巧解影子问题

巧解影子问题

类型一：由灯求影

例1、如图：路灯P距离地面8米，P

身高1.6米的小丽从距离路灯的底部

（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D

行走14米到达B时，人影长度怎样改变？

改变了多少? O B N A M

类型二：由影求灯

例2、如图：花丛中有一路灯杆PO,

灯光下，小丽在B点处的影长P

BN＝3米，沿OB方向行走到达A点，

BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米， C D

如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆

PO的高度。O B N A M 类型二：双灯双影问题

例3、如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m ，

（1）、若小丽距灯柱OP的水平P Pˊ距离OA＝a,求她影子AC的长。

（2）若小丽在两路灯之间行走， B

则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）

是否为定值？请说明理由。

O D A C Oˊ练习：.1.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米

的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不

全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，

落在地面上的影长为2.4米，则树高为米.

4.影子投影在多面上

例4.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）

A．11.5 B．11.75米 C 11.8米D．12.25米类型一：由灯求影

如图：路灯P距离地面8米，P

身高1.6米的小丽从距离路灯的底部

（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D

行走14米到达B时，人影长度怎样改变？

改变了多少? O B N A M

传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝NB:NO, ∴1.6:8＝NB:（NB＋6）, 解之得NB＝1.5米，同理可得1.6：8＝AM:（AM＋20）, 解之得AM＝5米，∴影长变短了5－1.5＝3.5（米）、

评：这种解法只用了相似三角形最基本的性质，得用两次三角形相似，略显麻烦。

创新解法（略解）：设直线CD交PO于E，则P

易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD

和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比 E C D

等于相似比得CD:NM＝PE:PO,

则14:NM＝（8－1.6）:8 O B N A M ∴NM＝17.5米，NM－AB＝17.5－14＝3.5米，则影子变短了3.5米.

评：创新解法用的是相似三角形对应高的比等于相似比，只用了一次三角形相似显得很方便。

类型二：由影求灯

如图：花丛中有一路灯杆PO,

灯光下，小丽在B点处的影长P

BN＝3米，沿OB方向行走到达A点，

BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米， C D

如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆

PO的高度。O B N A M

传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝BN:ON ①, 同理，得DA:PO＝AM:OM ②, 显然CB＝DA, 由①、②得BN:ON＝AM:OM, 设OB＝x米，

则有3：（3＋x）＝5:（10＋x）, 解之得x＝7.5米，代入①式，得PO＝5.95米评：这种解法仍然只用了相似三角形最基本的性质，又得用两次三角形相似，还要以中间比为桥梁，有些让人眼花缭乱。

创新解法（略解）：同例1做法一样，设直线CD交PO于E，则易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似P

三角形对应高的比等于相似比得CD:NM＝PE:PO,

∴5:（5＋5－3）＝（PO－1.7）:PO E C D

∴PO ＝5.95米

评：这种创新解法不但只用了一次相似O B N A M 三角形对应高的比等于相似比，而且非常简便快捷，既节约时间，有提高了准确率。

类型二：双灯双影问题

如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OP ˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m ，

（1）、若小丽距灯柱OP的水平P Pˊ

距离OA＝a,求她影子AC的长。

（2）若小丽在两路灯之间行走， B

则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）

是否为定值？请说明理由。

O D A C Oˊ传统解法（略解）：

（1）、依题意得：AB//OP, ∴△ABC∽△OPC, ∴AC:OC＝AB:OP,

∵OP＝L, AB＝h, OA＝a, ∴AC:（a＋AC）＝h:L 解之得AC＝ah /L （2）、∵AB//OP, ∴△ABC∽△OPC, ∴AB:OP ＝AC:OC＝h:L, ∴AC:（OC－AC）＝h:（L－h）, 即AC:OA＝h:（L－h）, ∴AC＝h/（L－h）·OA

同理可得DA＝h/（L－h）·OˊA ∴DA＋AC＝h/（L－h）·（OA＋OˊA）＝hm/（L－m）是定值。

评：这种做法还是只用了相似三角形最基本的性质，做第（1）问尚可，做第（2）问又得用两次三角形相似，显得很笨拙，若将题目中的两问合并形成一个题目，则更加捉襟见肘，但用创新做法就简单多了。如：

如图：小丽晚上在路灯下散步, P E Pˊ

已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ

＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m，当

她在两路灯之间行走，则她前后的 B

影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？

请说明理由。O D A C Oˊ创新解法（略解）：连结P Pˊ,设AB的延长线交P Pˊ于E,易得矩形O OˊPˊP,则