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一. 数学思想方法的三个层次:
数学一般方法 配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等 分析法、综合法、 归纳法、反证法等 函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
C
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点 （点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。
（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
（２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象 限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶 ｙ 点的三角形相似ห้องสมุดไป่ตู้求点Ｐ的坐标。
Ｐ
Ａ Ｏ
图１ Ｅ
Ｄ
58 Ｂ Ｑ 2(2t 21) 16 t , t 5 图２ 过点Q作QE AD，垂足为E， PD 2t , ED QC t , PE t ,
Ｃ
QE 12 30 在RtPEQ中， QPE tan , BQP QPE , PE t 29 30 tan BQP 29
图1
由BP 2 BQ 2得：（ 2t ) 2 12 2 (16 t ) 2 , 16
③若PB PQ，由PB 2 PQ 2得：t 2 12 2 (16 2t ) 2 12 2 ,
16 , t 2 16 (不符合题意，舍去） 3 7 16 综合上面的讨论可知：当t 秒或t 秒时，以B、P、Q三点为顶点的 2 3 三角形是等腰三角形。 整理得： 2 64t 256 0, 解得，t1 3t
B O A
P
Q 解：∵OQ=OC，OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ， ∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1 0 又∠QPO=∠OCP+∠COP， (180 －x)=x+300, 2
1 1 0－∠OQP）= （1800－x) ∴∠QPO= 2 （180 2
（3）由图 可知：CM PD 2t , CQ t , 1 若B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形， 可分为三种情况；
①若PQ BQ。在RtPMQ中，PQ 2 t 2 12 2.
由PQ 2 BQ 2得：t 2 12 2 (16 t ) 2 , 解得t 7 . 2 2 ②若BP BQ。在RtPMB中，BP 2 16 2t） 12 2 （ 即3t 2 32t 144 0, 704 0, 3t 2 32t 144 0无实数根， PB BQ。
A A B
C
B
C
B C A
7.半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长 为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一 个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的 等腰三角形的面积？
解：分三种情况计算： ⑴当AE=AF=5厘米时（图一）
解：（1）如图1所示，过点P作PMBC， 垂足为M，则四边形PDCM为矩形。
PM DC 12 QB 16 t 1 12 (16 t ) 96 6t 12 （2）如图2所示，由OAP OBQ S
AP AO 1 得： BQ OB 2 AP 2t 21，BQ 16 t
Ｏ
Ａ Ｃ
Ｂ
Ｘ Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
PD (2) 当 △ PDB ∽ △ BOC时， BO = m 1 有Ｐ（ｍ， 2 － 2 ） BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时， 有P（m, 2m－2）；
Ａ Ｃ Ｏ Ｂ
P
Ｘ Ｄ
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC， C 90°，BC 16，DC 12， AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求 BQP 的正切值； （3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等 腰三角形？ (4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存 在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
S AEF 1 25 AE AF 2 2
⑵当AE=EF=5厘米时（图2）
BF EF 2 BE 2 5 2 3 2 4
S AEF 1 AE BF 10 2
⑶当AE=EF=5厘米时（图3）
DF EF 2 DE 2 5 2 4 2 3
∴ S AEF
1 15 AE DF 2 2
三.与相似三角形有关的分类
9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边 从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开 始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒 表示移动的时间（0＜x＜6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积；
80° 20° 80°
B
65°
35°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C 在O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O 不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么 位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的 C 度数。
D Q C
提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、
A B P
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒） （2）在△QAC中，S= 1 QA· DC=1（ 6－t)· 12=36－６ｔ 2 2 在△APC中，S= 1 AP· BC=1·２ｔ· ６＝６ｔ D 2 2 QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) Q 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 P （3）根据题意，可分为两种情况来研究 QA AP 6 t 2t 在矩形ABCD中：①当 AB =BC 时，△QAP∽△ABC，则12 = 6 ， 6 解得t= 5 =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 QA AP 6 t 2t ②当 BC AB 时，△PAQ∽△ABC，则 6 = 12 ， = 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 A B
1 ∴∠OPQ= 2 （1800－x)= 1x. 2
A P
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP, 1 1 ∴∠QPO= ∠OQC= x, 2 2 1 又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+ 2 x,
得到x=200 即∠OCP=200 P B Q
解得x=400, 即∠OCP=400 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在 线段OB上。
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时， ∵∠OQC=∠OCQ=1800－ｘ，
Q C B O
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴1800－x=x+300 解得x=1000 即∠OCP=1000
150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
110° 20° 50°
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110° 20° 50°
C
20° 20°
B
C
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
A C
分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。 分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、 有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系 和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类， 如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几 何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶 角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（1 a=9,交点为（-1，0）或（ 3 1，0）； 3
当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0. 解得a=1或 ，0）
二.图形位置的分类
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ
一.与概念有关的分类
1.
一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b -2=6k+b -5=6k+b -2=-3k+b
1 1 解析式为 Y= 3 x-4, 或 y=- 3 x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值 与交点坐标。
C
O
A
C
4．在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长 分别是 3 、 2 ， 则∠BAC的度数是 。
A A
B
5．△ABC是半径为2cm的圆的 内接三角形， 若BC=2 3cm,则角A的度数 是 。
B
C
C
B A
C
6．在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆 心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
数学一般方法 配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等 分析法、综合法、 归纳法、反证法等 函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点，将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础，比较是分类 的前提，分类是比较的结果。 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结 果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。 分类后，对每个类进行研究，使问题在各种 不同的情况下，分别得到各种结论，这就是 讨论。
C
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点 （点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。
（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
（２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象 限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶 ｙ 点的三角形相似ห้องสมุดไป่ตู้求点Ｐ的坐标。
Ｐ
Ａ Ｏ
图１ Ｅ
Ｄ
58 Ｂ Ｑ 2(2t 21) 16 t , t 5 图２ 过点Q作QE AD，垂足为E， PD 2t , ED QC t , PE t ,
Ｃ
QE 12 30 在RtPEQ中， QPE tan , BQP QPE , PE t 29 30 tan BQP 29
图1
由BP 2 BQ 2得：（ 2t ) 2 12 2 (16 t ) 2 , 16
③若PB PQ，由PB 2 PQ 2得：t 2 12 2 (16 2t ) 2 12 2 ,
16 , t 2 16 (不符合题意，舍去） 3 7 16 综合上面的讨论可知：当t 秒或t 秒时，以B、P、Q三点为顶点的 2 3 三角形是等腰三角形。 整理得： 2 64t 256 0, 解得，t1 3t
B O A
P
Q 解：∵OQ=OC，OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ， ∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有：
（1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x,
1 0 又∠QPO=∠OCP+∠COP， (180 －x)=x+300, 2
1 1 0－∠OQP）= （1800－x) ∴∠QPO= 2 （180 2
（3）由图 可知：CM PD 2t , CQ t , 1 若B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形， 可分为三种情况；
①若PQ BQ。在RtPMQ中，PQ 2 t 2 12 2.
由PQ 2 BQ 2得：t 2 12 2 (16 t ) 2 , 解得t 7 . 2 2 ②若BP BQ。在RtPMB中，BP 2 16 2t） 12 2 （ 即3t 2 32t 144 0, 704 0, 3t 2 32t 144 0无实数根， PB BQ。
A A B
C
B
C
B C A
7.半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个？
8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长 为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一 个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的 等腰三角形的面积？
解：分三种情况计算： ⑴当AE=AF=5厘米时（图一）
解：（1）如图1所示，过点P作PMBC， 垂足为M，则四边形PDCM为矩形。
PM DC 12 QB 16 t 1 12 (16 t ) 96 6t 12 （2）如图2所示，由OAP OBQ S
AP AO 1 得： BQ OB 2 AP 2t 21，BQ 16 t
Ｏ
Ａ Ｃ
Ｂ
Ｘ Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
PD (2) 当 △ PDB ∽ △ BOC时， BO = m 1 有Ｐ（ｍ， 2 － 2 ） BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时， 有P（m, 2m－2）；
Ａ Ｃ Ｏ Ｂ
P
Ｘ Ｄ
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC， C 90°，BC 16，DC 12， AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求 BQP 的正切值； （3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等 腰三角形？ (4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存 在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
S AEF 1 25 AE AF 2 2
⑵当AE=EF=5厘米时（图2）
BF EF 2 BE 2 5 2 3 2 4
S AEF 1 AE BF 10 2
⑶当AE=EF=5厘米时（图3）
DF EF 2 DE 2 5 2 4 2 3
∴ S AEF
1 15 AE DF 2 2
三.与相似三角形有关的分类
9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边 从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开 始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒 表示移动的时间（0＜x＜6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积；
80° 20° 80°
B
65°
35°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C 在O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O 不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么 位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的 C 度数。
D Q C
提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、
A B P
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t, QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒） （2）在△QAC中，S= 1 QA· DC=1（ 6－t)· 12=36－６ｔ 2 2 在△APC中，S= 1 AP· BC=1·２ｔ· ６＝６ｔ D 2 2 QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) Q 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 P （3）根据题意，可分为两种情况来研究 QA AP 6 t 2t 在矩形ABCD中：①当 AB =BC 时，△QAP∽△ABC，则12 = 6 ， 6 解得t= 5 =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 QA AP 6 t 2t ②当 BC AB 时，△PAQ∽△ABC，则 6 = 12 ， = 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 A B
1 ∴∠OPQ= 2 （1800－x)= 1x. 2
A P
（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，
∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP, 1 1 ∴∠QPO= ∠OQC= x, 2 2 1 又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+ 2 x,
得到x=200 即∠OCP=200 P B Q
解得x=400, 即∠OCP=400 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在 线段OB上。
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时， ∵∠OQC=∠OCQ=1800－ｘ，
Q C B O
又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴1800－x=x+300 解得x=1000 即∠OCP=1000
150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
110° 20° 50°
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
A 110° 20° 50°
C
20° 20°
B
C
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
A C
分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨 论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧， 做到举一反三，触类旁通。 分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、 有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系 和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类， 如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几 何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶 角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（1 a=9,交点为（-1，0）或（ 3 1，0）； 3
当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0. 解得a=1或 ，0）
二.图形位置的分类
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ
一.与概念有关的分类
1.
一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
-5=-3k+b -2=6k+b -5=6k+b -2=-3k+b
1 1 解析式为 Y= 3 x-4, 或 y=- 3 x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值 与交点坐标。
C
O
A
C
4．在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长 分别是 3 、 2 ， 则∠BAC的度数是 。
A A
B
5．△ABC是半径为2cm的圆的 内接三角形， 若BC=2 3cm,则角A的度数 是 。
B
C
C
B A
C
6．在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆 心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？