第十一章 时间序列分析模型
时间序列分析法
８ ５５ ５３.５ ５１.１３ ５５.８７ １.５８
９ ４５ ４７.２５ ５０.５
４４ －２.１７
１０ ６５ ５２.７５ ５１.３８ ５４.１２ ０.９１
１１ ６４ ５７.２５ ５２.６９ ６１.８１ ３.０４
１２
１３
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５８.３５ ５７.４５ ４１.８３ ５５.０３ ６４.８５ ６７.８９
函数关系：指现象之间确定的数量依 存关系，即自变量取一个数值，因变量必 然有一个对应的确定数值；自变量发生某 种变化，因变量必然会发生相应程度的变 化。
相关关系：现象之间确定存在的不确 定的数量依存关系，即自变量取一个数值 时，因变量必在存在与它对应的数值，但 这个对应值是不确定的。
2020/10/28
市场活动中的许多现象，都有其产生的 原因，都要受一定因素的制约，都是一定 原因的必然结果。
在研究市场现象之间因素关系时，一 般将引起某一市场现象变化的各种因素（ 或原因）称为自变量，将被引起变化的市 场现象（即结果）称为因变量。
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市场现象之间的因果关系可以分为两类 ：函数关系和相关关系。
47.9 51.1 55.5 68*0.4+55.5*0.6=60.5
季 销售量 度
1
50
50.0
2
52
50.0
3
51
50.2
4
50
50.3
5
57
50.3
6
64
51.0
7
68
52.3
8
67
56.8
9
69
57.8
10 75
58.9
60.5
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ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
第十一章 非平稳时间序列分析 《计量经济学》PPT课件
Δyt = δyt-1 + ut 的参数，如图11.2.4所示：
图11.2.4
由图11.2.4可知，ˆ =0.105475， Tδ=9.987092。此结
果也可以由EViews软件中的单位根检验功能（选择 不包含常数项和滞后项数为零）直接给出， 如图11.2.5所示:
第十一章 非平稳时间序列分析 【本章要点】（1）非平稳时间序列基本概念 （2）时间序列的平稳性检验（3）协整的概念以 及误差修正模型(ECM) 本章将只对非平稳时间序列的基本概念、时间序 列的平稳性的单位根检验以及协整理论等进行简 要讲述。
时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随 着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数 据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要 宽平稳的三个条件不全满足，则该时间序列便是非 平稳的。当时间序列是非平稳的时候，如果仍然应 用OLS进行回归，将导致虚假的结果或者称为伪回 归。这是因为其均值函数、方差函数不再是常数， 自协方差函数也不仅仅是时间间隔的函数。
就是带趋势项的随机游走过程。
（二）单位根检验的基本思想
在（11.2.6）式中，若α = 0，则式（11.2.6）可以
写成：
yt = ρyt-1 + ut
（11.2.7）
式（11.2.7）称为一阶自回归过程，记作AR(1),可以
证明当| ρ | <1时是平稳的，否则是非平稳的。
AR(1)过程也可以写成算符形式：
（三）DF检验 (Dickey-Fuller Test) 1.DF检验 DF检验的具体作法是用传统方法计算出的参数的T— 统计量，不与t 分布临界值比较而是改成DF分布临界 值表。
第11章 OLS用于时间序列数据的其他问题
11.3 回归分析中使用的高度持续性时间序列 通常将弱相关过程称为零阶单整I（0），经 过一阶差分后成为弱相关过程的，称为一 阶单整I（1），即有一个单位根。 判断时间序列是否为I（1）：判断一个时间 序列是否有单位根在18章里有正式的单位 根检验。一个直观的方法是计算样本的自 ˆ ，如果数值比较大，如0.9以 相关系数 上，存在单位根可能性很大，往往需要差 分变换。
t
2
t1 t2 tm
t1 h
t2 h
tm h
11.1平稳和弱相关时间序列
由于平稳性是对DGP而言，对某个时间序列数 据是否由一个平稳过程生成是比较难以判断， 但非平稳的判断有时比较容易，如存在时间 趋势的数据一定是不平稳的，因为其均值随 时间变化。 协方差平稳过程（covariance stationary process）：对于具有有限二阶矩的随机过程 E xt 为常数（2） xt : t 1, 2, ，如果（1） var xt 为常数（3） t , h 1, cov xt , xt h 仅取决于h，而不取决于t。
