中考数学压轴题定值问题
【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．4．已知二次函数y＝kx2+x+（k是常数）．（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；（3）若抛物线y＝kx2+x+与x轴交于A（x A，0）、B（x B，0）两点，且x A＜x B，x A2+x B2＝34，若与y轴不平行的直线y＝ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．5．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）直接写出b的值及点A的坐标；（2）∠BAC的平分线交y轴于点D，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．①直接写出：+＝；②当直线l绕点D旋转时，+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C 出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A 点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题参考答案与试题解析1．解：（1）由题意得，解得．故二次函数解析式为y＝﹣x2+1．（2）①＝，理由如下，将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，∴点P坐标（，），∴OP中点C的坐标（，），∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，∴OP＝2CD∴＝．②∵圆心到直线l的距离d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半径r＝OP＝t+，EF＝，又∵（）2+d2＝r2，∴+（2t﹣）2＝（t+）2，解得t＝1或，∴t＝1或时，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，EF＝．2．解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当n＝0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y＝kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y＝﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，∴S＝EQ•（x F﹣x D）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t＝2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t＝2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F 的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，＝MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，＝8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），则PQ＝＝2，为定值．4．解：（1）∵二次函数y＝kx2+x+与x轴有两个不同的交点，∴，解得k＜且k≠0．（2）设反比例函数解析式为y＝，∵经过点（1，k），∴m＝k，∵反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，∴k＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，根据二次函数以及反比例函数的性质可知：当x＜0或0＜x＜﹣时，y随x的增大而增大．（3）结论：＝1．理由：令y＝0，则有kx2+x+＝0，∴x A+x B＝﹣，x A•x B＝，∵x A2+x B2＝34，∴（x A+x B）2﹣2x A•x B＝34，∴（）2﹣﹣34＝0，解得k＝﹣或由（1）可知k＜，∴k＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，设过点P的直线为y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴过点P的直线为y＝kx+3﹣k，∵过点P的直线为y＝kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，∴＝＝＝＝＝1．5．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝，解得b＝，将点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，所以，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，整理得，x2﹣2x﹣9＝0，解得x1＝﹣，x2＝3，所以，点A的坐标为（﹣，0）；（2）①∵A的坐标为（﹣，0），∴AO＝，∵点C（0，3），∴OC＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝2，所以，+＝+＝+＝；故答案为：．②+为定值．理由如下：如图，过点D作DE∥AC交x轴于E，则∠ADE＝∠CAD，∵∠BAC的平分线交y轴于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵DE∥AC，∴△NED∽△ANM，∴＝，由图可知，EN＝AN﹣AE，∴＝＝＝1﹣，∴1﹣＝，整理得，+＝，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分线与y轴相交于点D，∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，∴DO＝AO•tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，∵DE∥AC，∴∠DEO＝∠BAC＝60°，∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，∴＝，∴+＝．6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的顶点是（0，﹣），∴抛物线的对称轴是y轴，∴b＝0，故可设抛物线的解析式是：y＝ax2﹣，又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO＝∴AO＝1，∴A（﹣1，0）把点A代入y＝ax2﹣，得a＝∴抛物线的解析式是y＝x2﹣．（2）当0＜t＜1时，OT＝1﹣t，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；当1＜t＜2时，OT＝t﹣1，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（t﹣1）t＝t2﹣t；综上，S与t的函数关系式为：S＝．（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB＝TE，又∠B＝60度，∴三角形TBE为等边三角形，∴BE＝TB＝t，∵△SDH∽△STO，设DH＝a，则有，即，∴a＝，∴DC＝1﹣t，∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣（1﹣t）＝1．当1＜t＜2，（如图2）同理，△SDH∽△STO，即有，a＝，DC＝t﹣1，∴DE＝DC+CE＝t﹣1+（2﹣t）＝1．。
104 与最值、定值相关的压轴题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》与最值、定值相关的压轴题方法提炼：1、已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、O，求AM+OM最小值的问题，我们只需做出点O关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+OM的最小值。
同理，我们也可以做出点A关于这条直线的对称点A’，将点O与A’连接起来交直线与点M，那么OA’就是AM+OM的最小值。
应用的定理是：两点之间线段最短。
2、初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。
典例引领：8．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（1）求抛物线C的解析式；（2）如图1，直线y＝x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；（3）如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标．分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出ME，MF与t的关系，最后建立ME+MF与t的函数关系式，即可得出结论；（3）先求出x2+2kx﹣4k﹣8＝0，进而得出x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，而DE'•DF'＝PE'•QF'，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），借助b＝，y1＝，y2＝，即可得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a），即可得出结论．解：（1）∵抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点∴，∴；（2）如图1，设直线OT交ME于G，设M（t，），则ME＝，G（t，t），OG＝t，MG＝，sin∠OGE＝sin∠MGF＝，MF＝MG＝，ME+MF＝，a＜0，当t＝时，ME+MF的最大值为；（3）如图2，过D作E'F'∥x轴，作PE'⊥E'F'于E'，QF'⊥E'F'于F'，设D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得x2+2kx﹣4k﹣8＝0∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，由△PE'D∽△DF'Q得，，∴DE'•DF'＝PE'•QF'，∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），∵b＝，y1＝，y2＝∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（）（）∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a），∴﹣4＝（a+x1）（a+x2），∴x1x2+a（x1+x2）+a2＝﹣4，∴﹣4k﹣8+a（﹣2k）+a2＝﹣4∴a2﹣4﹣2ak﹣4k＝0，∴（a+2）（a﹣2）﹣2k（a+2）＝0，∵k为任意实数，∴a+2＝0，∴a＝﹣2，∴b＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）．点评：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，相似三角形的判定和性质，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a）是解本题的关键．跟踪训练：1．如图，抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C，M为此抛物线的顶点．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长为；②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最小值；（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF＝AC，求直线MN的解析式．2．如图1，抛物线的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求tan∠BDC的值；（3）将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标．4．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与跑抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM 与PF之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）交轴于A、B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点D的纵坐标为4（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M在抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的图象上，点N在x轴上，当以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B，D两点间的一个动点（点P不与B，D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F，G，当点P运动时，EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．6．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”【感悟】根据你的阅读理解回答问题：（1）点P（2，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．7．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣1，0），且OB＝OC＝3OA，动点P 在过A、B、C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由（3）如图2，过动点P作PE⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当点P在什么位置时，线段EF最短，求出EF长的最小值．9．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x+3经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是x轴上的动点，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AC于点H．①点D在线段OC上，连接AD、BD，当AH＝BD时，求AD+AH的最小值；②当OC＝3OD时将直线AD绕点A旋转45°，使直线AD与y轴交于点P，请直接写出点P的坐标．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x＝﹣2交x轴于点C，直线l过点N（0，﹣2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l 于点M，△AOB的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠MPN＝∠BAC时，求P点坐标；（3）①求证PM＝PC；②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值．12．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．参考答案1．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）①在Rt△BOC中，BC＝＝＝2．∵点D是线段BC一点，P是线段AD的中点，∴点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2，如图1，则P1P2＝BC＝．故答案为：；②如图2，∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，∴PE＝PA＝PD＝PF，∴点A、E、D、F在以点P为圆心，AD为半径的圆上，∴∠EPF＝2∠EAF．∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠EPF＝90°，∴EF＝＝PE＝AD．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，＝BC•AD＝×2•AD＝12，此时，S△ABC解得：AD＝，此时EF＝，则EF的最小值为；（3）如图3，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+4．由EF＝AC可得MN∥AC．可设直线MN的解析式为y＝x+t．∵点M是抛物线y＝﹣x2﹣x+4的顶点，∴点M的坐标为（﹣1，），把M（﹣1，）代入y＝x+t，得﹣1+t＝，解得t＝，∴直线MN的解析式为y＝x+．2．解：（1）在中，当x＝0时，有y＝﹣2，∴A（0，﹣2），∵点B的坐标为（1，0），可设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；（2）在中，当y＝0时，有，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∵抛物线与x轴的负半轴交于点D，∴D（﹣2，0），∵点C是直线AB与抛物线W的交点，∴联立方程组，解得，，由此可知，C（4，6），过点C作CE⊥x轴于点E，∴CE＝6，OE＝4，∴DE＝DO+OE＝6，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∴tan∠CDE＝1，∴tan∠BDC＝1；（3）tan∠D1C1B恒为定值，理由如下：由题意，抛物线W1的解析式为，设点D1的坐标为（t，0），其中t＜0，∴，∴，∴，∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，∴，解得，，∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，且t＜0，∴点C1的坐标为（2﹣t，2﹣2t），过C1作C1E1⊥x轴于点E1，∴C1E1＝2﹣2t，OE1＝2﹣t，∴D1E1＝D1O+OE1＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，∴C1E1＝D1E1，∴Rt△C1D1E1为等腰直角三角形，∴∠C1D1E1＝45°，由（2）知∠BDC＝45°．∴∠C1D1E1＝∠BDC，∴D1C1∥DC，∴∠D1C1B＝∠DCB，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，∴tan∠D1C1B恒为定值．如图2，过B作BF⊥DC于点F，∵∠BDC＝45°，∴Rt△BDF为等腰直角三角形，∵BD＝OD+OB＝3，DF＝BF＝，由（1）知，DC＝6，FC＝DC﹣DF＝，∴在Rt△BFC中，有tan FCB＝＝，∴tan∠D1C1B＝．3．解：（1）物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c＝6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36a+12+6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）；（2）设点M（m，n），n＝﹣m2+2m+6，点N（s，0），①当AB是平行四边形的一条边时，点A向右、向下均平移6个单位得到B，同理点N右、向下均平移6个单位得到M，故：s+6＝m，0﹣6＝n，解得：m＝2±2，故点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；②当AB是平行四边形的对角线时，则AB的中点即为MN的中点，则s+m＝6，n+0＝6，解得：m＝4，故点M的坐标为（4，6），综上，点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，∵OA＝OB＝6，则∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PG∥y轴，则∠PGH＝∠OAB＝45°，直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，设点P（x，﹣x2+2x+6），则G（x，﹣x+6），d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），当x＝3时，d取得最大值，此时点P（3，）．4．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①设点P（m，m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．5．解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，∵抛物线的顶点D的纵坐标为4，∴﹣4a＝4，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），①以AC为对角线，∵点M在抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的图象上，点N在x轴上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴点M的纵坐标为3，∴﹣x2﹣2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣2．故点M的坐标为（﹣2，3）；②以AC为对角线，点M的坐标为（﹣2，3）；③以AN为对角线，点M的坐标为（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣2，3），（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）；（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴＝，∴EF＝＝＝×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴＝，∴EG＝＝＝2（t+3），∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．6．解：（1）点P（2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．