必修4 第二章 平面向量导学案
高中数学 第二章 平面向量及运算法则复习导学案 新人教版必修4
【课前预习】阅读教材P74-P113完成下面填空1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量 （2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a（3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量2、向量运算的两个法则：加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；（2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足：（1）()a λμ=（2）(λμ+)a =（3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若|a |=|b |,则a =b 。
⑥若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线其中正确命题的个数是（ ）D B A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( ) A.B. C. D.3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ）A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BCC ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ）A.AB BC CA ++B.OA OC BO CO +++C.AB AC BD CD -+-D.NQ QP MN MP ++-强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实 5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( )A. 0AD =B. 00AB AD ==或C. ABCD 是矩形D. ABCD 是正方形 6、如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量O A D B C M N（1）如果=1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ．求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1． 下面的几个命题：共线与则b a ==；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若,a b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >；④由于0方向不定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,,a b +≤+≤其中正确命题的序号是：（ ）A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2．设D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AB →＝－12 a －b ②BE →＝a ＋12 b ③CF →＝－12 a ＋12b ④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.43.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．1± D ．0互助小组长签名：。
高中数学 第二章《平面向量》导学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》导学案（复习课）【学习目标】1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.4.了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）.6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.8.数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.【导入新课】向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.新授课阶段例1 已知(3,0),(,5)a b k ==r r ，若a 与b 的夹角为43π，则k 的值为_______.解析：例2 对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+ ｜b ｜. 证明：例3 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c ，i ，j . 解：例4 下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b2③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ）A ．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤ 解析：例 5 已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r，（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值． 解：例6 已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 解：课堂小结本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤.作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=；②||||=；③||||+=-； ④222||||4||,AC BD AB +=u u u ru u u ru u u r其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4π，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，D 为BC 的中点，则||AD uuu r为（ ）．A ．215B ．215C ．7D ．18二、填空题12．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 13．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .14．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= . 15．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 .三、解答题16．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥.17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.参考答案 例1解析：如图1，设a OA =，43π=∠AOC ，直线l 的方程为5=y ，设l 与OC 的交点为B ，则OB 即为b ， 显然()5,5-=b ，5-=∴k . 例2证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且 ｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜a ｜+｜b ｜；(2)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a .b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞|b |，则|a +b |=|a |-|b |.同理可证另一种情况也成立.例3解：建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是=－3, =， =-3.所以-3=33+，即=3－33.例4解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C 例 5解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，∵(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r， ∴(3,1)AB =u u u r ，(1,)BC m m =---u u u r，而AB u u u r 与BC uuur 不平行，xy ABOCab图1即31m m -≠--，得12m ≠， ∴实数12m ≠时满足条件． （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r，而(3,1)AB =u u u r ，(2,1)AC m m =--u u u r，∴3(2)(1)0m m -+-=，解得74m =． 例6解：(1,)(2,3)(1,3),BC AC AB k k =-=-=--u u u ru u u ru u u rQ0(1,)(1,3)0C RT AC BC AC BC k k ∠∠⇒⊥⇒⋅=⇒⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u rQ 为2313130.k k k ±⇒-+-=⇒=拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 ABCBCDACABA11．提示：A 11()(6)22AD AC AB p q =+=-u u u r u u u r u u u r ur r ，∴222211||||(6)361222AD AD p q p p q q ==-=-+u u u r u u u r u r r u r u r r r g2211536(22)12223cos 3242π=⨯-⨯⨯⨯+=． 二、填空题：12． 120° 13． 矩形 14、 1± 15． 2- 三、解答题： 16．证：()()22b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+Θ2222220.a ab b a ab b ab ⇒++=-+⇒=r r r r r r r r r r,a b r rQ 又为非零向量,.a b ∴⊥r r17．()121212234,BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u rQ若A ，B ，D 三点共线，则与共线，,AB BD λ∴=u u u r u u u r设即121224.e ke e e λλ+=-u r u u r u r u u r 由于12e e u r u u r 与不共线,可得： 11222,4.e e ke e λλ==-u r u ru u r u u r故2,8.k λ==-。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
