误差理论第一章
1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于：相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定级（即引用误差为%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高 解：多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。
误差理论与数据处理--课后答案
《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解：依题意，该电压表的示值误差为 2V由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。
1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=I L 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o解：多级火箭的相对误差为：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
第二章 误差的基本性质与处理2－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。
《新概念测量误差理论》第一章
第1章认识测量1.1测量自然界有许许多多的物理量，这些物理量在人类出现之前就已经客观存在。
人类的工业文明恰恰就是给这些物理量赋予数量值开始的。
给物理量赋予数值的过程就是测量。
这里提前说明，测量这个过程是指包括从该物理量的定义开始、所有仪器制造校准以及你当前的测量操作在内的全部过程，是一个全局过程。
一个测量结果的形成是众多测量工作者共同劳动的结果。
这一基本认识是新概念测量理论的哲学基础。
1.2真值人类在科学研究中发现各种物理量之间存在内在联系，于是通过定义把这些量之间的数学关系固定下来，譬如：通过万有引力常数把质量距离和力之间的关系固定下来、功率等于电流乘以电压等。
通过定义各种物理量的单位而使得各种物理量形成完整统一的整体，这就是科学量制体系。
因为物理量的定义已经约定，一个物理量与其定义一致的数量值就是真值（真实值）。
目前，国际计量大会给出的7个SI基本物理量单位是：米：光在真空中（1/299 792 458）s时间间隔内所经过路径的长度。
[第17届国际计量大会（1983）]千克：国际千克原器的质量。
[第1届国际计量大会（1889）和第3届国际计量大会（1901）]秒：铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9 192 631 770个周期的持续时间。
[第13届国际计量大会（1967），决议1]安培：在真空中，截面积可忽略的两根相距1 m的无限长平行圆直导线内通以等量恒定电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为2×10-7 N，则每根导线中的电流为1 A。
[国际计量委员会（1946）决议2。
第9届国际计量大会（1948）批准]开尔文：水三相点热力学温度的1/273.16。
[第13届国际计量大会（1967），决议4] 摩尔：是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元（原子、分子、离子、电子及其他粒子，或这些粒子的特定组合）数与0.012 kg碳-12的原子数目相等。
[第14届国际计量大会（1971），决议3]坎德拉：是一光源在给定方向上的发光强度，该光源发出频率为540×1012 Hz的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为（1/683）W/sr。
误差理论第一章绪论
§1-3 精度
精度：反映测量结果与真值接近程度的量， 精度 反映测量结果与真值接近程度的量，与误差的大小相 反映测量结果与真值接近程度的量 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 分为： 分为： 反映测量结果中系统误差的影响程度。 ①准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 准确度 反映测量结果中系统误差的影响程度 ②精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 ③精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 精确度： 程度。 程度。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。对具体的 测量，精密度高的而准确度不一定高， 测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
第一种方法的相对误差为： v1 50.004 − L1 0.004 = = = 0.008% L1 L1 50
v2 80.006 − L2 0.006 第二种方法的相对误差为： = = = 0.0075% L2 L2 80
可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 故第二种方法的精度较高。 故第二种方法的精度较高。 引用误差 误差： ③ 引用误差：是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子， 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 5 值或全量程为分母，比值即为引用误差。 值或全量程为分母，比值即为引用误差。
测量结果应保留的位数原则是 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠 保留的位数原则 的，而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取1~2 而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取 位有效数字。 位有效数字。 在比较重要的测量中， 在比较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考，如结果 再多取一位数字作为参考，如结果15.214±0.042，倒 ± ， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字，而倒 数第三位是可靠数字。 数第三位是可靠数字。 二、数据舍入规则 ①若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 则末位加1； 则末位加 ； ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 则末位不变； 则末位不变；
