数学建模中的预测方法时间序列分析模型

若样本偏自相关函数 在 步截尾，则 是 （ ）序列 X AR p p kk t 若 k 都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认 kk 为 是 X t ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增
加，再通过检验来确定.
1） k 的截尾性判断 , , q 1 q M 对于每一个q ，计算 考察其中满足
1 2 2 | k | 0 2 l N l 1
q
或
q 2 2 2 | k | 0 2 l N l 1
的个数是否为 M的68.3%或95.5%。 如果当1 k 时， q0 地认为 明显地异于 0，而
k
, , 近似为 0 ， q 1 q M
0 0
1
ˆ p2 ˆ p1
白噪声序列
u
t
的方差的矩估计为
p j 1
ˆ j ˆj ˆ 2 0
2）MA（q
）模型
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 q 0 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , k 1 , , q k 1k 1 qk q k
k
(B)k 0
0

k
(B ) 满足 k
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
p , q ）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的 3）ARMA（
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数.
X MA q q 若样本自协方差函数 在 步截尾，则 是 （ ）序列 t k
数学建模中的预测方法
1. 插值与拟合方法：小样本内部预测
应用案例：
（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题； （2）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
2.回归模型方法：大样本的内部预测
可逆条件是 ( B ) 的根都在单位圆外
2、随机时间序列的特性分析
（1）时序特性的研究工具
1）自相关
构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为 自相关。 自相关程度由自相关系数 度量，表示时间序列中相 隔 期的观测值之间的相关程度。 k
k
k
(X
t 1
nk
t n
X )( X t k X )
时间序列分析模型
一、时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种 精度较高的时间序列短期预测方法.
通过对模型的分析研究，能够更本质地认识时间序列 的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. 三种基本类型：自回归（AR：Auto-regressive）模 型；移动平均（MA：Moving Average）模型；自回归 移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型


【3】
注：实参数
, , 1 2, q 为移动平均系数，是待估参数
2 q 引入滞后算子，并令 ( B )1 BB B 1 2 q
则模型【3】可简写为
X (Bu )t t
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
自回归移动平均序列：
（3）自回归移动平均【ARMA】模型【B-J方法建 模】
X X XX u u u u 【5】 t 1 t 1 2 t 2 p t p t 1 t 1 2 t 2 q t q
【5】称为 ( p , q 阶的自回归移动平均模型，记为 ARMA ( p , q ) )
注2：一般假定 X 均值为 0，否则令 t
Xt Xt
k 记 B 为 步滞后算子，即 表示为
k
BX ，则模型【 1】可 t X t k
k
2 p B )1 BB B 令 ( ，模型可简写为 1 2 p

p
X B X B X B X u t 1 t t
判断时间序列季节性的标准为：自相关系数是否与0
有显著差异。
实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情 况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序
列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判
断错误. 包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型， 需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节
（3）参数估计
在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本方 法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法，这 里仅介绍矩估计法 1）AR（ p ）模型
ˆ1 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ p ˆ1 1 ˆ p1 ˆ1 ˆ p2 ˆ2 1 ˆ p
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计； （2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；
（5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例 （1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；
2 2 t



