(通用版)2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测(二十二)文

合集下载

2018年高考数学人教A版文科课时跟踪检测2 含解析精

课时跟踪检测(二)[高考基础题型得分练]1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数答案：B解析：依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3⇒/1＜x＜2，故选A.3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0答案：C解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B ⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件答案：C解析：由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．5．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β， ∴m ∥β是α∥β的必要不充分条件．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1答案：A解析：因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a ＞1.观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}为{a |a ≤0或a ＞1}的真子集，故选A.7．给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案：充分不必要解析：若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．8．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案：[0,2]解析：由已知易得{x |x 2－2x －3＞0}为{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}的真子集，又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.9．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案：充要解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．[冲刺名校能力提升练]1．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．如果a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3 答案：A解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2＜3”，故根据否命题的定义知选A.2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④答案：D解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．3．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形，故选A.4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案：(2，＋∞)解析：A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜2x ＜8，x ∈R＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A 为B 的真子集， ∴m ＋1＞3，即m ＞2.5．已知集合B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， ∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二文20180206392

课时跟踪检测（二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12 (k ∈Z)，故选B.2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A. 3．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.4．(2017·湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017·安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.6．(2017·云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017·武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选 D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选 B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：114．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其图象的一条对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：±215．(2017·深圳调研)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．解析：因为f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x ，所以f (x )是周期函数，且最小正周期为T ＝2π2＝π，所以①②错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，－π4≤x ≤π4，此时f (x )是增函数，所以③正确；由2x ＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π4＋k π2(k ∈Z)，取k ＝1，则x ＝3π4，故④正确．答案：③④16．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos 2ωx ＋2φ 2＋1＝A2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 016π2＋sin 2 017π2＋2×2 017＝504×0－sin π2＋4 034＝0－1＋4 034＝4 033.答案：4 033B 组——能力小题保分练1．曲线y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4和直线y ＝12在y 轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 3P 7|＝( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解析：选B y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y ＝12在y 轴右侧与函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在每个周期内的图象都有两个交点，又P 3与P 7相隔2个周期，故|P 3P 7|＝2π，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0解析：选D 因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－π12，π6上单调且最大值不大于3，又－π6＋φ<2x ＋φ≤π3＋φ，所以2×π6＋φ≤π3，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ≥－π2，解得－π3≤φ≤0，故选D.3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称 C ．若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－3 ]D ．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象解析：选C 根据题中所给的图象，可知函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴当x＝－2π3时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝－π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin(－π)＝0，从而f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0对称，而不是关于直线x ＝－2π3对称，故A 不正确；当x ＝－5π12时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－π2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称，而不是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，故B 不正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，f (x )∈[－2， 3 ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－ 3 ]，故C 正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度得到f (x )的图象，故D 不正确．故选C.4．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x ；④f (x )＝2sin x ＋ 2. 其中互为生成函数的是( ) A ．①②B ．①④C ．③④D ．②④解析：选 B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f (x )＝sin x 不与其他函数互为生成函数；同理①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4(④f (x )＝2sin x ＋2)的图象与②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，∴①④互为生成函数，故选B.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则( )A ．f (1)<f (－1)<f (0)B ．f (0)<f (1)<f (－1)C ．f (－1)<f (0)<f (1)D ．f (1)<f (0)<f (－1)解析：选C 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，故f (x )＝A sin(2x ＋φ)，因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ>0，故可取k ＝1，则φ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (－1)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋π6<0，f (1)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2＋π6>0，f (0)＝A sin π6＝12A >0，故f (－1)最小．又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2>sin π6，故f (1)>f (0)．综上可得f (－1)<f (0)<f (1)，故选C.6．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z.令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π4。

通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三文

课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B. 2．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e x cos x －e xsin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.3．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，而直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＝k ，k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.4．若下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－53解析：选A 由题意知，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∵a ≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1.由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，f (1)＝13－1＋1＝13.5．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x＝x －x －x>0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．[3，＋∞) C ．[－2,3] D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．－427，0B ．0，－427C.427，0 D ．0，427解析：选C 由题意知，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x＝13或x ＝1，易得当x ＝13时，f (x )取极大值427，当x ＝1时，f (x )取极小值0. 8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)。

2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测五理科数学(含答案)

课时跟踪检测（五）一、选择题1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B 由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π. 2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 解析：选A 由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sin A ＋sin B ＋sin C ＝1＋32，故选A. 3．若函数f (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内存在零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，2 C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1]解析：选C 设x 0为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内的一个零点，则2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3－2＝0，所以m ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3.因为0≤x 0≤5π12，所以π3≤2x 0＋π3≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3≤1，所以m ≤－2或m ≥1，故选C.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2 解析：选C 在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2³3x ³79，解得x ＝3.故BD ＝DC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12³5³22＝52，故选C. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A 由射影定理可知a cos C ＋c cos A ＝b ，则(a cos C ＋c cos A )sin B ＝b sin B ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则有b sin B ＝12b ，sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，则B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝π6. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→²CP ―→＝－32，则λ＝( ) A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→²CP ―→＝(－1－λ，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12. 二、填空题7．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a²b b²b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b²a a²a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1. 又|a |≥|b |>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a <1. ∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12. ①³②，得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴12<12(a ∘b )<1，即1<a ∘b <2，∴a ∘b ＝32. 答案：328.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD的中点，则向量AP ―→与AQ ―→的夹角的余弦值为________．解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AQ ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以cos ∠PAQ ＝AP ―→²AQ ―→|AP ―→||AQ ―→|＝154＋347³3＝32114. 答案：321149．(2017²石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组。