11.3 回归分析中使用的高度持续性时间序列 许多时间序列并不满足弱相关性，我们无法 借助于大数定律和中心极限定理，直接对 高度持续性时间序列进行回归分析，可能 产生谬误回归。 高度持续性时间序列 随机游走过程（random walk）： yt yt 1 et ,et : t 1, 2, 是均值为0和方差 为常数的独立同分布序列。 反复迭代可得： yt et e1 y0
11.1平稳和弱相依时间序列
平稳性和弱相关为什么对回归分析如此重要？ 对时间序列数据而言，它取代了随机抽样 假定使大数定律和中心极限定理成立，由 此我们能够一般性地证明OLS的合理性。 常用的平稳弱相关的时间序列模型： MA（1）：一阶移动平均过程： xt et 1et 1 是均值为0，方差为常数的 e : t 0,1, 2, 独立同分布序列。
第十一章SPSS的时间序列分析
3.1 AR（自回归）模型
一般地，如果和p个过去值有关则是p阶自回归模型， 记为AR（p），表达式为： xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t
(B) xt t
或者
其中， (B) 1 1 B 2 B 2 p B p
1 - 12
第三节 时间序列的图形化观察
4、互相关图（CCF） 对两个互相对应的时间序列进行相关性分 析，检验一个序列与另一个序列的滞后 序列之间的相关性 Analyze>Forecasting>Cross Correlations 举例： GDP与通信业务收入，0阶滞后相关性最显 著
1 - 13
3.2 MA模型
（Moving Average Model）
3.3 ARMA模型
（Auto Regression Moving Average model）
3.4 ARIMA模型
（ Autoregressive Integrated Moving Average Model ）
1 - 22
3.1 AR（自回归）模型
1 - 15
第六节 ARIMA模型
ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克 思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的著名时间序列 预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
第十一章 SPSS的时间序列分析
1-1
第一节 时间序列分析概述
一、相关概念 时间序列：有序的数列：y1,y2,y3,…yt 理解： 1、有先后顺序且时间间隔均匀的数列； 2、随机变量族或随机过程的一个“实现” ，即在每一个固定时间点t上，现象yt看 作是一个随机变量， y1,y2,y3,…yt是一系 列随机变量所表现的一个结果。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
时间序列模型
时间序列模型一、分类①按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
②按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
③按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
狭义时间序列：如果一个时间序列的概率分布与时间t无关。
广义时间序列：如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足均值为常数和协方差为时间间隔T勺函数。
（下文主要研究的是广义时间序列）。
④按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
二、确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
①长期趋势变动：它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
通常用T t表示。
②季节变动：通常用S t表示。
③循环变动：通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
通常用C t表示。
④不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用R t表示。
也称随机干扰项。
常见的时间序列模型:⑴加法模型：y t = S t + T t + C t + R t；⑵乘法模型：y t =S T t C t -R t ；⑶混合模型：y t =S T t + R t ；y t = S t +2T t G R t ；R t这三个模型中y t表示观测目标的观测记录， E R t = 0, E R t2 ==o2如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差 /较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。