高中数学必修 4 第二章平面向量教课设计（ 12课时 )本章内容介绍向量这一看法是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具 .向量看法引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理即可转变为向量的加（减）法、数乘向量、数目积运算，从而把图形的基天性质转变为向量的运算系统.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实质背景.在本章中，学生将认识向量丰富的实质背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数目积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.而后介绍本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的看法，并说了然向量与数目的差别，了向量的一些基本看法 . （让学生对整章有个初步的、全面的认识 .）第 1课时§2.1 平面向量的实质背景及基本看法教课目标：1.认识向量的实质背景，理解平面向量的看法和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等看法；并会划分平行向量、相等向量和共线向量 .2.经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.3.经过学生对向量与数目的鉴别能力的训练，培育学生认识客观事物的数学实质的能力.教课要点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的看法，会表示向量.教课难点：平行向量、相等向量和共线向量的差别和联系.学法：本节是本章的入门课，看法许多，但难度不大.学生可依据在原有的位移、力等物理看法来学习向量的看法，联合图形实物划分平行向量、相等向量、共线向量等看法.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、情形设置：如图，老鼠由 A 向西北逃跑，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）C结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A DB 解析：老鼠逃跑的路线AC 、猫追赶的路线BD 实质上都是有方向、有长短的量 .前言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的看法：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数目与向量有何差别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何差别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向同样或相反，这组向量有什么关系？7、假如把一组平行向量的起点所有移到一点O，这是它们能否是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）研究学习1、数目与向量的差别：数目只有大小，是一个代数目，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，两重性，不可以比较大小.2.向量的表示方法：a①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂA(起点)（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；B （终点）④向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.3.有向线段：拥有方向的线段就叫做有向线段，三个因素：起点、方向、长度.向量与有向线段的差别：（1）向量只有大小和方向两个因素，与起点没关，只要大小和方向同样，则这两个向量就是同样的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个因素，起点不一样，尽管大小和方向同样，也是不一样的有向线段 .4、零向量、单位向量看法：①长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写差别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都不过限制了大小.5、平行向量定义：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一直量平行.说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完好定义；（ 2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.说明：（ 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，而且与有．．向线段的起点没关.．．．．．．．．7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同向来线上（与有向线段的．．．．．．起点没关）．．．．． .说明：（ 1）平行向量可以在同向来线上，要差别于两平行线的地点关系；（2）共线向量可以相互平行，要差别于在同向来线上的线段的地点关系.（四）理解和牢固：例1 书籍 86页例 1.例2判断：（1）平行向量能否必定方向同样？（不必定）（2）不相等的向量能否必定不平行？（不必定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同向来线上，则这两个向量必定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向同样）（7）共线向量必定在同向来线上吗？（不必定）例 3 以下命题正确的选项是（）A. ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四极点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有同样起点的两个非零向量不平行解：因为零向量与任一直量都共线，所以 A 不正确；因为数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同向来线上，而此时就构不行四边形，根本不行能是一个平行四边形的四个极点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向同样或相反即可，与起点能否同样没关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来下手考虑，倘若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ最少有一个是零向量，而由零向量与任一直量都共线，可有ａ与ｂ共线，不吻合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选 C.例 4如图，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、 OB 、 OC 相等的向量 .变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：能否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE ）课堂练习：1．判断以下命题能否正确，若不正确，请简述原由.①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、 B、 C、D 四点必在向来线上；②单位向量都相等；③任一直量与它的相反向量不相等；④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝ DC⑤一个向量方向不确立当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不一样，则终点必定不一样.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向同样或相反即可，其实不要求两个向量AB 、 AC 在同向来线上.②不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向其实不确立.③不正确 .零向量的相反向量还是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确 .⑥不正确 .如图AC与BC共线，虽起点不一样，但其终点却相同. 2．书籍 88 页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书籍 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2课时§向量的加法运算及其几何意义教课目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量，培育数形联合解决问题的能力；3、经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；教课要点：会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量.教课难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义.联合图形掌握向量加法的三角形法规和平行四边形法规 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和联合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、设置情形：1、复习：向量的定义以及相关看法重申：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向同样的向量相等.