数学建模时间序列分析
数学建模(平稳时间序列分析)
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优
预
化
测
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
ˆk
模型识别
基本原则
拖尾 q阶截尾
均值
Ext
1 1
0 p
协方差
(k
)
2
GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
ARMA模型的相关性
自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例2.7:考察ARMA模型的相关性
拟合模型ARMA(1,1): xt 0.5xt1 t 0.8t 并直观地考察该模型自相关系数和偏自 相关系数的性质。
例2.5— (1)xt 0.8xt1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例2.5:— (2)xt 0.8xt1 t
例2.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例2.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
Exs t 0,s t
特别当0 0 时，称为中心化 AR( p)模型
大学生数学建模--时间序列模型初步
At TCt St Rt
实际问题中，常用模型2；
时间序列的分解(模型3)
时间序列 {At}
• 趋势循环项(Trend- Cyclical) • 季节项(Seasonal)：固定的周期； • 随机项(Random)：随机变动。
• S= [36.4200 -1.0900 -13.2800 -22.0300 36.4200 -1.0900 13.2800 -22.0300 36.4200 -1.0900 -13.2800 -22.0300]
• T=A-S =[78.5800 91.0900 83.2800 87.0300 88.5800 91.0900 93.2800 92.0300 93.58Байду номын сангаас0 96.0900 103.2800 107.0300]
• “季节”的修正
• 若分解效果好，此处四项和为零 • 35.63 + (-1.88) + (-14.07) + (-22.82) = - 3.14 • 处理办法：- 3.14÷ 4 = - 0.79，同时加上-0.79 • 调整后（和为零）：
• 确定趋势项
• A=[115 90 70 65 125 90 80 70 130 95 90 85]
时间序列 {At}
• 趋势项(Trend)：较长时期、单一方向； • 季节项(Seasonal)：固定的周期； • 循环项(Cyclical)：非单一方向、长期的上下
波动、周期未必固定； • 随机项(Random)：随机变动。
At Tt St Ct Rt
数学建模时间序列分析
参数估计值
a ˆ84.699,8b ˆ8.1 92
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合
使用场合 长期趋势呈现出非线形特征
参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
常用非线性模型
模型
变换
对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
例2.3:病事假人数的移动平均
时 病事假人 5项移动 时间 病事假 5项移动 时间 病事假 5项移动
间
数
平均
人数
平均
人数
平均
1.1
4
1.2
7
1.3
8
1.4
11
1.5
18
2.1
质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS
推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
特别的当 l 1
yT li
yˆTli yTli
,l i ,l i
y ˆT1yTyT1 n yTn1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2
（1）使用4期移动平均法预测 xˆT 2。
数学建模方法之时间序列
(
S
(1) t
St(2) )
S
(1) t
1 1
(S
(1) t
S
( t
2)
)
因
S (1) 0
S (2) 0
16.41
yˆ1
S (1) 0
16.41
yˆ 2
S1(1)
1 1
(S1(1)
S1(2) )
16.41 1 (16.41 16.41) 1 0.4
16.41
yˆ 3
S
(1) 2
1 1
(S
(1) 2
S
(2) 2
)
16.89 1 (16.89 16.60) 17.37 1 0.4
以此类推，计算结果如表中所述，最后，计算预测标准误差，
n
2
S
( yt yˆt )
t 1
8.72 1.21
n2
6
由于此例中数据基本上属于变化比较平稳的情况，二次指数平滑的预
测效果反而不如一次指数平滑。
yt1 yˆt1
1
16.41
16.41
( yt1 yˆt1 )2
2
17.62
