恒定总流的能量方程讲解
实际流体恒定总流的伯努利方程讲解
u2 dQ＝ u3dA＝ v3A＝v2 Q
Q 2g
2g A
2g
2g
3.水头损失积分：
h' l12
dQ
Q
物理含义：表示单位时间内流体克服1-2流段的摩擦阻 力作功所损失的机械能
为了计算方便，设 hw 为单位重量流体
在两过流断面上的平均能量损失。
h' l12
——实际流体恒定总流的能量方程式， 也称之为恒定总流伯努利方程。
伯努利方程的目的：确立了恒定总流流动中势能和动能、 流速和压强相互转化的普遍规律。
（二）恒定总流能量方程式的应用 船吸现象
案例： 1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船—— “奥林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有 一比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生 了一件意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地 向“奥林匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的 船舷上,把“奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢?
5.两断面间没有分流或合流
18
假设两断面间有分流或合流的情况：
19
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
2
p2
g
＋ 2 v12
2g
＋h
l1-2
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
3
p3
g
＋
3
v
2 3
2g
＋h
l1-3
结论：对于断面有分支的流动，在列方程时，只需 计入所列断面间的能量损失，不需要考虑另一股分 支流的能量损失。
恒定总流的能量方程
恒定总流的能量方程恒定流的连续性方程虽然揭示了液流断面平均流速与过水断面面积之间的关系，但却不能解决工程实际中常涉及到的作用力和能量问题。
为此，还需进一步研究液体运动所遵循的其它规律。
恒定流的能量方程就是应用能量转化与守恒原理，分析液体运动时动能、压能和位能三者之间的相互关系。
它为解决实际工程的水力计算问题奠定了理论基础。
一、微小流束的能量方程由物理学动能定理可知：运动液体动能的增量，等于同一时段内作用于运动液体上各外力对液体作功的代数和，即∑-=21222121mu mu M 式中 ∑M ——所有外力对物体作功的总和；1u ——物体处于起始位置时的速度；2u ——在外力作用下，物体运动到新位置时的速度；m ——运动物体的质量。
图3-12下面就根据动能定理来分析恒定流微小流束的能量方程。
在实际液体恒定流中取出一段微小流束，选取断面1—1与断面2—2之间的水体作为研究对象。
设微小流束过水断面1—1与过水断面2—2的面积分别为1A 和2A ，其断面形心点的位置高度分别为1z 和2z ，动水压强分别为21p p 和，相应的速度为1u 和2u 。
对于微小流束由原来的1—2位置移动到了新位置21'-'，则1—1断面与2—2断面所移动的距离分别为dt u dl dt u dl 2211==由图3-12可见12'-是dt 时段内运动液体始末共有流段，这段微小流束水体虽有液体质点的流动和替换，但由于所选的微小流束为恒定流，12'-段水体的形状、体积和位置都不随时间发生变化，所以，要研究微小流束从1—2位置移动到21'-'位置时，只需研究微小流束从11'-段移动到22'-位置的运动就可以了。
（一）动能的增量在恒定条件下，共有流段21-'的质量和各点的流速不随时间而变化，因其动能也不随时间变化，所以微小流束段动能的增量就等于流段22'-段动能与11'-段动能之差。
能量方程意义要点
3.求断面平均流速v
水流方向：从总水头高（单位能量高）的过 水断面流向总水头低（单位能量低）的过水 断面 4
三选：
能量方程使 用条件，必 须满足
1
2
1.选过水断面：渐变流过水断面，与已知条件有关，与代求量有关 2.选代表点：自由水面或管中心轴线处 3.选基准面：较低的水平面
2
恒定总流能量方程
2.能量方程各项意义
z mgz mg
p
av p av z1 1 1 z 2 2 2 2 hw12 2g 2g p1
av 2 z 2g p
hw：水头损失;单位能量损失
恒定总流能量方程
3.能量方程求解问题
av p av z1 1 1 z 2 2 2 2 hw12 2g 2g p1
2 2
总水 头线 沿程 总是 下降 的
1.求位置水头z
4.计算水头损失hw，判断水流方向
p
2.求动水压强水头
水力分析与计算
恒定总流能量方程
黄河水利职业技术学院
1
恒定总流能量方程