p p t
(B )X t u t
AR（ ）过程平稳的条件是滞后多项式 的根均在单位圆外
【2】
(B )
（2）移动平均【MA】模型
移动平均序列 ：
X uu u u t t 1 t 1 22 t q t q
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（q ）
有关，而与 和 ts
t
t
的起始点无关。那么，这个时间序 s
列就称为平稳时间序列 。
t
3）季节性
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序
列重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调wk.baidu.com
销售额等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个
月；季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
Dut 2 是白噪声序列的方差
样本自相关函数
1 , k 0 k k 1 k 1 q k q , 1k q k 2 2 0 1 1 q 0 , k q
q ）序列的自相关函数 MA（
性质称为自相关函数的
（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测；
（4）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
4.时间序列方法：大样本的随机因素或周期特征的 未来预测； 应用案例
（1）CUMCM2003-A:SARS的传播问题；
（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （3）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。 5.神经网络方法：大样本的未来预测．
周期一致.
3、模型的识别与建立
在运用B-J方法建模时，应运用序列的自相关与偏自 相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶数！
（1）自相关函数与偏自相关函数
q 1）MA（
）的自相关与偏自相关函数
自协方差函数
2 2 2 1 , k0 1 q 2 k k 1 k1 qk q , 1kq 0 , kq
步截尾性；
q
k在 k 以后全都是 0，这种 q
偏自相关函数随着滞后期 k 的增加，呈现指数或者正弦波 衰减，趋向于0，这种特性称为偏自相关函数的拖尾性
p ）序列的自相关与偏自相关函数 2）AR（
偏自相关函数
k , 1k p kk , kp 0
满足
是 p 步截尾的 ； 自协方差函数 自相关函数
2 ( X X ) t t 1
2）偏自相关 偏自相关是指对于时间序列 X
t
，在给定
XX ,t , , X t 1 2 tk 1
的条件下， X
t
与X
kk
t k
之间的条件相关关系。其相关程度
度量，有 1kk 1
k 1 k 2,3,
用偏自相关系数
1 k 1 k k 1, j k j kk j 1 k 1 1 k 1, j j j 1
其中 k是滞后 期的自相关系数，
, j 1 , 2 ,, k 1
k j k 1 , j k k k 1 , k j
k
（2）时间序列的特性分析
1）随机性 如果一个时间序列没有任何规律性，序列诸项之间不 存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0 没有显著差异。 2）平稳性 若时间序列满足 1）对任意时间 ，其均值恒为常数； 2）对任意时间 和 ，其自相关系数只与时间间隔 s
2
ˆ
是用某种方法得到的方差的估计
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
2 S ˆ A I CS ( )l n N q 用AIC准则定阶是指在p , 的一定变化范围内，寻求使得
2
AIC最小的点 (S )
AR（ p
ˆ , qˆ ) (p 作为
的估计。 ( p,q)
ˆ2 A IC ln
2p ）模型 ： N (p q ) 2 2 ( p , q ) 模型 ： A ARMA ˆ I C l n N
（1）自回归【 AR 】模型
自回归序列：
X X X X u t 11 t 2 t 2 p t p t 【1】
【1】式称为


p 阶自回归模型，记为AR（
p）
, , 称为自回归系数，是待估参数 , 注1：实参数 .随机 1 2 p u t 项 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为 0、方差为 的正态分布. 2 随机项与滞后变量不相关。
且满足上述不等式的个数达到了相应的比例，则可近似 在 步截尾 k
q
0
2）
k k的截尾性判断
作如下假设检验：M N
H : 存在某个
H : 0 , k 1 , , M 0 p k , p k
1
k
，使 kk
2
0
k M p ，且 p
统计量
2 2 N kk M kp 1
, , , , , 注1：自回归系数 1 2, q 1 2 p 移动平均系数

( B ) X ( B ) u t t
注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为
【6】
( B ) 的根均在单位圆外 注4：ARMA过程的平稳条件是
i 1 w B w B X w BX u 1 2 t i t t 0 i
2
注3：【2】满足平稳条件时，AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即
2 j X 1 v Bv B u v Bu t t 1 2 t j j 0
pM
2 2 M ( ) 表示自由度为 的 分布的上侧 M
分位数点
p
）模型 ；
对于给定的显著性水平 0
2 2 M () 则认为样本不是来自AR（
2 2 M ()
可认为样本来自AR（
p
）模型 。
3）AIC准则确定模型的阶数 AIC定阶准则： S 是模型的未知参数的总数



( p , q ) 模型的参数矩估计分三步： 3）ARMA
i）
, , , 的估计 1 2 p
ˆ1 ˆq ˆq1 ˆ ˆ ˆq 2 q 1 ˆqp2 ˆ p ˆqp1 ˆqp1 ˆq1 ˆqp2 ˆq2 ˆq ˆ qp