16.89
16.41
1.21
1.46
3
16.15
16.59
16.89 -0.74
0.55
4
15.54
16.17
16.59 -1.05
1.10
5
17.24
16.59
16.17
1.07
1.14
6
16.83
16.68
16.59
3
16.15
16.59 16.60 17.37 -1.22 1.49
数学建模中的预测方法：时间序列分析模型
自相关函数
k 满足 ( B) k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
3）ARMA（ p, q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则 X t 是MA（ q ）序列
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
2
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
用AIC准则定阶是指在
得 AIC (S )
p, q
最小的点
ˆ,q ˆ) (p
作为
( p, q)
的估计。
2p N 2( p q ) 2 ( p , q ) ˆ ARMA 模型 ： AIC ln N
AR（ p ）模型 ：
ˆ2 AIC ln
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例
k 在
2） kk 的截尾性判断 作如下假设检验：M N
H0 : pk , pk 0, k 1, , M H1 : 存在某个 k ，使kk
数学建模B作业：非参数统计、灰色系统、时间序列分析010
2014年数学建模B作业：非参、灰色、时间序列分析非参数统计Ⅴ-1 某制造商想要比较两种不同的生产方法所花费的生产时间是否有差异。
随机地选取了11个工人，每一个工人都分别使用两种不同的生产方法来完成一项相同的任务，在样本中的每一个工人都做了观察。
数据见表，试用Wilcoxon秩和检解：提出原假设，这两组方法没有显著性差异，用配对实验的符号检验法，相应代码如下：data ex;input x1 x2@@;y=x1-x2;cards;10.2 9.59.6 9.89.2 8.810.6 10.19.9 10.310.2 9.310.6 10.510 1011.2 10.610.7 10.210.6 9.8;proc univariate;var y;run;运行结果如下：从结果中可以看出，sign统计量为3，其显著性为0.1094，大于0.05，故接受原假设，认为这两组方法没有显著性差异。
Ⅴ-2为培训大学生志愿者为社区服务，设计了4种培训方案，记作为A,B,C,D.将报名的30名大学生随机地分为4组，分别接受不同培训。
训练一周后，按规定的要求考试，评定的成绩如下，试用非参数检验方法检验这四种培训方案的有解：提出原假设，这四种培训方案方法没有显著性差异，相应代码如下：data ex;do a=1to4;input n@@;do i=1to n;input x@@;output;end;end;cards;7 60 75 62 76 73 98 867 72 52 68 82 74 64 878 61 85 78 66 70 59 69 798 63 58 65 71 84 77 80 89;proc npar1way wilcoxon;class a;var x;run;运行结果如下：从结果中可以看出，Chi-Square统计量为0.5537，其显著性为0.9069，大于0.05，故接受原假设，认为四种培训方案方法没有显著性差异。
数学建模中时间序列详细说明
数学建模中时间序列详细说明(总19页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除基于Excel的时间序列预测与分析1 时序分析方法简介时间序列相关概念时间序列的内涵以及组成因素所谓时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。
如经济领域中每年的产值、国民收入、商品在市场上的销量、股票数据的变化情况等，社会领域中某一地区的人口数、医院患者人数、铁路客流量等，自然领域的太阳黑子数、月降水量、河流流量等等，都形成了一个时间序列。
人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未来行为。
时间序列的变化受许多因素的影响 ,有些起着长期的、决定性的作用 ,使其呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则起着短期的、非决定性的作用，使其呈现出某种不规则性。
在分析时间序列的变动规律时，事实上不可能对每个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。
但我们能将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分成若干时间序列的构成因素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的变动规律性。