误差ppt第一章
特点与性质
粗大 误差
1.2.2 误差分类
1.系统误差（Systematic Error） 系统误差（ 系统误差 ） 定义： 定义：在同一条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值 例如： 例如：用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差[绝对值和符号保持不
变]；用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差[按某一确定 规律变化]；刻线尺的温度变化引起的示值误差[在条件改变时，按 某一确定规律变化]。 实际估计系统误差常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值 来表示，也称为测量器具的偏移 偏畸 偏移或偏畸 偏移 偏畸（Bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的 技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准 器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办 法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。
1.2.2 误差来源
测量方法误差 由于测量方法的不完善引起的误差，如 采用近似的测量方法、计算公式等原因所 引起的误差，又称为理论误差。
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按 照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 α = KFU =πU / 2 2 中出现无理数 π 和 2，故 取近似公式 α ≈1.11 ，由此产生的误差即为理论 U 误差。
标准器件误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
仪器误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
附件误差
数字式仪 器所特有 的量化误 差
读数分辨 力有限而 造成的读 数误差
1.2.2 误差来源
测量环境误差 指各种环境因素与规定的标准状态不一致而 造成的误差。
误差理论与数据处理总结
误差理论与数据处理总结三、误差分类三、数据运算规则在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。
第一章绪论 (1)近似加减运算。
结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。
称偶然误差)和粗大误差三类。
第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。
运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。
在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。
按乘除运算处理。
持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。
(4)对数运算。
n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。
如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。
2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。
, 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。
(5)三角函数。
角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 78 ,—右半部面积的平分线的横坐标。
以便在最经济条件下，得到最理想结果。
(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。
(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。
第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。
制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。
) 2、按误差出现规律分(1)不变系统误差:(指绝对值和符号一定)相当于以定系统误第一节随机误差第二节误差基本概念 ,,,lLL1、公理:一系列等精度测量，则。
—真值差。
ii00nnn(2)变化系统误差:(指绝对值和符号为变化)相当于未定系统随机误差的代数和 ,,,,,lLlnL，，,,,iii00定义:在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的一、误差定义及表示方法误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。
1.1教案《误差理论与测量平差》第一章 观测误差及其传播
《误差理论与测量平差》课程教案（电子版）葛永慧付培义胡海峰太原理工大学测绘科学与技术系授课题目：第一章 观测误差及其传播律教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学 本章教学时数：10学时内容提要：主要讲观测误差及其分类、偶然误差的4个特性、精度、衡量精度的指标、方差、协方差、权、定权方法、协因数等基本概念，在此基础上导出协方差传播律和协因数传播律两个重要的传播律，并举例进一步说明两个传播律的应用。
教学要求：理解偶然误差的规律、方差、协方差、权、常用定权方法、协因数等概念，熟练掌握协方差传播律、协因数传播律两个传播律及其在测量中的应用。
理解由真误差计算中误差的方法和测量平差中处理系统误差的方法。