所以，我们研究的向量是与起点没关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移就任何地点2、情形设置：A B C（1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到C，则两次的位移和：AB BC AC（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， C A B 则两次的位移和：AB BC ACC （3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：AB BC AC A BC （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB BC AC二、研究研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B２、三角形法规（“首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量a、ｂ .在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a 与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂAB BC AC ，规定： a + 0-= 0 + aaaaC bbａa+ b ｂA a+ bｂaB研究：（ 1）两相向量的和还是一个向量；（ 2）当向量a与b不共线时， a + b 的方向不一样向，且|a + b |<|a |+| b |；（ 3）当a与b同向时，则a + b、a、b同向，O a A且| a + b |=| a |+|b |，当a与b反向时，若 | a |>|b |，bb b a则 a + b 的方向与 a 同样，且| a + b |=| a |-| b |；若a B | a |<| b |，则a + b的方向与b同样，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推行到n个向量连加３．例一、已知向量 a 、 b ，求作向量 a + b作法：在平面内取一点，作OA a AB b ，则 OB a b .４．加法的交换律和平行四边形法规问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 能否同样？考据结果同样从而获得：１）向量加法的平行四边形法规（对于两个向量共线不适应）aa +b = b + a２）向量加法的交换律：５．向量加法的联合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )证：如图：使AB a ，BC b ，CD c则( a + b ) + c = AC CD AD ， a + ( b + c ) =AB BD AD∴( a + b ) + c = a + ( b + c )从而，多个向量的加法运算可以依据任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（ P94— 95）略练习： P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和联合律；３、注意： | a + b | ≤ | a | + | b |，当且仅当方向同样时取等号.五、课后作业：P103 第２、３题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从 A 点出发以23km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，求水流的速度.2、一艘船距对岸 4 3km ，以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实质航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从 A 点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，方向与水流间的夹角是60，求v1和 v2.4、一艘船以5km/h的速度内行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实质航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力 F 与F1的夹角是60，|F|=10N 求 F1和 F2的大小 .６、用向量加法证明：两条对角线相互均分的四边形是平行四边形第 3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教课目标：1.认知趣反向量的看法；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.经过论述向量的减法运算可以转变为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转变的辩证思想 .教课要点：向量减法的看法和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、复习：向量加法的法规：三角形法规与平行四边形法规向量加法的运算定律：DCB BA BA例：在四边形中，.解： CB BA BA CB BA AD CDA B二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（ 1）“相反向量”的定义：与 a 长度同样、方向相反的向量.记作a（ 2）规定：零向量的相反向量还是零向量. ( a) = a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0假如 a、 b 互为相反向量，则 a =b， b = a， a + b = 0（ 3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .即： a b = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b3．求作差向量：已知向量a、 b，求作向量∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a a O作法：在平面内取一点O，bba bBCa作 OA = a，AB = b则 BA = a b即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 .注意： 1AB 表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量， a b = a + ( b)明显，此法作图较繁，但最后作图可一致.B’a bB a+ ( b)Ob ab bAB4．研究：１）假如从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.a ab a bbO B A B’O BAa ab a bb O A b B BO A２）若 a∥b，如何作出 a b？三、例题：例一、（ P９７例三）已知向量a、b、 c、 d，求作向量 a b、 c d.解：在平面上取一点O，作OA = a，OB = b，OC = c，OD = d，作 BA ，DC ，则BA= a b，DC = c db aA BD dcCOD CA B例二、平行四边形ABCD 中，AB a，AD b ，用 a、 b 表示向量AC 、 DB .解：由平行四边形法规得：，DB= AB AD= a bAC = a + b变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|）变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？（ a， b 相互垂直）变式三： a+b 与 a b 可能是相当向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）练习：Ｐ 98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业： P103 第 4、５题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在△ABC中，BC=a，CA=b ，则AB等于 ()A. a+bB.- a+(- b) D. b-a为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d ，则A. a+b+c+d=0３ .如图，在四边形B.a-b+c-d=0 C.a+b -c-d=0ABCD 中，依据图示填空：D.a-b -c+d=0a+b=， b+c=，c-d=， a+b+c-d=.４、以以下图，O 是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确立a、b 、 c、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC，并画出 b -c 和a+d.第３题平面向量的基本定理及坐标表示第 4课时§ 2.3.1 平面向量基本定理教课目标：（1）认识平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）可以在详尽问题中合适地采用基底，使其余向量都可以用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ ||a |；（ 2）λ >0 时λa与a方向同样；λ <0 时λa与a方向相反；λ =0 时λa =02．运算定律联合律：λ ( μa )=( λ μ)；分配律： (λ +μ)=λa +μ，λ ( a +b)= λa+λba a a3. 向量共线定理向量 b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1e1+λ2e2.研究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . 1λ，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目三、讲解模范：例 1 已知向量e1，e2求作向量 2.5 e1 +3 e2 .例 2如图ABCD的两条对角线交于点M ，且AB = a，AD = b ，用a， b 表示 MA ， MB ， MC 和 MD例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E， O 是任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OE例 4（ 1）如图，OA，OB不共线，AP =t AB(t R)用OA，OB表示OP.uuur uur（ 2 ）设OA、OB不共线，点P 在 O、A、B所在的平面内，且uuur uuur uuurR) .