倒数的认识

倒数的认识”教学设计及评析南昌市铁路第一小学许芳执教南昌市铁路第一小学李文曼评析【设计理念】数学概念是构建数学理论大厦的基石。

小学阶段的数学概念是学生掌握基本的数学思想方法、形成基本的数学能力的重要载体。

因此，精心设计和教学好每一个数学概念，使学生切实掌握概念的数学本质，是数学教学的重要任务。

“倒数”是人为的抽象概念，也是没有直接生活原型的数学概念。

为了让学生掌握好这一与日常生活经验没有直接联系的抽象概念，我设计了专门的、纯粹的数学活动，既把握概念本身的基本特征,又尊重学生的认知规律,使学生在观察、筛选、归纳一个个数学算式特征的活动中构建“倒数”、“互为倒数”的数学模型，同时获得由直观到抽象的数学活动经验，经历从感性认识到理性认识的学习过程。

本课以学生自己的举例、观察、比较、分析、抽象和概括为学习的主要方法，获得“倒数”的概念这一知识要点，通过自主探索、合作交流，掌握求不同数的倒数的一般方法和抽象概括的思想方法，发展初步的抽象能力，并促使学生在学习和探索的过程中，逐步形成独立思考的习惯及抽象思维的能力。

【教学内容】《义务教育教科书·数学》（人教版）六年级上册第28、29页例题1、做一做及相关练习。

【学情与教材分析】本课是义务教育教科书人教版数学第十一册第二单元《分数除法》中的第一课时——“倒数的认识”。

它是在学生学习了分数乘法计算的基础上进行教学的，是为学生进一步学习分数除法做准备。

因为一个数除以分数等于用这个数乘它的倒数。

所以它是学习分数除法计算的知识基础，把分数乘法和分数除法的计算通过倒数这一概念的应用进行关联，关联之后形成知识结构及认知结构。

进而彰显学生的应用意识这一核心素养。

教材编排了几组乘积是1的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨论等活动，归纳出它们的共同规律，引出倒数的定义，并用实例突出“互为倒数”的含义，让学生在数学活动中构建“倒数”、“互为倒数”的数学模型，并帮助学生完成数学抽象及数学建模这一核心素养的形成。

