数学建模——时间序列分析
数学建模(平稳时间序列分析)
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优
预
化
测
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
ˆk
模型识别
基本原则
拖尾 q阶截尾
均值
Ext
1 1
0 p
协方差
(k
)
2
GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
ARMA模型的相关性
自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例2.7:考察ARMA模型的相关性
拟合模型ARMA(1,1): xt 0.5xt1 t 0.8t 并直观地考察该模型自相关系数和偏自 相关系数的性质。
例2.5— (1)xt 0.8xt1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例2.5:— (2)xt 0.8xt1 t
例2.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例2.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
Exs t 0,s t
特别当0 0 时，称为中心化 AR( p)模型
数学建模时间序列分析
参数估计值
a ˆ84.699,8b ˆ8.1 92
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合
使用场合 长期趋势呈现出非线形特征
参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
常用非线性模型
模型
变换
对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
例2.3:病事假人数的移动平均
时 病事假人 5项移动 时间 病事假 5项移动 时间 病事假 5项移动
间
数
平均
人数
平均
人数
平均
1.1
4
1.2
7
1.3
8
1.4
11
1.5
18
2.1
质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS
推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
特别的当 l 1
yT li
yˆTli yTli
,l i ,l i
y ˆT1yTyT1 n yTn1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2
（1）使用4期移动平均法预测 xˆT 2。
数学建模方法之时间序列
(
S
(1) t
St(2) )
S
(1) t
1 1
(S
(1) t
S
( t
2)
)
因
S (1) 0
S (2) 0
16.41
yˆ1
S (1) 0
16.41
yˆ 2
S1(1)
1 1
(S1(1)
S1(2) )
16.41 1 (16.41 16.41) 1 0.4
16.41
yˆ 3
S
(1) 2
1 1
(S
(1) 2
S
(2) 2
)
16.89 1 (16.89 16.60) 17.37 1 0.4
以此类推，计算结果如表中所述，最后，计算预测标准误差，
n
2
S
( yt yˆt )
t 1
8.72 1.21
n2
6
由于此例中数据基本上属于变化比较平稳的情况，二次指数平滑的预
测效果反而不如一次指数平滑。
yt1 yˆt1
1
16.41
16.41
( yt1 yˆt1 )2
2
17.62
16.89
16.41
1.21
1.46
3
16.15
16.59
16.89 -0.74
0.55
4
15.54
16.17
16.59 -1.05
1.10
5
17.24
16.59
16.17
1.07
1.14
6
16.83
16.68
16.59
3
16.15
16.59 16.60 17.37 -1.22 1.49
财务预测和建模方法
财务预测和建模方法财务预测和建模是企业管理和决策过程中至关重要的一环。
它们通过运用统计学和数学建模技术，帮助企业预测未来的财务情况，并为决策提供依据。
本文将介绍几种常用的财务预测和建模方法。
一、时间序列分析法时间序列分析法是一种根据历史财务数据进行预测的方法。
它基于假设，即过去的数据模式将在未来重复出现。
时间序列分析法主要包括以下步骤：（1）观察和识别数据模式：通过查看历史财务数据，分析数据的趋势、季节性、周期性等模式。
（2）选择适当的模型：根据观察到的数据模式，选择合适的时间序列模型，如移动平均模型、指数平滑模型、ARIMA模型等。
（3）模型参数估计：利用历史数据对选定的模型进行参数估计，以得到一个较为准确的模型。