本章重点：重点理解偶然误差的规律、方差、协方差、权、常用定权方法、协因数等概念，并在此基础上掌握协方差传播律、协因数传播律两个传播律及其在测量中的应用，以及由真误差计算中误差的方法和测量平差中处理系统误差的方法 教学难点：协方差传播律、定权方法及协因数传播律。
本章教学总的思路：首先讲较简单的误差分类、偶然误差特性，接着在对数理统计有关知识复习的基础上，方差、协方差概念，并给出协方差传播律公式，通过示例讲解加深理解；用同样的方法讲权的概念和常用定权方法、协因数概念及协因数传播律；举例说明在本章讲解过程中非常重要，它是帮助学生理解几个重要概念及两个传播律的最好方法。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
教学内容：§1-1～§1-4共2学时§1-1 概述简述引入有关概念测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评定测量成果的精度。
解决这两个问题的基础，是要研究观测误差的理论，简称误差理论。
本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法等。
误差理论与数据处理课后习题及答案
第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差0.01%110111±=±=mm mI μ0.0082%11092±=±=mm mI μ%008.0150123±=±=mmm I μ123I I I <<第三种方法的测量精度最高2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
20.001520.001620.001820.001520.00115x ++++=20.0015()mm =0.00025σ==正态分布 p=99%时，t 2.58=lim t δσ=±21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o2.58=± 0.0003()mm =±测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
误差理论与数据处理-第一章误差的基本概念ppt课件.ppt
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
根据测量条件是否发生变化分类
等权测量
指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条 件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进 行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应 按同等原则对待。
不等权测量
指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或 操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结 果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权 原则进行处理。
δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa） 引用误差专用于仪器仪表误差的描述。
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第三节 测量误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
测量方法误差
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
误差理论_第一章_绪论
一、误差的定义与表示方法
电工仪表、压力表的准确度等级
当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被 测量时，所产生的最大绝对误差为
（公式1）
xm ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxm s%
绝对误差的最大 值与该仪表的标 称范围（或量程） 上限xm成正比
28
最大相对误差为
xm xm r s% （公式2） x x x
按照一定的方法
（检定规程和规范，国标GB） 在一定的工作环境下（温度，湿度，压力） 通过检测人员 （一级，二级注册计量师，各类检定员证书 得出或读出的测量数值（原始记录）
5
第一节 研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析误差产生的原因
从根本上，消除或减小误差
正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果
rx
m
x
m
x
s%
xm1 xm1 300 r1 s1 % 0.1% 0.43% x1 x1 70 xm 2 xm 2 100 r2 s2 % 0.2% 0.28% x2 x2 70
29
一、误差的定义与表示方法
电工仪表、压力表的准确度等级
7
第二节 误差的基本概念
举例来说： 大气压力经常用760mmHg的标准值，但是，此数值 并不是大气压力的真实值。可用工作气用气压计去测 量大气压力的值，但是，如果用二等标准气压计去测 量， 则所得到的值更加接近真实的大气压力值，但是仍然 不能准确的知道该处真正的大气压力值。
8
第二节 误差的基本概念
误差是针对真值而言的，真值一般都是 指约定真值。
11
一、误差的定义与表示方法
大学物理实验误差理论习题答案(单面)
第一章 误差估算与数据处理方法课后习题答案1．指出下列各量有效数字的位数。
(1)000.1=U kV 有效位数：4 (2)000123.0=L mm 有效位数：3 (3)010.10=m kg 有效位数：5 (4)自然数4 有效位数：无限位2．判断下列写法是否正确，并加以改正。
(1)0350.0=I A 35=mA错，0.0350A 有效位数为3位，而35mA 有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为0350.0=I A 11050.3⨯=mA 。
(2)()3.0270.53+=m kg错，测量结果(即最佳估计值270.53=m )有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。
测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“±”的形式。
故应将上式改成()3.03.53±=m kg 。
