Matlab时间序列分析应用
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中位数作为季节因子S 的初步值。
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1.4 时间序列分解
4、 不规则分量（I ） 不规则分量求法：用S 除SI ，可求出I ： I SI I 用T 与S 相结合的方法对时间序列Y 进行预测：用回归函数预测T ，
再与S 相乘，即可用来预测Y 。例如预测t 1期Y 的值， Yˆ Tt1St1
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1.5 时间序列分析的相关特征量
在时间序列中，常常需要计算时间序列的一些特征量，例如统计学 中常用的最大值、最小值、平均值等。下面介绍常用的一些特征量。
1.5.1 时间序列的平均数及其计算方法 若观察的时间范围为t1, t2 ,, tn ，相应的观察值表示为Y1,Y2 ,,Yn ，其
中Y1称为最初发展水平，Yn称为最末发展水平；若对两个观察值进行比 较，则把现在的这个时期称为报告期，用于比较的过去那个时期称为基 期。
一族时间t 的函数。 (2) 对应于一定wenku.baidu.com机试验样本空间的随机变量与时间t 无关；而随机
序列则与时间密切相关。 (3) 随机变量描述事物在某一特定时点上的静态；随机序列描述事物
发展变化的动态。
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1.2 时间序列的特点
1.2.3 随机序列的现实： 对于一个随机序列{xt }，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本 {x1, x2,, xn}，称它为随机序列{xt}的一个现实。随机序列的现实是一族 非随机的普通数列。
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1.2 时间序列的特点
2．时间序列变动特点： (1) 趋势性。 (2) 周期性。 (3) 随机性。
随机性时间序列一般是局部为随机变动，而整体呈统计规律。 (4) 平稳性。
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1.2 时间序列的特点
1.2.2 随机变量 x与随机序列{x1, x2,, xn}的主要区别： (1) 随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数；随机序列则是
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1.1 时间序列
1.1.3 时间序列模型
时间序列模型就是利用时间序列中的相关信息建立起来的，因而
它是序列动态性和发展变化的规律的描述，我们可以建立时间序列模
型来对时间序列的未来取值进行预测：
(1) 确定型时间序列模型
1）加法模型
yt Tt St Ct Rt
2）乘法模型
yt Tt • St • Ct • Rt
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1.2 时间序列的特点
1.2.1 时间序列的特点 1．时间序列的特点： (1) 序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于 时间的变化。 (2) 每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完 全准确地用历史值预测。 (3) 前后时刻(不一定是相邻时刻)的数值或数据点的位置有一定的 相关性，这种相关性就是系统的动态规律性。 (4) 从整体上看，时间序列往往呈现趋势性或出现周期性变化的想象
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1.4 时间序列分解
时间序列分解步骤可归纳如下： (1) 通 过 数 据 平 滑 （ 如 k 期 移 动 平 均 ） 把 原 序 列 Y 分 离 为 TC 和
SI Y /TC （数据减少k 1）： TC yt yt1 ytk1 ， t 1,2,,T k 1 k
(2) 通过利用趋势循环分量（TC ）对时间t 拟合，求出长期趋势T ： T TˆC ˆ0 ˆ1t ，
观察值总量，最后在根据这一总量求出平均数，即
Y
Y1
2
Y2
T1
Y2
2
Y3
T2
n1
Yn1 2
Yn
Tn
Ti
i 1
1
2
m
1
2
m
的联合分布。
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1.1 时间序列
由定义知，平稳性意味着：所有的 xt都具有相同的分布；在整个时期 内，任何两个相邻项的相关程度都相同。用数学表达式表示为： (1) 对任意t ，均值恒为常数：Ext ； (2) 方差Var(xt ) 2； (3) 对任意整数t 和k ，自相关函数rt,tk 只与k 有关，rt,tk rk 。