（4）预测未来数据：使用参数估计的模型，对未来的财务数据进行预测。
二、回归分析法回归分析法是一种通过建立依赖于相关变量的数学模型来进行预测的方法。
在财务预测中，通常选择线性回归模型。
回归分析法主要包括以下步骤：（1）确定相关变量：通过分析历史数据，确定可能与财务指标相关的变量。
例如，可以选择销售额、市场规模、利率等作为解释变量。
（2）建立回归模型：根据选定的相关变量，建立一个线性回归模型，将解释变量与财务指标建立起关系。
（3）模型参数估计：利用历史数据对回归模型进行参数估计，以确定模型中的系数。
（4）预测未来数据：使用参数估计的回归模型，对未来的财务数据进行预测。
三、财务比率分析法财务比率分析法是一种通过分析企业财务比率的变化趋势来进行预测的方法。
财务比率是衡量企业财务状况和经营绩效的重要指标，包括偿债能力、盈利能力、运营能力等方面的比率。
财务比率分析法主要包括以下步骤：（1）选择关键比率：挑选出与企业关键财务指标相关的财务比率，如资产负债率、净利润率、存货周转率等。
（2）分析比率变化趋势：通过比较历史数据，观察并分析财务比率的变化趋势，判断企业财务状况的发展方向。
（3）预测未来比率：根据财务比率的变化趋势，预测未来的财务比率，并据此进行财务预测。
数学建模中的预测方法：时间序列分析模型
自相关函数
k 满足 ( B) k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
3）ARMA（ p, q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则 X t 是MA（ q ）序列
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
2
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
用AIC准则定阶是指在
得 AIC (S )
p, q
最小的点
ˆ,q ˆ) (p
作为
( p, q)
的估计。
2p N 2( p q ) 2 ( p , q ) ˆ ARMA 模型 ： AIC ln N
AR（ p ）模型 ：
ˆ2 AIC ln
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例
k 在
2） kk 的截尾性判断 作如下假设检验：M N
H0 : pk , pk 0, k 1, , M H1 : 存在某个 k ，使kk
数学建模评价类算法
数学建模评价类算法
数学建模评价类算法有许多种，下面列举几种常见的算法：
1. 主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）：PCA是一种常用的多变量数据降维算法，它可以将高维数据映射到低维子空间，从而提取数据中的主要成分。
在数学建模中，可以利用PCA算法对数据的维度进行降维，从而减少问题的复杂度。
2. 回归分析（Regression Analysis）：回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，它可以通过拟合一个数学函数来预测和解释因变量的变化。
在数学建模中，可以利用回归分析来建立数学模型，从而预测和解释问题的特征和关系。
3. 时间序列分析（Time Series Analysis）：时间序列分析是一种用来研究时间序列数据的统计方法，它可以用来预测未来的数据趋势和周期性。
在数学建模中，可以利用时间序列分析来建立时间序列模型，从而预测和解释问题的时间变化规律。
4. 神经网络（Neural Network）：神经网络是一种模仿人脑神经元网络结构的数学模型，它可以通过训练和学习来提取和表示数据中的模式和关系。
在数学建模中，可以利用神经网络来建立复杂的映射关系，从而解决复杂的问题。
5. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来解决优化问题的算法，它通过选择、交叉和变异等操作来搜索问题的最优解。
在数学建模中，可以利用遗传
算法来优化问题的目标函数，从而找到最优解。
这些算法在数学建模中都有广泛的应用，具体选择哪种算法取决于问题的特点和要求。
同时，也可以根据不同的问题将多个算法进行组合和集成，以达到更好的建模效果。
数学建模在金融分析中的应用
数学建模在金融分析中的应用一、绪论金融是一个重要的社会领域，研究其发展和变化对社会有着重要的意义。
而数学建模在这一领域中的应用越来越被重视。
本文就数学建模在金融分析中的应用进行探讨。
二、基本概念1.金融风险金融风险是指在金融交易中由于不确定性因素所带来的财务损失。
金融风险包括市场风险、信用风险、操作风险、流动性风险。
2.数学建模数学建模是将实际问题用数学符号和模型表示出来，通过模型分析和计算，得出问题的定量解决方案的过程。