(3)()2000103.274±⨯=h km错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。
因此，上式应改为()km h 4102.03.27⨯±=。
(4)()004.0325.4±=x A 正确。
3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。
3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.26383.85 2.34 1.54 3.88 5.43 7.68 3.66 6.264．按有效数字的确定规则，计算下列各式。
(1)?6386.08.7537.343=++解：原式8.41981.41964.08.7537.343==++= (2)?543.76180.845.88=--解：原式73.3727.3543.76180.845.88==--= (3)?5.20725.0=⨯解：原式18.05.20725.0=⨯= (4)()?001.247.0052.042.8=÷-+解：原式()00.4001.200.8001.247.0052.042.8=÷=÷-+=5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。
误差理论与数据处理答案 第一章
第一章1-3解：某量值的测得值与真值之差为绝对误差，通常称为误差，即绝对误差=测得值—真值由此可知，绝对误差可能是正值或负值。
其中，绝对误差的大小（正值即为本身，负值为其相反数）为误差的绝对值。
误差的绝对值非负。
例如：三个人对一个三角形的内角和进行测量，测量结果分别为：180.001°，180.000°，179.999°。
对于三人的测量，测量量的绝对误差分别为：0.001°，0，-0.001°。
而三人测量值误差的绝对值分别为：0.001°，0，0.001°。
1-4解：测量误差是测量结果减去被测量的真值，测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
为了消除系统误差用代数法而加减到测量结果上的数值称为修正值。
将测得值加上修正值后可得到近似的真值，但是一般情况下难以得到真值，因为修正值本身也有误差，修正后只能得到教测得值更为准确的结果。
1-5解：由绝对误差=测得值—真值，易得绝对误差为：180°00′02′′－180°=0°00′02′′同样，由相对误差=绝对误差／真值，易得到绝对误差为：0°00′02′′／180°=3.08642E-061-6解：最大绝对误差满足：△%=（AX/满度值）×100%。
其中A是准确度等级。
（题目中未能给出万能测长仪的参数，因此再次不做数值计算）1-7解：当用二等标准活塞压力计测量压力为100.2Pa，用更精确的办法测量得到100.5 Pa，则视后者为实际值，测试二等标准活塞压力计的测量误差为-0.3Pa。
1-10解：由题意，在50V刻度点的示值误差为2V，则引用误差为2/100=0.02<2.5%在50V时，示值误差为最大误差，因此易知，最大引用误差为2%，故，该电压表合格。
1-12解：由于两次测量的物理量不同，因此用相对误差来评定第一次测量的相对误差为（50.004-50）/50=8E-05第二次测量的相对误差为（80.006-80）/80=7.5E-05通过比较可知，第二种方法测量精度高。
误差理论第一章课后答案.doc
《误差理论与数据处理》第1章习题解答1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】：真值＝100.5Pa ，测得值＝100.2Pa绝对误差＝测得值—理论真值＝100.2-100.5＝-0.3Pa1-8在测量某一长度时,读数值为m 31.2,其最大绝对误差为m 20,试求其最大相对误差。
【解】：最大相对误差≈（最大绝对误差）/测得值，所以：最大相对误差%1066.8%1002.3110204-6-⨯=⨯⨯≈1-9 使用凯特摆时，由公式由公式()22124Th h g +=π给定。
今测出长度()21h h +为()m 00005.004230.1±，振动周期T 为()s 0005.00480.2±。
试求g 及其最大相对误差。
如果()21h h +测出为()m 0005.00422.1±，为了使g 的误差能小于2/001.0s m ，T 的测量必须精确到多少？解：由 ()22124T h h g +=π 令 ()21h h h += 得 222/81053.90480.204230.14s m g =⨯=π 取对数并全微分得：TT h h g g ∆-∆=∆2 g 的最大相对误差为：%103625.50480.20005.0204230.100005.024maxmax max -⨯=⨯+=∆-∆=∆TT h h g g 因为04790.281053.90422.114159.34422=⨯⨯==g h T π 可由 22T g g hh T g g h h T T ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆<∆⇒∆-∆<∆ 得())(0003.000038.0000386834.002385.1000377823.002385.1000101931.0000479754.0204790.281053.9001.004220.10005.0s T ===⨯=⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-<∆1-10检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格?【解】：依题意，该电压表的示值误差为 2V由此求出该电表的引用相对误差为 %2%1001002=⨯ 因为 2％＜2.5％所以，该电表合格。
第一章 误差理论
解2：x*＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x的小数后第3位 的半个单位，故近似值x*=3.1415准确到小数点后第3位． 故近似值x*=3.1415只有4位有效数字
定理１
设近似数x * 表示为 x* 10 m ( a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ) (2.1) 其中a1 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对误差限为
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差