1.1.1 时间序列定义 定义 1：时间序列就是一组统计数据，依其发生时间的先后顺序排成的 序列。 定义 2：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间 序列。
定义 3：对某一个或一组变量 x(t) 进行观察测量，将在一系列时刻 t1 tn 所 得 到 的 离 散 数 据 组 成 的 序 列 集 合 {x(t1),, x(tn )}，称为时间序列，记为 X {x(t1),, x(tn )}。
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1.1 时间序列
1.1.4 时间序列建模基本 (1) 用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态
数据； (2) 根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数； (3) 辨别合适的随机模型，进行曲线拟合，即使用通用随机模型拟合
时间序列的观测数据。
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1.1 时间序列
1.1.5 时间序列分类 1．按时间函数的确定性划分
记录（观察到的历史数据），建立能够比较精确地反映时间
序列中所包含的动态依存关系的数学模型，来评价事物的现
状和估计事物的未来变化，并以此对系统的未来行为进行预
报。
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1.3 时间序列分析的概念和特征
1.3.2 时间序列分析的特征 1、 事物发展具有持续性 由于时间序列分析法是根据序列过去的变化趋势预测未来发展 变化的，因此其前提是假定事物发展具有持续性。 2、 时间序列数据存在着趋势 (1) 水平变动趋势 (2) 长期变动趋势 (3) 季节变动趋势 (4) 不规则变动趋势
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1.5 时间序列分析的相关特征量
1.5.1 绝对数时间序列的平均数
由于绝对数时间序列由时期序列和时点序列之分，时间序列平均数的
计算方法也有所区别。
对于时期序列，时间序列平均数计算公式为
Y
Y1 Y2 Yn n
1
n
n i1
Yi
对于序列中的各个观察值是在某个瞬间时点上取得的，由于各观测点
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1.4 时间序列分解
例如，S 1.05表示季节性因素影响，时间序列值Y 约高出平均值5%； S 0.94，序列值约低于平均值6%。
求季节性指数可分三步骤进行： (1) 用移动平均法平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC (2) 用趋势循环分量TC 除序列值Y ，得季节不规则分量，Y /TC SI (3) 用相同期的SI 分量全部值的平均数，有时也可以用这些全部值的
(1) 确定性序列； (2) 随机序列
随机序列又可以分为平稳随机序列、非平稳随机序列、方差平稳 序列、弱依赖时间序列和具有趋势的时间序列
2． 平稳性定义 定义 1：如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严
格的（狭义的）平稳时间序列。
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1.1 时间序列
定义 2：如果序列的一阶、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足： (1) 均值为常数； (2) 协方差为时间间隔的函数。
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1.2 时间序列分析的概率和特征
1.2.3 随机序列的现实： 对于一个随机序列{xt }，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本 {x1, x2,, xn}，称它为随机序列{xt}的一个现实。随机序列的现实是一族 非随机的普通数列。
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1.3 时间序列分析的概念和特征
1.3.1 时间序列分析的概念
4/74
1.1 时间序列
1.1.2 时间序列组成成分 一般认为时间序列由四个成分构成，即长期趋势或趋势变化、季节变
动或季节性变化、循环变动或循环变化、不规则变动或随机变化： (1) 长期趋势就是时间序列依时间变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋
势（T）。 (2) 季节变动是指一年或固定一段时间内，呈现固定的规则变化。它反映的
这种有时间意义的序列也称为动态数据
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1.1 时间序列