三、数学建模在金融中的应用1.时间序列分析时间序列分析是对金融市场变化进行预测的重要方法。
数学建模技术可以利用时间序列数据来表达和预测金融市场变化，从而降低金融风险。
比如，ARIMA模型可以用来研究股市的走势，预测未来走势。
此外，VAR模型和协整模型结合可以用来分析金融市场的联动性以及各自的影响因素。
2.风险价值模型在金融领域中，计算金融产品的风险价值是很重要的。
金融风险价值模型是用于评估一定时间内的最大损失的模型。
数学建模技术通过仿真实验的方法，对金融风险价值进行预测。
3.人工神经网络模型人工神经网络模型是一种计算神经科学的模型。
在金融领域中，利用神经网络模型可以预测股票价格的走势，衍生品价格的波动，金融市场中的风险和收益。
此外，神经网络还可以用于金融欺诈监测，即通过分析用户的金融信贷记录和交易记录，来判断是否存在欺诈行为。
4.支持向量机模型支持向量机模型是一种监督学习算法，用于处理分类和回归问题。
在金融领域中，支持向量机模型可以用于信用风险评估，预测个人申请贷款的违约情况。
5.投资组合优化模型投资组合优化模型是用于优化投资组合收益和风险的模型。
数学建模工具可以用于投资组合最优化方案的计算。
同时，数学建模技术可以识别单个证券或资产组合的长期表现，并允许决策者更好地管理风险，减少投资亏损。
四、实例分析以股市为例，介绍数学建模在金融分析中应用的实例。
1.建立ARIMA 模型ARIMA模型是一种可以对时间序列进行处理的模型，它包括自回归、差分和移动平均三个重要部分。
数学中的数据建模与统计分析方法
数学中的数据建模与统计分析方法随着信息技术的发展以及数据产生和集成的速度增加，数据分析和建模的需求也在逐渐增长。
在众多的数据分析和建模方法中，数学方法的应用也越来越广泛。
本文将介绍一些常见的数学数据建模和统计分析方法。
一、线性回归线性回归是一种基本的数据建模方法，用于研究变量之间的关系。
在线性回归中，我们将自变量与因变量之间的关系表示为一个线性方程，通过线性拟合找到最优解。
线性回归可用于预测和建模连续型数据，如销售额和房价等。
在线性回归中，我们需要选择合适的自变量和最优的拟合函数。
这可能需要对数据进行预处理和特征选择。
线性回归的依据是数据的相关性，因此在样本数量较少时，需要进行显著性检验，确保模型的可靠性。
二、非线性回归与线性回归不同，非线性回归研究的是自变量和因变量之间的非线性关系。
非线性回归可以用于建模非线性系统，例如天气、地震等。
与线性回归不同，非线性回归需要找到合适的拟合函数，因此需要更多的建模经验和计算资源。
在实践中，非线性回归常常与深度学习相结合，以辅助建模和预测。
深度学习可以自动选择和训练适当的模型和数据特征，从而提高预测的准确性和可靠性。
三、分类和聚类分类和聚类是常用的数据挖掘技术。
它们可用于将数据分为不同的类别或组，以便更好地理解和分析数据。
分类和聚类可以用于市场调研、客户分析、图像识别和自然语言处理等方面。
在分类和聚类中，我们需要选择合适的算法和特征工程，以识别和分类数据。
例如，在图像识别中，我们可以使用卷积神经网络 (CNN) 将图像分为不同的类别。
在文本分类中，我们可以使用词袋模型 (Bag of Words) 分析词频和共现关系，以便确定文本的主题和情感。
四、时间序列分析时间序列分析是研究时间序列数据的一种方法。
时间序列数据是一组按时间顺序排列的测量结果，例如天气、股票交易和实验数据等。
时间序列分析可以用于预测趋势、周期性和周期性波动。
时间序列分析中，我们需要进行时间序列的平稳性检验和趋势分析，以便找到相关模型和参数。
数学建模中的预测方法时间序列分析模型
数学建模中的预测方法时间序列分析模型时间序列分析模型是数学建模中常用的一种预测方法，它通过对时间序列数据的观察和分析，建立模型来预测未来的趋势和变化。
时间序列是按照时间顺序排列的数据序列，例如股票价格的变化、气温的变化、销售额的变化等等。
时间序列分析模型的基本思想是利用历史数据中的模式和规律，来预测未来的变化。
下面将介绍时间序列分析模型的基本步骤和常用的方法。
时间序列分析模型的基本步骤包括数据获取、数据预处理、模型建立、模型检验和预测。
首先，需要获取时间序列数据。
时间序列数据通常是从历史记录中获得的，可以是一定时间间隔内的观测值。
例如，如果我们要预测未来一年的销售额，那么可以用过去几年的销售额数据作为时间序列数据。
接下来，对数据进行预处理。
预处理的目的是去除数据中的噪声和异常值，使数据更加平滑和稳定。
常用的预处理方法包括平滑法（如移动平均法和指数平滑法）、差分法和季节性调整等。
然后，建立时间序列分析模型。
常用的时间序列分析模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）、自回归移动平均模型（ARMA模型）和季节性自回归移动平均模型（SARMA模型）等。
这些模型都基于不同的假设和方法，可以用来描述时间序列数据的特征和变化规律。