影响时间序列的构成因素可归纳为以下四种:(1)趋势性(Trend),指现象随时间推移朝着一定方向呈现出持续渐进地上升、下降或平稳的变化或移动。
这一变化通常是许多长期因素的结果。
(2)周期性(Cyclic)，指时间序列表现为循环于趋势线上方和下方的点序列并持续一年以上的有规则变动。
这种因素是因经济多年的周期性变动产生的。
比如，高速通货膨胀时期后面紧接的温和通货膨胀时期将会使许多时间序列表现为交替地出现于一条总体递增地趋势线上下方。
(3)季节性变化(Seasonal variation)，指现象受季节性影响 ,按一固定周期呈现出的周期波动变化。
数学建模在经济中的应用研究
数学建模在经济中的应用研究数学建模作为一种新兴的研究手段，近年来在经济领域得到了广泛的应用。
通过对经济问题进行模型的构建和分析，可以更好地理解和解决许多实际问题。
下面，我们将从几个方面来探讨数学建模在经济中的应用研究。
1. 时间序列分析时间序列分析是经济学中最基本的数学建模方法之一，它建立在时间数据的基础上，对经济现象和规律进行研究。
时间序列分析主要包括时间序列模型和时间序列预测两个方面。
在时间序列模型中，以ARIMA模型为例，经济学家可以对某个经济变量的历史数据进行分析，进而建立一个针对此变量的模型，来预测未来的变化趋势。
比如，股票价格、GDP增长率等都可以用ARIMA模型来进行预测。
而时间序列预测则是根据历史数据预测未来的趋势。
例如，央行通过分析通货膨胀率的时间序列，来决定是否要加大货币供应量，以达到稳定物价的目的。
2. 最优化模型在经济学中，最优化模型是一个非常重要的数学建模方法。
通过建立优化模型，可以寻找经济系统中最优的决策方案，从而提高经济效益。
例如，在生产过程中，如何合理安排生产计划以使得成本最小化；在投资中，如何配置资产以达到收益最大化等都是需要用到最优化模型的问题。
线性规划、整数规划和非线性规划都是最优化模型中常用的方法。
通过制定一定的约束条件，经济学家可以求解最优的解决方案。
3. 统计分析统计分析是建立在样本数据基础上的数学建模方法，通过统计分析可以揭示因果关系和概率关系等，从而得到更准确的预测和估计结果。
例如，经济学家在决策时需要了解市场需求、价格、消费者行为等因素，这些因素都需要通过统计分析来得到。
统计分析包括描述性统计、推断性统计两个方面。
描述性统计主要是对样本数据进行总体分析，如均值、标准差等；而推断性统计则是通过样本数据对总体进行估计，如置信区间、假设检验等。
4. 游戏论模型游戏论模型是经济学中比较有趣的一个数学建模方法，它用于分析博弈过程中的收益和策略等。
经济学家可以通过游戏论模型来预测市场的竞争格局和行为，进而制定相应的市场策略。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
数学建模中的预测方法时间序列分析模型
数学建模中的预测方法时间序列分析模型时间序列分析模型是数学建模中常用的一种预测方法，它通过对时间序列数据的观察和分析，建立模型来预测未来的趋势和变化。
时间序列是按照时间顺序排列的数据序列，例如股票价格的变化、气温的变化、销售额的变化等等。
时间序列分析模型的基本思想是利用历史数据中的模式和规律，来预测未来的变化。
下面将介绍时间序列分析模型的基本步骤和常用的方法。
时间序列分析模型的基本步骤包括数据获取、数据预处理、模型建立、模型检验和预测。
首先，需要获取时间序列数据。
时间序列数据通常是从历史记录中获得的，可以是一定时间间隔内的观测值。
例如，如果我们要预测未来一年的销售额，那么可以用过去几年的销售额数据作为时间序列数据。
接下来，对数据进行预处理。
预处理的目的是去除数据中的噪声和异常值，使数据更加平滑和稳定。
常用的预处理方法包括平滑法（如移动平均法和指数平滑法）、差分法和季节性调整等。
然后，建立时间序列分析模型。
常用的时间序列分析模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）、自回归移动平均模型（ARMA模型）和季节性自回归移动平均模型（SARMA模型）等。
这些模型都基于不同的假设和方法，可以用来描述时间序列数据的特征和变化规律。
模型建立完成后，需要对模型进行检验。
常用的检验方法包括残差分析、自相关图、偏自相关图等。
这些方法可以用来检验模型的拟合程度和预测效果，判断模型是否能够合理描述时间序列数据。
最后，使用建立好的模型进行预测。
根据模型的参数和特征，可以预测未来一段时间内时间序列数据的变化。
预测结果可以用来制定相应的决策和计划。
除了上述常用的时间序列分析模型，还有一些其他方法也可以用于时间序列的预测。
例如回归分析、神经网络模型、支持向量机等。
这些方法在一些特殊情况下可以提供更好的预测效果。
总之，时间序列分析模型是数学建模中常用的预测方法，它通过对时间序列数据的观察和分析，建立模型来预测未来的趋势和变化。
数学建模——时间序列分析
P值
延迟6期
2.36
0.8838
延迟12期
5.35
0.9454
由于P值显著大于显著性水平 ，所以该序列
不能拒绝纯随机的原假设。换句话说可以认 为该序列的波动没有任何统计规律可循，因 此可以停止对该序列的统计分析。
时间序列数据的预处理
数据预处理部分的小结： ➢ 序列平稳性与纯随机性检验的基本步骤：
1. 绘制该序列时序图； 2. 自相关图检验； 3. 该序列若是平稳序列，进行纯随机性检验.