2018年高考数学人教A版文科课时跟踪检测12 含解析精

课时跟踪检测(十二)[高考基础题型得分练]1．某企业投入100万元购买了一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为() A．10 B．11C．13 D．21答案：A解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x(x＋1)x＝x＋100x＋1.5(x∈N*)，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号，故选A.2．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为()A．3 B．4C ．5D ．6答案：C解析：由题图，易求得y 与x 的关系式为y ＝－(x －6)2＋11，则yx ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤12－10＝2，∴yx 有最大值2，此时x ＝5.3．[2017·辽宁五校联考]一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米答案：D解析：已知s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.4．[2017·山东青岛模拟]世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率约为(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%答案：C解析：设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以1＋x ≈100.007 5，得1＋x ≈1.017，所以x ＝1.7%.5．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．答案：4.24解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案：14a 2解析：令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．7．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为________．答案：10解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e n t，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案：20解析：设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形的性质可得x40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.9．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 交AF 于点Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 110 .即每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12 m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12 ，所以m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n .令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12 32 ，即n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．[冲刺名校能力提升练]1．某地一天内的气温Q (t )(单位：℃)与时刻t (单位：时)之间的关系如图所示，令C (t )表示时间段[0，t ]内的温差(即时间段[0，t ]内最高温度与最低温度的差)，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是( )A BC D答案：D解析：当0<t<4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；当4<t<8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A，B，故选D.2．[2017·北京朝阳统一考试]设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A．15 B．16C．17 D．18答案：B解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t万元，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.3．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10 000元，每天需要交房租、水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P (元)与店面经营天数x 的关系式是P (x )＝⎩⎨⎧300x －12x 2，0≤x ＜300，45 000，x ≥300，则总利润最大时店面经营天数是________．答案：200解析：设总利润为y 元，由题意可知，当0≤x ＜300时，y ＝300x －12x 2－100x －10 000＝－12(x －200)2＋10 000，所以当x ＝200时，y max ＝10 000；当x ≥300时，y ＝45 000－100x －10 000≤5 000.综上可知，当x ＝200时，总利润最大，为10 000元．4．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？解：(1)C (0)实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．由C (0)＝k100＝24，得k ＝2 400，所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x ，x ≥0.(2)因为y ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号，所以当x 为55平方米时，y 取得最小值，为57.5万元．。

18高三二诊文科数学答案.doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷文科数学参考答案一、选择题1〜6 BABCBC 7〜12 BADCCD第(12)题提示：圆(% + 3sin a) + (y + 3cos a) =1 的圆心(-3sin a, - 3cosa )在圆 + 上，当a改变时，该圆在绕着原点转动，I,,集合4表示的区域是如右图所示的环形区域，直线3x + 4y+10 = 0恰好与环形的小圆相切，//Z所以4 B所表示的是直线3x + 4y+10 = 0截([(。

—尹彳—广圆x2 + y2=16所得的弦长.二、填空题(13) 64 (14) 8 (15) 3 (16) 7第(16)题提示：PF? - PF]二QF? = 2a , QF\ - QF? = 2a , QF\ = 4a，在^QF\F^中由余弦定理，FF i=QF2 +QF2 -2QF QFcosl20得，1 2 1 2 1 24c2 =16/ + 4/ 一2 4a -2a -cosl20 n e =福三、解答题(17)(本小题满分12分)解：(I) 3S n = (n + 2)a n , 3S〃_i = (〃+l)a〃_i两式相减，3a n = (n + 2)a n - (n -\-l)a n _i ,缶-=巴旦，其中2"j n -1累乘得，a =0+1)〃a =旳+1)，其中心2，又a =2n 2 1 1a n = n(n +1)(II) _1 +J.+ + 丄=—+— + + ___________________ J_a a a 12 2 3 n(n +1)1 2 n111 11 1= (1—2)+( 2一3)+n~n~^V> = 1 ~n +1 < 1(18)(本小题满分12分)解：(I ) x = 6.5 , y = 20A (5 - 6.5)(15 - 20) + (6 - 6.5)(17 一20) + (7 - 6.5)(21 - 20) + (8 - 6. 5)(27- 20) "b=(5 - 6.5)2 + (6_6.5)2 + (7 _ 6.5)2 + (8- 6.5)2a" = 20 - 4x6.5 = -6 ,回归方程为= 4x - 6(II)当x = 9时，y = 30 ,预测该社区在2019年投资金额为30万元.4月调研测试卷•文科数学参考答案第1页共3页（19）（本小题满分12分）解：（I ）设P 为ABi 中点，连结NP ,则NP 』2 BB I 又MO^2AA \ ＞所以MOPN 为平行四边形，MN//OP MN// 平面AOBi（II ） V A-MON V B-Ci Ai A =1 卫 =_L AMO 2 N — AC\O 4 BB / / 平而 AA C , VI I IV _ = 1N -Ci Ai A g =v B-Ci Ai A Bi -Ci Ai A V =1 V 二Bi -Ci A] A _ 3 ABC-A1B1C1:.V =A-MON 12 (20)(本小题满分12分)b 3 解：(I )由题 PM = MF? — MF\ ,PF2 -L FyF? , PF? — 2OM~= p = 2 联立 a = + F 和c =1 解得 / 二 4 , x b 2 =3 ,所求椭圆方程为—+ — = 14 3拓，联立椭圆方程得_^3 （4点2 + 3）x 2 + 8/3 k=0 , x =-五k , * = -- k =血k ,4k'+ 3 2 _4 4 + 3k~k 2 +3由题，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B'S',则得到的直线S'T'与ST 关于x 轴对称, 所以若直线ST 经过定点，该定点一定是直线S'T'与ST 的交点，该点必在y 轴上.（kx +_ x （—丄 x + f ）设该点坐标（0, f ）,= y2 -yi ，t = 刃也二卫卫= i: i k ?_______（II ）设 S （兀1,刃），T 他，yi ），直线 BS :y = kx -x1代入X , X 化简得t =1 27X - X2 1ST 经过定点(0, 也)7 2 1x -x2(21)(本小题满分12分) 解：(I ) ' v 3 3 o —1 — )— /(x) = e (x 屮 x 2 = 由题'W 在，恒成立,/⑴ 0 (0+8) 设 g (x) = (-.¥ 2 + 3x - 3) -e x(x)在(0, 1)上单调递增，gmax (x) = g (1) = —e > a3 a 2 -x +3兀一3 % a2 —兀・e 兀2—x + 3x — 3 x 2X 1 0o a (II) /(%) = (兀一l)e"+ 兀=2o 2x -e，g©) = e" (J + x) g 在(1, +oo)上单调递减. e[-e 9 + GO )a 3 兀=2 —( JQ -l)e x,其中 x > 0 2(—兀 + 3 兀—3):.a = 2x- (3 - x)e x , x > 0令 h(x) = 2x- (3 - x)e x , h f (x) = 2 + (兀一 2)e x , h'\x) = (x -l)e4月调研测试卷•文科数学参考答案第2页共3页丹(兀)在(一8, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，由h f(0) = 0 又丹⑵=2〉0 ,所以存在期)〉0 ,使h'(x)在(0, %o )上满足h\x) < 0 ,在(兀0，+00)上满足h r(x) > 0 ,即/z(兀)在(0,兀。