模型建立完成后，需要对模型进行检验。
常用的检验方法包括残差分析、自相关图、偏自相关图等。
这些方法可以用来检验模型的拟合程度和预测效果，判断模型是否能够合理描述时间序列数据。
最后，使用建立好的模型进行预测。
根据模型的参数和特征，可以预测未来一段时间内时间序列数据的变化。
预测结果可以用来制定相应的决策和计划。
除了上述常用的时间序列分析模型，还有一些其他方法也可以用于时间序列的预测。
例如回归分析、神经网络模型、支持向量机等。
这些方法在一些特殊情况下可以提供更好的预测效果。
总之，时间序列分析模型是数学建模中常用的预测方法，它通过对时间序列数据的观察和分析，建立模型来预测未来的趋势和变化。
数学在历史研究中的模型与分析
数学在历史研究中的模型与分析数学是一门自古以来就存在的学科，它在各个领域中都发挥着重要的作用。
在历史研究中，数学模型和分析被广泛应用于对历史事件和演变进行研究和理解。
本文将探讨数学在历史研究中的模型和分析的应用，并讨论其对历史研究的意义和贡献。
一、数学模型在历史研究中的应用1. 时间序列分析时间序列分析是一种通过统计方法对一组有序的时间数据进行模式识别和预测的技术。
在历史研究中，时间序列分析可以帮助研究者揭示历史事件的规律性和周期性。
例如，通过对历史人口数量进行时间序列分析，可以发现人口的增长趋势、周期性波动以及其与其他因素的相关性，从而为研究历史人口变化提供依据和指导。
2. 网络分析网络分析是一种研究复杂系统中个体之间关系的方法。
在历史研究中，网络分析可以用来分析历史事件中的人际关系、组织结构等。
例如，通过对历史文献中人物之间的关系进行网络分析，可以揭示历史事件中的重要人物、他们之间的联系以及其对历史演变的影响，为历史研究提供新的视角和方法。
3. 数学建模数学建模是将现实问题抽象化为数学问题，并通过数学方法进行建模和求解的过程。
在历史研究中，数学建模可以帮助研究者分析历史事件的原因、结果和影响因素。
例如，通过建立数学模型来研究历史战争和战略，可以揭示战争的规律性，预测战争的发展趋势，并为历史事件的解释和评价提供依据。
二、数学分析在历史研究中的意义和贡献1. 深化对历史事件的理解数学分析可以帮助研究者深入分析历史事件的规律性和复杂性。
通过数学方法，可以剥离历史事件中的主观影响，揭示事物背后的客观规律。
同时，数学分析还可以对历史事件进行量化和比较，提供客观的评估和证据，从而深化对历史事件的理解。
2. 预测历史走向和趋势数学分析可以帮助研究者预测历史走向和趋势，提供决策支持和预警。
通过对历史数据和模型的分析，可以发现历史事件中的规律和趋势，从而预测未来的发展方向。
这对历史研究者和决策者来说是非常有价值的，可以帮助他们做出更明智的决策和判断。
数学建模-时间序列分析模型课件PPT
1 时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述
1、自回归模型 2、移动平均模型
3、自回归移动平均模型 二、随机时间序列的特性分析 三、模型的识别与建立 四、模型的预测 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 一、问题分析 二、模型假设 三、模型建立
2021/3/10
引入滞后算子，并令 (B ) 1 1 B 2 B 2 q B q
则模型【3】可简写为
Xt (B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳
注2：滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程
能相互表出，即过程可逆，
1w 1B w 2B 2 X t w iB i X tu t i 0 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程
❖ 确定性时间序列法有：移动平均法、指数平滑法、 差分指数平滑法、自适应过滤法、直线模型预测法、 成长曲线模型预测和季节变动预测法等等。
❖ 随机时间序列是通过建立随机时间序列模型来预测， 方法和数据要求都很高，精度也很高，应用非常广 泛。
2021/3/10
4
❖ 时间序列预测法的优缺点
优点： 在分析现在、过去、未来的联系时，以及未来的
思想是：某些时间序列是依赖于时间 t 的一族随机
变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确 定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以 用相应的数学模型近似描述.
通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认
识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的 最优预测.