时间序列取值一般有两种方式：
(1) X 取值观测时间点处的瞬间值 (2) X 取值观测时间点期间的累计值
有些数据虽然不是时间序列，数据与时间无直接关系，但可以近 似看做时间序列。因此，时间序列的广义定义为：有先后顺序的数 据通称为时间序列。
定义 1：时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲
线拟合和参数估计来建立数学建模的理论和方法。
定义 2：时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构规律的
统计方法，是统计学科的一个分支，是用随机过程理论和数
理统计学的方法，研究随机数据序列所服从的统计规律，用
于解决实际问题。其基本思想是根据系统的有限长度的运行
则该序列称为宽平稳时间序列。
（宽）平稳时间序列是指均值、方差和自回归函数不随时间变化的
时间序列。
当 时 间 序 列 {xt} 为 平 稳 随 机 过 程 时 ， 对 于 任 意 的 一 个 时 段
t1 t2 tm和h 1，(xt , xt ,, xt )的联合分布等同于(xt h , xt h ,, xt h )
3）混合模型
yt St Tt • Ct • Rt
其中， yt 是观测目标的观测记录，且 E(Rt ) 0，E(Rt2 ) 2。
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1.1 时间序列
(2) 线性时间序列模型 1）自回归滑动平均（ARMA）模型 2）自回归综合滑动平均（ARIMA）模型 3）季节性（SEASON）模型
(3) 非线性时间序列模型 1）自激励门限自回归（SETAR）模型 2）双线性（BL）模型 3）指数自回归（EAR）模型
MATLAB在时间序列 分析中的应用
报 告 人：金 浩
1/74
一、时间序列及其分析概述
时间序列
时间序列的特点及其建立 时间序列分析的概念、特征和作用 时间序列分解 时间序列分析的相关特征量 时间序列分析方法
2/74
1.1 时间序列
自然界以及社会生活的各种事物都在运动、变化和发展着，将它们按时 间顺序记录下来，就可以得到各种各样的时间序列。对时间序列进行分析研 究，可以揭示事物运动、变化和发展的内在规律，对于人们正确认识事物并 由此做出科学的决策具有重要的现实意义。
用T 除TC ，求出循环分量C（C TC /T ），从而把TC 分离为T 和C
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1.4 时间序列分解
(3) 用季节不规则分量 SI 各周期中相同期的值的平均数并进行调整之 后作为S 分量值。
(4) 用S 除季节不规则分量SI ，求出不规则分量I ，把SI 分离为S 何I I SI S
(5) 用T 和S 两个分量对Yt 进行预测。
是每年或固定时间段内重复出现的规律（S）。 (3) 循环变动主要指趋势曲线在长期时间内呈现摆动的现象（C）。 (4) 不规则变动（不规则因子）所关心的是变量变动的不可预测性。它反映
的是由于随机或偶然事件引起的间断处的变化，入国家经济政策的改 革、劳工纠纷、自然灾害或企业内部的人事变动等。 在数据拟合时，应先剔除不规则变动，然后再进行拟合（R）。
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1.4 时间序列分解
1.4.1 趋势分量、循环分量、季节分量、不规则分量的分离 1、 趋势分量（T ） 趋势分量求法：先求出移动平均序列，记为TC ，再确定趋势分 量T 。在求趋势分量T 之前，首先要观察其趋势特征。可以通过对 原时间序列Y 或移动平均序列TC 的观察，而获得初步信息。趋势 可分为线性和非线性两种。
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1.4 时间序列分解
(1) 以线性趋势求趋势分量T 。用移动平均TC 对时间t 进行回归，回 归模型是
TC 0 1t u 则TC 的线性拟合值TˆC 就是趋势分量T 。上式中，0和1为回归系数， u 为误差
TC ˆ0 ˆ1t uˆ TˆC uˆ 式子，ˆ0和ˆ1为线性拟合系数，uˆ 为误差估计。则
T TˆC ˆ0 ˆ1t
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1.4 时间序列分解
2、 循环分量（C ） 用移动平均平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC 。用回归
方法求出趋势分量T 。用T 除TC 得循环分量C ： C TC T
3、 季节分量（S ） 在时间序列中季节分量是很常见的，如四季气候变化引起人们
日常生活的一定变动；风俗习惯也呈现季节性变动（如圣诞节、 春节期间内某些商品销量大增）。季节分量常用季节性指数表示。
的时间间隔长度有所不同，时间序列平均数通常采用不同的计算方法。
(1) 对于以“天”为统计间隔的时点序列，时间序列平均数可按上述
公式计算。
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1.5 时间序列分析的相关特征量