2018年高考数学二轮复习专题(通用版)课时跟踪检测十一文科数学(含答案)

课时跟踪检测（十一）一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：选 C 由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，如图所示，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C.2．(2017·西安模拟)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm ，深2 cm 的空穴，则该球的表面积是( )A ．100π cm 2B ．200π cm 2C.400π3cm 2D ．400π cm 2解析：选D 设球的半径为r ，如图所示阴影部分以上为浸入水中部分，由勾股定理可知，r 2＝(r －2)2＋62，解得r ＝10.所以球的表面积为4πr2＝4π×100＝400π cm 2.3．(2018届高三·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L ，过顶点的最大截面的面积为12L 2，则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选D 设圆锥的高为h ，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S ＝12L 2sinθ，而0<sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L >r ≥L cos 45°＝22L ，所以22≤r L<1.4．(2017·太原模拟)如图，已知在多面体ABC DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 过点C 作CM ∥AB ，过点B 作BM ∥AC ，且BM ∩CM ＝M ，取DG 的中点N ，连接FM ，FN ，CN ，CF ，如图所示．易知ABMC DEFN 是长方体，且三棱锥F BCM 与三棱锥C FGN 的体积相等，故几何体的体积等于长方体的体积4.故选B.5．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：选B 设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积V ＝πr 2h ≈3×r 2×1313＝2 000×1.62，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.6．(2017·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD ，PQ ⊥QR .设AB ＝BD ＝CD ＝1，CP ＝x (0≤x ≤1)，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，又由题知PR ⊥BD ，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，结合选项知选A.二、填空题7．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是顶角的余弦值为0.5的等腰三角形．在容器内放一个半径为r 的铁球，并注水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为________．解析：如图所示，作出轴截面，因轴截面是顶角的余弦值为0.5的等腰三角形，所以顶角为60°，所以该轴截面为正三角形．根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面所在圆的半径为3r ，则容器内水的体积V ＝13π·(3r )23r －43πr 3＝53πr 3.将球取出后，设容器中水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r ，所以这时容器中水的深度为315r .答案：315r8．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝AC ＝BC ＝23，则球O 的表面积为________．解析：设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以△ABC 为正三角形，其外接圆的半径r ＝232sin 60°＝2，因为OO 1⊥平面ABC ，所以OA 2＝OO 21＋r 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＋22，解得R 2＝16，所以球O 的表面积为4πR 2＝64π.答案：64π9．(2017·云南调研)已知四棱锥P ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P ABCD 体积的最大值为________．。

2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测专题(通用版)(二)平面向量与复数文 Word版含答案

课时跟踪检测（二）平面向量与复数1．(2017²全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i.2．(2017²全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i ＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017²沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23B.23C.38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3³12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三²西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6 B.π3C.π4D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ²b ＝0，而a ²(b －a )＝a ²b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017²湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )²b ＝0，即(3x ，3)²(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝ ±1 2＋ 3 2＝2.6．(2017²广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( )A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三²云南调研)在▱ABCD 中，|AB |―→＝8，|AD |―→＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→²NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→²NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)²(NC ―→＋CM ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋23 AD ―→²⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－13 AD ―→＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12³82－29³62＝24. 8．(2018届高三²广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝ 1＋i 21＋i 1－i＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322C ．3 5D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ²CD ―→＝(－2，－1)²(5,5)＝－15，|BA |―→＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→²CD ―→|BA |―→＝－155＝－3 5.10．(2018届高三²湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ²b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017²长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCD S △ABD＝( )A.16 B.13C.12D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC，所以S △BCD S △ABD ＝13.12．(2017²惠州模拟)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)²(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A (OB ―→－OC ―→)²(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，即CB ―→²(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)²(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形． 13．(2017²成都模拟)若复数z ＝a i1＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i1＋i ＝a i² 1－i 1＋i 1－i ＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a 2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(2017²兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝ 1＋2m 2＋ 4m －3 2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三²石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1²y 1＋x 2²y 2＋x 3²y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1²y 1＋x 2²y 2＋x 3²y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ²n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cosπ3＋λ2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ²n ＋m ²n ＋m ²n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→²CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→²CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )，其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→²CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→²CD ―→的取值范围为[－1,0]；当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→²CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→²CD ―→的取值范围为[－1,0]．答案：[－1,0]。