求证：A、B、P三点共线.OP(1t )OA tOB (t例 5已知 a=2 e121212不共线，向量12-3e ， b= 2e +3e ，此中 e ， e c=2e -9e，问能否存在这样的ur r r实数、 ,使 d a b 与c共线.四、课堂练习：1.设 e 、 e 是同一平面内的两个向量，则有()12A. e1、 e2必定平行1、 e2的模相等C.同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+μe2 (λ、μ∈ R )D.若 e1、 e2不共线，则同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、 u∈R )2.已知矢量 a = e1-2e2， b =2e1+e2，此中 e1、 e2不共线，则a+b 与 c =6 e1-2e2的关系A. 不共线B.共线C.相等D. 没法确立3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于 ( )4.已知 a、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈ R)，若 c 与 b 共线，则λ1=.5.已知λ1＞ 0，λ2＞ 0，e1、e2是一组基底，且 a =λ1e1+λ2e2，则 a 与 e1_____，a 与 e2_________( 填共线或不共线 ).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记：第 5课时§—§ 2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）理解平面向量的坐标的看法；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点：平面向量的坐标运算教课难点：向量的坐标表示的理解及运算的正确性.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1 e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . λ1，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y轴方向同样的两个单位向量基底 .任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得i 、j 作为a xi yj ○1我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a ( x, y) ○2此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 .与a相等的向量的坐标也为( x, y).．．．．．．．．．．．特别地， i(1,0) ， j(0,1)， 0 (0,0) .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a ，则点A的地点由 a 独一确立.设 OA xi yj ，则向量OA的坐标(x, y)就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标(x, y)也就是向量 OA 的坐标.所以，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数独一表示 .2．平面向量的坐标运算（1）若a ( x1 , y1 )，b ( x2 , y2 )，则 a b(x1x2 , y1y2 )，a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i 、 j ，则 a b( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1x2 )i ( y1y2 ) j即 a b(x1x2 , y1y2 ) ，同理可得a b(x1x2 , y1y2 )（2）若A (x1,y1)， B( x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB= OB OA=( x 2，y2)(x1， y1)= (x2x1，y2y1)（3）若a(x, y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.设基底为 i 、j ，则a( xi yj )xi yj ，即 a ( x, y)三、讲解模范：uuur例 1 已知 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，求AB的坐标 .r r r r r r r r例 2 已知a =(2 ，1)，b =(-3 ，4) ，求a + b，a - b，3 a +4 b的坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个极点 .解：当平行四边形为 ABCD 时，由 AB DC 得 D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得 D 2=(4 ， 6)，当平行四边形为 DACB 时，得 D 3=( 6， 0)例 4 已知三个力 F 1 (3， 4)， F 2 (2， 5)， F 3 (x ， y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0 ，求 F 3 的坐标 .解：由题设 F 1 + F 2 +F 3=0得： (3， 4)+ (2 ， 5)+(x ， y)=(0 ， 0)32 x 0x 5 ∴ F 3 ( 5，1)即：5 y∴14 y四、课堂练习 ：1．若 M(3 ， -2)N(-5 ， -1) 且 MP1MN ，求 P 点的坐标22．若 A(0 ， 1)， B(1， 2)，C(3 ， 4) ，则AB 2BC = .3．已知：四点 A(5 ， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)，D(5 ， -3)， 求证：四边形 ABCD是梯形 .五、小结 （略）六、课后作业 （略）七、板书设计 （略）八、课后记：第 6课时§ 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教课目标：（ 1）理解平面向量的坐标的看法；（ 2）掌握平面向量的坐标运算；（ 3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点： 平面向量的坐标运算教课难点： 向量的坐标表示的理解及运算的正确性讲课种类： 新讲课教 具：多媒体、实物投影仪教课过程 ：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y轴方向同样的两个单位向量 i、 j.a ，由平面作为基底 任作一个向量 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axiyj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，特别地，i (1,0) ， j (0,1) ， 0(0,0) .2．平面向量的坐标运算若 a ( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b(x1x , y1y ) ，a b(x1x , yy ) ，a ( x, y).22212若 A( x 1 , y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1二、讲解新课：a ∥b ( b 0 )的充要条件是 x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1，y )， b=(x 2，y )此中 b a.12x 1 x 2 由 a =λ b 得， (x 1， y 1) = λ (x 2， y 2)消去λ， x 1y 2-x 2y 1=0y 1y 2研究：（ 1）消去λ时不可以两式相除，∵y 1， y 2 有可能为0， ∵ b 0∴ x 2， y 2 中最少有一个不为 0（ 2）充要条件不可以写成y 1 y 2 ∵ x 1， x 2 有可能为 0x 1x 2(3) 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥ b( b 0ab)x 1 y 2 x 2 y 1 0三、讲解模范：例 1 已知 a =(4 ，2) ， b =(6 ， y)，且 a ∥ b ，求 y.例 2 已知 A(-1 ， -1) ， B(1 ，3) ， C(2 ， 5)，试判断 A ， B ， C 三点之间的地点关系 .例 3 设点 P 是线段 P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是 (x1， y1)， (x2， y2).(1)当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标；(2) 当点 P 是线段 P1P2的一个三均分点时，求点P 的坐标 .例 4 若向量a =(-1 ，x) 与b =(-x ， 2)共线且方向同样，求x解：∵ a =(-1，x)与b=(-x，2)共线∴ (-1)×2- x?(-x)=0∴ x=±2∵ a与b方向同样∴ x=2例 5 已知A(-1 ， -1)， B(1 ， 3)， C(1， 5) ， D(2 ， 7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2 ，4)，CD=(2-1 ， 7-5)=(1 ， 2)又∵ 2× 2-4× 1=0∴ AB∥ CD又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)， AB =(2，平行∴A ，B，C 不共线∴AB与CD不重合四、课堂练习：1.若 a=(2 ， 3)， b=(4， -1+ y) ，且 a∥ b，则 y=（）4)，2× 4-2× 6 0∴AB ∥ CD∴ AC与AB不2.若A(x， -1) ， B(1，3) ，C(2，5)三点共线，则x 的值为（）3.若AB=i+2 j ，DC=(3- x)i+(4- y)j(此中i 、j的方向分别与x、y 轴正方向同样且为单位向量). AB与 DC共线，则x、 y的值可能分别为（）A.1 ， 2， 24.已知 a=(4 ， 2)，b=(6， y)，且5.已知 a=(1 ， 2)，b=( x， 1)，若6.