三、移动平均法当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时,可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
时间序列分析中常用的模型
时间序列分析中常用的模型时间序列分析是一种重要的数据分析方法，用于研究随时间变化的数据。
在实际应用中，常常需要使用合适的模型来描述和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列分析中常用的几种模型，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、移动平均模型（MA模型）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于时间序列在不同时刻的观测值之间存在一定的相关性，并假设当前的观测值是过去一段时间内的观测值的线性组合。
移动平均模型一般用“MA(q)”表示，其中q表示移动平均阶数，即过去q个观测值的影响。
二、自回归模型（AR模型）自回归模型是另一种常用的时间序列模型。
它假设当前的观测值与过去一段时间内的观测值之间存在线性关系，并通过自相关函数来描述观测值之间的相关性。
自回归模型一般用“AR(p)”表示，其中p表示自回归阶数，即过去p个观测值的影响。
三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型是将移动平均模型和自回归模型相结合得到的一种模型。
它通过同时考虑观测值的移动平均部分和自回归部分来描述时间序列的相关性。
四、季节性模型在一些具有周期性波动的时间序列数据中，常常需要使用季节性模型进行分析。
季节性模型一般是在上述模型的基础上加入季节因素，以更准确地描述和预测数据的季节性变化。
五、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）自回归积分移动平均模型是时间序列分析中最常用的模型之一。
它通过引入差分运算来处理非平稳时间序列，并结合自回归模型和移动平均模型来描述残差项之间的相关性。
六、指数平滑模型指数平滑模型是一种常用的时间序列预测方法。
它假设未来的观测值与过去的观测值之间存在指数级的衰减关系，并通过平滑系数来反映不同观测值之间的权重。
七、ARCH模型和GARCH模型ARCH模型和GARCH模型是用于处理时间序列波动性的模型。
它们基于过去的方差序列来描述未来的波动性，并用于金融市场等领域的风险管理和波动率预测。
总结来说，时间序列分析中常用的模型包括移动平均模型、自回归模型、自回归移动平均模型、季节性模型、自回归积分移动平均模型、指数平滑模型、ARCH模型和GARCH模型等。
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
时间序列
方程为Yt=3.96+0.864X
Yt(2002)= 3.96+0.864*9=11.73 Xt：-2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5 (X为偶数)
23
三 季节变动的测定---计算季节指数
季节指数的概念： 指用于表示具有典型季节性变动的现 象年复一年地在每月(季)的变动方向和幅 度的百分数. 113.0% 如某商场的销售 79.3% 额的 季节指数为 31.10% 67.8%
27
¾ ª µ î ¼ Ó Ò ¶
TC µ Ö (4)=(3)/8 SIÖ µ (5)=(1)/(4) ¾ Ú · ý ¼ ½ Ö Ê ¨ © £ 6£ 83.52 92.26
Ë ¾ Í ©¼ ¹ ¨ © £ 3£
83-1 83-2
2083.4 2109.2 2139.5 2180.0
260.43 263.65 267.44 272.50
29
四、循环变动和不规则变动的测定 1 循环变动的测定—剩余法
Y TSCI ST C MA (CI ) CI
1983
1985
1987
1989
1991
1993
11
• 循环变动（经济周期波动） 短 :40个月（基钦周期） 中 :9-10年（尤格拉周期） 中长:15-22年（库兹涅茨周期） 长:50-60年（康德拉提耶夫周期） 一个标准周期有四个阶段复苏、 高涨、衰退、萧条, 从一个低点到另 一个低点。
12
二 长期趋势的测定
110.93 113.33 84.09 89.65
112.56 111.66 83.52 92.26
计算季节指数计算表
季 节
季节 1983 1984 1985 1 84.09
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
时间序列模型的介绍
时间序列模型的介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是按时间顺序收集的观测数据，通常具有一定的趋势、季节性和随机性。
时间序列模型的目标是通过对过去的数据进行分析，揭示数据背后的规律性，从而对未来的数据进行预测。
