，0]<－5<="" bdsfid="530" p="">【解析】画出函数|f (x )|的图象，数形结合求解．<－5<="" bdsfid="532" p=""><－5<="" bdsfid="534" p="">作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，<－5<="" bdsfid="536" p="">其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2. ∴a 的取值范围是[－2，0]．<－5<="" bdsfid="538" p="">20．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="540" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="542" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b<－5<="" bdsfid="544" p="">有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (3，＋∞)<－5<="" bdsfid="546" p="">【解析】 f (x )＝?<－5<="" bdsfid="548" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="550" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，<－5<="" bdsfid="552" p="">其顶点为(m ，4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x<－5<="" bdsfid="554" p="">＝m 的交点为Q (m ，m )．①当m>0，<－5<="" bdsfid="556" p="">4m －m 2≥m ，<－5<="" bdsfid="558" p="">即0<="" bdsfid="559" p="" ≤3时，函数f=""><－5<="" bdsfid="561" p="">直线y ＝b 与函数f (x ) 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当?<－5<="" bdsfid="563" p="">4m －m 2<=""><－5<="" bdsfid="566" p="">m>0，即<－5<="" bdsfid="568" p="">m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2<－5<="" bdsfid="571" p=""><－5<="" bdsfid="573" p="">。
六年级数形结合的典型例题
六年级数形结合的典型例题
数形结合是数学中一个重要的概念，通过将数学问题与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解和应用所学知识。
以下是一些六年级数形结合的典型例题，旨在帮助学生进一步巩固和拓展他们的数学能力。
例题1：一个长方形花坛的长度是12米，宽度是8米。
如果一包草
籽足够播种4平方米的面积，那么这个长方形花坛最多可以播种多少包草籽？
解析：这个题目涉及到长方形的面积和乘法运算。
首先，我们可以计算出这个花坛的面积是12米乘以8米，等于96平方米。
然后，我们将96平方米除以每包草籽能够播种的面积4平方米，得到答案24。
所以，这个长方形花坛最多可以播种24包草籽。
例题2：一个正方形的边长是5厘米，如果将它分成4个小正方形，每个小正方形的边长是多少？
解析：这个题目涉及到正方形的边长和分割。
首先，我们知道正方形的四条边都是相等的，所以这个正方形的边长是5厘米。
然后，我们需要将正方形分成4个小正方形，所以每个小正方形的边长应该相等。
通过观察，我们可以将正方形垂直和水平地分割成4个相等的小正方
形，所以每个小正方形的边长是2.5厘米。
通过上述例题，我们可以看到数形结合在解决数学问题中的重要性。
它不仅让学生能够将抽象的数学概念具体化，还能够培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
在六年级的数学学习中，数形结合的例题可以帮助学生更好地理解和掌握各种数学概念，为他们将来的学习打下坚实的基础。
三年级数形结合的典型例题
三年级数形结合的典型例题
一、例题
1. 用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，按照这样的规律，摆n个正方形需要多少根小棒？
二、题目解析
1. 首先我们来分析小棒数量与正方形个数之间的关系：
摆1个正方形时，需要4根小棒，可表示为公式。
摆2个正方形时，我们可以看作第一个正方形用4根小棒，第二个正方形与第一个正方形共用1根小棒，所以只需要再用3根小棒，总共需要公式根小棒，也可表示为公式。
摆3个正方形时，第一个正方形4根小棒，后面两个正方形每个都与前面的正方形共用1根小棒，也就是每个只需3根小棒，总共公式根小棒，同样可表示为公式。
2. 然后我们可以总结出规律：
摆n个正方形时，除了第一个正方形用4根小棒，后面公式个正方形每个都只需3根小棒。
所以总共需要的小棒数量就是公式，化简这个式子：公式。
所以摆n个正方形需要公式根小棒。
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数形结合一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理：2222c b a b a 0.5ab 4=+=-+⨯）（）（解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。
2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222++=+）（解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。
3、证明基本不等式：解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为2ba +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。
4、证明正（余）弦定理：解析：（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 21h a 21S ABC =⇒⋅=⋅=∆的面积； 即sinCc sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinAa 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，； 综上，得正弦定理：2R sinC csinB b sinA a ===。
（2）根据勾股定理22222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即⋅--=⋅--=-；整理可得余弦定理：2acb c a cosB 222-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。
5、证明结论），（，20x sinx x x tan π∈>>解析：如上图所示，根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在），（20x π∈上的图像可看出tanx>x>sinx ，），（20x π∈。
当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当），（20x π∈时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式x 1x R =⋅==θl ，即图中黑色弧线的长度表示x ，显而易见。
红线长度>弧线长度>蓝线长度，即tanx>x>sinx ，），（20x π∈。
6、证明两角差的余弦公式：解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。
左图中，222sin sin cos cos AB ）（）（βαβα-+-=，将B 点旋转至（1，0）处（右图所示）。