已知□ABCD 四个极点的坐标为， 2 D.2 ，4a∥b，则 y=.a+2b 与 2a-b 平行，则x 的值为.A(5， 7)，B(3， x)，C(2，3)， D(4， x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：§ 平面向量的数目积第7课时一、 平面向量的数目积的物理背景及其含义教课目标：1.掌握平面向量的数目积及其几何意义；2.掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；3.认识用平面向量的数目积可以办理相关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件 .教课要点：平面向量的数目积定义教课难点：平面向量数目积的定义及运算律的理解和平面向量数目积的应用讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪内容解析：本节学习的要点是启示学生理解平面向量数目积的定义，理解定义以后即可指引学生推 导数目积的运算律， 而后经过看法辨析题加深学生对于平面向量数目积的认识 .主要知识点： 平面向量数目积的定义及几何意义； 平面向量数目积的5 个重要性质； 平面向量数目积的运算律 .教课过程：一、复习引入：1． 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λ a .2．平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使a =λ 1 e 1 +λ 2 e 23．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量 i 、 j.a ，由平面向作为基底 任作一个向量 量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 a xi yj把 (x, y)叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)4．平面向量的坐标运算若 a( x1 , y1 )， b( x2, y2 ) ，则a b(x1x2 , y1y2 ) ，a b( x1x2 , y1y2 )，a (x,y).若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y15．a∥b( b0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l 上的两点，P 是l 上不一样于P1，P2的任一点，存在实数λ，使P1 P= λPP2，λ 叫做点P分P1 P2所成的比，有三种情况：λ>0( 内分 )(外分 ) λ <0 ( λ <-1)( 外分 )λ <0(-1<λ <0)7.定比分点坐标公式：若点P １ (x1， y1 ) ，Ｐ２ (x2， y2) ，λ为实数，且P1P ＝λPP2，则点P 的坐标为（x1x2 ,y1y2），我们称λ为点P分P1P2所成的比. 118.点 P 的地点与λ的范围的关系：①当λ＞０时， P1 P 与 PP2同向共线，这时称点P 为P1P2的内分点 .②当λ＜０ (1)时， P1P 与 PP2反向共线，这时称点P 为P1P2的外分点 .9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，a b1b .可得OP=a11110．力做的功：W = |F| |s|cos ，是 F 与 s 的夹角 .二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的看法已知非零向量ａ与ｂ，作 OA ＝ａ， OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 .说明：（ 1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（ 2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（ 3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量一定是同起点的.范围0 ≤ ≤180C2．平面向量数目积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数目|a||b|cos叫ａ与ｂ的数目积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π） .并规定0 与任何向量的数目积为0.研究：两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别（1）两个向量的数目积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数目积称为内积，写成个向量的数目的积，书写时要严格划分也不可以用“×”取代.a b；今后要学到两个向量的外积a× b，而 ab 是两.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不可以省略，（3）在实数中，若b=0.因为此中cosa 0，且有可能为a b=0，则0.b=0；但是在数目积中，若 a 0，且 a b=0，不可以推出（4）已知实数a、 b、 c(b0)，则ab=bc a=c .但是 a b = b c a = c如右图： a b = |a||b|cos= |b||OA|， b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c但a c(5) 在实数中，有( a b)c = a(b c)，但是 (a b)c a(b c)明显，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与c 不共线.3．“投影”的看法：作图。
2020年高中数学新人教A版必修4第2章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案
2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P 74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？5．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？ [要点梳理]1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量． (2)向量的表示2.向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)向量的长度表示：向量AB →，a 的长度分别记作：|AB →|，|a |. (3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a ＝b .(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量平行．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．两个向量能比较大小．( ) 2．向量的模是一个正实数．( ) 3．单位向量的模都相等．( ) 4．向量AB →与向量BA →是相等向量．( )[答案] 1.× 2.× 3.√ 4.×题型一向量的有关概念思考：已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示：②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．(填序号)①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．[思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．[跟踪训练]下列说法错误的有__________．(填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行；③当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|>|b|，则a>b.[解析] ①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③题型二向量的表示思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[解] (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[跟踪训练]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.[解] (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km. 题型三 相等向量与共线向量 思考：两个向量相等的条件是什么？ 提示：方向相同，模相等．如图所示，四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形．(1)找出与向量AB →共线的向量； (2)找出与向量AB →相等的向量．[思路导引] 利用共线向量与相等向量的定义求解．[解] (1)依据图形可知DC →，ED →，EC →与AB →方向相同，BA →，CD →，DE →，CE →与AB →方向相反，所以与向量AB →共线的向量为BA →，CD →，DC →，ED →，DE →，EC →，CE →.(2)由四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形，知DC →，ED →与AB →长度相等且方向相同，所以与向量AB →相等的向量为DC →和ED →.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．[跟踪训练]如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH →相等的向量有__________；(2)与向量GH →共线，且模相等的向量有__________； (3)与向量EA →共线，且模相等的向量有__________． [解析] 向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．[答案] (1)LB ′→，HC →(2)EC ′→，LE →，LB ′→，GB →，HC → (3)EF →，FB →，HA ′→，HK →，KB ′→课堂归纳小结1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题 (1)向量的有关概念，见典例1； (2)向量的表示，见典例2； (3)相等向量与共线向量，见典例3. 3．本节课要注意两个区别 (1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向． ②数量可以比较大小，向量不能比较大小． (2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段.1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )A ．单位圆B ．一段弧C ．线段D ．直线[解析] 因为这些向量都是单位向量，因此终点轨迹为单位圆． [答案] A2．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小[解析] 向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小． [答案] D 3.如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC →[解析] 由题意知ABCD 为平行四边形，11 ∴AO →＝OC →[答案] D4．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示B ．方向是由M 指向NC ．起点是MD ．终点是M[解析] 向量MN →的终点为N ，故D 错．[答案] D5．若点M 是△ABC 的外心，则向量AM →，BM →，CM →是( )A ．有共同起点的向量B ．相等向量C ．共线向量D ．模相等的向量[解析] ∵向量AM →、BM →、CM →的长度都等于△ABC 外接圆的半径，∴选D.[答案] D。