[推荐学习]通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十理

课时跟踪检测（二十）一、选择题1．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交，且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( )A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选B 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，由题意知圆心E 到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA ―→·AF ―→＝y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2D ．－3解析：选 A 由条件易知△OAB 为正三角形，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OB ―→|·cos π3＝2.又由M 为AB 的中点，知OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53 OA ―→－23OB ―→·12(OA ―→＋OB ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝3.6．(2017·武昌调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 由题可知，双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5. 二、填空题7．设P ，Q 分别为圆x 2＋y 2－8x ＋15＝0和抛物线y 2＝4x 上的点，则P ，Q 两点间的最小距离是________．解析：由题意知，圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则圆心C (4,0)，半径为1.由题意知P ，Q 间的最小距离为圆心C (4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设以(4,0)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝r 2，与y 2＝4x 联立，消去y 整理得，x 2－4x ＋16－r 2＝0，令Δ＝16－4(16－r 2)＝0，解得r ＝23，所以|PQ |min ＝23－1.答案：23－18．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 9．(2017·洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OF ―→＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OF ―→)＋(OB ―→－OF ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，则x 1x 2＝－4；①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0.②由①②解得x 21＝2，x 22＝8，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[]y 1＋＋y 2＋＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝94.答案：94三、解答题10．(2017·合肥质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，过点A 2作直线l 与x 轴垂直，点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点)，连接PA 1交直线l 于点B ，点Q 为线段A 2B 的中点，求证：直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．解：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33，1a ＋43b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴椭圆E 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠0且x 0≠±3)，则直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，令x ＝3，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23y 0x 0＋3，则线段A 2B 的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0＋3，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－3y 0x 0＋3x 0－3＝x 0y 0x 20－3. ①∵P 是椭圆E 上的点，∴x 203＋y 202＝1，即x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 202，代入①式，得k PQ ＝－2x 03y 0，∴直线PQ 的方程为y －y 0＝－2x 03y 0(x －x 0)，将其与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝－2x03y 0x －x 0，x 23＋y 22＝1.又2x 20＋3y 20＝6，整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0， ∵Δ＝0，∴直线PQ 与椭圆E 相切，即直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．11．(2018届高三·广西三市联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1， ①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m m 2＋，∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.当m ＝0时，k ＝0；当m ≠0时，k ＝m4m 2＋4＝14m ＋4m， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18， ∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综上可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.12．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2.∴椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设AC 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k ，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k 23＋4k2.∵直线BD 的斜率为－1k，∴|BD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝＋k 23k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k2＋k 2＋3k 2＋4＋k 2＝712. 综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．。

跟踪检测(二十二) 弱电解质的电离

跟踪检测（二十二）弱电解质的电离1．(2017·沈阳二中月考)在0.1 mol·L－1NH3·H2O溶液中存在平衡：NH3＋H2O NH3·H2O NH＋4＋OH－。

下列叙述中正确的是()A．加入少量浓盐酸，盐酸与NH3反应生成NH4Cl，使NH3浓度减小，NH＋4浓度增大，平衡逆向移动B．加入少量NaOH固体，OH－与NH＋4结合生成NH3·H2O，使NH＋4浓度减小，平衡正向移动C．加入少量0.1 mol·L－1NH4Cl溶液，电离平衡常数不变，溶液中c(OH－)减小D．加入少量MgSO4固体，溶液pH增大解析：选C加入少量浓盐酸，首先发生H＋＋OH－===H2O，使OH－浓度降低，平衡正向移动；加入少量NaOH固体，使OH－浓度升高，平衡逆向移动；加入少量NH4Cl溶液，使NH＋4浓度升高，平衡逆向移动，溶液中c(OH－)减小；Mg2＋＋2OH－===Mg(OH)2↓，溶液中c(OH－)减小，溶液pH减小。

2．(2013·上海高考)H2S水溶液中存在电离平衡H2S H＋＋HS－和HS－H＋＋S2－，若向H2S溶液中()A．加水，平衡向右移动，溶液中氢离子浓度增大B．通入过量SO2气体，平衡向左移动，溶液pH增大C．滴加新制氯水，平衡向左移动，溶液pH减小D．加入少量硫酸铜固体(忽略体积变化)，溶液中所有离子浓度都减小解析：选C向H2S溶液中加水，平衡向右移动，但溶液体积增大，溶液中H＋浓度减小，A错误。

通入SO2，可发生反应：2H2S＋SO2===3S↓＋2H2O，SO2过量时，SO2与水反应生成的H2SO3酸性比氢硫酸强，因此溶液pH减小，B错误。

滴加新制氯水，发生反应：H2S＋Cl2===2HCl＋S↓，H2S浓度减小，平衡向左移动，反应生成的盐酸为强酸，溶液酸性增强，pH减小，C正确。

加入少量CuSO4，发生反应：CuSO4＋H2S===CuS↓＋H2SO4，溶液中S2－浓度减小，H＋浓度增大，D错误。

课时跟踪检测(二十二) 民主集中制：我国人民代表大会制度的组织和活动原则

课时跟踪检测(二十二)民主集中制：我国人民代表大会制度的组织和活动原则一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．辛亥革命后，中国开始效仿西方的议会民主。

1913年春，国民党在国会选举中获得了多数席位，其民主派代表宋教仁准备以多数党身份组阁，竟遭军阀集团刺杀身亡。

1923年，北洋军阀曹锟以5 000银元一票的价格收买国会议员590人，被选为大总统，史称为“贿选总统”。

上述事实证明了()①西方的资本主义民主制在中国行不通②人民代表大会制度的建立具有历史必然性③西方的议会民主不是真正的民主制度④中国不具备建立民主制度的历史条件A．①②B．②③C．③④D．①④2．倍加珍惜、长期坚持人民代表大会制度，是因为人民代表大会制度()①与我国人民民主专政的国体相适应②具有显著的优越性③是中国社会主义政治文明的重要制度载体④以民主集中制为其组织和活动原则A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④2013年3月，十二届全国人大一次会议在京召开。

会上，代表们先后听取和审议了国务院、最高人民法院、最高人民检察院的工作报告。

据此回答3～4题。

3．在十二届全国人大一次会议上，代表们先后听取和审议了国务院、最高人民法院和最高人民检察院的工作报告。

这表明()A．国家机构实行民主集中制原则B．国家机构实行依法治国原则C．国家机关要对全国人大负责，不能独立行使其职权D．国家机关要对人民负责4．下列对我国的人民代表大会制度与美国政体的区别，表述正确的是()A．二者都是民主共和制B．美国政体三权分立、相互制衡，我国的人民代表大会制度使国家权力高度集中C．美国政体是按照三权分立制的原则组织的，而我国的人民代表大会制度则是按照民主集中制原则组织活动的D．美国政体是资产阶级专制的体现，人民代表大会制度是人民当家作主的重要形式5．近年来，全国人大在立法过程中，突破了“小范围立法”模式，推行“开门立法”，在立法过程中，越来越注重公众的参与，广泛征求方方面面的意见，这有利于()①增强公民的民主意识②提高立法的质量③人民直接行使国家立法权④反映民意，集中民智A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④6．安徽省某乡副乡长李某，因为发展乡村集体经济有功，在乡政府换届选举中当选为乡长。