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 2自021回/3/1归0 移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型6
数学建模——时间序列分析
时间序列数据的预处理
➢ 1962年1月—1975年12月平均每头奶牛月产奶量SAS程 序
时间序列数据的预处理
➢ 1949年——1998年北京市每年最高气温SAS程序
时间序列数据的预处理
3 纯随机性检验
➢ 纯随机序列的定义 ➢ 纯随机性的性质 ➢ 纯随机性检验
时间序列数据的预处理
3.1 纯随机序列的定义 ➢ 纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下两条
疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺可以简记例16对1917年1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模非平稳时间序列数据分析一阶差分非平稳时间序列数据分析自相关图非平稳时间序列数据分析偏自相关图非平稳时间序列数据分析arima1410参数估计模型检验模型显著参数显著季节模型简单季节模型乘积季节模型非平稳时间序列数据分析简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分季节差分之后序列即可转化为平稳它的模型结构通常如下例17拟合19621991年德国工人季度失业率序列非平稳时间序列数据分析差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势再作4步差分消除季节效应的影响差分后序列的时序图如下非平稳时间序列数据分析白噪声检验延迟阶数统计量4384000011251710000118544800001差分后序列自相关图非平稳时间序列数据分析差分后序列偏自相关图非平稳时间序列数据分析arima14140参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟参数统计20907191348000011210990358434100001拟合效果图非平稳时间序列数据分析乘积季节模型使用场合序列的季节效应长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶armapq模型提取季节相关性用以周期步长s为单位的armapq模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系模型结构如下例18拟合19481981年美国女性月度失业率序列非平稳时间序列数据分析差分平稳一阶12步差分非平稳时间序列数据分析差分后序列自相关图非平稳时间序列数据分析差分后序列偏自相关图非平稳时间序列数据分析简单季节模型拟合结果延迟拟合模型残差白噪声检验ar112ma1212arma112112145800057950023313770000412164200883141901158179900213结果拟合模型均不显著乘积季节模型拟合模型定阶arima11101112参数估计1212非平稳时间序列数据分析模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟参数统计450021204660000112942040022303000
数学建模时间序列分析
数学建模时间序列分析时间序列分析是一种重要的数学建模方法，专门用于处理随时间变化的数据。
它可以对数据的趋势、周期性和其他特征进行分析，从而预测未来的走势和行为。
本文将从时间序列的定义、常用方法和应用等方面进行详细介绍。
时间序列是指按照时间顺序收集的数据。
与传统的横截面数据相比，时间序列数据具有时间维度的特征，因此更能反映出数据的动态变化。
在实际应用中，时间序列分析通常用于经济学、金融学、气象学等领域中，用于预测货币汇率、股票指数、气温等。
时间序列分析的核心是寻找数据的规律性和趋势性。
常见的时间序列分析方法有平均数法、移动平均法、指数平滑法、趋势线法、周期性分析等。
平均数法是最简单的一种时间序列分析方法。
它将一系列数据的平均值作为预测的依据。
这种方法适用于数据变化较为稳定的情况。
移动平均法是对平均数法的改进。
它将一组连续的数据进行平均计算，结果作为下一个时间段的预测值。
由于考虑了连续时间段的数据，移动平均法可以更好地反映数据的趋势和变化。
指数平滑法是一种考虑到最新数据的权重较大的方法。
它基于当前数据和上一时刻的预测值，通过设定权重参数来调整预测结果。
指数平滑法的优点是能够很好地适应数据的变化，但对异常值的敏感性较高。
趋势线法是根据数据的变化趋势进行预测的方法。
通过拟合一条趋势线，可以对未来的数据进行预测。
常用的趋势线拟合方法有线性拟合、多项式拟合、指数拟合等。
周期性分析是用于寻找数据周期性变化的方法。
它通过分析数据在不同时间段的重复性来识别周期性行为。
周期性分析可以用于预测季节性销售额、股票价格等。
时间序列分析有着广泛的应用。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长率、消费者物价指数等。
在金融学中，时间序列分析被用于预测股票价格、货币汇率等。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测气温、降雨量等。
总之，时间序列分析是一种重要的数学建模方法。
通过对数据的趋势、周期性和其他特征进行分析，可以提供对未来走势和行为的预测。
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