时间序列模型可以分为线性模型和非线性模型。
线性模型假设时间序列数据是由线性组合的成分构成的，常见的线性模型有自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。
非线性模型则放宽了对数据的线性假设，常见的非线性模型有非线性自回归模型（NAR）和非线性移动平均模型（NMA）等。
在时间序列模型中，常用的预测方法包括平滑法、回归法和分解法。
平滑法通过对时间序列数据进行平均、加权或移动平均等处理，来消除数据中的随机波动，得到趋势和季节性成分。
回归法则是通过建立时间序列数据与其他影响因素的关系模型，来预测未来的数据。
分解法则将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分，分别进行建模和预测。
时间序列模型的应用非常广泛。
在经济领域，时间序列模型可以用于宏观经济指标的预测，如国内生产总值（GDP）、通货膨胀率和失业率等。
在金融领域，时间序列模型可以用于股票价格的预测和风险管理，如股票市场的指数预测和波动率的估计。
在气象领域，时间序列模型可以用于天气预报和气候变化研究，如温度、降雨量和风速等的预测。
在交通领域，时间序列模型可以用于交通流量的预测和拥堵状况的评估，如道路交通量和公共交通客流量等的预测。
然而，时间序列模型也存在一些限制和挑战。
首先，时间序列数据通常具有一定的噪声和不确定性，模型需要能够对这些随机波动进行合理的建模和处理。
其次，时间序列数据可能存在非线性关系和非平稳性，传统的线性模型可能无法很好地捕捉到数据的特征。
此外，时间序列数据的长度和频率也会对模型的预测能力产生影响，较短的数据序列和较低的采样频率可能导致预测结果的不准确性。
为了克服这些挑战，研究人员不断提出新的时间序列模型和方法。
数据分析中的时间序列模型
数据分析中的时间序列模型时间序列模型是数据分析中一种重要的统计方法，它用于揭示数据随时间变化的模式和趋势。
时间序列模型可以应用于多个领域，例如经济学、气象学、市场营销等等。
本文将介绍时间序列模型的基本概念、常见的方法和应用案例。
一、时间序列模型的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据，它可以是离散的或连续的。
时间序列模型的目标是对时间序列数据进行建模和预测。
在实际应用中，时间序列通常具有趋势（Trend）、季节性（Seasonality）和周期性（Cyclical）等组成部分。
1. 趋势：指时间序列数据在长期内表现出的整体上升或下降的趋势，可以是线性或非线性的。
2. 季节性：指时间序列数据在特定时间段内重复出现的规律，比如每年夏季的销售额通常会高于其他季节。
3. 周期性：指时间序列数据在较长时间内出现的波动，可能是由于经济周期或其他周期性因素引起。
二、常见的时间序列模型方法时间序列模型包括很多不同的方法和算法，下面介绍几种常见的方法。
1. 移动平均模型（Moving Average，MA）：MA模型基于数据的移动平均值，用于捕捉数据的平稳性和周期性。
它通常表示为MA(q)，其中q表示模型中的滞后阶数。
2. 自回归模型（Autoregressive，AR）：AR模型假设当前的观测值可以由过去若干观测值的线性组合表示，用于描述趋势和周期性。
它通常表示为AR(p)，其中p表示模型中的滞后阶数。
3. 自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average，ARMA）：ARMA模型结合了AR和MA模型，用于同时考虑趋势和周期性。
它通常表示为ARMA(p, q)，其中p和q分别表示AR和MA模型中的滞后阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（Seasonal Autoregressive Moving Average，SARMA）：SARMA模型用于处理具有明显季节性的时间序列数据，它在ARMA模型的基础上添加了季节性因素。
统计学__第11章 时间序列分析
图例7 一、循环变动及其测定目的二、循环变动的测定方法（一）直接法（二）剩余法循环变动分析循环变动分析-意义循环变动分析―形式直接法剩余法操作步骤用移动平均法，得到TC的估计，由Y/TC,得到仅含<a name=baidusnap0></a>季节</B>变动的序列，计算季节</B>指数对原序列建立趋势方程，得趋势项T 的估计值原始序列Y/TS得CI的数据对CI进行移动平均得到C的估计注：剔除趋势求季节</B>指数，如果没有特别要求就先采用移动平均法求其趋势，然后求季指回总目录回本章目录平稳时间序列概述平稳时间序列定义常见时间序列模型严平稳回总目录回本章目录平稳时间序列所谓平稳时间序列，指如果序列二阶矩有限 , 且满足如下条件：对任意整数为常数；对任意整数自协方差函数仅与时间间隔有关，和起止时刻无关。
即则称序列为宽平稳（或协方差平稳，二阶矩平稳）序列当时，自协方差函数就是方差回总目录回本章目录平稳序列图形上来看就是： (1)序列围绕常数的长期均值波动，称为是均值回复(Meaning Reversion) (2)在每一时刻，方差对均值的偏离基本相同，波动程度大致相等。