再引导学生思考并归纳出互为倒数的两个数的特点：它们的分子、分母交换了位置。

如果这两个数不是分数，通过转化为分数后，也同样具有这一特征。

例1的教学，则是充分地利用互为倒数关系的两个数的这一特点来求倒数的。

通过尝试，让学生初步体验找倒数的一般方法：调换两个数的分子、分母的位置。

在总结求倒数的方法时，也分三种情况：求分数的倒数；求整数的倒数；1和0的倒数问题。

【教学目标】（1）使学生理解倒数的意义，掌握求倒数的方法，并能正确熟练的求出倒数。

（2）采用自学与小组讨论的方法进行教学，培养学生观察、比较、抽象、归纳的学习能力；使学生学会和同伴合作交流。

（3）在学习“倒数”的过程中，体验归纳概括的乐趣，养成独立思考、质疑反思的习惯。

【教学重难点】教学重点：理解倒数的意义和掌握求一个数的倒数的方法。

教学难点：理解并掌握“1的倒数是1”及“0没有倒数”。

【教学准备】多媒体课件、习题卡等。

【教学过程】一、旧知导入，引出概念1、独立计算，汇报结果。

（学生汇报时：整数乘分数、小数乘分数，配上转化为分数的计算步骤。

）2、分类设疑，导入新课。

提问：如果要你把这些算式按结果分成两类，你会怎么样分类？预设：分成两类，一类是乘积是1的、一类是乘积不是1的。

因为这里出现了大量的乘积是1的算式。

【设计意图：把复习引入题目丰富化，创造性地使用教材，让学生先计算，再通过观察、分类，找出乘积为1的一组算式，并把它们分为一类。

这样设计，为倒数概念的引出做了铺垫，同时，加深了学生对倒数中“乘积为1”这一本质特征的认知和理解，把抽象概念具体化。

】3、揭示课题，给出定义。

师：今天这节课，我们就专门来研究这类乘积是1的两个数，在数学里，我们把乘积是1的两个数称为“互为倒数”，这就是今天这节课要学习的内容：倒数的认识（板书课题）。

【评析：老师从分数乘法这一旧知入手，通过按计算结果进行分类，旨在让学生找到乘积为1的算式，进而引出倒数的概念。

凸显倒数概念的本质属性。

】二、自主探究，理解定义。

1、让学生从书中找出倒数的定义，并用线画出来。

（即：乘积是1的两个数互为倒数。

）2、解读倒数的定义。

提问：说说你是怎样理解倒数的定义这句话的？（重点解读几个关键词：“乘积是1”、“两个数”、“互为倒数”……）预设1：互为倒数的两个数只能是乘积为1，乘积不能是2、3……或其它的数；也不能是和为1、差为1或商为1……。

预设2：倒数是描述两个数之间的关系，不能是三个数、四个数……之间的关系。

预设3：“互为”就是“互相”的意思……如果学生理解“互为”时有困难，可唤醒旧知，引导学生想到：在四年级，我们学习过互为垂直、互为平行，称谁是谁的垂线，谁是谁的平行线……那么在这里的“互为”，表示的是…..？（手指两个数）两个数相互依存的关系。

（指导学生举例说明：3/8和8/3互为倒数也就是指——3/8是8/3的倒数，8/3是3/8的倒数。

）师：可见，倒数是表示“两个数”之间的关系，这两个数是相互依存的，所以我们必须说清楚谁是谁的倒数，而不是单纯地说某一个数是倒数。

【设计意图：学生对于倒数的定义，一开始并没有实质性的理解，还只是一些肤浅的认识。

介于这种情况，老师设计了解读倒数概念中“两个数”，“乘积为1”，“互为倒数”这三个关键词，通过教师引导，学生思考，表述出自己对概念的理解，尤其是对“互为”这一词的解读，教师有意识地让学生通过对已有的经验（平行及垂直定义）来理解并阐述“互为倒数”定义，这样设计，既加强了新旧知识的关联，又为形成知识结构、认知结构服务。

】3、学生选择几组数说一说互为倒数的关系。

（先同桌互相说，再选取一、两个例子指名说。

）【评析：数学教学的终极目标之一：会用数学的语言表达现实世界。

由于倒数的定义是老师直接给出的，为了加强学生对抽象概念的理解，教师通过与学生之间的交流，引导学生用数学语言充分解读概念中“乘积为1”、“两个数”、“互为”三个关键词，更好地让学生参与到“倒数”这一数学模型的建构中。

】4、判断哪两个数互为倒数，加深对“乘积是1”这个本质属性的理解。

师：既然我们对互为倒数有了一定的了解，那么，你能判断出下面哪两个数互为倒数吗？用线连一连。

5、当当小裁判，让学生对互为倒数的“两个数”在数域方面的扩展有一定的认知。

师：关于两个数互为倒数的问题，这里有两个同学的意见产生了分歧，请同学们来当当小裁判，说说小红和小亮谁说的对？预设：因为倒数的定义清楚了，只要是乘积为1的两个数就互为倒数，这里4/3和0.75相乘等于1，所以它们是互为倒数的关系。

师：是的，只要是乘积是1的两个数就互为倒数，这两个数可以是分数，也可以是整数或小数。

【设计意图：本题是为了让学生对倒数的定义有进一步的认识，使学生明确：只要两个数的乘积是1,那么这两个数就互为倒数，与这两个数是分数、整数还是小数无关。

进一步加强学生对倒数的本质特征的理解。

】三、观察举例，发现特点。

1、举例：除了黑板上这些，你还能举出其它的互为倒数的例子吗？也就是说，你还能举出其它乘积是1的两个数的例子吗？预设：学生举出的例子大部分都是分数乘分数的例子。

设问：为什么你们举的例子都是分数和分数相乘？预设：因为分数乘分数好算，分子、分母可以交叉约分……追问：也就是说互为倒数的两个分数，有什么特点？预设：它们的分子、分母是交换位置的……2、引导学生分步观察：先观察两个数都是分数的，发现：分子、分母交换位置；再观察例题两个数中有整数和小数的，引导学生发现：通过把整数和小数转化成分数，也能看出分子、分母交换位置的特点。