1.能量方程分析及解题时三选
代表点 断面平均 代表点
求vc
断面平均
2
av p av z1 1 1 z 2 2 2 2 hw12 2g 2g
1-1过水断面 2-2过水断面 1-2断面间
p1
2
1
已知压力表读数 及其前管段水头 2 损失，求v
2 2
测压管水头线
v12
2g
总水头线 hw
p
mg p2
p3
1 2 mv v2 2 2g mg
z1
高二物理竞赛课件：恒定总流能量方程
能量守恒定律：流体系统中能量随时间的变化率等于作用于控制体
上的表面力、系统内流体受到的质量力对系统内流体所作的功和外
界与系统交换的热量之和。
输运公式为
dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
＝u
2 2
,
N
V
u
2 2
dV
η表示单位质量流体具有的能量;
N 为系统内流体具有的总能量。
能 量
d dt
V
(u
2
2
)dV
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
守
恒
定 律
d dt
V
(u
2
2
)dV
Байду номын сангаас
CV
f
dV
CS
pn
dA Q
2023/12/25
外界与系统单位
D质on量gh力ua功U率niversity表面力功率
时间交换的热量
2
一般形式的能量方程：
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
里管就是利用这个原理，在管道中造成流速差，引起压强变化，通过压差的测 量来求出流速和流量。
2023/12/25
Donghua University
7
※皮托管 —— 测量流速
测压管
法国人皮托，1773年
皮托管
沿流线B – A 列伯努利方程：
2 B
pB
pA
2
pB gH0 pA g(H 0 h)
第四章 能量方程
(2)恒定渐变流过水断面上， 动水压强的分布与静水压 强的分布规律相同。
现证明如下：
在过水断面上、任意两相邻流线间取微小柱体，长为dn ，底面 积为 dA 。(如图示)。分析该柱体所受轴线方向的作用力：
上下底面的压强: p与p dp
柱体自重沿轴线方向的投影dAdncos ，其中： 为重力
1
H v0
c
渐变流断面
d 2
A
0
vc
0
c 1
水箱的来流断面和收缩断面是渐变流断面
渐变流断面上动水压强分布规律： 水流射入大气中时的渐变流断面，动水压强
不服从静水压强分布规律 孔口出流收缩断面，其上流线近似平行， 各点均与大气接触，压强约为大气压强。
固体边界约束的渐变流过水断面，动水压强符合静水压 强分布规律.
伯诺力方程中的三项分别表示单位重量液体的 三种不同的能量形式：
Z1
p1
u12 2g
Z2
p2
u22 2g
hw
z为单位重量液体的位置势能（位能）。
u2/2g为单位重量液体的动能。
p/为单位重量液体的压能（压强势能） z+p/ =该质点所具有的势能
z+p/ + u2/2g=总机械能
hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2过程中由 于克服流动的阻力作功而消耗的机械能。这部分 机械能转化为热能而损失，因此称为水头损失。
将⑥⑦⑧代入⑤。并注意到Q1=Q2=Q 再两边除以rQ,则
Z1
p1
1V12
2g
Z2
p2
2V22
2g
hw12
三、能量（伯诺力）方程的几何表示——水头线 总流伯诺力方程的量纲：
水力学-第2章 9讲 能量方程的应用1025
实际液体恒定总流能量方程: 1 实际液体恒定总流能量方程:
p1 α v p2 α v z1 + + = z2 + + +h w ρ g 2g ρ g 2g
Z 为位置水头 p/ρg 为压强水头 u2/2g 为流速水头 平均位能 平均压能 平均动能 总机械能
2 1 1 2 2 2
α v p p v H+ + a = c c + c + ξ0 c 2g 2g 2g ρg ρg
2
α 0 v0 2
令：
解得： 解得：
v hw = ζ 0 c 2g
2
H0 = H +
α 0 v0 2
2g
vc =
1 α c +ζ 0
2g (H 0 +
p a − pc ) ρg
p a − pc = ϕ 2g (H 0 + ) ρg
求解：平均流速，压强， (a) 求解：平均流速，压强， 作用水头, 作用水头,水头损失等 (b) 毕托管（流速仪） 毕托管（流速仪） (c) 文丘里流量计 孔口（管嘴）出流, (d) 孔口（管嘴）出流,水泵 与虹吸管计算等
能量方程的应用---毕托管测流速 2.10.1 能量方程的应用--毕托管测流速
Ｈ= Z+ p/ρg+ v2/2g----总水头
hw-- 水头损失
平均能量损失
2
总流能量方程式的应用条件： 总流能量方程式的应用条件：