数学建模中的时间序列分析方法
数学建模中的时间序列分析方法随着社会的发展和科技的进步，数学建模在各个领域中发挥着越来越重要的作用。
时间序列分析方法是数学建模中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地了解和预测未来的情况。
本文将探讨时间序列分析方法在数学建模中的主要应用和实践。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是指在不同时间点上收集到的数据序列。
它们可以是离散或连续的，可以是自然现象的测量数据，也可以是人类行为和经济事件的数据。
时间序列分析是一种可视化、建模和分析时间序列数据的技术。
时间序列分析可以通过将历史数据进行分析，以便识别出潜在的趋势、周期性、季节性和随机性因素，从而使我们更好地了解未来的行为并作出预测。
二、时间序列分析的主要方法时间序列分析方法有很多种，这里只介绍其中的几种主要方法。
1. 静态模型方法静态模型方法是最简单的时间序列分析方法。
它假设数据是定常的，即数据的均值和方差在不同时间段内是不变的。
静态模型可以采用回归分析进行建模和预测。
这种方法的缺点是忽略了时间上的相关性，可能导致预测结果不准确。
2. 移动平均法移动平均法是一种常见的时间序列分析方法，它是通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑数据序列。
移动平均法可以减少数据中的噪声，从而更好地表示数据的趋势和周期性。
然而，这种方法的缺点是需要确定移动平均期数和窗口大小。
3. 自回归移动平均法自回归移动平均法是一种更复杂的时间序列分析方法，它结合了自回归和移动平均两种方法。
自回归是指当前值与前面的数据值相互之间的关系，而移动平均是指一段时间内的平均值。
自回归移动平均法可以更准确地建模和预测时间序列数据。
三、时间序列分析在数学建模中的应用时间序列分析在数学建模中有广泛的应用。
以下是其中的几个重要应用领域。
1. 经济预测时间序列分析方法可以用于经济预测，帮助分析和预测未来的经济走势。
它可以识别出经济周期和波动，帮助制定经济政策和采取相应的措施。
2. 人口统计时间序列分析方法可以用于人口统计，例如年龄分布、出生率、死亡率、迁移率等数据的分析和预测。
高校数学建模竞赛模型结果预测方法比较分析
高校数学建模竞赛模型结果预测方法比较分析在高校数学建模竞赛中，模型结果的准确预测对于参赛选手至关重要。
不同的预测方法会受到数据处理、模型选择和算法运算等因素的影响。
本文将对比几种常见的高校数学建模竞赛模型结果预测方法，并进行详细分析。
一、回归分析法回归分析法是一种常见的预测方法，其基本思想是通过建立数学模型，利用已有的数据对未知的结果进行预测。
在高校数学建模竞赛中，回归分析法通常用于预测数值型的结果，如预测某个指标的变化趋势或未来的数值。
回归分析法的优点是模型简单易懂，计算速度快。
然而，该方法对数据质量要求较高，需要有足够的样本数据和准确的观测值。
在应用过程中，需要注意选取适当的自变量和合适的函数形式，以减少模型拟合误差。
二、时间序列分析法时间序列分析法是一种以时间为顺序的数据序列为基础进行预测的方法。
在高校数学建模竞赛中，时间序列分析法常用于对某些事件或现象的趋势进行分析和预测。
时间序列分析法的优点是能够利用历史数据进行建模，考虑到数据的时间相关性。
然而，该方法对数据的平稳性和序列的稳定性要求较高，需要进行预处理和差分操作。
此外，时间序列分析法需要根据具体情况选取合适的模型和参数，否则预测结果可能不准确。
三、神经网络法神经网络法是一种模仿人脑神经网络结构与功能进行数据处理和预测的方法。
在高校数学建模竞赛中，神经网络法常用于复杂的非线性模型预测。
神经网络法的优点是能够学习和适应复杂的非线性关系，对数据处理能力强。
然而，该方法需要较多的样本数据来训练网络，且对初始参数的选择比较敏感。
此外，神经网络法在应用过程中容易陷入过拟合问题，需要进行适当的正则化和优化。
四、集成学习法集成学习法是一种将多个基学习器的预测结果进行组合的方法。
在高校数学建模竞赛中，集成学习法常用于降低模型的方差和提高预测的准确性。
集成学习法的优点是能够充分利用不同模型的优势，减少预测结果的波动性。
然而，该方法需要合理选择基学习器和组合方式，并对每个基学习器进行充分训练，否则可能出现过拟合问题。
数学建模算法大全时间序列模型
第二十四章 时间序列模型时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。
分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。
时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。
1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。
如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足：（1）均值为常数（2）协方差为时间间隔τ的函数。
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。
我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。
4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
§1 确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
（1）长期趋势变动。