(2) 对于统计时点间隔在一天以上的时点序列，计算时间序列平均数时， 应先求出两个相邻观察值的平均值，然后由此求出整个观察期间的
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1.4 时间序列分解
4、 不规则分量（I ） 不规则分量求法：用S 除SI ，可求出I ： I SI I 用T 与S 相结合的方法对时间序列Y 进行预测：用回归函数预测T ，
再与S 相乘，即可用来预测Y 。例如预测t 1期Y 的值， Yˆ Tt1St1
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1.5 时间序列分析的相关特征量
在时间序列中，常常需要计算时间序列的一些特征量，例如统计学 中常用的最大值、最小值、平均值等。下面介绍常用的一些特征量。
1.5.1 时间序列的平均数及其计算方法 若观察的时间范围为t1, t2 ,, tn ，相应的观察值表示为Y1,Y2 ,,Yn ，其
中Y1称为最初发展水平，Yn称为最末发展水平；若对两个观察值进行比 较，则把现在的这个时期称为报告期，用于比较的过去那个时期称为基 期。
一族时间t 的函数。 (2) 对应于一定wenku.baidu.com机试验样本空间的随机变量与时间t 无关；而随机
序列则与时间密切相关。 (3) 随机变量描述事物在某一特定时点上的静态；随机序列描述事物
发展变化的动态。
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1.2 时间序列的特点
1.2.3 随机序列的现实： 对于一个随机序列{xt }，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本 {x1, x2,, xn}，称它为随机序列{xt}的一个现实。随机序列的现实是一族 非随机的普通数列。
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1.2 时间序列的特点
2．时间序列变动特点： (1) 趋势性。 (2) 周期性。 (3) 随机性。
随机性时间序列一般是局部为随机变动，而整体呈统计规律。 (4) 平稳性。
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1.2 时间序列的特点
1.2.2 随机变量 x与随机序列{x1, x2,, xn}的主要区别： (1) 随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数；随机序列则是
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1.1 时间序列
1.1.3 时间序列模型
时间序列模型就是利用时间序列中的相关信息建立起来的，因而
它是序列动态性和发展变化的规律的描述，我们可以建立时间序列模
型来对时间序列的未来取值进行预测：
(1) 确定型时间序列模型
1）加法模型
yt Tt St Ct Rt
2）乘法模型
yt Tt • St • Ct • Rt
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1.2 时间序列的特点
1.2.1 时间序列的特点 1．时间序列的特点： (1) 序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于 时间的变化。 (2) 每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完 全准确地用历史值预测。 (3) 前后时刻(不一定是相邻时刻)的数值或数据点的位置有一定的 相关性，这种相关性就是系统的动态规律性。 (4) 从整体上看，时间序列往往呈现趋势性或出现周期性变化的想象
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1.4 时间序列分解
时间序列分解步骤可归纳如下： (1) 通 过 数 据 平 滑 （ 如 k 期 移 动 平 均 ） 把 原 序 列 Y 分 离 为 TC 和
SI Y /TC （数据减少k 1）： TC yt yt1 ytk1 ， t 1,2,,T k 1 k
(2) 通过利用趋势循环分量（TC ）对时间t 拟合，求出长期趋势T ： T TˆC ˆ0 ˆ1t ，
观察值总量，最后在根据这一总量求出平均数，即
Y
Y1
2
Y2
T1
Y2
2
Y3
T2
n1
Yn1 2
Yn
Tn
Ti
i 1
1
2
m
1
2
m
的联合分布。
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1.1 时间序列
由定义知，平稳性意味着：所有的 xt都具有相同的分布；在整个时期 内，任何两个相邻项的相关程度都相同。用数学表达式表示为： (1) 对任意t ，均值恒为常数：Ext ； (2) 方差Var(xt ) 2； (3) 对任意整数t 和k ，自相关函数rt,tk 只与k 有关，rt,tk rk 。