➢当检验统计量小于
2 1
(
m
)分位点，或该统计量
的P值大于 时，则认为在 1 的置信水平
下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为
纯随机序列的假定
时间序列数据的预处理
例4 随机生成的100个服从标准正态的白噪声序列纯 随机性检验
样本自相关图
时间序列数据的预处理
检验结果
延迟
QLB 统计量检验
QLB 统计量值
时间序列数据的预处理
3.3 纯随机性检验 ➢ 检验原理 ➢ 假设条件 ➢ 检验统计量 ➢ 判别原则
时间序列数据的预处理
Barlett定理 ➢ 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期
数为 n的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样
本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列 观察期数倒数的正态分布
平稳时间序列数据分析
样本偏自相关系数的计算
平稳时间序列数据分析
2. AR模型的定义
➢ 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简
记为 AR( p)
xt 01xt12xt2pxtpt p 0 E(t)0，Va(rt)2,E(ts)0,st Exst 0,st
数学建模时间序列分析
数学建模时间序列分析时间序列分析是一种重要的数学建模方法，专门用于处理随时间变化的数据。
它可以对数据的趋势、周期性和其他特征进行分析，从而预测未来的走势和行为。
本文将从时间序列的定义、常用方法和应用等方面进行详细介绍。
时间序列是指按照时间顺序收集的数据。
与传统的横截面数据相比，时间序列数据具有时间维度的特征，因此更能反映出数据的动态变化。
在实际应用中，时间序列分析通常用于经济学、金融学、气象学等领域中，用于预测货币汇率、股票指数、气温等。
时间序列分析的核心是寻找数据的规律性和趋势性。
常见的时间序列分析方法有平均数法、移动平均法、指数平滑法、趋势线法、周期性分析等。
平均数法是最简单的一种时间序列分析方法。
它将一系列数据的平均值作为预测的依据。
这种方法适用于数据变化较为稳定的情况。
移动平均法是对平均数法的改进。
它将一组连续的数据进行平均计算，结果作为下一个时间段的预测值。
由于考虑了连续时间段的数据，移动平均法可以更好地反映数据的趋势和变化。
指数平滑法是一种考虑到最新数据的权重较大的方法。
它基于当前数据和上一时刻的预测值，通过设定权重参数来调整预测结果。
指数平滑法的优点是能够很好地适应数据的变化，但对异常值的敏感性较高。
趋势线法是根据数据的变化趋势进行预测的方法。
通过拟合一条趋势线，可以对未来的数据进行预测。
常用的趋势线拟合方法有线性拟合、多项式拟合、指数拟合等。
周期性分析是用于寻找数据周期性变化的方法。
它通过分析数据在不同时间段的重复性来识别周期性行为。
周期性分析可以用于预测季节性销售额、股票价格等。
时间序列分析有着广泛的应用。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长率、消费者物价指数等。
在金融学中，时间序列分析被用于预测股票价格、货币汇率等。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测气温、降雨量等。
总之，时间序列分析是一种重要的数学建模方法。
通过对数据的趋势、周期性和其他特征进行分析，可以提供对未来走势和行为的预测。
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
数学建模中的时间序列分析方法
数学建模中的时间序列分析方法随着社会的发展和科技的进步，数学建模在各个领域中发挥着越来越重要的作用。
时间序列分析方法是数学建模中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地了解和预测未来的情况。
本文将探讨时间序列分析方法在数学建模中的主要应用和实践。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是指在不同时间点上收集到的数据序列。
它们可以是离散或连续的，可以是自然现象的测量数据，也可以是人类行为和经济事件的数据。
时间序列分析是一种可视化、建模和分析时间序列数据的技术。
时间序列分析可以通过将历史数据进行分析，以便识别出潜在的趋势、周期性、季节性和随机性因素，从而使我们更好地了解未来的行为并作出预测。
二、时间序列分析的主要方法时间序列分析方法有很多种，这里只介绍其中的几种主要方法。
1. 静态模型方法静态模型方法是最简单的时间序列分析方法。
它假设数据是定常的，即数据的均值和方差在不同时间段内是不变的。