（2）一次函数y＝2x+1的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，函数y＝x+1是增函数，当﹣2≤x≤3时，x＝3，y的最大值＝4，∴一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y轴于点B，∴点B（0，c）点A与点B的“坐标差”相等，∴点A（﹣c，0），∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，∵bc≠0，∴c+b＝1，∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”为﹣1即函数y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1∴解得b＝3，∴c＝﹣2∴y＝﹣x2+3x﹣2，∴．∴当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，Ⅰ．若m≤≤m+3时，则x＝时，函数的最大值为，依题意得：﹣2m＝，解得m＝；Ⅱ．若m＞时，x＝m，函数取最大值为：y＝﹣m2+3m﹣2，依题意得：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，解得：m＝＜（舍去），m＝，Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣时，x＝m+3，函数取最大值为：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．依题意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程无实数解．综上所述：m＝或m＝，7．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），则PQ＝＝2，为定值．8．解：（1）由A（﹣1，0）可知OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝OC＝3，∴C（0，﹣3），B（3，0）．设抛物线的解析式（交点式）为y＝a（x+1）（x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的解析式是y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，（2）存在．①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．∵∠BCP1＝90°，∴∠MCP1+∠BCO＝90°．∵∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠MCP1＝∠OBC．∵OA＝OC，∴∠MCP1＝∠OBC＝45°，∴∠MCP1＝∠MP1C，∴MC＝MP1，设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．∴m＝1，此时m2﹣2m﹣3＝﹣4，∴P1的坐标是（1，﹣4）．②当点B为直角顶点时，过B作BP2⊥BC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，BP交y轴于点F，如图1．∴P2N∥x轴，由∠CBO＝45°得∠OBP2＝45°，∴∠FP2N＝45°，BO＝OF．∴P2N＝NF，设P2（﹣n，n2+2n﹣3），则3+n＝n2+2n﹣3解得：n1＝2，n2＝﹣3（舍去），∴n＝2，此时n2+2n﹣3＝5，∴P2的坐标是（﹣2，5）．综上所述：P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）；（3）当EF最短时，点P的坐标是（，﹣）或（，﹣）．解题过程如下：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．根据垂线段最短可得：当OD⊥BC时，OD（即EF）最短．由（1）可知，在直角△BOC中，OC＝OB＝3．根据等腰三角形的性质可得：D是BC的中点．∴EF＝OD＝＝＝，又∵DF∥OC，∴△BFD∽△BOC，∴，∴DF＝OC＝，∴点D的纵坐标是﹣，∴点P的纵坐标也是，解x2﹣2x﹣3＝﹣得，x1＝，x2＝，∴点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．此时EF长为最小值＝．9．解：（1）直线y＝x+3经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，即点B（1，0），当AH＝BD时，AD+AH＝AD+BD，当A、B、D三点共线时，AD+AH＝AD+BD最小，最小值为：AB＝1﹣（﹣3）＝4，答：AD+AH的最小值为4；②当OC＝3OD时，OD＝1，AD＝，则tan∠ADO＝，则sinα＝，当点P在y轴上方时，如下图，过点P作△APD的高PH，交AD的延长线与点H，设：PH＝m，∵∠PAD＝45°，则AH＝m，tan∠PDH＝＝tanα＝3，解得：m＝，PD＝＝＝5，故点P（0，6）；当点P在y轴下方时，如下图所示，同理可得：DP′＝故：点P（0，﹣）；综上，点P（0，6）或（0，﹣）10．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3﹣），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+）×＝，综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．11．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x＝﹣2，∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面积为2，∴BC＝1，即顶点B的坐标为（﹣2，﹣1），∴，，解得a＝，b＝1，∴抛物线的解析式为；（2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC＝，设P点坐标为（x，），如图1，当点P在y轴右侧，PM＝﹣（﹣2）＝，MN＝x，∴tan∠MPN＝＝，即x2﹣4x+8＝0，此方程无解；如图2，当点P在y轴左侧，此时PM＝，MN＝﹣x，∴tan∠MPN＝＝，即x2+12x+8＝0，解得，，则，，∴点P坐标为（，）或（，）；（3）①如图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD＝x+2，DC＝，由（2）知PM＝，在Rt△PCD中，PC2＝＝＝PM2，∴PM＝PC；②由①知，PM＝PC，∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4．∴PQ+PC的最小值为4．12．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2∴y E＝﹣22+2×2+3＝3∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e∴解得：∴直线AE：y＝x+1∴F（0，1）∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴C四边形DGHF＝DF+EF'最小∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF∵EF'＝＝2+2∴C四边形DGHF设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．13．解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）∴设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）∵抛物线经过点D（2，3）∴a（x+1）（x﹣3）＝3解得：a＝﹣1∴抛物线表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴向下平移后新抛物线为y＝﹣（x﹣1）2，顶点G（1，0），即抛物线向下平移4个单位∵原抛物线上一点M平移后的对应点为点N∴MN＝4，MN⊥x轴∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，且点A在x轴上∴x轴垂直平分MN∴N的纵坐标为﹣2∴﹣（x﹣1）2＝﹣2解得：x1＝1+，x2＝1﹣∴点N坐标为（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）（3）作点D关于y轴的对称点点D'，连接D'Q，取OB中点F，连接D'F∵D（2，3），点Q为y轴上的动点∴D'（﹣2，3），QD＝QD'∴当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小∵BE⊥OP于点E，P为抛物线上第一象限内的动点∴∠OEB＝90°∴点E在以OB为直径的圆在第一象限内的弧上运动∵圆心F（，0），r＝∴当点E在线段D'F上时，D'E＝D'F﹣EF＝﹣＝最小∴QE+QD的最小值为．。
压轴突破 定值问题
定值问题突破点一 长度与几何图形的面积为定值【例1】 (2021·宜昌质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E 上，点A (a ，0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值.(1)解 ∵e ＝c a ，且(1，e )在椭圆E 上，∴1a 2＋e 2b 2＝1，则1a 2＋c 2a 2b 2＝1.①又c 2＝a 2－b 2，②联立①②，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29， 则k 1k 2＝1－t 29t ×－1－t 29t ＝－1－t 29t 2＝－19， 解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1，消去y 并整理， 得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0.Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1， k 1k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1 ＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1. 又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12·|MN |·d ＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |m 22m 2＝32. 综上可知，△OMN 的面积为定值32.探究提高 1.解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN |和原点O 到直线l 的距离d ，然后由面积公式表达出S △OMN (如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形，即得S △OMN 为定值32.2.注意分情况讨论直线l 的斜率是否存在.当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)，与椭圆方程联立，结合k 1k 2＝－19，得S △OMN ＝32.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，进一步证明S △OMN 为定值32.【训练1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1).(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3.所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.① 由AM ⊥AN ，得AM →·AN→＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1). 所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1).由AM →·AN→＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ |＝12|AP |＝223. 若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值. 突破点二 数学表达式或斜率为定值【例2】 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点P (1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2).从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1).令x ＝0， 得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N. 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ＝2为定值.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】 (2021·济南质检)已知点A 在圆C ：(x －2)2＋y 2＝16上，B (－2，0)，P (0，2)，线段AB 的垂直平分线与AC 相交于点D .(1)求动点D 的轨迹方程；(2)若过点Q (0，－1)的直线l 斜率存在，且直线l 与动点D 的轨迹相交于M ，N 两点.试证明：直线PM 与PN 的斜率之积为定值.(1)解 由圆C ：(x －2)2＋y 2＝16，知圆心C (2，0)，半径r ＝4.∵点D 在线段AB 的垂直平分线上，∴|DA |＝|DB |，又|AC |＝|DA |＋|DC |＝|DB |＋|DC |，|AC |＝r ＝4，∴|DB |＋|DC |＝4>|BC |＝2 2.则动点D 的轨迹是以B (－2，0)，C (2，0)为焦点，长轴长2a ＝4的椭圆. 从而a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故所求动点D 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 设l ：y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 22＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4kx －2＝0， 显然Δ＝(－4k )2＋8(2k 2＋1)＝32k 2＋8>0，∴x 1＋x 2＝4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. ∵x 1≠0，x 2≠0，∴设直线PM 与PN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y 1－2x 1·y 2－2x 2＝（kx 1－2－1）x 1·（kx 2－2－1）x 2 ＝k 2x 1x 2－（2＋1）k （x 1＋x 2）＋22＋3x 1x 2＝k 2＋2k 2＋3＋22－2＝－32－ 2. 故直线PM 与PN 的斜率之积为定值.突破点三 定直线的方程【例3】 (2021·福州检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点D (1，2)的直线l 交C 于点M ，N ，点Q 为MN 的中点，QR ⊥x 轴交C 于点R ，且QR→＝RT →，证明：动点T 在定直线上. (1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2， 所以过点F 且斜率为1的直线的方程为y ＝x ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x 2＝2py消去y 并整理，得 x 2－2px －p 2＝0，易知Δ>0.则x 1＋x 2＝2p ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋p ＝3p ，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ＝8，解得p ＝2.于是抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明 法一 易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，Q (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，14x 23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4，14x 24. 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1）＋2，x 2＝4y消去y 并整理，得 x 2－4kx ＋4k －8＝0.则Δ＝(－4k )2－4(4k －8)＝16(k 2－k ＋2)>0，x 3＋x 4＝4k ，x 3x 4＝4k －8，所以x 0＝x 3＋x 42＝2k ，y 0＝k (x 0－1)＋2＝2k 2－k ＋2，即Q (2k ，2k 2－k ＋2). 由点R 在曲线C 上，QR ⊥x 轴，且QR→＝RT →， 得R (2k ，k 2)，R 为QT 的中点，所以T (2k ，k －2).因为2k －2(k －2)－4＝0，所以动点T 在定直线x －2y －4＝0上.法二 设T (x ，y )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，14x 23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4，14x 24. 由⎩⎨⎧x 23＝4y 3，x 24＝4y 4得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)＝4(y 3－y 4)， 所以x 3＋x 44＝y 3－y 4x 3－x 4. 设Q (x ，y 5)，则直线MN 的斜率k ＝y 5－2x －1， 又y 3－y 4x 3－x 4＝k ，点Q 的横坐标x ＝x 3＋x 42，所以x 2＝y 5－2x －1，所以y 5＝12x (x －1)＋2. 由QR →＝RT →知点R 为QT 的中点，所以R ⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 5＋y 2. 又点R 在C 上，将⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 5＋y 2代入C 的方程得x 2＝2(y 5＋y )，即－x ＋4＋2y ＝0， 所以动点T 在定直线x －2y －4＝0上.探究提高 1.将直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，即得抛物线C 的方程.2.本题第(2)问的解答给出了探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x ，y )，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上.【训练3】 (2021·宿州质检)已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点P 满足|P A |＋|PB |＝4，P 点的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知圆x 2＋y 2＝R 2上任意一点P (x 0，y 0)处的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝R 2，类比可知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1上任意一点P (x 0，y 0)处的切线方程为：x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.记l 1为曲线C 在任意一点P 处的切线，过点B 作BP 的垂线l 2，设l 1与l 2交于Q ，试问动点Q 是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由.解 (1)由椭圆的定义知P 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆， 依题意，c ＝1，2a ＝4.所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，由题知直线l 1的方程为x 0x 4＋y 0y 3＝1.①当x 0≠1时，k PB ＝y 0x 0－1， 所以l 2的斜率k 2＝－1k PB ＝1－x 0y 0，则直线l 2的方程为y ＝1－x 0y 0(x －1)，② 联立方程①②，消y 得3x 0x ＋4(1－x 0)(x －1)－12＝0.变形化简，得(4－x 0)x ＝4(4－x 0)，则x ＝4.所以动点Q 在定直线x ＝4上，当x 0＝1时，y 0＝±32，l 1：x 4±y 2＝1，l 2：y ＝0，Q (4，0)，Q 在直线x ＝4上，综上所述，动点Q 在定直线x ＝4上.1.(2021·武汉质检)设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为点F ，过点F 作直线l 交抛物线E 于A ，B 两点.当l 与x 轴垂直时，△AOB 的面积为8，其中O 为坐标原点.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若l 的斜率存在且为k 1，点P (3，0)，直线AP 与抛物线E 的另一交点为C ，直线BP 与抛物线E 的另一交点为D ，设直线CD 的斜率为k 2，证明：k 2k 1为定值. (1)解 由题意当l 与x 轴垂直时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ， ∴12·2p ·p 2＝8，解得p ＝4.则抛物线E 的标准方程为y 2＝8x .(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 218（y 21－y 22）＝8y 1＋y 2，同理k 2＝8y 3＋y 4， ∴直线l 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2(x －x 1). 即(y 1＋y 2)y －y 1y 2＝8x .∵抛物线E 的焦点F (2，0)在直线l 上，∴－y 1y 2＝16.设直线BD 的方程为x ＝ty ＋3.联立得方程组⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，y 2＝8x ，消去x 并整理得y 2－8ty －24＝0，∴y 2y 4＝－24.