2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十二二项散布北师大版选修2_3

(2)其中恰有3次击中目标的概率．
8．(四川高考)某居民小区有两个彼此独立的平安防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率别离为和p.
(1)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次彼此独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率散布列．
课时跟踪训练(十二) 二项散布
1．假设X～B ，那么P(X＝2)＝( )
A. B.
C. D.
2．在4次独立重复实验中，事件A发生的概率相同，假设事件A至少发生1次的概率为，那么事件A在1次实验中发生的概率为( )
AHale Waihona Puke B.C. D.3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，通过3次射击，这人至少有2次击中目标的概率为( )
答案
1．选D∵X～B ，
∴P(X＝2)＝C 2 4＝ .
2．选A 事件A在一次实验中发生的概率为p，由题意得1－C p0(1－p)4＝ .因此1－p＝，p＝ .
3．选A 至少有2次击中目标包括以下情形：
只有2次击中目标，现在概率为
C ×0.62×(1－0.6)＝，
3次都击中目标，现在的概率为C ×0.63＝，
答案：
7．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确信的情形下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，因此只有一种情形，又各次射击的结果互不阻碍，故所求其概率为
P1＝ × × × × ＝；
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X～B(5， )，故所求其概率为
5．解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝C pk(1－p)2－k，k＝0,1,2.

2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测(通用版)(二十二)文 Word版含答案

2018年高考仿真卷文科数学试卷(二)含解析答案

2018高考仿真卷²文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A²x-ay-c=0与bx+sin B²y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD=,则球O的表面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)²cos x 的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2018高考仿真卷²文科数学(二)1.B解析 (方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C 的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以²2R2²R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=.所以该几何体的体积V=³1³.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x²cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解 (1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2³(3c)³c³=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解 (1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40³0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40³0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),( A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种, 则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB²DD1=³2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解 (1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：(高考22题) 12+4分项练15(含答案解析)

12＋4分项练15 算法与复数1．(2017·全国Ⅱ)3＋i1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 2．(2017届福建省厦门外国语学校适应性考试)复数z ＝2i 1＋i＋i 5的共轭复数为( ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．i －1 D ．1－i答案 A解析根据题意化简得z ＝1＋2i ，z ＝1－2i ，故选A.3．(2017届安徽省蚌埠市质检)复数(a －i)(1－i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析由题意可得(a －i)(1－i)＝a －i －a i ＋i 2＝(a －1)－(a ＋1)i ，结合题意可知，a －1＝－a －1 ，解得a ＝0. 故选B.4．(2017·福建省泉州市质检)已知复数z ＝a ＋i(a ∈R )．若|z |<2，则z ＋i 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析因为|z |＝a 2＋1<2，所以a 2<1，而z ＋i 2＝a －1＋i 中，a －1<0，b ＝1>0，所以z ＋i 2在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.5．如图，在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A 和B ，则z 2z 1等于()A.15＋25iB.25＋15i C ．－25－15iD ．－15－25i答案 D解析由题图得z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 2z 1＝i －2－i ＝－i (2－i )(2＋i )(2－i )＝－15－25i ，故选D.6．(2017·河北省衡水中学模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于()A ．－23tanπ9－21B.tan 25π9－3tanπ9－22C ．－23tanπ9－22D.tan 25π9－3tanπ9－21答案 A 解析由题可知S ＝tan4π9tan 3π9＋tan 5π9tan 4π9＋tan 6π9tan 5π9＋…＋tan 24π9tan 23π9，即S ＝tan 4π9－tan 3π9tan π9－1＋tan 5π9－tan4π9tanπ9－1＋tan 6π9－tan 5π9tan π9－1＋…＋tan 24π9－tan23π9tanπ9－1＝－23tan π9－21，即得S ＝－23tanπ9－21.7．(2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2答案 D解析因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以▭内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1 000”．故选D.8．(2017·泉州质检)执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数f (x )(x ∈R )的表述，正确的是( )A ．f (x )是奇函数，且为减函数B ．f (x )是偶函数，且为增函数C ．f (x )不是奇函数，也不为减函数D ．f (x )不是偶函数，也不为增函数答案 D解析因为输出i ＝0，根据框图，应该有a －b ≠0，a －b ≤0，即f (m )≠f (－m )，f (m )≤f (－m )，又m >－m ，所以函数不是偶函数，也不是增函数，故选D.9．(2017届湖南省长沙市一中模拟)如图，若N ＝10，则输出的S 值等于( )A.109B.910C.1011D.1211答案 C解析阅读流程图可得，该流程图计算的数值为S ＝0＋11×2＋12×3＋…＋＋110×11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C.10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出v 的值为( )A ．16B ．18C ．48D ．143答案 C解析初始值n ＝3，x ＝3，程序运行过程如下：v ＝1，i ＝2，满足条件i ≥0，执行循环体，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1；满足条件i≥0，执行循环体，v＝5×3＋1＝16，i＝0；满足条件i≥0，执行循环体，v＝16×3＋0＝48，i＝－1，不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48，故选C.11．(2017届辽宁省锦州市质检)执行如图所示的程序框图，则输出i的值为( )A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009答案 D解析n＝1，r＝0，s＝1，r＋s＝1，i＝1,1<2 017；n＝2，r＝－1，s＝0，r＋s≠1；n＝3，r＝0，s＝－1，r＋s≠1；n＝4，r＝1，s＝0，r＋s＝1，i＝2,4<2 017，上述循环为一个周期，且i表示r＋s＝1出现的次数，一个周期出现2次．当n＝2 017时结束循环，2 017＝504×4＋1，所以i＝504×2＋1＝1 009.故选D.12．(2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学二模)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3,2，则输出的n等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 a ＝3，b ＝2，a ＝3＋32＝92，b ＝4，92≥4，所以n ＝2，进入循环a ＝92＋94＝274，b ＝8，274≤8，所以输出n ＝2，故选A.13．(2017届上海市宝山区二模)已知复数z 满足2i·z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 答案 1解析由题意得z ＝1＋i 2i ＝22－22i ，所以|z |＝1.14．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2 解析 ∵a ∈R ， ∴a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i5＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.15．(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)如图所示程序框图，则输出的k的值是________．答案 3解析由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当S＝1，k＝1时，S＝1＋12＝2<10，k＝1＋1＝2；当S＝2，k ＝2时，S＝2＋22＝6<10，k＝1＋2＝3；当S＝6，k＝3时，S＝6＋32＝15>10，此时运算程序结束，输出k＝3. 16．(2017·孝义质检)现有若干(大于20)件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品．如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中m表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是________．答案14,19解析因为上述程序框图的功能是将20件药材中的优质品的个数统计出来．按照规定每件中药材重量不小于15克为优质品，因此m＞14.样本容量是20，因此n＞19.因此应该填写的数字依次是14,19.。