• 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. * 1 1 e1 I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) ( B) * 2 10 10 1 (1 I * ), n 9,8,,1. I n1 n n
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) ( x x*) 2 , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
In
1
0
xn dx x 10
(n 0,1, 2,,10)
容易得到递推公式
I0
1
0
1 dx ln( x 10 ) x 10
01第一章误差理论与数据处理01
Luminous
L
intensity发光强度
Second秒
s
Metre米
m
Kilogram千克 kg
Ampere安培 A
- in terms of the period of the Cs hyperfine transition铯原子超精细跃迁的周期
- distance travelled by light in 1/299792548 of a second 光在1/299 792 458 秒的时间内运动的距离
a second 光在 1/299 792 458 秒时间内运 动的距离
- in terms of the mass of the international
prototype K 国际原器的质量， K
- in terms of the force between wires carrying
current带电导线之间的力
Quantity symbol 量 符号
Base unit symbol 基本单位 符号
Proposed new definition 建议新定义
Time时间
t
Length长度
x
Mass质量
m
Electric
i
current 电流
Thermodynamic T temperature热力学温度
Amount
笔式记录仪 光线示波器 磁带记录仪 电子示波器 半导体存储器 显示器 磁卡
数据处理器 频谱分析仪
FFT 实时信号分析仪 计算机
被测对象 传感器
中间变换 测量装置
显示及 记录装置
实验结果 处理装置
9
四、测量方法分类
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）
定义
rm
xm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限
引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
由公式1可知，最大绝对误差为
xm xms% 1001.0% 1A
他们的相对误差分别为
可见，在同一标称范 围内，测量值越小，
rx1
xm x1
100%
1 100
100%
1%
rx 2
xm x2
100%
1 80
100%
1.25%
其相对误差越大。
rx3
xm x3
100%
1 20
100%
5%
误差理论与数据处理
王大珩等
误差理论与数据处理
第一节 研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析误差产生的原因 从根本上，消除或减小误差
正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果 通过计算得到更接近真值的数据
正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法 根据目标确定最佳系统
误差理论与数据处理
第二节 误差的基本概念
这一节将介绍测量误差的基本概念，如测量误 差的定义、分类、误差的来源等。通过这些内容 的学习，可以让读者对测量误差有个全面的了解。
二、误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须 了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量 过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。
主要来源
测量装 测量环 测量方 置误差 境误差 法误差
测量人 员误差
误差理论与数据处理
二、误差的来源
测量装置误差
以固定形式复现标准量值的器具， 测量装置在制造过程中由于设计、制
被测量的真值，常 用约定真值代替
特点： 1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符号
及单位的量。
2) 单位给出了被测量的量纲，其单位与测 得值相同。
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
修正值(Correction) : 为了消除固定的系统误差用代 数法而加到测量结果上的值。
修正值 真值 － 测得值 － 误差
变化系统误差：
误差绝对值和符号变化的系统误差。 按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性 系统误差和复杂规律系统误差。
举例： 砝码质量、热膨胀误差
误差理论与数据处理
三、误差分类
随机误差（Random Error）
定义
测得值与在重复性条件下对同一被测量 进行无限多次测量结果的平均值之差。 又称为偶然误差。
测量人员误差
测量人员的工作责任心、技术熟练程度、 生理感官与心理因素、测量习惯等的不同 而引起的误差。
为了减小测量人员误差，就要求测量人 员要认真了解测量仪器的特性和测量原理， 熟练掌握测量规程，精心进行测量操作， 并正确处理测量结果。
误差理论与数据处理
三、误差分类
系统误差（Systematic Error）
误差是针对真值而言的，真值一般都是
指约定真值。
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 粗大 误差 误差
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
绝对误差（Absolute Error）
绝对误差 ＝ 测得值 － 真值
测得值 绝对误差
L＝L－L0
定义 特征
在重复性条件下，对同一被测量进行无 限多次测量所得结果的平均值与被测量 的真值之差。
在相同条件下，多次测量同一量值时， 该误差的绝对值和符号保持不变，或 者在条件改变时，按某一确定规律变 化的误差。
误差理论与数据处理
三、误差分类
系统误差举例
用天平计量物体质 量时，砝码的质量 偏差
用千分表读数时， 表盘安装偏心引起 的示值误差