1.1.1 时间序列定义 定义 1：时间序列就是一组统计数据，依其发生时间的先后顺序排成的 序列。 定义 2：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间 序列。
定义 3：对某一个或一组变量 x(t) 进行观察测量，将在一系列时刻 t1 tn 所 得 到 的 离 散 数 据 组 成 的 序 列 集 合 {x(t1),, x(tn )}，称为时间序列，记为 X {x(t1),, x(tn )}。
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1.1 时间序列
1.1.4 时间序列建模基本 (1) 用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态
数据； (2) 根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数； (3) 辨别合适的随机模型，进行曲线拟合，即使用通用随机模型拟合
时间序列的观测数据。
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1.1 时间序列
1.1.5 时间序列分类 1．按时间函数的确定性划分
记录（观察到的历史数据），建立能够比较精确地反映时间
序列中所包含的动态依存关系的数学模型，来评价事物的现
状和估计事物的未来变化，并以此对系统的未来行为进行预
报。
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1.3 时间序列分析的概念和特征
1.3.2 时间序列分析的特征 1、 事物发展具有持续性 由于时间序列分析法是根据序列过去的变化趋势预测未来发展 变化的，因此其前提是假定事物发展具有持续性。 2、 时间序列数据存在着趋势 (1) 水平变动趋势 (2) 长期变动趋势 (3) 季节变动趋势 (4) 不规则变动趋势
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1.5 时间序列分析的相关特征量
1.5.1 绝对数时间序列的平均数
由于绝对数时间序列由时期序列和时点序列之分，时间序列平均数的
计算方法也有所区别。
对于时期序列，时间序列平均数计算公式为
Y
Y1 Y2 Yn n
1
n
n i1
Yi
对于序列中的各个观察值是在某个瞬间时点上取得的，由于各观测点
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1.4 时间序列分解
例如，S 1.05表示季节性因素影响，时间序列值Y 约高出平均值5%； S 0.94，序列值约低于平均值6%。
求季节性指数可分三步骤进行： (1) 用移动平均法平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC (2) 用趋势循环分量TC 除序列值Y ，得季节不规则分量，Y /TC SI (3) 用相同期的SI 分量全部值的平均数，有时也可以用这些全部值的
(1) 确定性序列； (2) 随机序列
随机序列又可以分为平稳随机序列、非平稳随机序列、方差平稳 序列、弱依赖时间序列和具有趋势的时间序列
2． 平稳性定义 定义 1：如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严
格的（狭义的）平稳时间序列。
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1.1 时间序列
定义 2：如果序列的一阶、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足： (1) 均值为常数； (2) 协方差为时间间隔的函数。
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1.2 时间序列分析的概率和特征
1.2.3 随机序列的现实： 对于一个随机序列{xt }，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本 {x1, x2,, xn}，称它为随机序列{xt}的一个现实。随机序列的现实是一族 非随机的普通数列。
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1.3 时间序列分析的概念和特征
1.3.1 时间序列分析的概念
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1.1 时间序列
1.1.2 时间序列组成成分 一般认为时间序列由四个成分构成，即长期趋势或趋势变化、季节变
动或季节性变化、循环变动或循环变化、不规则变动或随机变化： (1) 长期趋势就是时间序列依时间变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋
势（T）。 (2) 季节变动是指一年或固定一段时间内，呈现固定的规则变化。它反映的
这种有时间意义的序列也称为动态数据
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1.1 时间序列
时间序列取值一般有两种方式：
(1) X 取值观测时间点处的瞬间值 (2) X 取值观测时间点期间的累计值
有些数据虽然不是时间序列，数据与时间无直接关系，但可以近 似看做时间序列。因此，时间序列的广义定义为：有先后顺序的数 据通称为时间序列。
定义 1：时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲
线拟合和参数估计来建立数学建模的理论和方法。
定义 2：时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构规律的
统计方法，是统计学科的一个分支，是用随机过程理论和数
理统计学的方法，研究随机数据序列所服从的统计规律，用
于解决实际问题。其基本思想是根据系统的有限长度的运行
则该序列称为宽平稳时间序列。
（宽）平稳时间序列是指均值、方差和自回归函数不随时间变化的
时间序列。
当 时 间 序 列 {xt} 为 平 稳 随 机 过 程 时 ， 对 于 任 意 的 一 个 时 段
t1 t2 tm和h 1，(xt , xt ,, xt )的联合分布等同于(xt h , xt h ,, xt h )
3）混合模型
yt St Tt • Ct • Rt
其中， yt 是观测目标的观测记录，且 E(Rt ) 0，E(Rt2 ) 2。
6/74
1.1 时间序列
(2) 线性时间序列模型 1）自回归滑动平均（ARMA）模型 2）自回归综合滑动平均（ARIMA）模型 3）季节性（SEASON）模型
(3) 非线性时间序列模型 1）自激励门限自回归（SETAR）模型 2）双线性（BL）模型 3）指数自回归（EAR）模型
MATLAB在时间序列 分析中的应用
报 告 人：金 浩
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一、时间序列及其分析概述
时间序列
时间序列的特点及其建立 时间序列分析的概念、特征和作用 时间序列分解 时间序列分析的相关特征量 时间序列分析方法
2/74
1.1 时间序列
自然界以及社会生活的各种事物都在运动、变化和发展着，将它们按时 间顺序记录下来，就可以得到各种各样的时间序列。对时间序列进行分析研 究，可以揭示事物运动、变化和发展的内在规律，对于人们正确认识事物并 由此做出科学的决策具有重要的现实意义。
用T 除TC ，求出循环分量C（C TC /T ），从而把TC 分离为T 和C
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1.4 时间序列分解
(3) 用季节不规则分量 SI 各周期中相同期的值的平均数并进行调整之 后作为S 分量值。
(4) 用S 除季节不规则分量SI ，求出不规则分量I ，把SI 分离为S 何I I SI S
(5) 用T 和S 两个分量对Yt 进行预测。
是每年或固定时间段内重复出现的规律（S）。 (3) 循环变动主要指趋势曲线在长期时间内呈现摆动的现象（C）。 (4) 不规则变动（不规则因子）所关心的是变量变动的不可预测性。它反映
的是由于随机或偶然事件引起的间断处的变化，入国家经济政策的改 革、劳工纠纷、自然灾害或企业内部的人事变动等。 在数据拟合时，应先剔除不规则变动，然后再进行拟合（R）。
18/74
1.4 时间序列分解
1.4.1 趋势分量、循环分量、季节分量、不规则分量的分离 1、 趋势分量（T ） 趋势分量求法：先求出移动平均序列，记为TC ，再确定趋势分 量T 。在求趋势分量T 之前，首先要观察其趋势特征。可以通过对 原时间序列Y 或移动平均序列TC 的观察，而获得初步信息。趋势 可分为线性和非线性两种。
19/74
1.4 时间序列分解
(1) 以线性趋势求趋势分量T 。用移动平均TC 对时间t 进行回归，回 归模型是
TC 0 1t u 则TC 的线性拟合值TˆC 就是趋势分量T 。上式中，0和1为回归系数， u 为误差
TC ˆ0 ˆ1t uˆ TˆC uˆ 式子，ˆ0和ˆ1为线性拟合系数，uˆ 为误差估计。则
T TˆC ˆ0 ˆ1t
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1.4 时间序列分解
2、 循环分量（C ） 用移动平均平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC 。用回归
方法求出趋势分量T 。用T 除TC 得循环分量C ： C TC T
3、 季节分量（S ） 在时间序列中季节分量是很常见的，如四季气候变化引起人们
日常生活的一定变动；风俗习惯也呈现季节性变动（如圣诞节、 春节期间内某些商品销量大增）。季节分量常用季节性指数表示。
的时间间隔长度有所不同，时间序列平均数通常采用不同的计算方法。
(1) 对于以“天”为统计间隔的时点序列，时间序列平均数可按上述
公式计算。
27/74
1.5 时间序列分析的相关特征量
(2) 对于统计时点间隔在一天以上的时点序列，计算时间序列平均数时， 应先求出两个相邻观察值的平均值，然后由此求出整个观察期间的