静态模型可以采用回归分析进行建模和预测。
这种方法的缺点是忽略了时间上的相关性，可能导致预测结果不准确。
2. 移动平均法移动平均法是一种常见的时间序列分析方法，它是通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑数据序列。
移动平均法可以减少数据中的噪声，从而更好地表示数据的趋势和周期性。
然而，这种方法的缺点是需要确定移动平均期数和窗口大小。
3. 自回归移动平均法自回归移动平均法是一种更复杂的时间序列分析方法，它结合了自回归和移动平均两种方法。
自回归是指当前值与前面的数据值相互之间的关系，而移动平均是指一段时间内的平均值。
自回归移动平均法可以更准确地建模和预测时间序列数据。
三、时间序列分析在数学建模中的应用时间序列分析在数学建模中有广泛的应用。
以下是其中的几个重要应用领域。
1. 经济预测时间序列分析方法可以用于经济预测，帮助分析和预测未来的经济走势。
它可以识别出经济周期和波动，帮助制定经济政策和采取相应的措施。
2. 人口统计时间序列分析方法可以用于人口统计，例如年龄分布、出生率、死亡率、迁移率等数据的分析和预测。
时间序列分析实验报告 (4)
基于matlab的时间序列分析在实际问题中的应用时间序列分析(Time series analysis)是一种动态数据处理的统计方法。
该方法基于随机过程理论和数理统计学方法，研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。
时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象和其他现象之间的内在的数量关系及其变化规律性，而且运用时间序列模型可以预测和控制现象的未来行为，以达到修正或重新设计系统使其达到最优状态。
时间序列是指观察或记录到的一组按时间顺序排列的数据。
如某段时间内。
某类产品产量的统计数据，某企业产品销售量，利润，成本的历史统计数据；某地区人均收入的历史统计数据等实际数据的时间序列。
展示了研究对象在一定时期内的发展变化过程。
可以从中分析寻找出其变化特征，趋势和发展规律的预测信息。
时间序列预测方法的用途广泛，它的基本思路是，分析时间序列的变化特征，选择适当的模型形式和模型参数以建立预测模型，利用模型进行趋势外推预测，最后对模型预测值进行评价和修正从而得到预测结果。
目前最常用的拟合平稳序列模型是ARMA模型，其中AR和MA模型可以看成它的特例。
一．时间序列的分析及建模步骤（1）判断序列平稳性，若平稳转到（3），否则转到（2）。
平稳性检验是动态数据处理的必要前提，因为时间序列算法的处理对象是平稳性的数据序列，若数据序列为非平稳，则计算结果将会出错。
在实际应用中，如某地区的GDP，某公司的销售额等时间序列可能是非平稳的，它们在整体上随着时间的推移而增长，其均值随时间变化而变化。
通常将GDP等非平稳序列作差分或预处理。
所以获得一个时间序列之后，要对其进行分析预测，首先要保证该时间序列是平稳化的。
平稳性检验的方法有数据图、逆序检验、游程检验、自相关偏相关系数、特征根、参数检验等。
本实验中采用数据图法，数据图法比较直观。
（2）对序列进行差分运算。
一般而言，若某序列具有线性趋势，则可以通过对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉。
高校数学建模竞赛模型结果预测方法比较分析
高校数学建模竞赛模型结果预测方法比较分析在高校数学建模竞赛中，模型结果的准确预测对于参赛选手至关重要。
不同的预测方法会受到数据处理、模型选择和算法运算等因素的影响。
本文将对比几种常见的高校数学建模竞赛模型结果预测方法，并进行详细分析。
一、回归分析法回归分析法是一种常见的预测方法，其基本思想是通过建立数学模型，利用已有的数据对未知的结果进行预测。
在高校数学建模竞赛中，回归分析法通常用于预测数值型的结果，如预测某个指标的变化趋势或未来的数值。
回归分析法的优点是模型简单易懂，计算速度快。
然而，该方法对数据质量要求较高，需要有足够的样本数据和准确的观测值。
在应用过程中，需要注意选取适当的自变量和合适的函数形式，以减少模型拟合误差。
二、时间序列分析法时间序列分析法是一种以时间为顺序的数据序列为基础进行预测的方法。
在高校数学建模竞赛中，时间序列分析法常用于对某些事件或现象的趋势进行分析和预测。
时间序列分析法的优点是能够利用历史数据进行建模，考虑到数据的时间相关性。
然而，该方法对数据的平稳性和序列的稳定性要求较高，需要进行预处理和差分操作。
此外，时间序列分析法需要根据具体情况选取合适的模型和参数，否则预测结果可能不准确。
三、神经网络法神经网络法是一种模仿人脑神经网络结构与功能进行数据处理和预测的方法。
在高校数学建模竞赛中，神经网络法常用于复杂的非线性模型预测。