人教A版精编高中数学必修4第二章平面向量导学案
第二章 平面向量1.向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.一、向量a 、b 共线例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向；(2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |.作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB →＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下：例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向.作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：二、向量a 、b 不共线如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则)(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O .第一步：作OA →＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA →与a 同向.第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB →作成与b 的方向相反.)第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB →即为a ＋b . 作图如下：(2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB →＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA →即为a －b . 作图如下：点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则)在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB →＝a ， AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .作图如下：点评.向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作AB →＝b ，可实际上作的是AB →＝－b .只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.2.向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解.(1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝124(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32b .点评.向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析.如图，因为MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →， 延长AM ，交BC 于D 点，所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. 答案.3点评.求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.解.因为DE ∥BC ，AD →＝23AB →，所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )，又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， 所以DN →＝12DE →＝13(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b ).点评.用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.3.平面向量的基本定理应用三技巧技巧一.构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋y 2e 2，则用⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2来求解.例1.在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →. 解.∵B ，P ，M 共线，∴存在常数s ，使BP →＝sPM →， 则OP →＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.即OP →＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )OA →＝s3(1＋s )a ＋11＋sb . ①同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →， 则OP →＝11＋t a ＋t 4(1＋t )b .②∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧11＋t ＝s 3(1＋s )11＋s ＝t4(1＋t )，解之得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝92t ＝83，∴OP →＝311a ＋211b .点评.这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.技巧二.构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解.例2.如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.(1)解.设OM →＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线， ∴12(m －1)－(－1)×n ＝0，∴m ＋2n ＝1.①而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线， ∴－14n －(m －14)＝0.∴4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明.EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ，∵EF →与EM →共线，∴(17－p )q －37×(－p )＝0. ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q＝1. 点评.这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三.将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解.例3.如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用向量p 表示CQ →.解.∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0，又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0， ∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0.而BQ →，QP →为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP →＝－QP →＝PQ →. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .点评.这里选取BQ →，QP →两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.4.直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析. 一、直线的方向向量 1.定义设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2→以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k )是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A ). 2.应用 (1)求直线方程例1.已知三角形三顶点坐标分别为A (2，－3)，B (－7，9)，C (18，9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程. 解.