通用版2018届高考数学二轮复习课时跟踪检测三文

课时跟踪检测（三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质量检测)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1 C. 3D ． 2解析：选D 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得1sin π6＝b sinπ4，即112＝b22，∴b ＝2，故选D.2．(2017·张掖模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B ＝( )A.74B.34C.73D.13解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，得b 2－a 2＝12ac ，∵c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，则sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 3．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12解析：选A ∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， ∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－2.4．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则B ＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B 由题意知2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，根据正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cosC ＋cos A sin C ，即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B ，解得cos B ＝12，所以B ＝60°.5．(2018届高三·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210B.7210 C ．－210D.210解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 6．(2017·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sinB ＋sinC )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.7．(2017·惠州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.2＋1B.3＋1 C ．2D. 5解析：选B 由正弦定理bsin B ＝csin C，得sin B ＝b sin Cc ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 8．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝4a ＋2b－5且a 2＝b 2＋c 2－bc ，则sin B 的值为( )A.32B.34 C.22D.35解析：选B 由a 2＋b 2＝4a ＋2b －5可知(a －2)2＋(b －1)2＝0，故a ＝2且b ＝1.又a 2＝b 2＋c2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故sin A ＝32.根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B＝322＝34，故选B. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，即b 2－c 2＝0，∴b ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形，故选C.10．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB＝255或cos ∠DCB ＝－255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A＝233，故选D. 11．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos∠A ＝( )A.223 B.24 C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin ∠A ，所以BD ＝AD ＝22sin ∠A .因为AD ＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC ，得22sin ∠A 32＝4sin 2∠A ，整理得cos ∠A ＝64.12．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0，∴cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)．二、填空题13．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°14．(2017·广州模拟)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34，∴S △ABC ＝12ac sinB ＝32.答案：3215．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b＝277，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝217，∴tan A ＝sin A cos A＝32. 答案：3216．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.答案： 5B 组——能力小题保分练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝( )A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C. 2．(2017·合肥质检)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sinA ＋sinB )＝(c －b )·sinC ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sinπ3＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4 ⎩⎪⎨⎪⎧1－cos 2B 2＋1－A ＋B2⎭⎪⎬⎪⎫＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则2B－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]，故选A.3.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m .答案：1504．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________.解析：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，AB ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a . 在Rt △ACD 中，AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12BC ·AD ，即12×23a×53a ·sin∠BAC ＝12a ·13a ，∴sin ∠BAC ＝31010.答案：310105.如图，在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝255，则AC ＝________. 解析：因为BD ＝2DC ，设CD ＝x ，AD ＝y ，则BD ＝2x ，因为cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝255，所以sin ∠DAC ＝1010，sin ∠C ＝55，在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin ∠C ＝CD sin ∠DAC ，即y 55＝x1010，即y ＝2x .又cos ∠ADB ＝cos(∠DAC ＋∠C )＝31010×255－1010×55＝22，则∠ADB ＝π4.在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ×AD cos π4，即2＝4x 2＋2x 2－2×2x ×2x ×22，即x 2＝1，所以x ＝1，即BD ＝2，DC ＝1，AD ＝2，在△ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ×AD cos 3π4＝5，得AC ＝ 5.答案： 56．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________. 解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ，即32＝12×2×6×sin∠BCA ，所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC >∠BDC ＝π4，所以∠DAC <3π4，又∠DAC＝∠ABC ＋∠ACB ，所以∠ACB <3π4，则∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA ＝2＋6－2×2×6×32＝2，所以AB ＝2＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠ABC ，即622＝CD12，解得CD＝3.答案： 3。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练全集及答案(共33份)