不可压缩流体的恒定流动； 不可压缩流体的恒定流动； 质量力只有重力； 质量力只有重力； 所取断面应是渐变流断面， 所取断面应是渐变流断面，但在其间可不 必要求； 必要求； 没有其它形式的能量的输入输出； 没有其它形式的能量的输入输出； 上、下游两过水断面属于同一个总流，无 下游两过水断面属于同一个总流， 总流的分出、汇入。 总流的分出、汇入。
实际流体恒定总流的能量方程式
实际流体恒定总流的能量方程式由于实际流体存在粘滞性，在流动过程中，要消耗一部分能量用于克服摩擦力而作功, 流体的机械能要沿程损失而减少，对机械能来说即存在着能量损失。
因此对实际流体而言, 总是2P 1 a v i rz, +^— + > Z 2P g 2g令单位重量流体从断面 1-1流至断面2-2所损失的能量为hv 则能量方程应写为上式共包含了 4个物理量，其中z 代表总流断面上单位重量流体所具有的平均位能,般又称为位置水头；P 代表断面上单位重量流体所具有的平均压能， 它反映了断面上各点Pg2平均动水压强所对应的压强高度；（Z +卫）称为测压管水头；"7代表断面上单位重量P g2g的总机械能（即位能、压能、动能的总和）称为总水头，并以2p a vH =z+止+——P g 2g在总流中任意选取两个断面，该两断面上流体所具有的总水头若为 量方程式:H i=H2+h w对于理想流体，由于没有水头损失， 6=0，则H j =H 2，即在不计能量损失情况下,总流中任何断面上的总水头损失保持不变。
为了形象的反映总流中各种能量的变化规律，可以把能量方程用图形描绘出来。
因为单z ， P及巴必分别绘于图上（如图1）. z 值在断面上各点是变化的, Pg 2g位重量流体所具有的各种机械能都具有长度的量纲,于是可用水头为纵坐标， 按一定的比例2Pg 2g流体所具有的平均动能，一般称为流速水头。
h w 为单位重量流体从一个断面流至另一个断面克服水流阻力作功所损失的平均能量,般称为水头损失。
习惯上把单位重要流体所具有H 表示，即H i 和H 2，根据能尺沿流程把断面的图1般选取断面形心点的z值来标绘，相应的亦选用形心点动水压强来标绘。
把各断面的PgZ +吕值的点连接起来可以得到一条测压管水头线（如图中虚线所示）pg，把各断面P Ot v2H…盘為描出的点连接起来可以得到一条总水头线（如图中实线所示），任意两断面之间的总水头线的降低值，即为该两断面间水头损失h w。
恒定元流能量方程
推导步骤
1. 2. 3. 4. 5. 假设条件--不可压缩、恒定流、只受重力 外力作功 p1dA1u1dt-p2dA2u2dt 动能改变 dEk=½dQdt（u22-u12） 势能变化 dEp=ρ dQ dt g Z2- ρ dQ dtgZ1 依据功能原理列等式
一、能量方程的依据原理 功能原理—外力所做的功等于机械能的变化
动的普遍规律，水流能量方程则是这一普 遍规律在水流运动中的具体表现。
• 从质量守恒定律推出的连续性方程，只给 出了流速和过水断面之间的关系，是一个 运动学方程。
• 由于水流运动的过程就是在一定条件下的 能量转化过程，因此流速与其他因素之间 的关系可以通过分析水流的能量关系得出。
• 先从最简单的理想液体元流情况入手。
例题：水流由水箱经前后相接的两管流出大 气中。大小管断面的比例为2：1.全部水头 损失的计算式参见下图。（1）求出口流速 v2；（2）绘总水头线和测压管水头线； （3）根据水头线求M点的压强pM。
1 ▽ 1 入口损失
0.5 12 2g
大小能头损失
2 0.1 2 2g
8.2m
沿程损失 沿程损失
1、方程的导出
对如图不可压缩理想流体
恒定流动力学模型，dt时
段内功能变化：
压力做功： 动能增加： 位能增加：
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt （a）
u u u ( ) dQdt( ) g 2 2 2g 2g dQdt( z2 z1 )
渐变流中某一流段
16
上式具有三种积分类型，下面分别 讨论：
• •
( z )udA ( z )dQ 第一类积分：
A
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第3章 作业
• P46 2，4，5，9，12，16，18
3.1 3.2
描述液体运动的两种方法 流体运动的基本概念
3.3
3.4 3.5
恒定总流的连续性方程
恒定总流的能量方程 恒定总流的动量方程
3.4.1
恒定元流的能量方程
3.4.1.1 理想液体恒定元流的能量方程 3.4.1.2 实际液体恒定元流的能量方程
2
沿着元流的各个过水断面，则
1－1-1 元流过水断面（上游） 2－2-2 元流过水断面（下游） 1 1－1-1 元流过水断面的形心点 dA 1 2 2－2-2 元流过水断利方程（瑞士，1738）
p1 u p2 u z1 z2 g 2g g 2g
2
u1
2
u2 p1/γ z1
2
p2/γ
p1 u1 p 2 u2 z1 ＝z 2 hw ' γ 2g γ 2g 1