神经网络法的优点是能够学习和适应复杂的非线性关系，对数据处理能力强。
然而，该方法需要较多的样本数据来训练网络，且对初始参数的选择比较敏感。
此外，神经网络法在应用过程中容易陷入过拟合问题，需要进行适当的正则化和优化。
四、集成学习法集成学习法是一种将多个基学习器的预测结果进行组合的方法。
在高校数学建模竞赛中，集成学习法常用于降低模型的方差和提高预测的准确性。
集成学习法的优点是能够充分利用不同模型的优势，减少预测结果的波动性。
然而，该方法需要合理选择基学习器和组合方式，并对每个基学习器进行充分训练，否则可能出现过拟合问题。
数学建模算法大全时间序列模型
第二十四章 时间序列模型时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。
分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。
时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。
1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。
如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足：（1）均值为常数（2）协方差为时间间隔τ的函数。
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。
我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。
4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
§1 确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
（1）长期趋势变动。
它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
（2）季节变动。
（3）循环变动。
通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
（4）不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用t T 表示长期趋势项，t S 表示季节变动趋势项，t C 表示循环变动趋势项，t R 表示随机干扰项。
常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：（1）加法模型t t t t t R C S T y +++=（2）乘法模型t t t t t R C S T y ⋅⋅⋅=（3）混合模型t t t t R S T y +⋅= t t t t t R C T S y ⋅⋅+=其中t y 是观测目标的观测记录，0)(=t R E ，22)(σ=t R E 。
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2σ较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：1.1 移动平均法设观测序列为T y y ,,1Λ，取移动平均的项数T N <。
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基于Excel的时间序列预测与分析1 时序分析方法简介1.1时间序列相关概念1.1.1 时间序列的内涵以及组成因素所谓时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。
如经济领域中每年的产值、国民收入、商品在市场上的销量、股票数据的变化情况等，社会领域中某一地区的人口数、医院患者人数、铁路客流量等，自然领域的太阳黑子数、月降水量、河流流量等等，都形成了一个时间序列。
人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未来行为。
时间序列的变化受许多因素的影响 ,有些起着长期的、决定性的作用 ,使其呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则起着短期的、非决定性的作用，使其呈现出某种不规则性。
在分析时间序列的变动规律时，事实上不可能对每个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。
但我们能将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分成若干时间序列的构成因素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的变动规律性。