回总目录回本章目录最简单的宽平稳序列是白噪声，常记为，它是构成其他序列的基石，一般白噪声的定义如下：对任意对任意对不同的时刻自回归模型（AR：Auto-regressive）；滑动平均模型（MA：Moving-Average）；自回归滑动平均模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。
回总目录回本章目录常见时间序列模型 P阶自回归模型AR(P)模型回总目录回本章目录其中称为自回归系数，为白噪声序列上式称为是p阶自回归模型，简记为AR(p) 当满足一定条件时，序列是平稳的零均值时间序列满足如下形式 q阶滑动平均模型MA(q)模型回总目录回本章目录其中称为滑动平均系数，为白噪声序列上式称为是q阶滑动平均模型，简记为MA(q) 当阶数q有限时，序列是平稳的零均值时间序列满足如下形式自回归滑动平均模型(ARMA)模型回总目录回本章目录其中称为自回归系数，称为滑动平均系数，为白噪声序列上式称为是p阶自回归模型－q阶滑动平均模型，简记为AMMA(p,q). 当p=0, AMMA(p,q)－－MA(q) 一般ARMA模型的数学形式为当满足一定条件时，序列是平稳的.从以上定义中可以看出,AR模型和MA模型即为ARMA模型的特例当q=0, AMMA(p,q)－－MA(p) 回总目录回本章目录 ARMA模型的识别相关函数定阶法信息准则定阶法严平稳回总目录回本章目录相关函数定阶法采用ARMA模型对现有的数据进行建模，首要的问题是确定模型的阶数，即相应的p,q的值，对于ARMA模型的识别主要是通过序列的自相关函数以及偏自相关函数进行的。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种用来处理时间变化数据的统计分析方法。
它将观测数据按照时间顺序进行排列，并利用过去的数据来预测未来的发展趋势。
在时间序列分析中，通常会使用一些常见的模型，如自回归（AR）、移动平均（MA）和自回归移动平均（ARMA）模型。
自回归模型（AR）是时间序列分析中最基本的模型之一。
它假设未来的观测值可以通过当前和过去的观测值来预测。
AR 模型的数学表达式为：Y_t = c + ∑(φ_i * Y_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，c表示常数，φ_i表示第i个滞后的自回归系数，ε_t表示误差项。
通过对AR模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。
移动平均模型（MA）是另一种常见的时间序列分析模型。
它假设未来的观测值可以通过当前和过去的误差项来预测。
MA 模型的数学表达式为：Y_t = μ + ∑(θ_i * ε_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，μ表示均值，θ_i表示第i个滞后的移动平均系数，ε_t表示误差项。
通过对MA模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。
自回归移动平均模型（ARMA）是将AR模型和MA模型结合起来的一种复合模型。
它假设未来的观测值可以通过当前观测值、滞后观测值和误差项来预测。
ARMA模型的数学表达式为：Y_t = c + ∑(φ_i * Y_t-i) + ∑(θ_i * ε_t-i) + ε_t其中，Y_t表示第t个观测值，c表示常数，φ_i表示第i个滞后的自回归系数，θ_i表示第i个滞后的移动平均系数，ε_t表示误差项。
通过对ARMA模型进行参数估计，可以得到最优的系数估计值，从而进行未来观测值的预测。
总之，时间序列分析模型是一种通过利用过去数据来预测未来数据的统计分析方法。
其中，自回归模型、移动平均模型和自回归移动平均模型是一些常见的时间序列分析模型。
通过对这些模型进行参数估计，可以得到最优的预测结果。
第11章--时间序列和指数
b0 T b1 t
（11－9）
第十一章
时间序列和指数
11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势
[例11.2解析（续）] 计算结果：
101.74 136 t 8.5 T 6.359 16 16 914.98 (136 101.74) / 16 b 0.148 1 1496 1362 / 16 b 6.359 0.148 8.5 5.101 0
tT ( t T ) / n b t ( t ) / n
t t 1 2 2
（ ） 11-4
b0 T b1 t
（ 11-5）
第十一章
时间序列和指数
11.3 利用趋势推测法进行预测
[例11.1解析(续)]
式中 Tt——t期时间序列的值； n ——时期的个数； T——时间序列的平均值，即 T
第十一章
时间序列和指数
11.4.1 乘法模型
表11-2 台式电脑销售量的季度资料
第十一章
时间序列和指数