跟踪强化训练(一)一、选择题1．(2017·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. [答案] B2．(2017·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝3＋112＝7时，S n取得最大值．故选C.[答案] C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)[解析] 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.[答案] A4．(2017·济南一模)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2[解析] 由原式得m＝x－1－x，设1－x＝t(t≥0)，则m＝1－t2－t＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122，∵m＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0时，m的最大值为1，故选A.[答案] A5．(2017·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.[答案] D6．(2017·杭州质检)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 [解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 22p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝－y ，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．[答案] C 二、填空题7．(2017·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝x －－x ＋x －2＝－2x －2，将x ＝3代入，得曲线y＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －28．(2017·南昌模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 利用双曲线的性质建立关于a ，b ，c 的等式求解．如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．[答案] 29．(2017·衡水中学检测)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.令f (h )＝16h＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增．所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] 2 3 三、解答题10．(2017·湖南湘中联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． [解] (1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2，∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 11．(2017·合肥模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. [解] (1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95.∵d 为整数，∴d ＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1－2n－2n＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝⎛⎭⎪⎫1－19＝49.12．(2017·长沙模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解] (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b4a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3[解析] 设k ＝yx －2，如图所示，k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k PA ＝－tan ∠OPA ＝－33，且k PA ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B.[答案] B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案] B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中阴影部分所示．ba可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a<－12.故选C. [答案] C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝x －2＋y ＋32.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案] (－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，19．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n(n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎪⎫1－12n<8－2π.跟踪强化训练(三)一、选择题1．(2017·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] 解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D. [答案] C2．(2017·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案] B3．(2017·太原模拟)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析] 每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案] D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[解析] 当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 1＋b 2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝233.故选B. [答案] B5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D. [答案] D6．如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB 1D 1平行的直线有( )A ．18条B ．20条C．21条D．22条[解析] 设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P 平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案] C二、填空题7．(2017·郑州模拟)过点P(3,4)与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由|k－0＋4－3k|k2＋1＝2，得k＝34.此时直线方程为y－4＝34(x－3)，即3x－4y＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或833.[答案] 43或8339．(2017·深圳模拟)若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得S n>60n＋800成立．当a n＝4n－2时，S n＝n[2＋n－2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当a n＝2时，不存在满足题意的n；当a n＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.12．(2017·唐山模拟)已知函数f (x )＝ax＋ln x －2，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝a x＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x(x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线 y ＝－32x ＋1，∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8.∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)． (2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x2(x >0)．(ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝ae2＋lne 2－2＝a e 2，由ae2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝aa＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.跟踪强化训练(四)一、选择题1．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2[解析] y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.[答案] D2．(2017·沈阳质监)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tanA2tan C2的值为( ) A.15 B.14 C.12 D.23[解析] 令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意．则由∠C ＝90°，得tan C2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.∴tan A 2·tan C 2＝12·1＝12，选C.[答案] C3．(2017·山西四校联考)P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可．∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.故选D.[答案] D4．(2017·保定模拟)函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(1)＝0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．∵当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴当x<0时，g′(x)>0，∴函数g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)＝g(x)(x∈R)，∴函数g(x)在R上为偶函数，由f(1)＝0，得g(1)＝0，函数g(x)的图象大致如图所示，∵f(x)<0，∴x≠0，g xx<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g x 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g x ，由函数图象知，－1<x <0或x >1.∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．故选B. [答案] B5．(2017·南昌调研)某重点中学在一次高三诊断考试中要安排8位老师监考某一考场的语文、数学、理综、英语考试，要求每堂安排两位老师且每位老师仅监考一堂，则其中甲、乙老师不监考同一堂的概率是( )A.314B.67C.37D.17[解析] 利用间接法，安排8位老师监考某一考场的方法共有C 28C 26C 24C 22种，而安排甲、乙两位老师监考同一堂的方法有C 14C 26C 24C 22，所以甲、乙两位老师不监考同一堂的概率为1－C 14C 26C 24C 22C 28C 26C 24C 22＝1－17＝67，故选B.[答案] B6．(2017·江南十校联考)若α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2[解析] 令f (x )＝x sin x ，则f ′(x )＝sin x ＋x ·cos x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，f (x )为偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．∴αsin α－βsin β>0⇔f (|α|)>f (|β|)⇒|α|>|β|⇒α2>β2，故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·安徽省合肥市高三二检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． [解析]因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.[答案] [1，＋∞)8．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．[解析] 因为AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)×AB →·AC →－4λ＋9＝0，AB →·AC →＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，所以－3(λ－1)－4λ＋9＝0，得λ＝127.[答案]1279．(2017·赣中南五校联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值为________．[解析] 连接A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，使与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连接A 1C .则A 1C 的长度就是所求的最小值．易知∠A 1C 1B ＝90°，∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°，在△A 1C 1C 中，由余弦定理可得A 1C ＝5 2.故CP ＋PA 1的最小值为5 2. [答案] 5 2 三、解答题10．(2017·广西南宁月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－fx ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，－x ＋2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．12．已知函数f (x )＝ln x －(x ＋1)． (1)求函数f (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．[解] (1)∵f (x )＝ln x －(x ＋1)， ∴f ′(x )＝1x－1(x >0)．令f ′(x )>0，解得0<x <1；令f ′(x )<0，解得x >1.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝－2.(2)证明：由(1)知x ＝1是函数f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )≤f (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)，取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n>ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·32·43·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)．跟踪强化训练(五)1．[直接法](2017·济南二模)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( )A ．96B ．432C ．480D ．528[解析] 当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)．[答案] D2．[直接法](原创题)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，点B (－1,3)，C (3，－1)，且其“欧拉线”与圆x 2＋(y －2)2＝r 2相切，则该圆的面积为( )A ．π B．2π C．4π D．5π[解析] 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的垂直平分线上，BC 的中点为M (1,1)，直线BC 的斜率为－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y－1＝x －1，即x －y ＝0.圆心(0,2)到直线x －y ＝0的距离d ＝r ＝22＝2，则该圆的面积为πr 2＝2π.[答案] B3．[特例法]计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[解析] 取α＝π12，则原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12cosπ62cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12＝3×322×34＝1.故选D.[答案] D4．[特例法]已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12[解析] 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →，∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32.故选A. [答案] A5．[排除法](2017·重庆一诊)若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 当a ＝0时，P (1,1)，Q (3,0)，因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0，此时过点P (1,1)，Q (3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C ，D ；当a ＝1时，P (0,2)，Q (3,2)，因为k PQ ＝0，不符合题意，排除B ，选A.[答案] A6．[排除法](2017·武汉汉中二检)函数f (x )＝sin2x ＋e ln|x |图象的大致形状是( )[解析] 因为f (x )＝sin2x ＋e ln|x |，所以f (－x )＝－sin2x ＋e ln|x |. 显然f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，可排除A ，C.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1＋π4<0，可排除D.选B.[答案] B7．[图解法]已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.[答案] B8．[图解法](2017·东北三校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝－2cosπx ，令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] C9．[估算法]图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[解析] 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.[答案] B10．[估算法]已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( )A.36B.26C.23D.22 [解析] 容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除A 、C 、D ，答案选B.[答案] B11．[概念辨析法](2017·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但sin α＝sin β，若α＝π3，β＝2π＋π6，sin α>sin β，但此时α>β不成立，因而“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．[答案] D12．[概念辨析法](2017·襄阳调研)非空集合A 中的元素个数用(A )表示，定义(A －B )＝⎩⎪⎨⎪⎧A －B ，A B ，B －A ，AB若A ＝{－1,0}，B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，且(A －B )≤1，则实数a 的所有可能取值为( )A ．{a |a ≥4}B ．{a |a >4或a ＝0}C ．{a |0≤a ≤4}D ．{a |a ≥4或a ＝0}[解析] 因为A ＝{－1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A )＝2.因为B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，所以(B )就是函数f (x )＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝a 的交点个数，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，(B )＝0或(B )＝2或(B )＝3或(B )＝4.①当(A )≥(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≥(A )－1，所以(B )≥1，又(A )≥(B )，所以1≤(B )≤2，所以(B )＝2，由图可知，a ＝0或a >4；②当(A )<(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≤(A )＋1，即(B )≤3，又(A )<(B )，所以2<(B )≤3，所以(B )＝3，由图可知，a ＝4.综上所述，a ＝0或a ≥4，故选D. [答案] D跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.[解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102－1＝－2425. [答案] －24252．[直接法]已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．[解析] 令a n＝n，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.[答案] 13 164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析] 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB ＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案] S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析] 分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lg x|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|， ∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1. [答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－－－2－0＝－12，k BC ＝0－－2－0＝12. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．[构造法]如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π8．[构造法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1，故a n ＝3n－12.[答案] a n ＝3n －129．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．[答案] (4,9)10．[归纳推理法]若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO为该棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是M ________N ．(填>，<或＝)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·PA ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABCS 2△ABCPO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC14PA 2·PB 2·PC 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N .[答案] ＝11．[正反互推法]给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则p (－1<ξ<0)＝0.6.则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．[解析] ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．②命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确； ④P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误．。