影响时间序列的构成因素可归纳为以下四种:(1)趋势性(Trend),指现象随时间推移朝着一定方向呈现出持续渐进地上升、下降或平稳的变化或移动。
这一变化通常是许多长期因素的结果。
(2)周期性(Cyclic)，指时间序列表现为循环于趋势线上方和下方的点序列并持续一年以上的有规则变动。
这种因素是因经济多年的周期性变动产生的。
比如，高速通货膨胀时期后面紧接的温和通货膨胀时期将会使许多时间序列表现为交替地出现于一条总体递增地趋势线上下方。
(3)季节性变化(Seasonal variation)，指现象受季节性影响 ,按一固定周期呈现出的周期波动变化。
尽管我们通常将一个时间序列中的季节变化认为是以1年为期的，但是季节因素还可以被用于表示时间长度小于1年的有规则重复形态。
比如，每日交通量数据表现出为期1天的“季节性”变化，即高峰期到达高峰水平，而一天的其他时期车流量较小，从午夜到次日清晨最小。
(4)不规则变化(Irregular movement)，指现象受偶然因素的影响而呈现出的不规则波动。
这种因素包括实际时间序列值与考虑了趋势性、周期性、季节性变动的估计值之间的偏差，它用于解释时间序列的随机变动。
不规则因素是由短期的未被预测到的以及不重复发现的那些影响时间序列的因素引起的。
时间序列一般是以上几种变化形式的叠加或组合出现的(如图1.4)。
图1.1 平稳序列图1.2 趋势序列图1.3 季节型序列图1.4 含有季节与趋势因素的序列1.1.2 时间序列的分类根据其所研究的依据不同，可有不同的分类:(1)按所研究的对象的多少来分，有一元时间序列和多元时间序列。
如某种商品的销售量数列，即为一元时间序列；如果所研究对象不仅仅是这一数列，而是多个变量，如按年、月顺序排序的气温、气压、雨量数据等，每个时刻对应着多个变量，则这种序列为多元时间序列。
(2)按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点，则该序列就是一个离散时间序列；如果某一序列中的每个序列值所对应的时间参数为连续函数，则该序列就是一个连续时间序列。
(3)按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列两类。
所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
平稳序列的时序图直观上应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及无周期特征；从理论上讲，分为严平稳与宽平稳两种。
相对的，时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的推移而发生变化。
(4)按序列的分布规律来分，有高斯型(Guassian) 和非高斯型时间序列(non-Guassian)1.2 时间序列分析概述时间序列分析是一种广泛应用的数据分析方法，它研究的是代表某一现象的一串随时间变化而又相关联的数字系列(动态数据)，从而描述和探索该现象随时间发展变化的规律性。
时间序列的分析利用的手段可以通过直观简便的数据图法、指标法、模型法等来分析，而模型法应用更确切和适用也比较前两种方法复杂，能更本质地了解数据的内在结构和复杂特征，以达到控制与预测的目的。
时间序列分析方法包括：(1)确定性时序分析：它是暂时过滤掉随机性因素（如季节因素、趋势变动）进行确定性分析方法，其基本思想是用一个确定的时间函数()t f y =来拟合时间序列，不同的变化采取不同的函数形式来描述，不同变化的叠加采用不同的函数叠加来描述。
具体可分为趋势预测法(最小二乘)、平滑预测法、分解分析法等；(2)随机性时序分析：其基本思想是通过分析不同时刻变量的相关关系，揭示其相关结构，利用这种相关结构建立自回归、滑动平均、自回归滑动平均混合模型来来对时间序列进行预测。
为了对时间序列分析方法有一个比较全面的了解，现将时间序列分析方法归纳如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧平均模型等采用自回归模型、滑动贝叶斯分析马尔可夫分析不可控时序分析可控多元时序分析一元随机性时序分析平滑法等采用移动平均法、指数趋势加周期波动分析周期波动分析趋势变动分析发展水平分析确定性时序分析时间序列分析//1.3 确定性时间序列分析由1.1的介绍，我们知道时间序列的变动是长期趋势变动、季节变动、循环变动、不规则变动的耦合或叠加。
在确定性时间序列分析中通过移动平均、指数平滑、最小二乘法等方法来体现出社会经济现象的长期趋势及带季节因子的长期趋势，预测未来的发展趋势。
1.3.1 移动平均法通过对时间序列逐期递移求得平均数作为预测值的一种方法叫移动平均法，它是对时间序列进行修匀，边移动边平均以排除偶然因素对原序列的影响，进而测定长期趋势的方法。