11.4.1 乘法模型
第十一章
[例11.2解析]
时间序列和指数
11.4.2 季节指数的计算
第一步，计算中心化移动平均数
表11-3 台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果
第十一章
表11-6 台式电脑销售量时间数列消除季节影响后的数据
Yt Tt I t St
第十一章
11.4.3
时间序列和指数
消除时间序列的季节影响
图11-5消除季节影响的台式电脑销售量时间序列
第十一章
时间序列和指数
11.4.4 利用消除季节影响的时间序列确定趋势
时间序列分析模型汇总
时间序列分析模型汇总时间序列分析是一种广泛应用于各个领域的统计分析方法，它用来研究一组随时间而变化的数据。
时间序列数据通常具有趋势、季节性和随机性等特征，时间序列分析的目的是通过建立适当的模型来描述和预测这些特征。
本文将汇总一些常用的时间序列分析模型，包括AR、MA、ARIMA、GARCH和VAR等。
1.AR模型（自回归模型）:AR模型是根据过去的观测值来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列观测值有关，且与其他因素无关。
AR模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c 为常数，φ_i为系数，ε_t为误差项。
2.MA模型（移动平均模型）:MA模型是根据过去的误差项来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列误差项有关，且与其他因素无关。
MA模型的一般形式为：Y_t=μ+ε_t+Σ(θ_i*ε_t-i)，其中Y_t表示时间t的观测值，μ为平均值，θ_i为系数，ε_t为误差项。
3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）:ARIMA模型是AR和MA模型的组合，它结合了时间序列数据的趋势和随机性特征。
ARIMA模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c为常数，φ_i和θ_i为系数，ε_t为误差项。
4.GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）:GARCH模型用于建模并预测时间序列数据的波动性。
它假设波动性是由过去观测值的平方误差和波动性的自相关引起的。
GARCH模型的一般形式为：σ_t^2=ω+Σ(α_i*ε^2_t-i)+Σ(β_i*σ^2_t-i)，其中σ_t^2为时间t的波动性，ω为常数，α_i和β_i为系数，ε_t为误差项。
5.VAR模型（向量自回归模型）:VAR模型用于建模并预测多个时间序列变量之间的相互关系。
它假设多个变量之间存在相互依赖的关系，即一个变量的变动会对其他变量产生影响。
第十一章时间序列
【例11.1】我国1990—1999年粮食产量序列见表11.1， 对其进行3、4、5年的移动平均，并作图观察。 移动平均数计算表
年份 1990 1991 4年移动平均 一次平均 — 44516.90 二次平均 — —
粮食产量 （万吨）
44624.0 43529.0
3年移动平均 — 44139.60
当时间序列经过一段时间逐渐下降后，又逐渐 上升；或者经过一段时间逐渐上升后，逐渐下 降时，则该序列可以看作按抛物线趋势发展， 其发展趋势可用二次曲线（抛物线）模型表示：
二次曲线
(second degree curve)
5年移动平均 — —
1992
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
44265.8
45648.8 44510.1 46661.8 50453.5 49417.1 51229.5 50838.6
44481.20
44808.23 45606.90 47208.47 48844.13 50366.70 50495.07 —
（3）公式：
1 增长1%绝对值＝前期水平 100
甲企业 乙企业
年份 2002 2003
利润（万元） 增长率（%） 利润（万元） 增长率（%） 500 600 —— 20 60 84 —— 40
11.2
时间序列及其构成因素
一、时间序列的构成要素 事物的发展受多种因素的影响，时间序列的形 成也是多种因素共同作用的结果，在一个时间序列 中，有长期的起决定性作用的因素，也有临时的起 非决定性作用的因素；有可以预知和控制的因素， 也有不可预知和不可控制的因素，这些因素相互作 用和影响，从而使时间序列变化趋势呈现不同的特 点。影响时间序列的因素大致可分为四种：长期趋 势、季节变动、循环变动及不规则变动。
市场调查与预测 第十一章 时间序列预测重点整理
定量预测——时间序列预测一、时间序列的概念及构成要素时间序列预测法是一种定量分析法，它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。
