北师大版九年级数学上册教学设计(教案)：第五章《反比例函数》回顾与思考

第五章反比例函数
回顾与思考
一、学生知识状况分析
本章学习了反比例函数的定义、图象、性质及应用,在本章内容编排方面，直观操作，观察，概括和交流是重要的活动方式.通过这些活动，对函数的三种表示方法进行整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平，逐步形成用函数观点处理问题的意识，体验数形结合的思想方法.
教师应以本章教学目标为标准来考查学生的学习状况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质是否掌握，能否从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息，是否善于对实际问题进行分析，并灵活运用有关知识解决问题.
在教学过程中，应以学生总结为主，教师只给予适当指导.
二、教学任务分析
教学任务：《第五章反比例函数》回顾与思考。

教学目标
(一)教学知识点
1.经历抽象反比例函数概念的过程、领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.
3.会从函数图象中获取信息，解决实际问题.
(二)能力训练要求
1.熟练掌握本章的知识网络结构.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.
3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力.
4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能利
用图象解决实际问题.
(三)情感与价值观要求
通过本章内容的回顾与思考，培养学生的归纳、整理等能力；能利用反比例函数的性质及图象解决实际问题，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力.
教学重点
本章知识的网络结构.
反比例函数的概念.
会画反比例函数的图象，并掌握其性质.
反比例函数的应用.
教学难点
探索反比例函数的主要性质.
反比例函数的应用.
教学方法
师生交流互动法.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：通过提问，引入复习课；第二环节：重点知识回顾，形成本章知识结构图；第三环节：经典例题及练习，巩固新知；第四环节：探讨收获、课时小结；第五环节：课后作业
第一环节：通过提问，引入复习课
活动目的给学生设置疑问，明确学习任务，激发学生学习兴趣。

活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?
第二环节：重点知识回顾，形成本章知识结构图
活动目的：引导学生对本章的基础知识进行归纳、总结，使学生明确各个知识点之间的联系，“串珠为链”，做到基础知识网络化。

活动过程： （一）本章知识结构
带领学生一齐构造本章内容结构图。

(也可以给学生时间让学生自己构造，然后出示投影片)
本章内容框架
活动效果：绝大部分学生可以根据以上内容框架，用自己的语言归纳总结本章内容.
注意事项：1. 应以学生总结为主，教师只给予适当指导；
2.如果有些学生总结的结构图与老师的不一样，只要是合理、全面，老师都要给于肯定和鼓励。

（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳反比例函数概念. （三）说说函数y ＝
x 2和y ＝-x
2
的图象的联系和区别. 联系：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形. 区别：(1)它们所在的象限不同，y=x 2的两支曲线在第一和第三象限；y=-x
2
的两支曲线在第二和第四象限. (2)y ＝
x 2的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小:y=-x
2
的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大.
还有一点.虽然y ＝
x 2和y=-x
2
的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2.
（四）画反比例函数图象的步骤，讨论反比例函数图象的性质
画图象的步骤有列表，描点，连线.在画反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.
反比例函数图象的性质有：
1.反比例函数的图象是两支双曲线，当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
2.当k>0时.在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y 随x 的增大而增大.
3.因为在y=
x
k
(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P ，Q 分别作x 、轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2则S 1＝S 2
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
第三环节：经典例题及练习，巩固新知
活动目的：使学生利用自己所学的基础知识和基本方法能够熟练的解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。

活动过程：出示投影片 例一
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的是哪些 ( )
(1)y=
x 31 (3)y=x 2.0 (2)y= x
10
(4)y=-x 1007
2.在函数y ＝x 3
的图象上任取一点P ，过P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标
轴围成的矩形面积是多少?
分析：根据反比例函数图象的根据，当k ＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x ，的大而减小；当k<0时，正好相反，但在y ＝
x
31
中，形式好象和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=x
31
的形式。

1的答案：图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有(3)(4).
2的答案： S=｜k ｜=3. 例二
1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的
4
1
，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa ，倒过来放，对桌面的压强是多少?
2.一定质量的CO 2，当体积v ＝5米3时.它的密度ρ＝1.98千克／米3，求(1)ρ与v 的函数关系式；(2)当v=9米3时，CO 2的密度.
分析：压强p 与受力面积S ，压力F 之间的关系为p=S
F
，因为是同一物体，所以F 是一定的，由于面积不同，所以压强也不同. 质量m ，密度ρ和体积v 之间的关系为：ρ=
v
m
由，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3,可知质量m ，实际是已知反比例函数中的k ，就求出了反比例函数关系式. 解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p 1＝S
F
＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p 2＝
S F
S F 44
1
＝800Pa. 2.设CO 2的质量为m 千克，将v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ＝v
m
中，得m=9.9千克.
故所求ρ与v 间的函数关系式为ρ＝
v
9.9. (2)当v ＝9米3时，ρ=
v
9
.9＝1.1(千克／米3)。

课堂练习 出示投影片： 1.对于函数y=
x
2
，当x>0时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于y ＝-x
2
，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.
2.函数y=
x
10
的图象在第____象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而______. 3.根据下列条件，分别确定函数y ＝x k
的表达式
(1)当x=2时，y ＝-3；
(2)点(-31,21-)在双曲线y ＝x k
上.
答案：1.> 一、三 < 二、四 2.一、三 减小 3.(1)y=
x
6
- (2)y=x 61；
注意事项：在本环节教学中，教师要组织学生通过分组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行分析，探究，形成解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：探讨收获 课时小结
本节课我们从现实世界出发，抽象出反比例函数的概念，比较了反比例函数y=x
2
和y=-x
2
的图象的联系和区别，归纳了反比例函数的图象和性质，并进一步进行了应用.
第五环节：课后作业 （一）、复习题 A 组 （二）、活动与探究
反比例函数图象与矩形的面积 若点A 是反比例函数y=
x
k
(k ≠0)图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C,则矩形面积S ABOC =｜k ｜.如图(1).
1.如图(2)，P 是反比例函数)y=
x
k
(k ≠O)图象上的一点，由P 点分别向x 轴，y 轴引垂线，得阴影部分(矩形)的面积为3，则 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图（3）过双曲线y=
x
2
上两点A 、B 分别作x 轴，y 轴的垂线，若矩形ADDC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1,S 2,则S 1与S 2的关系是_____.
1.解：由题意得｜k ｜=3.
又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k ＝-3. ∴k=
x
3 . 2.解：由题意得 S 1=S 2=｜k ｜=2. （三）补充练习
四、教学反思
本章涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，它们相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点。

探索性题型在函数中考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，有关函数的题型仍是探索开放，综合应用，但活而不难。