此时，222][sin ]1[cos AB ）（）（βαβα-+--=，因为线段AB 的长度没有发生变化，即22sin sin cos cos ）（）（βαβα-+-22][sin ]1[cos ）（）（βαβα-+--=，化简：βαβαβαsin sin cos cos cos +=-）（。
当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。
如左图，11sin cos sin cos OBOA OB OA cos ⋅⋅=⋅=-），（），（）（ββααβα βαβαsin sin cos cos +=。
二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面： 例1 （14奉贤）已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意x 都满足f （x+2）=-f（x ），当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点，则a 的取值范围是答案：），（），（533151⋃ 解析：根据已知条件，f （x ）的周期为4，先画f （x ）一个周期图像，当1≤x<3时，222x -x f x -f 2x 2x f ）（）（），（）（）（-==-=-，由此画出[-1，3）的图像，此为一个周期，图像如下，x log x f x g a -=）（）（只有四个零点即f （x ）与y=x log a 只有四个交点，需分类讨论： （1）当0<a<1时，有两个界值，如下图所示：此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=51此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=31（2）当a>1时，也有两个界值，如下图所示：此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。
评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。
例2 （14闵行）⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<=4x 3708x x 324x 0x log x f 22，，）（，若a 、b 、c 、d 互不相同，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=f （d ），则abcd 的取值范围是 答案：（32，35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c 12c 12c -=-）（，4<c<5，所以答案是（32，35）。
评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。
变式 已知函数f （x ）=||x-1|-1|，若关于x 的方程f （x ）=t （t ∈R ）恰有四个互不相等的实数根432143214321x x x x x x x x x x x x ⋅++<<<），则（、、、的取值范围是答案：（3，4）解析：根据题意，如下图所示，）（，3343432121x 4x x x x x x x 0x x -⋅=⋅=⋅++=+=），（，21x x 4x 3233∈-。
例3 （14杨浦）定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗b a a ba b b a ，，。
已知函数f （x ）=（1+x log x42⊗），若函数g （x ）=f （x ）-k 恰有两个零点，则k 的取值范围是（ ）A.（1，2]；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1） 答案：B解析：⎪⎩⎪⎨⎧≤<>+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≥+=⊗+=4x 0x log 4x x41x41x log x log x 41x log x 41x log x 41x f 22222，，，，）（）（，如下图所示：令g （x ）=f （x ）-k=0，问题转化为函数y=f （x ）与函数y=k 有两个交点，则k ∈（1，2）。
评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等。
例4 （14宝山）关于函数f （x ）=1x x -，给出下列四个命题：①当x>0时，y=f （x ）单调递减且无最值； ②方程f （x ）=kx+b （k ≠0）一定有解；③如果方程f （x ）=k 有解，则解的个数一定是偶数； ④y=f （x ）是偶函数且有最小值。
则其中真命题是 答案：②、④解析：含绝对值、分类讨论。
先画x>1和0<x<1的部分，然后根据偶函数的性质（关于y 轴对称）画出左半部分，函数图像如下图所示：①明显错误；③k=0时，解的个数为1；②、④正确。
评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。
例5 （14奉贤）定义在），（∞+0上的函数f （x ）满足： ①当），3[1x ∈时，⎩⎨⎧<<-≤≤-=3x 2x 32x 11x x f ，，）（； ②f （3x ）=3f （x ）。
设关于x 的函数F （x ）=f （x ）-1的零点从小到大依次记为54321x x x x x 、、、、、 ……，则=++++54321x x x x x 答案：50解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，4321x x x x +++=+5x 2+4+8+10+26=50评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。
2、与三角函数的综合运用：例1 （14十三校联考）已知f （x ）=asin2x+bcos2x （a 、b 为常数），若对于任意内的解为，在区间）（），则方程（）（都有][00x f 125f x f R x ππ=≥∈ 答案：x=32x 6ππ=或 解析：根据“若对于任意）（）（都有125f x f R x π≥∈”可知，当x=125π时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为π，因为函数的最值横坐标与相邻零点之间相差41个周期，即4π，所以在区间[0，π]内的解（即在区间[0，π]内的零点）为x=32x 6x 4125ππππ==±或，即。
评注：本题看似复杂，因为有字母a 、b ，但只要理解了“三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差41个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解了。
例2 （14闸北）设a>0且a ≠1，已知函数f （x ）=）（0x 2x sin22a x >-+π至少有5个零点，则a 的取值范围为 答案：（0，1）⋃（1，2）解析：就是求函数），（在与函数∞+∈-==0x a 2y x sin22y x π上的交点个数，分两种情况：（1）当0<a<1时，在），（∞+∈0x 两个函数图像有无数个交点，如下图所示：所以0<a<1时，满足至少有5个交点（2）当a>1时，如下图所示，在），（∞+∈0x 要至少5个交点，x a 2y -=函数在x=1处要大于0即2-a>0，a<2，满足至少有5个交点。
评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。
例3 （14虹口）函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）（的图像所有交点的横坐标之和为 答案：17解析：画出函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）（的图像，如下图所示：这俩图像都是关于点（1，0）对称，所以它们的交点也是关于点（1，0）对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点（1，0）对称的点，再加上（1，0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。
评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的特性，在这道题中，交点关于点（1，0）对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。