惯性原理构成要素：现象所属的时间反映现象发展水平的指标数值二、时间序列预测的原理时间序列是指同一变量按事件发生的先后顺序排列起来的一组观察值或记录值。
实际数据的时间序列能够展示研究对象在一定时期内的发展变化趋势与规律，因而可以从时间序列中找出变量变化的特征、趋势以及发展规律，从而对变量的未来变化进行有效地预测。
环比指数定基指数三、时间序列分析的目的1、描述事物在过去的时间状态，分析其随时间推移的发展趋势。
2、揭示事物发展变化的规律性3、预测事物在未来时间的数量四、时间序列的变化动态影响时间序列变动的因素可分解为：可解释的变动：1、长期趋势(T)2、季节变动(S)3、循环变动(C)不可解释的变动：4、不规则变动(I)长期趋势：现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势季节变动：现象在一年内有规律的、按一定周期重复出现的变化循环变动：现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动不顾则变动：是一种无规律可循的变动，包括不规则变动严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型五、时间序列预测的方法移动平均法1、概念：通过平均每一个连续数列值来修匀时间数列的方法2、做法：对时间数列的各项数值，按照一定的时距（跨越期）进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。
3、步骤：（1）、确定移动时距（跨越期）n一般应选择奇数项进行移动平均若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。
（2）、计算各移动平均值，并将其编制成时间序列4、特点：（1）移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强（2）由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少局限:不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。
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1,2 ,,q
为移动平均系数，
( B) X t (B)ut
【6】
注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 ( B ) 的根均在单位圆外 可逆条件是滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（1） k 的截尾性判断 对于每一个 q ，计算 q1 ,, q M （ 左右），考察其中满足
M 一般取 N
1 | k | N
的个数是否为
2
2 0 l 1
q
2 l
或
2 | k | N
02 2 l2
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型， 是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本 思想是：某些时间序列是依赖于时间 t 的一族随机 变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确 定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以 用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认 识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的 最优预测.
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列 重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察 k 12, 24,36, 时的自相关系数是否 与0有显著差异； 季度数据，考察 k 4,8,12, 时的自相关 系数是否与0有显著差异。 若自相关系数与0无显著不同， 说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则 存在季节性. 实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况， 这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性， 否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误. 包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需进 行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致.