同理可得y 1y 3＝－24.∴k 2k 1＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－24y 1＋－24y 2＝y 1y 2－24＝－16－24＝23. 故k 2k 1＝23为定值. 2.(2021·郑州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若抛物线y 2＝4x 的焦点F 恰好为椭圆C 的右焦点，且该抛物线与椭圆C 在第一象限的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263. (1)求C 的标准方程；(2)设A ，B 是椭圆C 的左、右顶点，过点F 作直线l 与椭圆交于P ，Q (不同于A ，B )两点，设直线AP 与直线BQ 交于E 点，求证：点E 在定直线上.(1)解 由y 2＝4x ，知焦点F (1，0)，则c ＝1.由椭圆定义，得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝4. 所以a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)知F (1，0)，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，与椭圆x 24＋y 23＝1联立，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.显然Δ>0恒成立.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，① 直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 直线BQ 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)， 联立两方程可得，y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)， x ＋2x －2＝x 1＋2y 1·y 2x 2－2＝（my 1＋3）y 2y 1（my 2－1）＝my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1. 由①式可得y 1y 2＝32m (y 1＋y 2)，代入上式可得x ＋2x －2＝32（y 1＋y 2）＋3y 232（y 1＋y 2）－y 1＝32y 1＋92y 2y 12＋3y 22＝3， 解得x ＝4，故点E 在定直线x ＝4上.3.(2021·八省八校一联)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线M ：y 2＝4x 有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点作一条斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ；若不存在，请说明理由.解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线M ：y 2＝4x 有公共的焦点，所以a 2－b 2＝1.①又抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，所以2b 2a ＝3.②由①②得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立直线AB 的方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）.消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144k 2＋144>0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. 所以x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2， 所以y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1＝－3k 3＋4k 2，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2， 从而直线OP 的方程为y ＝－34k x .③在直线AB 的方程y ＝k (x －1)中，令x ＝0，得y ＝－k ， 则点E 的坐标为(0，－k ).因为EQ ⊥OP ，所以直线EQ 的方程为y ＝4k 3x －k .④③×④，得y 2＝－x 2＋34x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －382＋y 2＝964， 所以点Q 的轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0为圆心，38为半径的圆， 所以存在定点H ⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0，使得QH 的长度为定值38.。
【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．4．已知二次函数y＝kx2+x+（k是常数）．（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；（3）若抛物线y＝kx2+x+与x轴交于A（x A，0）、B（x B，0）两点，且x A＜x B，x A2+x B2＝34，若与y轴不平行的直线y＝ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．5．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）直接写出b的值及点A的坐标；（2）∠BAC的平分线交y轴于点D，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．①直接写出：+＝；②当直线l绕点D旋转时，+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C 出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A 点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题参考答案与试题解析1．解：（1）由题意得，解得．故二次函数解析式为y＝﹣x2+1．（2）①＝，理由如下，将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，∴点P坐标（，），∴OP中点C的坐标（，），∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，∴OP＝2CD∴＝．②∵圆心到直线l的距离d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半径r＝OP＝t+，EF＝，又∵（）2+d2＝r2，∴+（2t﹣）2＝（t+）2，解得t＝1或，∴t＝1或时，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，EF＝．2．解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当n＝0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y＝kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y＝﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，∴S＝EQ•（x F﹣x D）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t＝2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t＝2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F 的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，＝MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，＝8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），则PQ＝＝2，为定值．4．解：（1）∵二次函数y＝kx2+x+与x轴有两个不同的交点，∴，解得k＜且k≠0．（2）设反比例函数解析式为y＝，∵经过点（1，k），∴m＝k，∵反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，∴k＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，根据二次函数以及反比例函数的性质可知：当x＜0或0＜x＜﹣时，y随x的增大而增大．（3）结论：＝1．理由：令y＝0，则有kx2+x+＝0，∴x A+x B＝﹣，x A•x B＝，∵x A2+x B2＝34，∴（x A+x B）2﹣2x A•x B＝34，∴（）2﹣﹣34＝0，解得k＝﹣或由（1）可知k＜，∴k＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，设过点P的直线为y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴过点P的直线为y＝kx+3﹣k，∵过点P的直线为y＝kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，∴＝＝＝＝＝1．5．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝，解得b＝，将点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，所以，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，整理得，x2﹣2x﹣9＝0，解得x1＝﹣，x2＝3，所以，点A的坐标为（﹣，0）；（2）①∵A的坐标为（﹣，0），∴AO＝，∵点C（0，3），∴OC＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝2，所以，+＝+＝+＝；故答案为：．②+为定值．理由如下：如图，过点D作DE∥AC交x轴于E，则∠ADE＝∠CAD，∵∠BAC的平分线交y轴于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵DE∥AC，∴△NED∽△ANM，∴＝，由图可知，EN＝AN﹣AE，∴＝＝＝1﹣，∴1﹣＝，整理得，+＝，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分线与y轴相交于点D，∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，∴DO＝AO•tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，∵DE∥AC，∴∠DEO＝∠BAC＝60°，∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，∴＝，∴+＝．6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的顶点是（0，﹣），∴抛物线的对称轴是y轴，∴b＝0，故可设抛物线的解析式是：y＝ax2﹣，又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO＝∴AO＝1，∴A（﹣1，0）把点A代入y＝ax2﹣，得a＝∴抛物线的解析式是y＝x2﹣．（2）当0＜t＜1时，OT＝1﹣t，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；当1＜t＜2时，OT＝t﹣1，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（t﹣1）t＝t2﹣t；综上，S与t的函数关系式为：S＝．（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB＝TE，又∠B＝60度，∴三角形TBE为等边三角形，∴BE＝TB＝t，∵△SDH∽△STO，设DH＝a，则有，即，∴a＝，∴DC＝1﹣t，∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣（1﹣t）＝1．当1＜t＜2，（如图2）同理，△SDH∽△STO，即有，a＝，DC＝t﹣1，∴DE＝DC+CE＝t﹣1+（2﹣t）＝1．。
中考数学压轴题(定值问题)
1. ( 2009 •株洲)如图，已知△ ABC 为直角三角形，/ ACB=90 ° AC=BC ,点A 、C 在x 轴上，点 B 坐标为(3，m )(m >0),线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1, 0)为顶点的抛物线过点 B 、D . (1) 求点A 的坐标(用m 表示)； (2) 求抛物线的解析式；(3) 设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长 交AC 于点F ，试证明：FC(AC + EC)为定值.解析：(1 )由B(3,m)可知OC =3, BC=m ，又△ ABC 为等腰直角三角形，AC = BC = m , OA = m -3，所以点(2)T ODA "OAD =45.OD =OA =m - 3，则点D 的坐标是( 又抛物线顶点为 P(1,0)，且过点B 、D ,2y =a(x-1)，得：a(3 -1) =m解得 a ia(0 -1)2 =m -3m =4.抛物线的解析式为 y =x 2-2x • 1(3)过点Q 作QM _ AC 于点M ，过点Q 作QN _ BC 于点N ，设点Q 的坐标是(x, x 2 - 2x T), 则QM =CN =(x -1)2, MC =QN =3-x .2•/ QM //CE /. . PQM s . ：PEC .型=空 即(x-1) _ x -1，得 EC=2(x — 1)EC PCEC 2•/ QN // FC /• BQN s . BFC . QN即3~x _4 -(x_1)2，得 FC 二丄FC 一 BCFC 4x + 14又••• AC =4 . FC (AC EC) [42(x -1)]二x+1二、定长、定角、定点、定值类型1. ( 2011?东营)如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为(-3, 0) , (0, 1),点D1是线段BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y=—^-x + b 交折线OAB 于点E . (1) 记厶ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式；(2) 当点E 在线段OA 上时，且tan /DEO=<-.若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形 O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面 积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说 明理由. 考点：一次函数综合题。
中考冲刺数学压轴题押题预测专题8定值问题18页word文档
专题8：定值问题一、选择题二、填空题三、解答题1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．（1）写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k≠0）．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线()22y x 4x 3x 21=-+=--，∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。
②线段EF 的长度不会发生变化。
∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k≠0，∴x 2﹣4x+3=8。
解得：x 1=﹣1，x 2=5。
∴EF=x 2﹣x 1=6。
∴线段EF 的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。
【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。
抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
2. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD 始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则tan CGD=tan PAG∠∠。
二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选
二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选【例1】（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．【例2】（2013•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P 作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．考点：二次函数综合题分析：猜想与证明：把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；探究与证明：（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；联想与拓展：由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．解答：解：猜想与证明：当m=1时，1=x2，1=x2，∴x=±2，x=±3，∴AB=4，CD=6，∴；当m=2时，4=x2，4=x2，∴x=±4，x=±6，∴AB=8，CD=12，∴；当m=3时，9=x2，9=x2，∴x=±6，x=±9，∴AB=12，CD=18，∴；∴填表为m 1 2 3对任意m（m＞0）均有=．理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m，∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），∴AB=4m．将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m，∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），∴CD=6m．∴，∴对任意m（m＞0）均有=；探究与运用：（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP．∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°．∴△AOB与△CQD的高相等．∵=，∴AB=CD．∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴=，（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，∴PO=PB=m2，AB=2OP∴m2=m4，∴4m2=m4，∴m1=0，m2=﹣2，m3=2．∵m＞0，∴m=2，∴OP=4，AB=8，∴PD=6，CD=12．∴S△AOB==16∴S△CQD==24，∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8．当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP∴m2=m4，∴9m2=m4，∴m1=0，m2=﹣3，m3=3．∵m＞0，∴m=3，∴OP=6，AB=12，∴PQ=9，CD=18．∴S△AOB==54∴S△CQD==81，∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27；联想与拓展由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m，∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，∴y=m2，y=m2，∴E（﹣2m，m2），F（3m，m2），∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2．S△AEM=×m2•2m=m3，S△DFM=m2•3m=m3．∴=．故答案为：；；．点评：本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．【例3】（2013•株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=55.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为QMNS∆，△QNR的面积QNRS∆，求QMNS∆∶QNRS∆的值.解：（1）如图，过点B作BD OA⊥于点D．在Rt ABD△中，35AB=5sin OAB∠=5sin3535BD AB OAB∴=∠==．又由勾股定理，得2222(35)36AD AB BD=-=-=．1064OD OA AD∴=-=-=．yFP3BECD AP2P1O点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ··················································· 2分 设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ····························· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形．①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点，∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······································································· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得222222121620AP P E AE =+=+=．