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
电工仪表、压力表的准确度等级
我国电工仪表、压力表的准确度等级 （Accuracy Class）就是按照引用误差进行分 级当一的个。仪表的等级s选定后，用此表测量某一被 测量时，所产生的最大绝对误差为
（公式1） xm xm s%
最大相对误差为
（公式2）
rx
来的误差。
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理
误差
组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
读数分辨 数字式仪 元器件老化、
力有限而 器所特有 磨损、疲劳
造成的读 的量化误 所造成的误
数误差 差
差
误差理论与数据处理
二、误差的来源
测量环境误差
指各种环境因素与要求条件不一致而造 成的误差。
▪ 对于电子测量，环境误差主要来源于环 境温度、电源电压和电磁干扰等
▪ 激光光波比长测量中，空气的温度、湿 度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射 率，因而影响激光波长，产生测量误差。 高精度的准直测量中，气流、振动也有一 定的影响
误差理论与数据处理
二、误差的来源 测量方法误差
是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋 亦 予特定量的值。这个术语在计量学中常用。
称
指定值、最佳 估计值、约定 值或参考值
由国家建立的实物标准 （或基准）所指定的千 克副原器质量的约定真 值为1kg，其复现的不确 定度为0.008mg。
当今保存在国 际计量局的铂 铱合金千克原 器的最小不确 定度为 0.004mg
特征
在相同测量条件下，多次测量同一量值 时，绝对值和符号以不可预定方式变化 的误差。
产生原因
实验条件的偶然性微小变化，如温度波 动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压 的随机起伏、地面振动等。
误差理论与数据处理
三、误差分类
随机误差的性质
随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见， 不可修正。
虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定， 也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量 的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差 的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计， 并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 具体见第三章。
由于
rm
U m Um
2 100
2%
2% 2.5%
所以该电压表合格。
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
【例1-4 】
某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值 分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。
【解】 根据题意得
s 1.0，xm 100 A, x1 100A, x2 80A, x3 20A
刻线尺的温度 变化引起的示 值误差
在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数 的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测
量器具的偏移或偏畸（Bias）。
由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因， 采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件 下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或 者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统 误差的规律后，对测量结果进行修正。具体可见第五章。
误差理论与数据处理
重点与难点
误差定义及表达形式 测量误差来源的分析 测量误差按误差性质的分类处理 有效数字定义及选取
误差理论与数据处理
第一节 研究误差的意义
门捷列夫 (1834-1907)
科学始于测量,没 有测量，便没有精 密的科学。
门捷列夫
误差理论与数据处理
第一节 研究误差的意义
开尔文（1824-1907）
第1章 绪论
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述测量误差的基本概念、误差 的表达形式、误差分类、误差来源；给出 描述误差大小的精度概念及其与误差类型 之间的关系；给出测量中的有效数字概念 及其在数据处理中的基本方法。通过学习 本章内容，使读者对测量误差分析及其数 据处理的问题有一个概貌的了解，为学习 后面章节的内容奠定基础。
误差理论与数据处理
第一节 研究误差的意义
钱学森(1911- )
信息技术包括测量 技术、计算机技术 和通信技术，测量 技术是信息技术的 关键和基础。
钱学森
误差理论与数据处理
第一节 研究误差的意义
王大珩(1915- )
仪器仪表是工业生产 的“倍增器”，是高 新技术和科研的“催 化剂”，在军事上体 现的是“战斗力”。
xm x
xm x
s%
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限xm成 正比
误差理论2.5级、量程为100V的电压表，发现在 50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差 均小于2V，问这只电压表是否合格？ 【解】 由公式2，该电压表的引用误差为
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法
误差（Error）： 误差 ＝ 测得值 － 真值
真值（True Value）： 观测一个量时，该量本 身所具有的真实大小。
分类：
三角形内角之 和恒为180º
一个整圆周角 为360º
理论值 约定真值
国际千克基准
1Kg
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法