中考数学压轴题定值问题

【中考数学压轴题】---定值问题

一、乘积、比值类型

1．（2009·株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B

坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长

交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值． 解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. 3分 （2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒

∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.

又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：

2

(1)y a x =-，得：

2

2

(31)(01)3

a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2

21y x x =-+ ………7分

（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2

(,21)x x x -+，则2

(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.

∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2

(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-

∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC

=

即2

34(1)4x x FC ---=，得4

1

FC x =

+ 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111

FC AC EC x x x x x x +=

+-=+=⋅+=+++ 即FC (AC ＋EC )为定值8. …12分

二、定长、定角、定点、定值类型

1．（2011•东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D

是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =1

2

x ＋b 交折线OAB 于点E ．

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =1

2

．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形

O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

考点：一次函数综合题。 分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点

y

x

Q

P F

E D

C

B

A O

E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化． 解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B （－3，1），

若直线经过点A （－3，0）时，则b=3

2 ，

若直线经过点B （－3，1）时，则b=5

2

，

若直线经过点C （0，1）时，则b=1，

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤3

2

，如图1，

此时E （2b ，0），∴S=1 2 O E•CO=1

2

×2b×1=b ；

②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3 2 ＜b ＜5

2

，如图2

此时E （－3，b －3

2

），D （2b ﹣2，1），

∴S=S 矩－（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3－[1 2 （2b －2）×1+1 2 ×（5－2b ）•（5 2 －b ）+1 2 ×3（b －3 2 ）]=

5

2

b －b 2，

∴S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

<<-≤<)2523(2

523221b b b b b ； （2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积． 由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED ， 又∠MDE=∠NED ，

∴∠MED=∠MDE ，∴MD=ME ， ∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，

由题易知，

=1

2

，DH=1，∴HE=2， 设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt △DHN 中，由勾股定理知：a 2=（2－a ）2+12，

∴a =5 4 ，∴S 四边形DNEM =NE•DH=5 4 ．

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5 4

．

2．（2011•遵义）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从

B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿B

C 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与B

D 相交于点

E ，过E 作E

F ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）． （1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形？

（2）在P 、Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？

如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。 分析：（1）如果四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =CP ，根