fft方法的matlab实现

Real part:
77 4 13 4 2 11 6 5 3 4 11 4 2 5 6 11
Imaginary part:
0 9 0 9 5 8 13 4 0 7 0 7 5 4 13 8

二，连续Fourier Transform 前面我们讨论的函数傅立叶级数都是在具有有 限周期（尤其是以 2 为周期的函数）情形下进 行展开的，但是无论是在理论上还是在实践中， 对于非周期函数性质的讨论都是非常有必要的。 如何从周期函数的傅立叶级数展开扩展到非 周期函数的傅立叶“级数”性质？或者是周期函 数可以展开成为傅立叶级数的形式，那么是否非 周期函数也可以展开成为傅立叶级数的形式呢？



在一般情形下，信号 f (t ) 可以用下面正弦波的无 穷和形式来进行分解。
f (t ) ~ a 0
[a
k
k
cos( kt ) b k sin( kt )]
在这个公式中，通过由Riemann-Lebesgue引理 知道：lim a k lim b k 0 （为什么？） k k 这表明一般实际信号（能量有限）中的高频成分 会随着频率的增大，相应的变小，信号中的主要 成分为少数系数（频率低的部分）所控制。而信 号的高频成分对应着信号中的细节部分，而低频 成分对应着信号的主要的信息．
2D DFT Properties
Spatial domain differentiation: Frequency domain differentiation: Laplacian:



三，一维离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform）. ３．１ 离散傅立叶变换的优点：（１）比在时域直 接对数字信号进行处理所需要的运算量要小；（２）具 有快速算法－－ＦＦＴ． 如果将一维连续函数 f ( x ) 用取Ｎ个间隔 x 取样增 量的方法进行离散化， f ( x ) 变为离散函数
的离散傅立叶变
F (u )

1 N

N 1
N 1
反变换定义为：
n0
i 2 u n f (n ) exp N i 2 u n F (u ) e x p N
f (x)
u0
其 中 ， n 0 ,1, 2 , N 1 u 0 ,1, 2 , N 1
-T
0
t T 0
Ω
２．２ 二维傅立叶变换的定义 f ( x , y ) 是连续可积的，即 设函数

f （ x , y）d xd y 那么这个函数的傅立叶变换定义为：
R
F (u , v )
f ( x, y )



f ( x , y )e
F (u , v )e

２．１ 一维傅立叶变换的定义 dx 定理：设函数 f ( x ) L ( R ) ，即 f （ x ） 上的分 段光滑函数，那么这个函数的傅立叶变换定义为：

1


f ( )

^
1 2


f ( x )e
ix
dx
或者
f ( )
^


f ( x )e
2
(u, v ) I
(u, v )
能量
２．３傅立叶变换的性质 （１），线性性 （２），可分离性 （３），平移性 （４），共轭性 （５），尺度变换特性 （６），卷积定理 （７），Ｐarseval定理



f (x)
2
dt
1 2


ˆ f ( ) d
注意（１）上面两个公式是对离散后函数 f ( n ) F 的准确的离散傅立叶变换；（２） ( u ) 也是一个取 Ｎ个等量间隔 u 取样之后的离散函数，它可以 表示成为

F (u ) F (u 0 n u )
并且可以证明函数 f ( x ) 在空间域和频率域取样间 隔 x 和 u 之间的关系是：
2
Real Part, Imaginary Part, Magnitude, Phase, Spectrum
Real part:
Imaginary part:
Magnitude-phase representation: Magnitude (spectrum): Phase (spectrum):
MATLAB function: fft2
21 43j 9 4 3 j 77 49 j 13 4 9 j
16 1 5 j 1 6 1 5 j 1
lowest frequency component highest frequency component
u 1 N x
（３）离散傅立叶变换总是存在的，它并不需要考 虑连续傅立叶变换所需要的可积的条件．


３．２ 一维的ＦＦＴ 如果对： 1 N 1
F (u ) N

n0
i 2 u n f ( n ) ex p N
f (n)


N 1
u0
i 2 u n F (u ) e x p N
0
W W W
0 1
W W W
0 2

N 1
2 ( N 1)

N 1 W 2 ( N 1) W N N W
0
f f f f
(0)
(1) (2 ) ( N 1)
f f f f
j 2 ( ux vy )
dxdy
2
2 ( ux vy )
dudv 幅值
1
F (u , v ) R ( u , v ) ta n E (u , v ) R
2
(u , v ) I
2
(u , v ) 2 相角
1
I (u, v ) R (u, v )
0
F (0 ) F (1) F (2 ) F ( N 1)
• A 4x4 image
1 9 X 5 6 3 8 4 6 6 8 2 3 8 2 3 3
• Compute its 2D-DFT:
FFT
University of Science and Technology of Beijing 沈政伟
一，Fourier 级数 二，连续Fourier Transform 三，一维离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform）.

一，Fourier 级数 法国著名科学家傅立叶在1807年向法国国 家科学院提交的一篇报告中提出：“任何周期函 数都可以用一系列正弦波（谐波）来线性表示” －－Fourier 级数． 2 考虑正弦波 sin( kt ) ，显然该函数周期为 k ，对 应的频率为 k ．而一般的乐器发出的声音以及 电压等信号都可以通过具有不同频率的正弦波函 数叠加来表示。 比如：信号 100 sin( t ) 3 sin( 20 t ) 0.5 sin(100 t ) 在持续为2 的时间内分别振动次数为 1, 20, 100次，而其中频率为1的分量振幅最大，达到 100，从而具有决定性作用。
1 1 ~ X F4 XF4 1 1 1 j 1 j 1 1 1 1 1 1 j 9 1 5 j 6 21 1 2 j 7 1 2 j 25 j 11 8 j 6 13 j 5 4 j 3 8 4 6 19 45 j 3 45j 3 47 j 11 47 j 6 8 2 3 8 1 2 1 3 1 3 1 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 j 1 j 1 j 1 j
25j 54 j 6 13 j 11 8 j
77 ~ 4 9 j X 13 4 9 j
25 j 11 8 j 6 13 j 5 4 j
3 47 j 11 47 j
25j 54 j 6 13 j 11 8 j
令
i 2 W ex p N

那么，上述的公式变为：
F (u ) 1 N


N 1
N 1
f ( n )W
un
n0
f (n)
1 N

F ( u )W
un
u0

写成矩阵的形式为：
W F (0) 0 W F (1) 1 F (2 ) N 0 F ( N 1) W
{ f ( x 0 ), f ( x 0 x ), f ( x 0 2 x ), f ( x 0 ( N 1) x )}

或者是：
f ( n ) f ( x0 n x )
n 0,1, 2 N 1

那么取样之后一维离散函数 f ( n ) 换定义为：
0 W W 0 (1) (2 ) ( N 1) W 0
(0 )
W W W
0 1
W W W
0 2

( N 1)
2 ( N 1)

N 1 W 2 ( N 1) W N N W
i 2 x
dx

条件部分也可以这样描述：设 连续且可积函数