其简单的计算公式为：预测值=最后n 个值的平均其中： n =被认为是与预测下一个时期相关的最近的时期数采用Excel 进行移动平均时，在【数据分析】选项中选择【移动平均】，并在对话框中输入数据区域和移动间隔即可。
说明：n 的选择：采用移动平均法进行预测 ,用来求平均数的时期数n 的选择非常重要，这也是移动平均的难点。
因为n 取值的大小对对所计算的平均数的影响较大。
当1=n 时，移动平均预测值为原数据的序列值。
当n =全部数据的个数时，移动平均值等于且为全部数据的算术平均值。
显然，n 值越小，表明对近期观测值预测的作用越重视 ,预测值对数据变化的反应速度也越快，但预测的修匀程度较低，估计值的精度也可能降低。
反之，n 值越大，预测值的修匀程度越高，但对数据变化的反映程度较慢。
不存在一个确定时期n 值的规则。
一般n 在3～200之间，视序列长度和预测目标情况而定。
一般对水平型数据，n 值的选取较为随意；一般情况下，如果考虑到历史上序列 中含有大量随机成分，或者序列的基本发展趋势变化不大，则n 应取大一点。
对于具有趋 势性或阶跃性特点的数据，为提高预测值对数据变化的反应速度，减少预测误差，n 值取 较小一些，以使移动平均值更能反映目前的发展变化趋势。
一般n 的取值为3～15。
具体取值要看实际情况，可由均方差MSE 来评价(MSE 的概念在第3节“预测方法的评估”中介绍)。
1.3.2 指数平滑法指数平滑法是对过去的观测值加权平均进行预测，使第1+t 期的预测值等于t 期的实际观测值与第t 期指数平滑值的加权平均值，即预测值=α(上期值)+)1(α-(上次预测值)一次指数平滑法预测模型为：()t t t M y M αα-+=+11 (1-1)其中：t M ——第t 期预测值；t y ——第t 期的实际观测值；α——平滑系数，且10<<α。
将 ()2211----+=t t t M y M αα()3221----+=t t t My Mαα代入(1-1)式中,可得:()∑=--=ti it it y M 01αα (1-2)公式(1-2)中各项系数和为:()()()()()()t t tt αααααααααα-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-+-++-+-111111111当∞→t 时, ()01→-tα, 系数和1→。
所以，可以说t M 是t 期以及以前各期观察值的指数加权平均值，观察值的权数按递推周期以几何级数递减，各期的数据离第t 期越远，它的系数愈小，因此它对预测值的影响也越小。
公式(1-1)稍作变换可得：)-(+=+t t t t M y M M α1 (1-3) 可见，1+t M 是t 期的预测值t M 加上用α调整的t 期的预测误差)-(t t M y 。
因此，简单指数平滑法用于预测实际上是根据本期预测误差对本期预测值作出一定的调整后得到的下一个预测值，即:新的预测值=老的预测值+α⨯老预测值的误差对老预测值所作的调整的幅度视α的大小而定。
说明: 平滑系数α的选择:α的取值对平滑效果影响很大, α越小平滑效果越显著. α取值的大小决定了在平滑值中起作用的的观察值的项数的多少,当α取值较大时,各观察值权数的递减速度快,因此在平滑值中起作用的观察值的项数就较少;而当α取值较小时,各观察值权数的递减速度很慢,因此在平滑值中起作用的观察值的项数就较多。
如果用移动平均数与指数平滑法相比，要使两者具有相同的灵敏程度,移动平均数n 的取值与指数平滑法中α的取值有如下关系:αα-=-121n当α取值0.05～0.3之间时,如果要使移动平均具有相应的灵敏程度,则N 的取值为:当α取值较小时，指数平滑法的平滑能力较强，而α取值较大时,模型对现象变化的反应速度较快。
一般来说α取值的大小应当视所预测对象的特点及预测期的长短而定。
一般情况下，观测值呈较稳定的水平发展，α值取0.1～0.3之间；观测值波动较大时α,值取0.3～0.5之间;观测值呈波动很大时,α值取0.5～0.8之间。
采用Excel 进行指数平滑预测步骤如下： 1、选择在【数据分析】选项中选择【指数平滑】； 2、在【输入区域】中输入数据区域；3、在【阻尼系数】输入α-1的值（注：阻尼系数=α-1）；4、在【输出区域】中选择预测结果输出位置；单击【确定】即可。
1.3.3 趋势预测(1)线性趋势预测模型：bt a y t +=用最小二乘法求待定参数a 、b 决定于标准方程组：⎩⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑∑2tb t ty t b a y ⇒()⎪⎩⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑tb y a t t n y t ty n b ][)(22趋势预测的误差可用线性回归中的估计标准误差来衡量。