通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测十八文

课时跟踪检测（十八）1．(2017·石家庄质检)设M ，N ，T 是椭圆x 216＋y 212＝1上的三个点，M ，N 在直线x ＝8上的射影分别为M 1，N 1.(1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 的坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 的面积之比为5∶1，求MN 中点K 的轨迹方程．解：(1)证明：设M (p ，q )，N (－p ，－q )，T (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 0－qy 0＋q x 0－p x 0＋p ＝y 20－q2x 20－p2，又⎩⎪⎨⎪⎧p 216＋q 212＝1，x 216＋y 2012＝1，故x 20－p 216＋y 20－q212＝0，即y 20－q2x 20－p 2＝－34，所以k 1k 2＝－34，为定值． (2)设直线MN 与x 轴相交于点R (r,0)，S △MNL ＝12|r －3|·|y M －y N |，S △M 1N 1L ＝12·5·|yM 1－yN 1|.因为S △M 1N 1L ＝5S △MNL ，所以12·5·|yM 1－yN 1|＝5·12|r －3|·|y M －y N |，又|yM 1－yN 1|＝|y M －y N |，解得r ＝4(舍去)，或r ＝2，即直线MN 经过点F (2,0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，K (x 0，y 0)，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的中点K 即为F (2,0)；②当MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y ＝k (x －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k x －消去y 得，(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0.x 1＋x 2＝16k 23＋4k ，x 1x 2＝16k 2－483＋4k .x 0＝8k 23＋4k 2，y 0＝－6k3＋4k2.消去k ，整理得(x 0－1)2＋4y 23＝1(y 1≠0)．经检验，(2,0)也满足(x 0－1)2＋4y 23＝1.综上所述，点K 的轨迹方程为(x －1)2＋4y23＝1(x >0)．2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．3．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B ，求证：直线AB 经过定点．。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测22含答案

2．函数y＝错误!的定义域为( ）A.错误!B。

错误!，k∈ZC．错误!，k∈ZD．R答案：C解析：∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!，∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z。

3．若函数f (x ）＝sin 错误!(φ∈）是偶函数，则φ＝( ）A.π2B ．2π3C ．错误!D ．错误! 答案：C解析：由已知f (x ）＝sin x ＋φ3是偶函数，可得错误!＝k π＋错误!，即φ＝3k π＋错误!(k ∈Z )，又φ∈,所以φ＝错误!。

4．已知函数f (x )＝sin 错误!(x ∈R )，下面结论错误的是( ）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x )是偶函数C ．函数f (x ）的图象关于直线x ＝错误!对称D ．函数f （x )在区间错误!上是增函数答案：C解析:f (x )＝sin 错误!＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确;易知函数f (x ）是偶函数，B 正确；由函数f （x ）＝－cos 2x 的图象可知,函数f (x ）的图象关于直线x ＝错误!不对称，C 错误；由函数f (x ）的图象易知,函数f (x ）在错误!上是增函数，D 正确，故选C.5．函数f （x )＝2cos （ωx ＋φ)（ω≠0）对任意x 都有f 错误!＝f 错误!，则f错误!＝( )A．2或0 B．－2或2C．0 D．－2或0答案:B解析：由f错误!＝f错误!可知，函数图象关于直线x＝错误!对称,则函数f（x)在x＝错误!处取得最值,∴f错误!＝±2,故选B.6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x｜在区间错误!上的图象是( ）A BC D答案：D解析：y＝tan x＋sin x－｜tan x－sin x|＝错误!7．已知函数f（x）＝sin(2x＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f(x)≤错误!对x∈R恒成立，且f错误!＞f(π），则φ＝( )A。