第十一章 时间序列分析模型
1 时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述 1、自回归模型 2、移动平均模型
3、自回归移动平均模型 二、随机时间序列的特性分析 三、模型的识别与建立 四、模型的预测 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 一、问题分析 二、模型假设 三、模型建立 四、模型预测 五、结果分析 六、模型评价与改进
q
步截尾性；偏自相关函数
随着滞后期 k 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0， 这种特性称为偏自相关函数的拖尾性
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）AR（ p ）序列的自相关与偏自相关函数 偏自相关函数
k , 1 k p kk kp 0,
是 p 步截尾的 ； 自协方差函数 k 满足 ( B) k 自相关函数 k 满足 ( B) k
其中
k 1 k 2,3,
k 是滞后
kj k 1, j kkk 1,k j , j 1, 2,, k 1
k 期的自相关系数，
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、时间序列的特性分析 （1）随机性 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规 律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其 自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进 行判定。 在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评 价模型的优劣。 （2）平稳性
样本自相关函数
1, k 0 k k 1 k 1 q k q k , 1 k q 2 2 0 1 1 q 0, k q
MA（ q ）序列的自相关函数 k 在 这种性质称为自相关函数的
kq
以后全都是0，
0 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性 （3）ARMA（ p, q ）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、模型的识别 自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最 主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. q q ）序列 若样本自协方差函数 k 在 步截尾，则判断 X t 是MA（ ， 若样本偏自相关函数 kk在 p 步截尾，则可判断 X t 是AR（ p ）序列 若 k ， kk 都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为 X t 是
ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定. 但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是
k
而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于 k 和 kk 的截尾性 只能借助于统计手段进行检验和判定。
和 kk 的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是不可能的，
若时间序列 X t 满足 1）对任意时间 t ，其均值恒为常数； 2）对任意时间 t和 s ，其自相关系数只与时间间隔 t s 有关，而与t 和 s 的起始点无关。 那么，这个时间序列就称为平稳时间序列 。
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要 注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立 ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求 在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳 判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数 （3）季节性
（2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1 , X t 2 ,, X t k 1 的条件下，X t与 X t k 之间的条件相关关系。 其相关程度用
偏自相关系数 kk 度量，有 1 kk 1
1 k 1 k k 1, j k j kk j 1 k 1 1 k 1, j j j 1
注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即
j X t 1 v1B v2 B ut v j B ut j 0
2
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列
X t ( B)ut
注1：移动平均过程无条件平稳
【4】
注2：滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆， 2 1 w1B w2 B X t wi Bi X t ut i 0 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程
作如下假设检验： M
H0 : pk , pk 0, k 1,, M
H1 : 存在某个 k ，使 kk
2 统计量 N pM k p 1
0 ，且
2
pk M p
( ) 表示自由度为 M 的 分布 的上侧 分位数点 2 2 M ( )，则认为 对于给定的显著性水平 0 ，若 2 p ）模型 ； 2 M ( ) ，可认为 样本不是来自AR（
【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
k 记 B k 为 k 步滞后算子，即 B X t X t k ，则 模型【1】可表示为
X t 1BX t 2 B X t p B X t ut
2 p
(B) 1 1B 2 B2 p B p 令 ，模型可简写为
l 1
q
M 的68.3%或95.5%。
如果当1 k q0 时， k 明显地异于0，而 q0 1 ,, q0 M 近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例， 则可近似地认为 k 在 0 步截尾
q
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）
kk 的截尾性判断
N
X t ut 1ut 1 2ut 2 qut q
【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1 ,2 ,,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 三、模型的识别与建立
在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的 自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适 宜的阶数 d , D, p, q 以及 P, Q（消除季节趋势性后的平稳序列） 1、自相关函数与偏自相关函数 （1）MA（ q ）的自相关与偏自相关函数 自协方差函数
Xt
：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差项以及 前期值的线性函数，即 t 2 p X t p ut 1ut 1 2ut 2 qut q【5】
( 式【5】称为 p, q) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p, q)
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
【2】
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p ut