①求中线方程由于CB →＝(－25，0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →＝(－41，－12)，也就是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝1241(x －18)，整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程由于k AB ＝9＋3－7－2＝－43，因而AB 的方向向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－43，而AB 边上的高CE ⊥AB ，则直线CE 的方向向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝34(x －18)，整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程CB→|CB →|＝(－1，0)，CA →|CA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，则∠C 的内角平分线的方向向量为 CB→|CB →|＋CA→|CA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，－35，也就是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝13(x －18)，整理得x －3y ＋9＝0.点评.一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. (2)求直线夹角例2.已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π4，求m 的值.解.直线l 1的方向向量为v 1＝(－3，1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1，3m )， ∵l 1与l 2的夹角为π4，∴|cos〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m 2＝22， 化简得18m 2＋9m －2＝0.解得m ＝－23或m ＝16.点评.一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.二、直线的法向量 1.定义直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量.因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B ). 2.应用(1)判断直线的位置关系例3.已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值.解.直线l 1，l 2的法向量分别为n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a )，(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a (2a －1)＋(－1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴a ＝0或1时，l 1⊥l 2.(2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2－(2a －1)×(－1)＝0.解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1a≠2.∴a ＝－1±2时，l 1∥l 2.点评.一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(2)求点到直线的距离例4.已知点M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点. 求证：点M (x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.证明.设P (x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，B ).则M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上投影的长度，如图所示.d ＝|PM →|·|cos〈PM →，n 〉|＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|A 2＋B 2＝|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2.∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴Ax 1＋By 1＋C ＝0，∴Ax 1＋By 1＝－C ，∴d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.点评.同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.证明过程如下：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的投影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离.d ＝|P 1P 2→||cos 〈P 1P 2→，n 〉|＝|P 1P 2，→·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 2－x 1)＋B (y 2－y 1)|A 2＋B 2＝|(Ax 2＋By 2)－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.5.向量法证明三点共线平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 典例.已知OB →＝λOA →＋μOC →，其中λ＋μ＝1.求证：A 、B 、C 三点共线. 思路.通过向量共线(如AB →＝kAC →)得三点共线.证明.如图，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ，则OB →＝λOA →＋μOC →＝(1－μ)OA →＋μOC →.∴OB →－OA →＝μ(OC →－OA →)，∴AB →＝μAC →， ∴A 、B 、C 三点共线.思考.1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性；2.反之也成立(证明略)：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足OB →＝λOA →＋μOC →，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质；3.特别地，λ＝μ＝12时，OB →＝12(OA →＋OC →)，点B 为AC →的中点，揭示了△OAC 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例例1.如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线.思路分析.选择点B ，只须证明BN →＝λBM →＋μBC →，且λ＋μ＝1.证明.由已知BD →＝BA →＋BC →，又点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，得BN →＝13BD →＝13(BA →＋BC →)＝13BA →＋13BC →.又点M 是AB 的中点，∴BM →＝12BA →，即BA →＝2BM →.∴BN →＝23BM →＋13BC →.而23＋13＝1.∴M 、N 、C 三点共线. 点评.证明过程比证明MN →＝mMC →简洁.例2.如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与AB 相交于E ，求证：BE ＝14BA .思路分析.可以借助向量知识，只需证明：BE →＝14BA →，而BA →＝BO →＋BC →，又O 、D 、E 三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λ＋μ＝1，使BE →＝λBO →＋μBD →，从而得到BE →与BA →的关系.证明.由已知条件，BA →＝BO →＋BC →，又B 、E 、A 三点共线，可设BE →＝kBA →，则BE →＝kBO →＋kBC →，①又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ， 使BE →＝λBO →＋μBD →，且λ＋μ＝1. 又BD →＝13BC →，∴BE →＝λBO →＋13μBC →，②根据①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k ＝13μ，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，λ＝14，μ＝34.∴BE →＝14BA →，∴BE ＝14BA .点评.借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.6.平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍： 1.重心三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA →＋GB →＋GC →＝0或PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)(其中P 为平面任意一点).反之，若GA →＋GB →＋GC →＝0，则点G 是△ABC 的重心.在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33.例.已知△ABC 内一点O 满足关系OA →＋2OB →＋3OC →＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 的值. 解.如图，延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1.则OB 1→＝2OB →，OC 1→＝3OC →. 由条件，得OA →＋OB 1→＋OC 1→＝0， ∴点O 是△AB 1C 1的重心.从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积.∴S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S .于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3.