【设计意图：“以学定教”是课堂教学的指导思想，学生是学习的主人，在这一环节中，让学生通过自己举例、观察，发现“互为倒数的两个数分子、分母交换位置”这一特点，不仅教学生学会学习，并且注重学生自主发展与数学核心素养的培养。

这也与本节的教学目标得到有机地结合。

】【评析：在学生掌握倒数的本质特征后，紧接着，老师通过学生举例，进一步加深了学生对倒数的这个本质属性的理解。

学生在举例、观察、比较、分析等数学活动中，抽象并概括出倒数的另一个外在的特点：互为倒数的两个数的分子、分母交换位置。

同时渗透了转化的数学思想。

也为例1的教学埋下了伏笔。

】四、合作交流，深化认知。

1、写出下面各数的倒数：设问：互为倒数的两个数中间是否能用等号连接？预设：举例说明，如：4/11和11/4互为倒数，但它们一个是真分数，一个是假分数，分数值并不相等，所以，中间不能用等号连接。

2、小组讨论：怎样求一个数的倒数？交流总结：如果是分数，直接交换分子、分母的位置；如果是整数和小数，先转化成分数，再交换分子、分母的位置；如果是带分数，先转化成假分数，再交换分子、分母的位置。

【设计意图：求一个数的倒数是本课的教学重点，教学这一环节时，先放手让学生独立完成求倒数的过程，再让他们分小组讨论、总结出求倒数的方法。

这样设计，既尊重了学生的个体差异，又使学生在交流、讨论中掌握了求不同数的倒数的一般方法。

给学生提供了充足的从事数学活动的机会，引导他们在小组合作、讨论中探究新知，充分调动了学生的学习积极性，培养了学生独立思考的习惯及抽象概括的能力。

】3、探讨：1的倒数是多少？0有倒数吗？预设：因为1乘1等于1，所以1的倒数是1；因为0和任何数相乘都不可能是1，所以0没有倒数。

【评析：合作交流是小学数学核心素养体系个人发展的外在表现形式之一，老师充分利用核心素养的这个外在表现，通过学生的自主探究，归纳总结出求倒数的一般方法，利用核心素养的内涵之一即转化的数学思想，来完成核心素养体系中思想能力的达成。

引导学生运用倒数的本质属性，解决1及0这两个特殊数的倒数问题。

在此数学活动中还注重培养学生独立思考、质疑反思的学习习惯。

】五、练习巩固，应用提升。

1、判断：下面的说法对不对？为什么？每句话都先让学生判断对还是错，如果是错，说说为什么。

2、下面的（）里可以填几？先让学生汇报答案，再说说怎么想的。

预设：这里每两个数相乘，最后都要等于1，就表示（）里要填已知因数的倒数。

【设计意图：学生理解概念，需要一个逐渐消化的过程。

练习的设计目的，一是给学生提供模仿的过程，二是能直观的把概念具体化。

而多层次的练习有助于学生巩固新知、活跃思维，能调动学生学习的积极性和主动性，能再次激起思维高潮，既帮助学生梳理知识，获取数学学习的经验，又让学生在这一过程中有了愉悦的情感体验。

】3、先计算出每组算式的结果，再在○里填上“>”“<”或“＝”。

先让学生汇报答案，然后观察、讨论：每组算式有什么特点？预设1：每组算式的第一个数都相同。

预设2：每组算式的第二个数都互为倒数。

预设3：每组算式的结果都相等。

……提问：根据这几组算式的特点，我们能得出什么结论？引导学生得出：除以一个数，就等于乘这个数的倒数。