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点． ······································································ 1分③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得22223371475OP P F OF =+=+=而35CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ········································································ 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ······················································· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················································· 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ································································· 1分yQ OGRMN综上可知，:QNM QNRS S△△的值为3:20．【例6】、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m=+ (m为常数)的图象与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c=++ (a b c，，为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F ．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于111M()x y，，222M()x y，两点，试探究2112P PM MM M⋅是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是，抛物线C2的对称轴是；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．11．（2021•罗湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．12．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．【题组四】13．（2020•西宁二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，52）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C=355OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．16．（2020•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=5DF时，请直接写出点N的坐标．【题组五】17．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF的最小值．18．（2020•白云区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值．19．（2020•福安市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB ＝90°．求证：CO=1；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．20．（2020•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组六】21．（2020•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问1δ212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2）22．（2020•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB ﹣TS=23，求点R的坐标．23．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．24．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。
中考压轴题 定值问题
中考定值问题分类解析在中考中，定值问题一直是一类热门专题。
对考察学生的分析问题、解决问题的能力，在变化中寻找不变的结论和关系的探索能力，要求都比较高。
而且对数学思想方法的考察也比较深入。
定值问题的思考切入点多种多样，解决这类问题的方法也是灵活多变。
本文从定值结论的不同来分类，解析以下这类这类问题的解决策略。
一：线段定值1．如图，点A在函数y＝（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y＝图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）试问：当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（2）试说明：当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE 的长始终相等．【解析】此题后两问都是定值问题。
但解决的策略不同。
第二问是通过含参计算，最后消掉参数，从而得到结论与参数无关，是个定值。
这是定值问题中常用的一种方法。
第三问是通过全等证明，其实也可以用含参计算的方法证明【解答】解：（1）∵点C在y＝的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y＝（x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y＝的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB＝a﹣＝a，AC＝﹣＝，∴S＝AB•AC＝××＝，△ABC即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴＝，即＝，∴EF＝a，由（2）可知BG＝a，∴BG＝EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG＝∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD＝EF．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD的面积为4时，①求点D的坐标；②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．【解析】这个问题中求线段和为定值，也是采用含参计算，最终消参的方法【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），∴A（﹣2，0），4a+4＝0，∴a＝﹣1，AB＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，①设D（m，﹣m2+4），∵△ABD的面积为4，∴4＝×4（﹣m2+4）∴m＝±，∵点D在第一象限，∴m＝，∴D（，2），②如图1，点M在OD上方时，∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，∴M（﹣，2），当M在OD下方时，设DM交x轴于G，设G（n，0），∴OG＝n，∵D（，2），∴DG＝，∵∠MDO＝∠BOD，∴OG＝DG，∴，∴n＝，∴G（，0），∵D（，2），∴直线DG的解析式为y＝﹣2x+6①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4②，联立①②得，x＝，y＝2，此时交点刚好是D点，所以在OD下方不存在点M．（2）OE+OF的值不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，∴OF∥DH，∴，设D（b，﹣b2+4），∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，∵OA＝2，∴，∴OF＝，同理：OE＝2（2+b），∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．3．如图，已知二次函数L1：y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y＝kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；③若直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【解析】消参法【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，∴x1＝1，x2＝3；即：A（1，0），B（3，0）；（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x＝2或顶点的横坐标为2；（Ⅱ）都经过A（1，0），B（3，0）两点；②存在实数k，使△ABP为等边三角形．∵y＝kx2﹣4kx+3k＝k（x﹣2）2﹣k，∴顶点P（2，﹣k）．∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2要使△ABP为等边三角形，必满足|﹣k|＝，∴k＝±；③线段EF的长度不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k＝8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3＝8，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴EF＝x2﹣x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．二、周长定值1．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，sin∠B＝，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解析】第二问，设BE=x，利用相似把各条线段用x表示，这是利用了函数的思想。
2021年中考数学压轴题讲次14 图形运动中的定值问题(教师版)
专题14 图形运动中的定值问题模块一：与线段相关的定值问题1、解题注意点（1）注意分析图形运动的方式和位置，尤其是特殊位置或临界位置的情况；（2）探究两条线段的和差，通常联想到线段的等量代换，进而寻找全等三角形；（3）探究两线段长的乘积，通常联想到比例，进而寻找相似三角形．例题1.已知在等边ABC中，AB = 4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM = CN．联结MN，交直线AC于点D．设AM = x，CD = y．（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．【解析】（1）过点M 作MP // AC ，交BC 于点P ．在等边ABC ∆中，∵AB = BC ，MP // AC ，∴PC = AM = x ．又∵AM = CN ，∴PC = CN ．∵MP // AC ，∴∠MPB =∠ACB = 60°．而∠B = 60°，∴∠MPB =∠B ．∴MP = BM =4x -． ∴()142y x =-，即221+-=x y （0 < x < 4）； （2）线段DE 的长不会改变．（i ）当点M 在边AB 上时，点D 在边AC 上．∵∠AEM = 90°，∠A = 60°，AM = x ，∴x AE 21=． ∴1114422222DE x y x x ⎛⎫=--=---+= ⎪⎝⎭． （ii ）当点M 在边AB 的延长线上时，点D 在边AC 的延长线上．过点M 作MP // AC ，交直线BC 于点P ．∴MP = BM = BP = 4x -．∴CP = CN = x ．∴221-=x CD ， ∴2212214+=-+=x x AD ． 又∵x AE 21=，∴221221=-+=-=x x AE AD DE ． 综上所述，DE =2，即线段DE 的长不会发生改变．【总结】本题主要考察等边三角形背景下的定值问题，要注意进行分类讨论．例题2.如图1，将一张已知菱形纸片ABCD 沿对角线BD （EF ）剪开，得到ABD ∆和ECF ∆．（1）如图2，将ECF ∆的顶点F 固定在ABD ∆的边BD 的中点处，绕点F 在边BD 上方左右旋转．设旋转时FC 交BA 于点H （不与点B 重合）；FE 交DA 于点G （不与点D 重合）．在ECF ∆旋转的过程中，BH DG 的值是否变化？请说明理由．（2）如图3，ECF ∆的顶点F 在ABD ∆的边BD 上，由点B 向点D 滑动（不与点B 、D 重合），CF 始终经过点A ．过点A 作AG // CE ，交FE 于点G ，联结DG ．在点F 滑动的过程中，FD + DG 的值如何变化？请说明理由．【解析】（1）∵180DFG DGF D ∠+∠=︒-∠，180DFG BFH CFE ∠+∠=︒-∠， 又∵D CFE ∠=∠，∴DGF BFH ∠=∠．又∵B D ∠=∠，∴BFH ∆∽DGF ∆， ∴BH BF DF DG=，即：BH DG DF BF =∵BF DF =，∴2BH DG BF =， ∴BH DG 的值不会发生变化，总是定值2BF ．（2）∵AG // CE ，∴FAG C BAD ∠=∠=∠，∴BAF DAG ∠=∠；又∵FGA E GFA ∠=∠=∠，∴AF AG =；又∵AB AD =，∴ABF ∆≌ADG ∆，∴BF DG =；∴FD DG FD BF BD +=+=， ∴在点F 滑动的过程中，FD DG +的值不变，总是定值BD ．【总结】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及全等三角形判定及性质的综合运用，此题中注意对定值的准确理解．例题3.如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，点B 、C 、G 也在用一条直线上，P 是线段DF 的中点，联结PG 、PC ．若60ABC ∠=︒．（1）探究PG 、PC 的位置关系及PG PC的值． （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．【解析】（1）延长GP 交CD 于H ，如图3，易证：PGF ∆≌PHD ∆，∴PG PH =，GF HD =．∴CH CD HD CB GF CB GB CG =-=-=-=，∴CP 是等腰CGH ∆底边上的中线，∴PC PG ⊥，∴1602PCG BCD ∠=∠=︒，∴tan 60PG PC=︒（2）猜想：（1）中的两个结论仍然成立．证明：如图4，延长GP 交AD 于H ，联结CH 、CG ．易证：PGF ∆≌PHD ∆，∴PG PH =，GF HD GB ==．易证：HDC ∆≌GBC ∆，∴CH CG =，∴PC PG ⊥．又∵DCH BCG ∠=∠，∴120HCG DCB ∠=∠=︒，∴60PCG ∠=︒， ∴tan 60PG PC=︒= 【总结】本题主要考查全等三角形与锐角三角比的综合运用，解题时注意运用菱形的性质． 模块二：与面积相关的定值问题1、 解题注意点（1）注意分析图形运动的方式及位置，尤其是特殊位置或者临界位置的情况；（2）考虑面积是否为定值时，可先考虑特殊位置或者临界位置的图形面积，同时要考 虑图形面积的应怎么表达更合适（是利用公式直接表达，还是利用割补求解，还是利用相似的性质）．例题1.如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ， E 、F 分别是AB 、DC 边的中点，AB = 4，∠B = 60°．（1）求点E 到BC 边的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，过点M 作MN // AB 交线段AD 于点N ，联结PN ．探究：当点P 在线段EF 上运动时，PMN ∆的面积是否发生变化？若不变，请求出PMN ∆的面积；若变化，请说明理由．【解析】（1）过E 作EG ⊥BC ，垂足为G ，由AB = 4，E 为AB 的中点，得BE = 2；在Rt EBG ∆中，sin EG B EB∠=，sin 2sin 60EG EG B =∠=︒= （2）不变．在梯形ABCD 中，由AD // BC ，MN // AB ，得MN = AB = 4，过点P 作PH ⊥MN ，垂足为H ，由MN // AB 得NMC ∠=B ∠=60︒，∴PMH ∠=30︒；由E 、F 是AB 、DC 边的中点，得EF // BC ，由EG ⊥BC ，PM ⊥BC ，得EG // PM ．∴PM = EG =3，在Rt PMH ∆中，sin PH PMH PM ∠=，∴sin30PH PM =︒=∴11422PMN S PH MN ∆==⨯= 【总结】本题相对比较基础，主要考察梯形背景下的三角形面积问题，注意锐角三角比的综合运用．例题2.如图，已知在矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，P 是边BC 延长线上的一点，联接AP 交边CD 于点E ，把射线AP 沿直线AD 翻折，交射线CD 于点Q ，设CP = x ，DQ = y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（2）当点P 运动时，APQ ∆的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出APQ ∆的面积S 关于x 的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由．【解析】（1）在矩形ABCD 中，∵AD // BC ，∴∠APB =∠DAP ．又由题意，得∠QAD =∠DAP ，∴∠APB =∠QAD ．∵∠B =∠ADQ = 90°，∴△ADQ ∽△PBA ． ∴BP AD AB DQ =，即443+=x y ．∴412+=x y （0>x ）； （2）不发生变化．∵∠QAD =∠DAP ，∠ADE =∠ADQ = 90°，AD = AD ， ∴ADE ∆≌ADQ ∆．∴DE = DQ = y ．∴124124482121=+++=⋅+⋅=+=∆∆x x x PC QE AD QE S S S PQE AQE ． 【总结】本题相对比较基础，主要考查相似与全等的综合运用，注意面积的求法．1.如图，已知AM // BN ，90A B ∠=∠=︒，AB = 4，点D 是射线AM 上的一个动点（点D 与点A 不重合），点E 是线段AB 上的一个动点（点E 与点A 、B 不重合），联结DE ，过点E 作DE 的垂线，交射线BN 于点C ，联结DC ．设AE = x ，BC = y ．（1）当AD = 1时，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC 的中点F ，连接EF ，若EF = 2.5，求AE 的长；（3）如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件AD + DE = AB ，那么请探究：的周长是否随着动点D 、E 的运动而发生变化？请说明理由．【解析】（1）由题意易得：AED ∆∽BCE ∆，∴AD AE BE BC=， ∵AE = x ，BC = y ，AB = 4，AD = 1，∴BE = 4-x ； ∴14x x y=-，∴24y x x =-+（04x <<）． （2）∵DE EC ⊥，∴90DEC ∠=︒，又∵DF FC =，∴22 2.55DC EF ==⨯=；过点D 作DH BN ⊥于H ，则4DH AB ==，∴Rt DHC ∆中，3HC =，∴134BC BH HC =+=+=，即4y =，∴244x x -+=，解得2x =，∴AE = 2．（3）BCE ∆的周长不变．4AED C AE DE AD x ∆=++=+，4BE x =-，设AD m =，则4DE m =-，∵90A ∠=︒，∴222DE AE AD =+，即()2224m x m -=+，∴2168x m -=； 由（1）得AED ∆∽BCE ∆，∴2164848ADEBCE x C AD x C BE x ∆∆-+===-， ∴()884844BCE ADE C C x x x∆∆==+=++， ∴BCE ∆的周长不变．【总结】本题比较基础，第（1）问主要一线三等角的基本模型的运用，第（2）问通过相似 将周长问题进行转化，主要利用了相似三角形的性质．2.已知：A 、B 、C 不在同一直线上．（1）若点A 、B、C 均在半径为R 的O 上，i ）如图1，当∠A = 45°时，R = 1，求∠BOC 的度数和BC 的长度；ii ）如图2，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A =2BC R； （2）若定长线段BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图3，当∠MAN = 60°，BC = 2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由．【解析】（1）i ）∵∠A = 45°，∴∠BOC = 90°．又∵R = 1，∴由勾股定理可知BC = ii ）证明：连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC ．可知EC ⊥BC ，且∠E =∠A ，故sin ∠A =2BC BC BE R=； （2）保持不变．理由如下：如图，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，在Rt APC ∆中，CK =12AP = AK = PK ．同理得：BK = AK = PK ． ∴CK = BK = AK = PK ．∴点A 、B 、P 、C 都在K 上．∴由（1）ii ）sin ∠A =2BC R 可知sin 60°=BC AP．∴AP =sin 60BC =︒（为定值）． 【总结】本题是一个以圆为背景的综合题，主要考查了圆的相关定理的运用，解决这类题时要懂得构造直角三角形，利用锐角三角比将问题转化．3.如图所示，在菱形ABCD 中，AB = 4，∠BAD = 120°，AEF ∆为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE = CF ；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF ∆的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解析】（1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，∠BAE +∠EAC =60°，∠F AC +∠EAC =60°， ∴∠BAE =∠F AC ．∵∠BAD =120°，∴∠ABF = 60°．∴ABC ∆和ACD ∆为等边三角形．∴∠ACF = 60°，AC = AB ．∴∠ABE =∠AFC ． 在ABE ∆和ACF ∆中，∵∠BAE =∠F AC ，AB = AC ，∠ABE = ∠AFC ，∴ABE ∆≌ACF ∆，∴BE = CF ；（2）四边形AECF 的面积不变，CEF ∆的面积发生变化．理由如下：由（1）得ABE ∆≌ACF ∆，则S △ABE = S △ACF ．∴S 四边形AECF = S △AEC + S △ACF = S △AEC + S △ABE = S △ABC ，是定值．作AH ⊥BC 于H 点，则BH = 2．S 四边形AECF = S △ABC =221122BC AH BC AB BH =-由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短． 故当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又S △CEF = S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时CEF ∆的面积就会最大．∴S △CEF = S 四边形AECF ﹣S △AEF ()2123232=-∴CEF ∆【总结】本题考察了菱形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积的计算，求证第（1）问中的全等三角形是解题的关键，有一定难度，因此在平时的解题中对此类型要注意进行总结．4.抛物线()()15y a x x =+-与x 轴的交点为M 、N ，如图．直线y kx b =+与x 轴交于点P （2-，0），与y 轴交于点C ．若A 、B 两点在直线y kx b =+上，且AO BO ==AO BO ⊥．点D 是线段MN 的中点，OH 是Rt OPC ∆斜边上的高．（1）求出OH 的长，确定直线AB 的解析式．（2）若抛物线上有一点E ，以E 、D 、N 为顶点的三角形与OAB ∆相似，求a 的值．（3）在（2）的条件下，设直线NE 和直线AB 的交点为G ，求出PB PG 的值；若（2）中的解答不止一种，则PB PG 的值是否有不同？【解析】（1）由题意得，OAB ∆是等腰直角三角形，又∵OH AB ⊥，易得1OH =；在Rt OPH ∆中12OH OP =，∴30OPH ∠=︒；∴在Rt OPC ∆中，OC ==，∴点C 的坐标为（0；由P 、C 两点的坐标，可得直线的解析式为：y x =；（2）易得M 、N 的坐标分别为（1-，0）、（5，0），点D 的坐标为（2，0），DN = 3． 根据题意，EDN ∆应是等腰直角三角形，由图可知，只能有以下两种情形：○1DN 是直角边，D 是直角顶点．此时3Ey DE DN ===，E 的坐标为（2，3）． 代入抛物线解析式()()15y a x x =+-，解得13a =-； ○2DN 是斜边，此时顶点E 的坐标为（72，32）． 代入抛物线解析式()()15y a x x =+-，解得：29a =-； （3）当13a =-时，如图，在PBO ∆和PNG ∆， 45PBO PNG ∠=∠=︒，OPB ∠是公共角，∴PBO ∆∽PNG ∆， ∴PB PN PO PG=，∴2714PB PG PO PN ==⨯=． 当29a =-时，同理可得14PB PG PO PN ==．5.如图1，直角坐标系中，点M 是x 轴正方向的一点，M 交x 轴与点A 、B ，交y 轴与点C 、D ．AE 交y 轴与点G ，C 是AE 的中点．已知点A 的坐标为（2-，0），AE = 8．（1）求点C 的坐标；（2）联结MG 、BC ，求证MG // BC ；（3）过点D 作M 的切线，交x 轴于点P ．点F 在M 的圆周上运动时，FO FP的值是否发生变化？试直接给出你的猜想，然后给出证明．【解析】（1）根据题意，由垂径定理可知A 是CD 的中点．又∵C 是AE 中点，∴DA AC CE ==，8CD AE ==．∴点C 的坐标为（0，4）．（2）方法一：连结AC 、MC ，MC 交AE 于点H ，如图2．由题意得，OC 是Rt ABC ∆斜边上的高，∴2OC OA OB =，则242OB =，∴8OB =．∴MB = 5，MO = 3．由垂径定理得：在Rt AHM ∆中，3MH =．易证：AOG ∆∽AHM ∆， ∴OG AO HM AH =，即234OG =，∴32OG =．∴38OM OG OB OC ==∴MG // BC ． 方法二：由方法一中已得MO = MH = 3，可证Rt MOG ∆≌Rt MHG ∆，∴MG 平分AMC ∠．∵MA = MC ，∴MG AC ⊥．∵BC AC ⊥，∴MG // BC ．（3）联结MF 、MD ，如图3．在Rt PMD ∆中，OD 是斜边上的高，∴2OD OM OP =，即243OP =，∴163OP =． 当点F 与点D 、A 、C 重合时，FO FP 的值均为35， 故猜想不变．证明如下：在Rt PMD ∆中，OD 是斜边上的高，∴2MD MO MP =，即2MF MO MP =．易证：MOF ∆∽MFP ∆，则：5316533FO MF FP MP ===+． 【总结】本题是一道有关圆的综合题，考察了分类讨论的思想，解题时注意利用相似的性质 从多个角度去分析．。
精编中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解
中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
中考数学压轴题练习(5) 定值问题
中考数学压轴题练习(5) 定值问题01．（2008年江苏省南通市）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C. （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值.（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.解析：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y ＝－2. ∴B 点坐标为（－8，－2）.而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2） 从而k ＝8×2＝16 （2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上, ∴mn ＝k ，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ） DCNO S 矩形＝2mn ＝2k ，DBO S △＝12mn ＝12k ，OEN S △＝12mn ＝12k.∴OBCE S 矩形＝DCNO S 矩形―DBO S △―OEN S △＝k.∴k ＝4. 由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1） ∴C （－4，－2），M （2，2）设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得4222a b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得a ＝b ＝23 ∴直线CM 的解析式是y ＝23x ＋23.（3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M 1. 设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a.于是111A M MA a mp MP M O m-===， 同理MB m aq MQ m +== ∴p －q ＝a m m -－m am+＝－2.02．（2008山东济南）已知：抛物线y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）,顶点C （1，－3），与x 轴交于A 、B 两点，A （－1，0）.（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点（P 与A 、B 两点不重合），过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断ADPNBE PM +是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边AE 、BE 相交于点F ，G （F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合），请判断EGEFPB PA =是否成立.若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x －1）2－3……1分将A （－1，0）代入：0= a （－1－1）2－3，解得a=43……2分 所以，抛物线的解析式为y=43（x －1）2－3，即y=43x 2－23x －49……3分（2）是定值，ADPNBE PM +=1……4分 ∵AB 为直径，∴∠AEB=90°， ∵PM ⊥AE ，∴PM ∥BE ， ∴△APM ∽△ABE ，所以ABAPBE PM =① 同理：ABPBAD PN =②……5分 ①＋②：1=+=+ABPBAB AP AD PN BE PM ……6分 （3）∵直线EC 为抛物线对称轴，∴EC 垂直平分AB ， ∴EA=EB ，∵∠AEB=90°，∴△AEB 为等腰直角三角形， ∴∠EAB=∠EBA=45°……7分 如图，过点P 作PH ⊥BE 与H ，由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形. ∴PH=ME 且PH ∥ME.在△APM 和△PBH 中，∵∠AMP=∠PBH=90°，∠EAB=∠BPH=45°， ∴PH=BH ，且△APM ∽△PBH ， ∴BH PM PB PA =，∴MEPMPH PM PB PA ==①……8分 在△MEP 和△EGF 中，∵PE ⊥FG ，∴∠FGE ＋∠SEG=90°， ∵∠MEP ＋∠SEG=90°，∴∠FGE=∠MEP ， ∵∠MPE=∠FEG=90°，∴△MEP ∽△EGF ，∴EGEFME PM =② 由①、②知：EGEFPB PA =……9分 （本题若按分类证明，只要合理，可给满分）03．（2009年湖南省株洲市）（本题满分12分）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. ………………… 3分（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a ma m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8. ……………………12分本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.04．(07武汉市) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求点P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，E 为BC 延长线上一动点，过A 、B 、E 三点作⊙O ’，连结AE ，在⊙O ’上另有一点F ，且AF ＝AE ，AF 交BC 于点G ，连结BF ．下列结论：①BE ＋BF 的值不变；②AGBGAF BF =，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论． 解析：⑴由Rt △AOB ≌Rt △CDA 得 OD=2+1=3,CD=1 ∴C 点坐标为(－3,1), ∵抛物线经过点C,∴1= (－3)2 a ＋(－3)ａ－2，∴21=a 。
中考数学压轴题(定值问题)
【中考数学压轴题】---定值问题一、乘积、比值类型1．（2009·株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值． 解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. 3分（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC=即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即FC (AC ＋EC )为定值8. …12分二、定长、定角、定点、定值类型1．（2011•东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题。
中考复习压轴题之二次函数压轴之定值问题与定点问题-含详细参考答案
二次函数压轴之定值、定点问题1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，11AF AE为定值，请直接写出该定值．2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴的负半轴交于点C ．（1）求这个函数的解析式；（2）如图2，点T 是抛物线上一点，且点T 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点T 的直线TS 与抛物线有唯一的公共点，直线MN ∥TS 交抛物线于M ，N 两点，连AM 交y 轴正半轴于G ，连AN 交y 轴负半轴于H ，求OH ﹣OG4．如图1，已知抛物线的解析式为21362y x =--，直线y ＝kx ﹣4k 与x 轴交于M ，与抛物线相交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）当k ＝1时，直接写出A ，B ，M 三点的横坐标：x A ＝，x B ＝，x M ＝；（2）作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥x 轴于Q ，当k 变化时，MP •MQ 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；5．如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE 的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（2）如图2，AC与BE交于点F．请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；6.已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠MAN＝90°，试说明：直线l必过定点；7.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8.已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．9.已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝14x2+c于M、N两点．（1）请求出该抛物线的解析式；（2）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C,A（﹣2，0），B（0，2）；(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，设对称轴直线x＝﹣12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D为（1，﹣1），且经过点B（3，3）．（1）求这个抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，过点D且平行于x轴的直线l，与直线OB相交于点A，过点B作直线l 的垂线，垂足为C．若点Q是抛物线上BD之间的动点（不与B、D重合），连接DQ并延长交BC于点E．如图2，连接BQ并延长交CD于点F，在点Q运动的过程中，FC（AC+EC）的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）和点C．（1）求出a与c的数量关系式；（2）如图，若抛物线y=-x2-2x+3与直线y＝（2k1﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2﹣2）x交于M，N两点，且k1k2＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．13.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点（4，5）．（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；（2）在（1）的条件下，经过点A(2,54)的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么11AB AC的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．14.如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．参考答案1.解：(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0)，代入抛物线解析式得c 2-bc+c=0，c-b+1=0，即当x=-1时，y =1-b+c=0，故抛物线过点(-1，0)，故A(-1，0)，B(3，0)，C(0,-3)抛物线的解析式为y =x 2-2x -3(2)过点M 作MG||x 轴交AC 于点G ，作FP||x 轴交AM 于点P ，作CQ||x 轴，易知∆COA~∆CMG ，∆ACQ~∆AGM ，GM CG OA AC =GM AG CQ AC =，GM GM CG AG 1OA CQ AC AC+=+=即得111OA CQ GM+=，而AM 平分∠BAC ，故AC=CQ ，故111OA AC GM +=；同时CG AC GM AE =，AF GM AC CQ=即可得111AE AF GM +=，OA=1，AC=10，故11101AE AF 10+=+2.解：(1)y =-x 2-3x +4(2)存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值,t=-4设E(m ,-m 2-3m+4)，F(n,-n 2-3n+4)，设BE 的解析式为y =k (x -1)，将E 点坐标代入得k =-m -4，同理k =-n -4,则OP=m+4，OQ=-n-4，故OP ∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16，直线CE 的解析式为y =k 1(x-t )-1，与抛物线y =-x 2-3x +4联立得x 2+(k 1+3)x-k 1t -5=0，m+n=-k 1-3,mn =-k 1t -5,OP ∙OQ=k 1t+4k 1+1=4k 1(t+4)+1，当t=-4时，OP ∙OQ 为定值，故当t=-4时,OP ∙OQ=13.解：(1)y =x 2-2x-3(3)易知T(2，-3),设直线TS 的解析式为y=m(x-2)-3，与抛物线y =x 2-2x-3联立得x 2-(m +2)x +2m =0，有两个相等实根，m 2+4m+4-8m=0，故m=2，即TS 解析式为y =2x -7,设MN 的解析式为y =2x+h ,与抛物线联立得x 17+h ，x 27+h 故7+h ，7+h )，N(2-7+h 7+h )，直线AM 解析式为y 1=k 1x+b 1，得b 1737hh +++737hh +++，同理可得773hh ++-，OH-OG=24.解：6，6,4；(2)MP ∙MQ 的值不变.y =21362x -与y =kx -4k 联立得x 2+6kx +9-24k =0,x A +x B =6k ，x A ∙x B =9-24k ,M(4，0)，MP ∙MQ=(4-x P )(4-x Q )=16-4(x A +x B )+x A x B =16+24k+9-24k=255.解：(1)易得抛物线的解析式为y =12x 2-x ，圆的直径为BE ，故∠BDE=90°，且∠BED=∠BAD=45°，作MN ⟂OA 交BC 、OA 于点M 、N ，易知∆BDM ≅∆DEN ，设DM=NE=m ，则CM=ON=m ，而OE=2，故m=1，此时D(1，3)(2)不变，CF ∙AD=16，∠DBF=∠BAD=45°，故∆ADB~∆CBF ，故CF ∙AD=AB ∙CB=166.解：(1)y =12(x -2)2(2)设直线MN 的解析式为y=kx+b ，与抛物线联立得x 2-(4+2k )x +4-2b=0，x M +x N =4+2k,x M ∙x N =4-2b ，作ME 、NF 垂直于x 轴，易知∆AME~∆NAF ，AE ME NF AF =，即有AE ∙AF=ME ∙NF ，ME=kx 1+b ，NF=kx 2+b ，AE=2-x 1,AF=x 2-2，(2-x 1)(x 2-2)=(kx 1+b)(kx 2+b)，即有4+2(x 1+x 2)-x 1x 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2，整理得2k+b =0或2k +b -2=0,即当x =2时，y =2,所以直线l 必过定点(2,2)7.解：(1)y =-x 2+2x +3，P(1,4)(2)联立y=kx-k +3和抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k-2)x-k=0,x 1+x 2=k-2,x 1x 2=-k,过点M 、N 作对称轴的垂线ME 、NF ，tan ∠PME=PE ME =221111114(23)(1)111x x x x x x --++-==---，同理tan ∠PFN=211x -，(1-x)(x2-1)=1，故tan ∠PME=tan ∠FPN,∠PME=∠FPN ，故∠MPN=90°，所以无论k 为何值，∆PMN 恒为直角三角形.8.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)CE CF 的值为定值13，设P(t,-t 2+2t+3)，直线AP 的解析式为y =(3-t)x +3-t ，直线BP 的解析式为y =(-t-1)x +3t+3,故CE=-t ，CF=-3t ，故CE CF =139.(1)y =2124x -(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值，设直线l 的解析式为y=kx ，与抛物线联立得x 2-4kx -8=0，设M(x 1，y 1)，N(x 2,y 2)则有x 1x 2=-8，，y 1=kx 1，故PM=|x 1OM=|x 1，同理PN=|x 2,ON=|x 2，故+|x 1)(|x 2-|x 2)=16，故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.10.解：(1)y=-x 2-x +2(2)连接MH ，易知AMP=CMH ，设PQ 的解析式为y=kx+b 1，MH 的解析式为y=-kx+b 2,分别代入(-12，0)得b 1=12k ，b 2=12-k ，故PM 的解析式为y=kx+12k ，MH 的解析式为y=-kx-12k 与抛物线联立得x=(1)92k -+±,所以Q((1)92k -++,292k -±),同理可得H(192k -,292k --)，易知QH 的解析式为y=-x +992-当x=-12时，y=92，所以G(-12,92)，所以点P 运动过程中GM 长为定值9211.解：(1)y =x 2-2x(2)FC(AC+EC)为定值，设Q(m ,m 2-2m )，易得BF 的解析式为y=(m -1)x -3m ，故点F(311m m -+，-1)，D(1，-1)，DE 的解析式为y=(m-1)x-m ，E(3，2m-3)，FC=3-311m m -+=41m +，AC+EC=4+2m-3+1=2m+2，所以FC(AC+EC)=41m +(2m+2)=812.解：(1)c =-3a (2)联立y =-x 2-2x +3与y ＝(2k 1﹣2)x 得x 2+2k 1x -3=0所以x 1+x 2=-2k 1，y 1+y 2=-4k 12+4k 1，故P(-k 1，-2k 12+2k 1)，同理可得Q(-k 2，-2k 22+2k 2)，设直线PQ 的解析式为y=kx+b,将P 、Q 两点代入得y =(2k 1+2k 2-2)x -2,所以直线PQ 过定点(0,-2)13.解：(1)y=x 2-4x +5(3)将坐标系向右平移2个单位，向上平移1个单位，此时抛物线的解析式为y=x2，点A(0，14),设B(m,m 2),C(n,n 2)，则AB=m 2+14,AC=n 2+14，故11AB AC +=AB AC AB AC +⋅=22221211()()416m n mn m n +++++，同时BC 的解析式y=kx +14，与抛物线联立得x 2-kx -14=0，m+n=k,mn =-14，故11AB AC +=414.解：(1)y =x 2-2x -3(2)平移后的抛物线的解析式为y =x 2,设M(m,m 2),N(n,n 2)，直线PM 的解析式设为y=k 1(x-m)+m 2，PN 的解析式为y=k 2(x-n)+n 2，与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0，此时∆=0，即有k 1=2m ，PM 的解析式为y=2m(x-m)+m 2=2mx-m 2同理可得PN 的解析式为y=2n(x-n)+n 2=2nx-n 2，可得P(2m n +，mn ),mn =-1,MN 的解析式为y=(m+n)x +1,故MN 过定点(0，1)。
中考压轴之定值问题参考答案
中考压轴之定值问题参考答案1、解：（1）作图如下：（2）在图2中， 22EF FG GH HE 242025====+==， ∴四边形EFGH 的周长为85。
在图3中，22EF GH 215==+=，22FG HE 364535==+==， ∴四边形EFGH 的周长为2523585⨯+⨯=。
猜想：矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值。
（3）延长GH 交CB 的延长线于点N ， ∵12∠=∠，15∠=∠， ∴25∠=∠。
又∵FC=FC ，∴Rt △FCE ≌Rt △FCM （ASA ）。
∴EF=MF ，EC=MC 。
同理：NH=EH ，NB=EB 。
∴MN=2BC=16。
∵M 905901∠=︒-∠=︒-∠，N 903∠=︒-∠，13∠=∠，∴M N ∠=∠。
∴GM=GN 。
过点G 作GK ⊥BC 于K ，则1KM MN 82==。
∴2222GM GK KM 4845=+=+=。
∴四边形EFGH 的周长为2GM 85=。
∴矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值。
2、解：（1）①∵∠A=45°，∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。
又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=11=2+。
②证明：连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC 。
可知EC ⊥BC （直径所对的圆周角为90°）， 且∠E=∠A （同弧所对的圆周角相等）。
故sin ∠A=sin ∠A=BC BCBE 2R=。
（2）保持不变。
理由如下：如图，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ， 在Rt △APC 中，CK=12AP=AK=PK 。
同理得：BK=AK=PK 。
∴CK=BK=AK=PK 。
∴点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上。
∴由（1）②sin ∠A=BC 2R 可知sin60°=BCAP。
∴AP=BC 43sin603=︒（为定值）。
中考压轴题十大类型之定值问题
中考压轴题十大类型之定值问题1.（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．2.（天津）已知抛物线1C ：21112y x x =-+，点F (1，1)． （Ⅰ）求抛物线1C 的顶点坐标；（Ⅱ）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF +=；②抛物线1C 上任意一点P （P P x y ，）（01P x <<），连接PF ，并延长交抛物线1C 于点Q （Q Q x y ，），试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； （Ⅲ）将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：221()2y x h =-，若2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 的最大值．3.（湖南株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，，，点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．（1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：为定值．4.（山东济南）已知：抛物线(a ≠0)，顶点C90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ()FC AC EC +2y ax bx c =++(1，)，与x 轴交于A 、B 两点，． （1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点（P 与A 、B 两点不重合），过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G （F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．测试提高1.（福建莆田）已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC =60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11DM DN+是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由．2.（广东省深ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．3-(10)A -，PM PNBE AD+PA EFPB EG=OF E DC B A3.如图6，已知△ABC 中，AB =AC ，tan B =2，AD ⊥BC 于点D ，点G 是△ABC 的重心. 将△ABC 绕着重心G 旋转，得到△111C B A ，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么tan ∠11B CC 的值等于▲ ．4.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b＞0；②b ＞a ＞c ；③若-1＜m ＜n ＜1，则m +n ＜ba；④3|a |+|c |＜2|b |。
中考专题训练：定值和最值问题
（一）定值问题1、如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）2. 以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△A EF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)22、如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1．（1）求l 1的解析式；（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4、如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(教师版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (5，0)，B (-1，0)两点，与y 轴交于点C 0，52．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使得△ACP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G 为抛物线上的一动点，过点G 作GE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点G 的坐标．【分析】(1)运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；(2)以A 为直角顶点，根据点P 的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P 的坐标；(3)连接OD ，易得四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ，根据垂线段最短可得当OD ⊥AC 时，OD (即EF )最短，然后只需求出点D 的纵坐标，就可得到点P 的纵坐标，就可求出点P 的坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (5，0)，B (-1，0)两点，与y 轴交于点C 0，52，∴设抛物线的解析式是y =a (x -5)(x +1)1)，则52=a ×(-5)×1，解得a =-12．则抛物线的解析式是y =-12(x -5)(x +1)=-12x 2+2x +52；(2)存在．当点A 为直角顶点时，过A 作AP ⊥AC 交抛物线于点P ，交y 轴于点H ，如图．∵AC ⊥AP ，OC ⊥OA ，∴△OAC ∽△OHA ，∴OA OH =OC OA，∴OA 2=OC •OH ，∵OA =5，OC =52，∴OH =10，∴H(0，-10)，A(5，0)，∴直线AP的解析式为y=2x-10，联立y=2x-10y=-12x2+2x+52 ，∴P的坐标是(-5，-20)．(3)∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，∴四边形OFDE为矩形，∴EF=OD，∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，此时S△AOC=12AC•OD=12OA•OC，∵A(5，0)，C0，52，∴AC=552，∴OD=5，∵DE⊥y轴，OD⊥AC，∴△ODE∽△OCD，∴OD OE =CO OD，∴OD2=OE•CO，∵CO=52，OD=5，∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，∴y=-12x2+2x+52=2，解得x1=2-5，x2=2+5，∴点G的坐标为(2-5，2)或(2+5，2)．【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第(3)小题的关键．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM +MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求解可得；(2)先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；(3)通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．【解答】解：(1)把A (-4，0)，B (1，0)代入y =ax 2+2x +c ，得16a -8+c =0a +2+c =0 ，解得：a =23c =-83 ，∴抛物线解析式为：y =23x 2+2x -83，∵过点B 的直线y =kx +23，∴代入(1，0)，得：k =-23，∴BD 解析式为y =-23x +23；(2)由y =23x 2+2x -83y =-23x +23得交点坐标为D (-5，4)，如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形，则△DEP 1∽△P 1OC ，∴DE PO =PE OC ，即4t =5-t 23，解得t =15±1296，当P 2D ⊥DC 于点D 时，△P 2DC 为直角三角形由△P 2DB ∽△DEB 得DB EB =P 2B DB，即526=t +152，解得：t =233；当P 3C ⊥DC 时，△DFC ∽△COP 3，∴DF OC =CF P 3O ，即523=103t ，解得：t =49，∴t 的值为49、15±1296、233．(3)由已知直线EF 解析式为：y =-23x -103，在抛物线上取点D 的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD ′于点H ，此时，DM +MN =D ′N 最小．则△EOF ∽△NHD ′设点N 坐标为a ，-23a -103，∴OE NH =OF HD '，即54--23a -103 =1032-a ，解得：a =-2，则N 点坐标为(-2，-2)，求得直线ND ′的解析式为y =32x +1，当x =-32时，y =-54，∴M 点坐标为-32，-54，此时，DM +MN 的值最小为D 'H 2+NH 2=42+62=213．【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y =-12x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象与x 轴交于A (1，0)，B 两点(点A 在点B 左侧)．与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(Ⅰ)当b =2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P 是y 轴上一点，连接BP ，当PB =PC ，OP =2时，求b 的值；(Ⅲ)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为(4，0)，对称轴交x 轴于点E ，点Q 是线段DE 上一点，点N 为线段AB 上一点，且AN =2BN ，连接NQ ，求DQ +54NQ 的最小值．【分析】(Ⅰ)求出函数的解析式即可求解；(Ⅱ)由题意可求P (0，2)或(0，-2)，将A 点代入抛物线解析式可得c =12-b ，在求出B (2b -1，0)，C 0，12-b ，由PB =PC ，(2b -1)2+4=12-b -2 2或(2b -1)2+4=12-b +2 2，再由2b -1>1，求出b 即可；(Ⅲ)先求出抛物线的解析式y =-12x 2+52x -2，设Q 52，t过点N 作AD 的垂线交于点M ，交对称轴于点Q ，利用直角三角形可得MQ =45DQ ，当M 、Q 、N 三点共线时，DQ +54NQ 有最小值54MN ，在Rt △AMN 中，AN =2，求出MN =65，可求DQ +54NQ 的最小值为32．【解答】解：(Ⅰ)当b =2时，y =-12x 2+2x +c ，将点A (1，0)代入y =-12x 2+2x +c ，∴c =-32，∴y =-12x 2+2x -32=-12(x -2)2+12，∴抛物线的顶点为2，12 ；(Ⅱ)∵点P 是y 轴上一点，OP =2，∴P (0，2)或(0，-2)，将A 代入y =-12x 2+bx +c ，∴-12+b +c =0，∴c =12-b ，∵-12x 2+bx +12-b =0，∴1+x 1=2b ，∴x 1=2b -1，∴B (2b -1，0)，令x =0，则y =2b -1，∴C 0，12-b ，∵PB =PC ，∴(2b -1)2+4=12-b -2 2或(2b -1)2+4=12-b +2 2，解得b =12或b =116或b =12或b =-56，∵A 点在B 点左侧，∴2b -1>1，∴b >1，∴b =116；(Ⅲ)将点A 、B 代入y =-12x 2+bx +c ，∴-12+b +c =0-8+4b +c =0 ，b =52c =-2，∴y =-12x 2+52x -2，∴抛物线的对称轴为直线x =52，∴E 52，0，∵y =-12x 2+52x -2=-12x -52 2+98，∴顶点D 52，98，∵A (1，0)，B (4，0)，∴AB =3，∵AN =2BN ，∴AN =2，BN =1，∴N (3，0)，设Q 52，t，过点N 作AD 的垂线交于点M ，交对称轴于点Q ，∵AE =32，DE =98，∴tan ∠DAE =34，∴∠EQN =∠DAE ，∴∠DAN =∠MQD ，∴tan ∠MQD =34，∴sin ∠MQD =45，∴MQ =45DQ ，∵DQ +54NQ =5445DQ +NQ =54(MQ +NQ )，∴当M 、Q 、N 三点共线时，DQ +54NQ 有最小值54MN ，在Rt △AMN 中，AN =2，∴sin ∠MAN =35，∴MN =35×2=65，∴DQ +54NQ =54×MN =32，∴DQ +54NQ 的最小值为32．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用一元二次方程求最值是解题的关键．二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【分析】(1)把A(-3，0)，B(0，3)代入抛物线y=-x2+bx+c即可解决问题．(2)首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．(3)①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=AMAC=NQQC求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．【解答】解：(1)∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(-3，0)，B(0，3)，∵抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点，∴c=3-9-3b+c=0解得b=-2c=3，∴b=-2，c=3．(2)，对于抛物线y=-x2-2x+3，令y=0，则-x2-2x+3=0，解得x=-3或1，∴点C坐标(1，0)，∵AD=DC=2，∴点D坐标(-1，0)，∵BE=2ED，∴点E坐标-23，1，设直线CE 为y =kx +b ，把E 、C 代入得到-23k +b =1k +b =0 解得k =-35b =35 ，∴直线CE 为y =-35x +35，由y =-35x +35y =-x 2-2x +3解得x =1y =0 或x =-125y =5125 ，∴点M 坐标-125，5125．(3)①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP =AR ，AQ =AG ，∠QAC =∠RAP =60°，∴∠QAR =∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，AQ =AG ∠QAR =∠GAP AR =AP，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR =PG ．②如图3中，∵PA +PG +PC =QR +PR +PC =QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA +PG +PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO =60°，AO =3，∴AG =QG =AQ =6，∠AGO =30°，∵∠QGA =60°，∴∠QGO =90°，∴点Q 坐标(-6，33)，在RT △QCN 中，QN =33，CN =7，∠QNC =90°，∴QC =QN 2+NC 2=219，∵sin ∠ACM =AM AC=NQ QC ，∴AM =65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM =60°，∵PM =PR ，cos30°=AM AP，∴AP =121919，PM =RM =61919∴MC =AC 2-AM 2=141919，∴PC =CM -PM =81919，∵PK QN =CP CQ =CK CN ，∴CK =2819，PK =12319，∴OK =CK -CO =919，∴点P 坐标-919，12319 ．∴PA +PC +PG 的最小值为219，此时点P 的坐标-919，12319．【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q 、R 、P 、C 共线时，PA +PG +PC 最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．题型五二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y =-x 2+4ax +b (a >0)与x 轴相交于O 、A 两点(其中O 为坐标原点)，过点P (2，2a )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (其中B 、C 不重合)，连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ．(1)a =32时，求抛物线的解析式和BC 的长；(2)如图a >1时，若AP ⊥PC ，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使AP PN=12若存在，求出a 的值，如不存在，请说明理由．【分析】(1)根据抛物线经过原点b =0，把a =32、b =0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B 、C 坐标，即可求出BC 长．(2)利用△PCB ∽△APM ，得PB AM=BC PM ，列出方程即可解决问题．【解答】解：(1)∵抛物线y =-x 2+4ax +b (a >0)经过原点O ，∴b =0，∵a =32，∴抛物线解析式为y =-x 2+6x ，∵x =2时，y =8，∴点B 坐标(2，8)，∵对称轴x =3，B 、C 关于对称轴对称，∴点C 坐标(4，8)，∴BC =2．(2)∵AP ⊥PC ，∴∠APC =90°，∵∠CPB +∠APM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠CPB =∠PAM ，∵∠PBC =∠PMA =90°，∴△PCB ∽△APM ，∴PB AM =BC PM ，∴6a -44a -2=4a -42a，整理得a 2-4a +2=0，解得a =2±2，∵a >1，∴a =2+2．(3)当点P 在等A 的左侧时，∵△APM ∽△ANO ，∴AP PN =AM MO=12，∵AM =4a -2，OM =2，∴4a -22=12，∴a =34．当点P 在D 点A 的右侧时，同法可得OA =AM ，4a =2-4a ，∴a =14，综上所述，满足条件的a 的值为34或14．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y =12x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y =12x 2+mx -2经过点A ，和x 轴的另一个交点为C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；(3)如图2，经过点M (-4，1)的直线交抛物线于点P 、Q ，连接CP 、CQ 分别交y 轴于点E 、F ，求OE •OF 的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b 2a ，4ac -b 24a【分析】(1)先求得点A 的坐标，然后将点A 的坐标代入抛物线的解析式求得m 的值即可；(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D n ，12n 2+32n -2 ，H n ，12n +2 ，然后用含n 的式子表示DH 的长，接下来，利用配方法求得DH 的最大值，从而可求得△ABD 面积最大值；(3)先求得点C 的坐标，然后设直线CQ 的解析式为y =ax -a ，CP 的解析式为y =bx -b ，接下来求得点Q 和点P 的横坐标，然后设直线PQ 的解析式为y =x +d ，把M (-4，1)代入得：y =kx +4k +1，将PQ 的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x 的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab =-12，最后，由ab 的值可得到OE •OF 的值．【解答】解：(1)把y =0代入y =12x +2得：0=12x +2，解得：x =-4，∴A (-4，0)．把点A 的坐标代入y =12x 2+mx -2得：m =32，∴抛物线的解析式为y =12x 2+32x -2．(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D n ，12n 2+32n -2 ，H n ，12n +2 ．∴DH =12n +2 -12n 2+32n -2 =-12(n +1)2+92．∴当n =-1时，DH 最大，最大值为92，此时△ABD 面积最大，最大值为12×92×4=9．(3)把y =0代入y =12x 2+32x -2，得：x 2+3x -4=0，解得：x =1或x =-4，∴C (1，0)．设直线CQ 的解析式为y =ax -a ，CP 的解析式为y =bx -b ．∴y =ax -a y =12x 2+32x -2，解得：x =1或x =2a -4．∴x Q =2a -4．同理：x P =2b -4．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，把M (-4，1)代入得：y =kx +4k +1．∴y =kx +4k +1y =12x 2+32x -2．∴x 2+(3-2k )x -8k -6=0，∴x Q +x P =2a -4+2b -4=2k -3，x Q •x P =(2a -4)(2b -4)=-8k -6，解得：ab =-12．又∵OE =-b ，OF =a ，∴OE •OF =-ab =12．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a 、b 的方程组求得ab 的值是解题的关键．题型七二次函数与线段比值问题7.抛物线y =ax 2+c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上一点，且位于x 轴下方．(1)如图1，若P (1，-3)，B (4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上一点，满足∠DPO =∠POB ，求点D 的坐标；(2)如图2，已知直线PA ，PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE +OF OC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD ∥OB ，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D 点坐标；(2)根据待定系数法，可得E 、F 点的坐标，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：(1)①将P (1，-3)，B (4，0)代入y =ax 2+c ，得16a +c =0a +c =-3 ，解得a =15c =-165 ，抛物线的解析式为y =15x 2-165；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO =∠POB ，得DP ∥OB ，D 与P 关于y 轴对称，P (1，-3)，得D (-1，-3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G ．作PH ⊥OB 于点H ，则OH =1，PH =3．∵∠DPO =∠POB ，∴PG =OG ．设OG =x ，则PG =x ，HG =x -1．在Rt △PGH 中，由x 2=(x -1)2+32，得x =5．∴点G (5，0)．∴直线PG 的解析式为y =34x -154解方程组y =34x -154y =15x 2-165 得x 1=1y 1=-3 ，x 2=114y 2=-2716 ．∵P (1，-3)，∴D 114，-2716．∴点D 的坐标为(-1，-3)或114，-2716．(2)点P 运动时，OE +OF OC是定值，定值为2，理由如下：作PQ ⊥AB 于Q 点，设P (m ，am 2+c )，A (-t ，0)，B (t ，0)，则at 2+c =0，c =-at 2．∵PQ ∥OF ，∴PQ OF =BQ BO，∴OF =PQ ⋅BO BQ=-(am 2+c )t t -m =(am 2-at 2)t m -t =amt +at 2．同理OE =-amt +at 2．∴OE +OF =2at 2=-2c =2OC ．∴OE +OF OC=2．【点评】本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D 点坐标是解题关键；(2)利用待定系数法求出E 、F 点坐标是解题关键．题型八二次函数与倒数和定值问题8.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴分别交于A (-1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是抛物线顶点，点P (m ，n )是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD 、BC 、BP ，若∠CBD =∠ABP ，求m 的值；(3)如图1，过B 、C 、O 三点的圆上有一点Q ，并且点Q 在第四象限，连接QO 、QB 、QC ，试猜想线段QO 、QB 、QC 之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC 的角平分线交y 轴于点G ，过点G 的直线分别交射线AB 、AC 于点E 、F (不与点A 重合)，则1AE +1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．【分析】(1)利用待定系数法求解二次函数的解析式即可：(2)如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，先求解顶点D(1．-4)，证明∠BCD=90°，tan∠DBC=CD BC =232=13，则tan∠CBD=tan∠ABP=13，再列方程求解即可；(3)如图，作O关于BC的对称点N，证明四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，QN，再分两种情况讨论：当Q在B，N之间时，当Q在C、N之间时，从而可得答案；(4)过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：证明ACOA~ACGM，AACQ~AMG，可得1OA+1AC=1GM，同理可得：理可得：1AE+1AF=1GM，从而可得答案．【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与轴分别交于A(-1，0)、B(3.0)两点，设抛物线为：y=a(x+1)(x-3)，∵OB=OC，∴C(0，-3)，∴-3a=-3．解得：a=1，所以抛物线为：y=a(x+1)(x-3)=x2-2x-3；(2)如图，过P作PK⊥AB于K，连接CD，∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D(1，-4)，∴CD2=(1-0)2+(-4+3)2=2，BC2=32+32=18，∴CD2+BC2=BD2，∴∠BCD=90°，tan∠DBC=CDBC =232=13，∵∠CBD=∠ABP，∴tan∠CBD=tan∠ABP=13，∵P(m，n)，m<0，n>0，∴AB=3-m，PA-n=m2-2m-3，∴m2-2m-33-m =13，∴m=-43，经检验符合题意；(3)如图，作O关于BC的对称点N，而OB=OC-3，0B⊥OC，∴四边形OBNC为正方形，连接QB，QC，QO，ON，∴CN=BN=OC=CN=3，BC⊥ON，BC，ON为圆的直径，当Q在B，N之间时(与B不重合)，在QC上截取CK=BQ，∵∠NBQ=∠NCQ，∴ΔΝCΚ≌ΔΝBQ(SAS)，∴∠CNK=∠BNO，∴∠BNO+∠BNK=∠BNK+∠CNK=∠CNB-90°，∵BC⊥ON，∴∠KQN=12x90°=45°=∠QKN，∴QK2=2QN2，∴(QC-QB)2=2QN2，∵ON为直径，则∠OQN=90°，∴QN2=ON2-QO2=BC2-QO2=18-QO2，∴(QC-QB)2=2(18-QO2)，而同理可得：QC2+QB2=18，整理得：QO2-QC•QB=9，当Q在C，N之间时(与C不重合)，如图，同理可得：QO2-QC•QB=9；(4)过G作MG∥x轴交AC于M，过F作FT∥x轴交AG于T，过C作CQ∥x轴交AG于Q，如图：∵MG∥x轴，FT∥x轴，CQ∥x轴，∴MG∥FT∥CQ∥OA，∴△COA∽△CGM，△ACQ∽△AMG，∴GMOA =CMAC，GMCQ=AMAC，∴GMOA +GMCQ=CMAC+AMAC=1，∴1 OA +1CQ=1GM，∵AG平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠AQC，∴AC=CQ，∴1 OA +1AC=1GM，同理可得：1AE +1AF=1GM，由(1)可知：A(-1，0)，C(0，-3)，∴AC=12+32=10，∴1 AE +1AF=1GM=1OA+1AC=1+1010=10+1010，∴1 AE +1AF的值不变，为10+1010．【点评】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的35若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-316x -1 2+3(2)存在，G 的坐标为0,4516或-15,-45 ．【分析】(1)依题意，利用二次函数的顶点式即可求．(2)先求线段AD 所在的直线解析式，求利用点到直线的公式d =Ax +By +C A 2+B 2，即可求△ADG 与△BDG 的高，利用三角形面积公式即可求．【详解】(1)依题意，设二次函数的解析式为y =a x -1 2+3将点B 代入得0=a 5-1 2+3，得a =-316∴二次函数的表达式为：y =-316x -1 2+3(2)存在点G ，当点G 在x 轴的上方时，设直线DG 交x 轴于P ，设P (t ，0)，作AE ⊥DG 于E ，BF ⊥DG 于F ．由题意：AE :BF =3:5，∵AE ∥BF ，∴AP :BP =AE :BF =3:5，∴-3-t :5-t =3:5，解得t =-15，∴直线DG 的解析式为y =316x +4516，由y =316x +4516y =316x -12+3 ，解得x =0y =4516 或x =1y =3，∴G 0,4516．当点G 在x 轴下方时，如图2所示，∵AO :OB =3:5∴当点G 在DO 的延长线上时，存在点G 使得S ADG :S BDG =3:5，此时，DG 的直线经过原点，设直线DG 的解析式为y =kx ，将点D 代入得k =3，故y =3x ，则有y =3x y =316x -1 2+3 整理得，x -1 x +15 =0，得x 1=1(舍去)，x 2=-15当x =-15时，y =-45，故点G 为-15,-45 ．综上所述，点G 的坐标为0,4516或-15,-45 ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2.在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2-4x +c 与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(-5,0)．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(0,5)(2)2528(3)存在，(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)【分析】(1)把点A的坐标代入y=-x2-4x+c，求出c的值即可；(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得PE=PH2，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5，设P(m,-m2 -4m+5)，(-5<m<0)，则H(m,m+5)，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；(3)分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．【详解】(1)∵点A(-5,0)在抛物线y=-x2-4x+c的图象上，∴0=-52-4×(-5)+c∴c=5，∴点C的坐标为(0,5)；(2)过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1:∵A(-5,0)，C(0,5)∴OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AHF=45°=∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴PE=PH2，∴当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为y=kx+5，将A(-5,0)代入得0=-5k+5，∴k=1，∴直线AC解析式为y=x+5，设P(m,-m2-4m+5)，(-5<m<0)，则H(m,m+5)，∴PH=(-m2-4m+5)-(m+5)=-m2-5m=-m+522+254，∵a=-1<0，∴当m=-52时，PH最大为25 4，∴此时PE最大为2528，即点P到直线AC的距离值最大；(3)存在，理由如下：∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，设点N的坐标为(-2,m)，点M的坐标为(x,-x2-4x+5)，分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，-5=x-25=m-x2-4x+5，解得x =-3m =-3，∴点M 的坐标为(-3,8)；②当AM 为平行四边形对角线时，x -5=-2-x 2-4x +5=5+m ，解得x =3m =-21，∴点M 的坐标为(3,-16)；③当AN 为平行四边形对角线时，-5-2=x m =5-x 2-4x +5 ，解得x =-7m =-11，∴点M 的坐标为(-7,-16)；综上，点M 的坐标为：(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．3.如图，已知抛物线y =ax 2-32x +c 与x 轴交于点点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使QB +QC 最小？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足为点D ，连接PC ，当△PCD 与△ACO 相似时，求点P 的坐标．【答案】(1)y =-12x 2-32x +2(2)存在，Q -32,54 (3)点P 的坐标为(-3,2)或-32,258【分析】(1)由待定系数法求解即可；(2)找到点B 关于对称轴对称的点A ，连接AC 交对称轴于一点即为Q ，求AC 所在直线解析式，即可求解；(3)当△PCD 与△ACO 相似时，则△PCD ∽△CAO 或△PCD ∽△ACO ，故分分类讨论即可：①若△PCD ∽△CAO ，则∠PCD =∠CAO ，可推出点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，由点P 为AC 上方抛物线上的动点，得关于x 的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若△PCD ∽△ACO ，则∠PCD =∠ACO ，PD AO=CD CO ，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，判定△GAC ∽△PDC ，△GHA ∽△AOC ，由相似三角形的性质得比例式，解得点G 的坐标，从而可得直线CG 的解析式，求得直线CG 与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG 的解析式求得其纵坐标，即为此时点P 的坐标．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-32x +c 与x 轴交于点A (-4,0)，B (1,0)，∴16a -32×(-4)+c =0a -32+c =0，解得a =-12c =2 ，∴抛物线的解析式为y =-12x 2-32x +2；(2)存在，如图：∵A ，B 关于对称轴对称，∴QA =QB ，∴QB +QC =QA +QC ，∴QB +QC 的最小值为AC ，∴AC 与对称轴的交点即为所求：由(1)可知，对称轴为：x =-b 2a =--322×-12 =-32，C (0,2)，∵A (-4,0)，C (0,2)，∴AC 所在直线解析式为：y =12x +2，令x =-32，y =12×-32 +2=54，∴Q -32，54；(3)∵点A (-4,0)，B (1,0)，∴OA =4，OB =1，在抛物线y =-12x 2-32x +2中，当x =0时，y =2，∴C (0,2)，∴OC =2，∴AC =OA 2+OC 2=42+22=25．∵PD ⊥AC ，∴∠PDC =90°=∠AOC ，∴当ΔPCD 与ΔACO 相似时，则△PCD ∽△CAO 或△PCD ∽△ACO ，①若△PCD ∽△CAO ，则∠PCD =∠CAO ，∴CP ∥AO ，∵C (0,2)，∴点P 的纵坐标为2，∵点P 为AC 上方抛物线上的动点，∴2=-12x 2-32x +2，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=-3，∴此时点P 的坐标为(-3,2)；②若△PCD ∽△ACO ，则∠PCD =∠ACO ，PD AO =CD CO ，∴PD CD =AO CO=42=2，过点A 作AC 的垂线，交CP 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴于点H ，如图：∵PD ⊥AC ，GA ⊥AC ，∴GA ∥PD ，∴△GAC ∽△PDC ，∴GA PD =AC CD ，∴GA AC=PD CD =2，∵GA ⊥AC ，GH ⊥x 轴，∴∠GAC =∠GHA =90°，∴∠AGH +∠GAH =90°，∠GAH +∠CAO =90°，∴∠AGH =∠CAO ，∵∠GHA =∠AOC =90°，∴△GHA ∽△AOC ，∴GH AO =AH CO =GA AC ，即GH 4=AH 2=2，∴GH =8，AH =4，∴HO =AH +OA =8，∴G (-8,8)，设直线CG 的解析式为y =-34x +2，令-34x +2=-12x 2-32x +2，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=-32，把x =-32代入y =-34x +2得：y =-34x +2=-34×-32 +2=258，∴此时点P 的坐标为-32，258 ，综上所述，符合条件的点P 的坐标为(-3,2)或-32，258．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．4.如图，抛物线y =-12x 2+bx +c 过点A 3,2 ，且与直线y =-x +72交于B 、C 两点，点B 的坐标为4,m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD +PA 的最小值．【答案】(1)y =-12x 2+x +72(2)325【分析】(1)将点B 的坐标为(4,m )代入y =-x +72，m =-4+72=-12，B 的坐标为4,-12 ，将A (3,2)，B 4,-12 代入y =-12x 2+bx +c ，解得b =1，c =72，因此抛物线的解析式y =-12x 2+x +72；(2)设D m ,-12m 2+m +72 ，则E m ,-m +72 ，DE =-12m 2+m +72 --m +72 =-12m 2+2m =-12(m -2)2+2，当m =2时，DE 有最大值为2，此时D 2,72，作点A 关于对称轴的对称点A ，连接A D ，与对称轴交于点P ．