点评.本题条件OA →＋2OB →＋3OC →＝0与三角形的重心性质GA →＋GB →＋GC →＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.引申推广.已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA →＋λ2OB →＋λ3OC →＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3. 2.垂心三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →或HA →2＋BC →2＝HB →2＋CA →2＝HC →2＋AB →2.反之，若HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →，则H 是△ABC 的垂心. 3.内心三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0.反之，若|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0，则点I 是△ABC 的内心. 4.外心三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA →＋OB →)·BA →＝(OB →＋OC →)·CB →＝(OC →＋OA →)·AC →＝0或|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.反之，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则点O 是△ABC 的外心.。
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理导学案
2.3.1.平面向量基本定理学习目标.1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一.平面向量基本定理思考1.如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案. 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2.如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 答案. 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示.梳理.(1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二.两向量的夹角与垂直思考 1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案. 存在夹角，不一样.思考2.△ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理.(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向. (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .类型一.对基底概念的理解例1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(..) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案.B解析.由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(..) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2答案.D解析.选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2(e 1－12e 2)，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合. 类型二.向量的夹角例2.已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解.如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思与感悟.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.答案.90°解析.由AO →＝12(AB →＋AC →)知，O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 的中点，故线段BC 是圆O 的直径，从而∠BAC ＝90°，因此AB →与AC →的夹角为90°.类型三.平面向量基本定理的应用例3.如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.解.∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解.取CF 的中点G ，连接EG . ∵E 、G 分别为BC ，CF 的中点，∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 反思与感悟.将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练3.如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.解.OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →. 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则 OP →＝OM →＋mMB →＝13OA →＋m (OB →－OM →)＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ， OP →＝ON →＋nNA →＝12OB →＋n (OA →－ON →)＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a . ∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .1.下列关于基底的说法正确的是(..)①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③ 答案.C解析.零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确. 2.在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于(..) A.30° B.60° C.120° D.150°答案.D解析.由向量夹角定义知，AC →与BA →的夹角为150°.3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 答案.－15.－12解析.∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.答案.a ＋b .2a ＋c解析.由平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，以a ，c 为基底时将BD →平移，使点B 与点A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解.连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形. 依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF → ＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.课时作业一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(..)A.e1＋e2和e1－e2B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D.e1和e1＋e2答案.B解析.B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.2.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(..)A.60°B.120°C.30°D.150°答案.A3.如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(..)A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C.e1－3e2D.3e1－e2答案.C解析.如图，由向量的减法得a －b ＝AB →.由向量的加法得AB →＝e 1－3e 2.4.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为(..) A.3 B.4 C.－14 D.－34答案.B解析.因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2， 所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于(..) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 答案.D解析.∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为(..) A.165 B.125 C.85 D.45 答案.C解析.∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于(..)A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 答案.C解析.如图，设CF →＝λCD →，AE →＝μAF →，则CD →＝OD →－OC →＝12b －12a ，故AF →＝AC →＋CF →＝(1－12λ)a ＋12λb .∵AF →＝1μAE →＝1μ(AO →＋OE →)＝1μ(12a ＋14b )＝12μa ＋14μb ， ∴由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧1－12λ＝12μ，12λ＝14μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝34，∴AF →＝23a ