基于MATLAB的巴特沃斯低通滤波器的设计

方案二：双线性变换法设计 IIR 数字滤波器
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的
一种变换方法。为了克服多值映射的缺点，采用把整个 s 平面频率压缩方法， 将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T 之间，再用 z=esT 转换到 Z 平面上。 也就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的-π/T～π/T 一条横带里； 第二步再通过标准变换关系 z=es1T 将此横带变换到整个 Z 平面上去。这样就使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频 谱混叠现象，映射关系如图 1.3 所示。
1 （ s ）2N 10 s /10 c 由(1.9)式得到：
(1.9) (1.10)
c （ p 100.1p -1）- 21N 由(1.10)式得到：
c （s 100.1s -1）- 21N
2 设计方案
方案一：用冲激响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器
冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激序列 h(n)模仿模拟滤波器的单 位冲激响应 ha(t)。将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使 h(n)正好 等于 ha（t）的抽样值，即满足：
s0
c
e
j2 3
，s1
ce j
，s 2
c
e
j4 3
，s
3
j5
ce 3
，s 4
ce j2
，s5
j7
ce 3
当 N=3 时，6 个极点中位于左半平面的三个分别为:
s0
c
e
j2 3
，
s1
ce j
-c ， s2
j4
ce 3
取 s 平面左半平面的极点 s0，s1，s2 组成 H（a s）：
H（a s） （s
c）（s
-
3 c
cj 32 ）（s
-
） - j2 3 c
将 H（a s）
N-1
（
1 s-
sk
对 ）
3dB
截止频率
Ωc
归一化后的
k0
c
c
H（a s）表示为： H（a s）
N-1
（
1 s-
sk
）
k0
c
c
令p
s c
j c
j ，p 称为归一化拉氏复变量。
/ c ， 称为归一
化频率。
经过归一化后巴特沃斯滤波器的传输函数为：
h(n)= ha(nT) 其中 T 是抽样周期。 如果令 Ha（s）是 ha(t)的拉普拉斯变换，H（z）为 h（n）的 z 变换，利用 抽样序列的 z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得：
X (z) zesT
1
T
Xa (s
k
jks )
1 T
k
X
a
s
j 2 T
k
可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z 平 面，这个从 s 到 z 的变换 z=esT 是从 S 平面变换到 Z 平面的标准变换关系式。
j
s0
s5
s1
0
s2
s4
1
s3
图 1.2 三阶巴特沃斯滤波器极点分布
为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取 s 平面左半平面的 N 个极点构成
H（a s），而右半平面的 N 个极点构成 H（a s）。 H（a s）的表示式为
H（a s）
N c
N 1
(s sk )
k 0
例如 N=3,通过下式可以计算出 6 个极点
最小衰减系数, Rs 和 Rp 的单位都为 dB。
[b,a] = butter (n, c ,′s′) 可设计截止频率为c 的 n 阶低通模拟巴特沃斯滤波 器,其传递函数为: [10]
H (s) B(s) b(1)sn b(2)sn1 b(n 1) A(s) sn a(2)sn1 a(n 1)
7
4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.4940 1.0000
8
5.1258 13.1371 21.8462 25.8462 21.8462 13.1371 5.1258 1.0000
buttord 函数可在给定滤波器性能的情况下 ,选巴特沃斯滤波器的阶数 n 和
带就越平坦，过渡带也随之变窄，阻带幅度同过渡带下降的速度越迅速，总体
频响特性同理想低通滤波器的实际误差越小。
Ha ( j)
1
0.707
N=2 N=4 N=8
0
c
图 1.1 、N 同幅度特性关系
用 s 代替 j ，把幅度平方函数 H（a j） 2 变成 s 的函数：
H（a s）H（a - s） 1 （
滤波器的性能指标如下：通带截止频率 fp=5kHz，通带最大衰减 p =2dB，
阻带截止频率 fs=12kHz，阻带最小衰减 s =30dB
3.1MATLAB 中所需函数
ATLAB 的信号处理工具箱提供了滤波器的函数 buttap、buttord、butter。 由[z,p,k] = buttap(n)函数可设计出 n 阶巴特沃斯低通滤波器原型,其传递函数 为
z
2 1 T
s
T 2
s
2T
（2-2）
式（2-1）与式（2-2）是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都
是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。
双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的
混叠现象，虽然在线性方面有些欠缺，但是可以通过频率的预畸来加以校正且
计算比冲激响应不变法方便，实现起来比较容易，所以，本设计选择用双线性
(1.5) (1.6)
sp s / p，ksp
10p /10 -1 10s /10 1
(1.7)
则 N 由下式表示：
N - lgk sp
lgsp
(1.8)
取大于等于 N 的最小整数。
关于 3dB 截止频率 c ，如果技术指标中没有给出，可以按照(1.7)式或(1.8)
式求出，
1 （p ）2N 10p /10 c
j
o
j 1
/ T
o
1
－ / T
jIm[z]
－1 o
1 Re[z]
S平 面
S1平 面
Z平 面
图 1.3 双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 jΩ 压缩到 S1 平面 jΩ1 轴上的-π/T 到 π/T 段上，可 以通过以下的正切变换实现
2 tan 1T T 2 T 是采样间隔。
设计过程
1. 设计原理
1.1 巴特沃斯低通滤波器简介: 巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，特点是通频带内的频率响应曲线最
大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。这种滤波器最先由英国 工程师斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在 1930 年发表在英国《无线电 工程》期刊的一篇论文中提出的，可以构成低通、高通、带通和带阻四种组态， 是目前最为流行的一类数字滤波器 ,经过离散化可以作为数字巴特沃思滤波 器 ,较模拟滤波器具有精度高、稳定、灵活、不要求阻抗匹配等众多优点 ,因而 在自动控制、语音、图像、通信、雷达等众多领域得到了广泛的应用，是一种 具有最大平坦幅度响应的低通滤波器。 1.2 巴特沃斯低通滤波器的设计原理:
b0
b1 p
b2
p2
1
bN 1 p N 1
pN
下面来确定 N：
由技术指标 p ， p s 和 s 确定。
在定义
p
-10lg
H（a j
）2
p
(1.2)
s -10lg H（a js）2
(1.3)
H（a j）2
1 （
1
）2 N
c
(1.4)
中，将 Ω= p 和 Ω= s 分别代入(1.4)式中，得到 H（a jp）2 和 H（a js）2 ，
再将 H（a jp）2 和 H（a js）2 代入(1.2)和(1.3)式中，得到：
p
10lg[ 1 1 (p
)2N
],
c
s
10
lg[ 1
1 (s
)2N
]
c
整理得：
1 （ p ）2N 10p /10 c
1 （ s ）2N 10s /10 c
由(1.5)和(1.6)式得到：
（p ）N s
令

10p /10 -1 10s /10 -1
s1T / 2
ees1T / 2
es1T / 2 es1T / 2
2 T
tanh s1T 2
2 T
1 1
e e
s1T s1T
再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z=es1T
从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为：
s
2 T
1 1
z 1 z 1
（2-1）
1 T s 2 s
1 s
）2 N
j c
s= j ，此公式说明了幅度平方函数有 2N 个极点，极点 s k 可以用下面的
公式来表达：
sk
（jce
j（2k 2N
1）
）
ce
j 2
j
e
2k 1 2N
j（1 2k 1）
ce 2 2N
k=0,1,2，···，2N-1。2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上，间隔是 /N rad。 如图 1.2 所示：
H（a p） N-1 1
（p
-
p
）
k
K0
(1.1)
式中， pk sk / c 为归一化极点， sk 为位于左半平面的极点用下式表示：