它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
（2）季节变动。
（3）循环变动。
通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
（4）不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用t T 表示长期趋势项，t S 表示季节变动趋势项，t C 表示循环变动趋势项，t R 表示随机干扰项。
常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：（1）加法模型t t t t t R C S T y +++=（2）乘法模型t t t t t R C S T y ⋅⋅⋅=（3）混合模型t t t t R S T y +⋅= t t t t t R C T S y ⋅⋅+=其中t y 是观测目标的观测记录，0)(=t R E ，22)(σ=t R E 。
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2σ较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：1.1 移动平均法设观测序列为T y y ,,1Λ，取移动平均的项数T N <。
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时间序列数据的预处理
3. 序列纯随机性检验
时间序列数据的预处理
结论：
➢ 由于统计量的P值<0.0001，远远小于 0.05，即拒绝 序列为纯随机序列的假定。因而认为京市城乡居民 定期储蓄所占比例的变动不属于纯随机波动，各序 列值之间有相关关系。
➢ 这说明我们可以根据历史信息预测未来年份的北京 市城乡居民定期储蓄所占比例，该平稳序列属于非 白噪声序列，可以对其继续进行研究。
➢ 1964年——1999年中国纱年产量SAS程序
➢ data a;input sha@@; ➢ year=intnx('year','1964',_n_-1);format year year4.; ➢ dif=dif(sha); ➢ cards; ➢ 97 130 156.5 135.2 137.7 180.5 205.2 190 188.6 196.7 ➢ 180.3 210.8 196 223 238.2 263.5 292.6 317 335.4 327 ➢ 321.9 353.5 397.8 436.8 465.7 476.7 462.6 460.8 ➢ 501.8 501.5 489.5 542.3 512.2 559.8 542 567 ➢; ➢ proc gplot;plot sha*year=1 dif*year=2; ➢ symbol1 v=circle i=join c=black; ➢ symbol2 v=star i=join c=red; ➢ proc arima data=a;identify var=sha nlag=22; ➢ run;
➢ 则有（用延迟算子表示差分）：
平稳时间序列数据分析
1.2 两种样本相关系数的基本概念与计算
➢ 样本自相关系数
➢ 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
所谓滞后k阶偏自相关系数就 是指在给定中间k-1个随机变 量 xt-1, xt-2,… xt-k+1的条件下， 或者说，在剔除了中间k-1个 随机变量的干扰之后， xt-k对 xt影响的相关度量。
➢ 自相关图检验 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关 系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列 的自相关系数会很快地衰减向零。
时间序列数据的预处理
平稳性检验
➢ 例1 ➢检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平 稳性
➢ 例2 ➢检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月 产奶量序列的平稳性
➢ 备择假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间 有相关性
H1：至少存在某个 k 0,m 1，k m
时间序列数据的预处理
检验统计量 ➢ Q统计量
m
Q
n
ˆ
2 k
~
2(m)
k 1
➢ LB统计量
m
LB n(n 2) (
ˆ k2
) ~ 2(m)
k1 n k
➢ 纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下两条 性质
(1)EXt ,t T
(2)
(t,
s)
2,t
s ,t ,
s
T
0,t s
时间序列数据的预处理
标准正态白噪声序列时序图
时间序列数据的预处理
3.2 白噪声序列的性质
➢ 纯随机性
(k) 0，k 0
➢各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有 记忆”的序列
时间序列分析
华中农业大学数学建模基地系列课件
引例
7000年前的古埃及人把 尼罗 河涨落的情况逐天记录下来， 就构成所谓的时间序列。对这 个时间序列长期的观察使他们 发现尼罗河的涨落非常有规律 。由于掌握了尼罗河泛滥的规 律，使得古埃及的农业迅速发 展，从而创建了埃及灿烂的史 前文明。
时间序列数据的预处理
2 平稳性检验
➢平稳性检验主要有两种方法：
➢根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的 图检验方法