PD +PA =PD +PA =A D ，此时PD +PA 最小；【详解】(1)将点B 的坐标为(4,m )代入y =-x +72，m =-4+72=-12，∴B 的坐标为4,-12 ，将A (3,2)，B 4,-12 代入y =-12x 2+bx +c ，-12×32+3b +c =2-12×42+4b +c =-12 解得b =1，c =72，∴抛物线的解析式y =-12x 2+x +72；(2)设D m ,-12m 2+m +72 ，则E m ,-m +72 ，DE=-12m2+m+72--m+72=-12m2+2m=-12(m-2)2+2，∴当m=2时，DE有最大值为2，此时D2,7 2，作点A关于对称轴的对称点A ，连接A D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA =A D，此时PD+PA最小，∵A(3,2)，∴A (-1,2)，A D=(-1-2)2+2-722=325，即PD+PA的最小值为325；【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0，B4,0两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．【答案】(1)y=14x2-14x-3(2)①-43,20 9；②-54,73【分析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=14x2-14x-3；(2)①由A(-3,0)，C(0,4)得直线AC解析式为y=43x+4，设D m,43m+4，可得Dm,-43m-4，代入y=14x2-14x-3解得m=-3(与A重合，舍去)或m=-43，故D-43,209；②过C在y轴左侧作CK∥x轴，且CK=AC，连接DK，证明△DCK≌△ECA(SAS)，有DK=CE，故CE+BD最小时，DK+BD最小，此时K，D，B共线，求出K(-5,4)，可得直线BK解析式为y=-4 9x+169，解y=-49x+169y=43x+4即得D的坐标为-54,73．【详解】(1)解：把A(-3,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx-3得：9a-3b-3=016a+4b-3=0，解得a=14b=-14 ，∴抛物线的解析式为y=14x2-14x-3；(2)解：①如图：由A (-3,0)，C (0,4)得直线AC 解析式为y =43x +4，设D m ,43m +4 ，∵点D 关于x 轴的对称点为D ，∴D m ,-43m -4 ，把D m ,-43m -4 代入y =14x 2-14x -3得：-43m -4=14m 2-14m -3，解得m =-3(与A 重合，舍去)或m =-43，∴D -43,209；②过C 在y 轴左侧作CK ∥x 轴，且CK =AC ，连接DK ，如图：∴∠KCD =∠CAE ，∵CD =AE ，CK =AC ，∴△DCK ≌△ECA (SAS )，∴DK =CE ，∴CE +BD 最小时，DK +BD 最小，此时K ，D ，B 共线，∵A (-3,0)，C (0,4)，∴AC =5=CK ，∴K (-5,4)，由K (-5,4)，B (4,0)得直线BK 解析式为y =-49x +169，解y =-49x +169y =43x +4 得x =-54y =73，∴D 的坐标为-54,73．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题是(2)的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-23x 2+43x +2；(2)10+2133(3)点M 的坐标为2,2 或4,-103 或-2,-103．【分析】(1)将点A -1,0 、B 3,0 代入y =ax 2+bx +2a ≠0 即可；(2)求出BC 的解析式，设P t ,-23t 2+43t +2 ，根据题意得2≤t <3，易得PN =-23t -32 2+32，求得其最大值，易证△BOC ∽△MPN ，可得PM =32PN ，MN =132PN ，进而得△PMN 的周长为PN +PM +MN =PN +32PN +132PN =5+132PN ，则当PN 最大时，△PMN 的周长有最大值，代入PN 最大值即可求解；(3)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，分两类考虑，以BC 为对角线，以BC 为边利用平行四边形对边平行且相等求点M 的坐标，和构造直角三角形求点M 的横坐标．【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 过A -1,0 ，B 3,0 两点，∴a -b +2=09a +3b +2=0 ，解得a =-23b =43 ，∴抛物线的解析式为y =-23x 2+43x +2；(2)当x =0时，y =2，即：C 0,2 ，则OC =2，OB =3，BC =13，设BC 的解析式为：y =kx +b 1，将B 3,0 ，C 0,2 代入可得：b 1=23k +b 1=0 ，解得：k =-23b 1=2，∴BC 的解析式为：y =-23x +2，设P t ,-23t 2+43t +2 ，∵点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，∴t >0t <3-23t 2+43t +2≤2，则2≤t <3，当x =t 时，点N 的纵坐标为：y =-23t +2，则PN =-23t 2+43t +2--23t +2 =-23t 2+2t =-23t -32 2+322≤t <3 ，∴当t =2时，PN 有最大值为：-23×2-32 2+32=43，由题意可知，∠BOC =∠P =90°，PN ∥y 轴，则∠PNM =∠OCB ，∴△BOC ∽△MPN ，则OC PN =OB PM =BC MN，则PM =32PN ，MN =132PN ，△PMN 的周长为PN +PM +MN =PN +32PN +132PN =5+132PN ，则当PN 最大时，△PMN 的周长有最大值，即：△PMN 的周长的最大值为5+132×43=10+2133；(3)存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，①以BC 为对角线，过C 作CM ∥x 轴交抛物线与M ，点N 在x 轴上，NB =2=MC ，M 2,2 ；②以BC 为边，过M 作MG 垂直抛物线对称轴于G ，当MG =OB =3，且OC =GN 时，四边形CNMB为平行四边形，M 点横坐标x =3+1=4，纵坐标y =-23×42+43×4+2=-103，M 4,-103；③过N作NH∥x轴，与过M作MH∥y轴交于H，当MH=CO=2，NH=BO=3时，四边形CMNB为平行四边形，M点横坐标为x=1-3=-2，纵坐标y=-23×-22+43×-2+2=-103，M-2,-103 ；综上所述：点M的坐标为2,2或4,-10 3或-2,-103．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA +PC 的最小值等于45时，求m 的值及此时点P 的坐标；(3)当m 取(2)中的值时，若∠APC =2∠ABC ，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)A -2，0 ，B 2m ，0 ，C 0，m(2)m =4，P 3，52 (3)P 点坐标为3，0 或3，52 【分析】(1)将x =0，y =0，分别代入y =-14x 2+12m -1 x +m ，计算求解即可；(2)如图1，连接PB ，由题意知，PA =PB ，则PA +PC =PB +PC ，可知当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 值最小，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =5m ，由PA +PC 的最小值等于45，可得5m =45，计算m 的值，然后得出B ，C 的点坐标，待定系数法求直线BC 的解析式，根据P 是直线BC 与直线l 的交点，计算求解即可；(3)由(2)知m =4，则B 8，0 ，C 0，4 ，抛物线的对称轴为直线x =3，勾股定理逆定理判断△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，记D 为直线l 与x 轴的交点，如图2，连接CD ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD =BD =AD ，由等边对等角可得∠DCB =∠ABC ，由三角形外角的性质可得∠ADC =∠DCB +∠ABC =2∠ABC ，进而可得∠ADC =∠APC ，即P 与D 重合，求此时的P 点坐标；过A ，C ，D 三点作⊙O ，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O 与直线l =3交点即为P ，设P 3，a ，由题意知，圆心O 在直线x =12上，设圆心坐标为12，n ，则AO 2=CO 2=PO 2，根据AO 2=CO 2，可求n 值，根据AO 2=PO 2，可求a 值，进而可得此时的P 点坐标．【详解】(1)解：当x =0时，y =m ，当y =0时，-14x 2+12m -1 x +m =0，整理得x 2-2m -1 x -4m =0，即x -2m x +2 =0，解得x 1=2m ，x 2=-2，∴A -2，0 ，B 2m ，0 ，C 0，m ，(2)解：如图1，连接PB ，由题意知，PA =PB ，∴PA +PC =PB +PC ，∴当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 值最小，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =OB 2+OC 2=4m 2+m 2=5m ，∵PA +PC 的最小值等于45，∴5m =45，解得m =4，∴B 8，0 ，C 0，4 ，∴抛物线的对称轴为直线x =3，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B 8，0 ，C 0，4 代入得，0=8k +b 4=b，解得k =-12b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-12x +4，。
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【中考数学压轴题】---定值问题一、乘积、比值类型1．（2009·株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A 、C 在x 轴上，点B坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值． 解析：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. 3分 （2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ………7分（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC=即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即FC (AC ＋EC )为定值8. …12分二、定长、定角、定点、定值类型1．（2011•东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点yxQP FE DCBA OE 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化． 解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B （－3，1），若直线经过点A （－3，0）时，则b=32 ，若直线经过点B （－3，1）时，则b=52，若直线经过点C （0，1）时，则b=1，①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤32，如图1，此时E （2b ，0），∴S=1 2 O E•CO=12×2b×1=b ；②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3 2 ＜b ＜52，如图2此时E （－3，b －32），D （2b ﹣2，1），∴S=S 矩－（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3－[1 2 （2b －2）×1+1 2 ×（5－2b ）•（5 2 －b ）+1 2 ×3（b －3 2 ）]=52b －b 2，∴S=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤<)2523(2523221b b b b b ； （2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积． 由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED ， 又∠MDE=∠NED ，∴∠MED=∠MDE ，∴MD=ME ， ∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，由题易知，=12，DH=1，∴HE=2， 设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt △DHN 中，由勾股定理知：a 2=（2－a ）2+12，∴a =5 4 ，∴S 四边形DNEM =NE•DH=5 4 ．∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5 4．2．（2011•遵义）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与BD 相交于点E ，过E 作EF ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）． （1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形？（2）在P 、Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。
分析：（1）如果四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =CP ，根据P 、Q 两点的运动速度，结合运动时间t ，求出DQ 、CP 的长度表达式，解方程即可；（2）PH 的长度不变，根据P 、Q 两点的速度比，即可推出QD ：B P=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH =20． 解答：解：（1）∵AD ∥BC ，BC =20cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动， ∴DQ =t ，PC =20﹣2t ，∵若四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ =PC ， ∴20﹣2t =t ，解得：t =203；（2）线段PH 的长不变，∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1，∴QD ：BP =1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE =1：2，∵EF ∥BH ，∴ED ：DB =EF ：BC =1：3， ∵BC =20，∴EF =20 3 ，∴EF PH ：QE QP =13，∴PH =20cm ．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ 和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2． 3．（2011•广州）已知关于x 的二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0） （1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y =1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△P AB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1－S 2为常数，并求出该常数．考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：（1）把C （0，1）代入抛物线即可求出c ；（2）把A （1，0）代入得到0=a ＋b ＋1，推出b =－1－a ，求出方程ax 2＋bx ＋1=0，的b 2－4ac 的值即可；（3）设A （a ，0），B （b ，0），由根与系数的关系得：a ＋b =a a +1，ab =a 1，求出AB =aa -1，把y =1代入抛物线得到方程ax 2＋（－1－a ）x ＋1=1，求出方程的解，进一步求出CD 过P 作MN ⊥CD 于M ，交x 轴于N ，根据△CPD ∽△BP A ，得出=，求出PN 、PM 的长，根据三角形的面积公式即可求出S 1－S 2的值即可． 解答：（1）解：把C （0，1）代入抛物线得：1=0＋0＋c ，解得：c =1， 答：c 的值是1．（2）解：把A （1，0）代入得：0=a ＋b ＋1， ∴b =－1－a ，ax 2＋bx ＋1=0，b 2－4ac =（－1－a ）2－4a =a 2－2a ＋1＞0， ∴a ≠1且a ＞0，答：a 的取值范围是a ≠1且a ＞0；（3）证明：∵0＜a ＜1，∴B 在A 的右边， 设A （a ，0），B （b ，0），∵ax 2＋（－1－a ）x ＋1=0，由根与系数的关系得：a ＋b =a a+1，ab =a1， ∴AB =b －a =ab a b 4)(2-+=aa-1， 把y =1代入抛物线得：ax 2＋（－1－a ）x ＋1=1，解得：x 1=0，x 2=a a +1，∴CD =aa+1，过P 作MN ⊥CD 于M ，交X 轴于N ，则MN ⊥X 轴， ∵CD ∥AB ，∴△CPD ∽△BP A ，∴=，∴=，∴PN=21a -，PM=21a+， ∴S 1－S 2=•a a +1•21a+－••=1，即不论a 为何只，S 1－S 2的值都是常数．答：这个常数是1．点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x 轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中． 4．（2011•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ax 2(a ＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA =OB =22（如图1），求a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF ⊥x 轴于点F ，测得OF =1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点， OA =OB =22，90AOB ∠=︒， ∴2AC OC BC ===，∴ B (2，2-)将B (2，2-)代入抛物线y =ax 2(a ＜0)得，12a =-.（2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，F EyxBAO∴ B (1，12-)， ∴12BF =.又90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=︒，∴△AEO ∽△OFB ，∴1212AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴ 2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，∴ B (1，12-)， ……… 4分 ∴1tan 212OF OBF BF ∠=== 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠， ∴tan tan 2AEAOE OBF OE=∠=∠=，∴ 2AE OE = ……… 5分 设点A （-m ，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴ 2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 （3）解法一：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2) 2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，……… 7分 (1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+，∴ 12b mn =-又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OEOF BF=，∴ 220.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分解法二：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >），直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形，可得2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 化简，得12OC mn =. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴ AE OE OFBF=，∴ 220.50.5m m n n =，∴ 4mn =……… 9分 ∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,－2）……… 10分 说明：mn 的值也可以通过以下方法求得.由前可知，22414OA m m =+，22414OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+，由222OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+，化简，得4mn =.5．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y =x 2+bx +c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）． （1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，要S =218；（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围． 考点：二次函数综合题。