2
z2
2
沿总流过水断面积分 dA1 1
p u p u z1 1 1 ＝ z2 2 2 hw ' γ 2g γ 2g
2
2
dA2 2
u1 dQ = u1dA1
3.4.2 实际液体恒定总流的能量方程
3.4.1
恒定元流的能量方程
3.4.1.1 理想液体恒定元流的能量方程 3.4.1.2 实际液体恒定元流的能量方程
3.4.1.1 理想液体恒定元流的能量方程
2 dA
P+dP dS S
1
dG P Z
2
Z+dZ
1
原理：
根据牛顿第二定律，作用ds在流段上的外力沿s方向的合力，
2 1
2 2
z
----单位重量液体的位能
位置水头
p ----单位重量液体的压能 g
压强水头
u ----单位重量液体具有的的动能 2g 流速水头
2
p1 u p2 u z1 z2 g 2 g g 2 g
方程物理意义：
2 1
2 2
在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束 内不同的过水断面上，单位重量液体所具有机 械能保持相等(守恒)。
1
dA2 2
p u p u z1 1 1 ＝z 2 2 2 hw ' γ 2g γ 2g
2
u1
2
u2 p1/γ z1
2
p2/γ
p1 u1 p 2 u2 z1 ＝z 2 hw ' γ 2g γ 2g 1
2
z2
2
dA1
1
dA2 2
p u p u z1 1 1 ＝z 2 2 2 hw ' γ 2g γ 2g
p u2 z C g 2g
p1 u p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1 2
d z g 2 g x y ux u y
z 0
uz
2
th e i n te gral z on ei s l i m i e d i n th esam estre aml i n e th , en p u p u z1 1 1 z 2 2 2 γ 2g γ 2g
3.4.2.4 能量方程的应用 3.4.2.5 注意事项 3.4.2.6 应用举例
3.4.2
实际液体恒定总流的能量方程
3.4.2.1 实际液体恒定总流能量方程的推导
3.4.2.2 能量方程物理意义和几何意义 3.4.2.3 总水头线和测压管水头线
3.4.2.4 能量方程的应用 3.4.2.5 注意事项
3.4.2.6 应用举例
dA
不可压缩实 际液体、恒 定元流的能 量方程
图
闸孔出流
dA
p1 u1 p 2 u2 z1 ＝z 2 hw ' γ 2g γ 2g
2
2
微小流管→微小流束，或元流
1
2
2 1 在有压管流中，任取 一段1-1和2-2断面之间 的总流，并把它放大进
行分析。
dA1
p u p u z1 1 1 ＝z 2 2 2 hw ' γ 2g γ 2g
2 2
dQ = u2dA2 u2
2
p 1/ γ
z1
p u p u ( z1 1 1 )dQ ( z 2 2 2 hw ' )γdQ γg γ 2g γ p2/ 2 Q Q
2
z2
u p2 u2 z1 ＝z2 hw ' 2g 2g
p1
2 1
2
2 1
不可压缩实际液体恒定流元流的伯努利方程
3.4.2
实际液体恒定总流的能量方程
3.4.2.1 实际液体恒定总流能量方程的推导 3.4.2.2 能量方程物理意义和几何意义
3.4.2.3 总水头线和测压管水头线
2
p1 u1 p2 u2 ( z1 ）γdQ γd Q ( z 2 )γdQ γdQ hw ' γdQ γ 2 g γ 2 g 1 Q Q Q Q Q
2
2
dA1
1
dA2 2 A1 u 1 d Q = u 1d 2
2
p1 u1 p2 u2 ( z1 )dQ＝ ( z 2 hw ' )γdQ γ 2g γ 2g Q
3.4.1.2 实际液体恒定元流的能量方程
对于实际液体，因为存在粘性，
在流动过程中，要消耗一部分能量用
于克服摩擦力，液体的机械能沿程减 少，即存在能量损失。
在重力作用下，实际元流从1运动到2
u1 p 2 u2 z1 z2 2g 2g
2 1
p1
2
2
令： hw’ = 单位重量的液体 从断面1-1运动至断面2-2所损失的能量，则
2
dQ = u2dA2 u2
2
p u p u2 ( z1 1 ）γdQ 1 γdQ＝ ( z 2 2 )γdQ γdQ hw ' γdQ 2g γ p /γ Q 2 g p /γ γ Q Q Q
应该等于该流段质量 与加速度 dAds
du 的乘积。 dt
dG cos gdAds cos
受力：
pdA ( p dp ) dA
且
dz cos ds
du pdA ( p dp )dA gdAdz gdAds dt 2 du du ds du d u 其中： u dt ds dt ds ds 2 2 u dp dA gdA dz dA d ( ) 2 2 u gdz dp d ( ) 0 2