➢构造检验统计量进行假设检验的方法。
时间序列数据的预处理
2.1 平稳性的图检验
➢ 时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平 稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常 数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明 显趋势及周期特征。
引例
什么是时间序列
➢ 时间序列：某一系统在不同的时间（地点或其他条件 等）的响应（数据）。
➢ 时间序列是按一定的顺序排列而成，“一定顺序”既 可以是时间顺序，也可以是具有不同意义的物理量。
如：研究高度与气压的关系，这里的高度就可以看作 “时间” 总而言之，时间序列只是强调顺序的重要性，因此又被 称为“纵向数据”，相对于“横向数据”而言的。
3) (t, s) (k, k s t )，t, s, k且k s t T
时间序列数据的预处理
平稳时间序列的统计性质
➢ 常数均值和方差
➢ 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移 长度，而与时间的起止点无关
➢延迟k自协方差函数
(k) (t,t k),k为整数
➢ 方差
DXt E( X t t )2
2
(x
t
)
dFt ( x)
➢ 自协方差
(t, s) E( Xt t )( X s s )
➢ 自相关系数
(t,s) (t,s)
DXt DX s
时间序列数据的预处理
1.2 平稳时间序列的定义
➢ 严平稳
➢严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它 认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时 间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平 稳。
程序说明（数据的录入）
➢ 等间隔时间数据的录入
时间序列数据的预处理
程序说明（数据的录入）
➢ 等间隔时间数据的录入
时间序列数据的预处理
程序说明（数据的录入）
➢ 的录入）
➢ 取数据中的子集
时间序列数据的预处理
程序说明（数据的录入）
➢ 缺失数据的插入
时间序列数据的预处理
时间序列数据的预处理
1. 绘制时序图
该序列显示北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列波动“貌似” 比较平稳
时间序列数据的预处理
2. 自相关图进一步检验平稳性
样本自相关图延迟3阶后，自相关系数都落在2倍标准差范围以内，而且自相 关系数向零衰减的速度非常快。综合前两个步骤，可知北京市城乡居民定期 储蓄所占比例为平稳序列
➢ p 阶差分 p xt p1 xt p1 xt1
➢ k 步差分 k xt xtk
平稳时间序列数据分析
延迟算子
➢ 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以 一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向 过去拨了一个时刻
➢ 记 B为延迟算子，有
xt p B p xt ,p 1
平稳时间序列数据分析
延迟算子的性质 B0 1
B(c xt ) c B( xt ) c xt1,c为任意常数
B( xt yt ) xt1 yt1
Bn xt xtn
(1 B)n
n
(1)i Cni Bi ,
i0
其中
Cni
n! i!(n i)!
时间序列数据的预处理
➢ 1962年1月—1975年12月平均每头奶牛月产奶量SAS程序
时间序列数据的预处理
➢ 1949年——1998年北京市每年最高气温SAS程序
时间序列数据的预处理
3 纯随机性检验
➢ 纯随机序列的定义 ➢ 纯随机性的性质 ➢ 纯随机性检验
时间序列数据的预处理
3.1 纯随机序列的定义
内容提要
➢ 时间序列数据的预处理
平稳性检验 纯随机性检验
➢ 平稳时间序列数据分析 ➢ 非平稳时间序列数据分析
时间序列数据的预处理
➢时间序列数据的预处理
➢基本概念 ➢平稳性检验 ➢纯随机性检验
时间序列数据的预处理
1 基本概念
1 .1 基本的数字特征
➢ 概率分布的意义 ➢ 随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或 联合密度函数决定
➢ 时间序列概率分布族的定义
{Ft1,t2 , ,tm ( x1, x2 , , xm )} m (1,2, , m),t1, t2 , , tm T
➢ 几个重要数字特征：均值 、方差、自协方差、自相关系 数
时间序列数据的预处理
特征统计量
➢ 均值
t EXt xdFt ( x)
➢ 例3 ➢检验1949年——1998年北京市每年最高气温序 列的平稳性
时间序列数据的预处理
例1 平稳性检验
时间序列数据的预处理
平稳性检验
时间序列数据的预处理
平稳性检验
时间序列数据的预处理
例2 自相关图
时间序列数据的预处理
例3 时序图
时间序列数据的预处理
例3 自相关图
时间序列数据的预处理
纯随机序列的假定
时间序列数据的预处理
例4 随机生成的100个服从标准正态的白噪声序列纯 随机性检验
样本自相关图
时间序列数据的预处理
检验结果
延迟 延迟6期
QLB 统计量检验 QLB 统计量值
2.36
P值 0.8838
延迟12期
5.35
0.9454
由于P值显著大于显著性水平 ，所以该序列 不能拒绝纯随机的原假设。换句话说可以认 为该序列的波动没有任何统计规律可循，因 此可以停止对该序列的统计分析。
时间序列数据的预处理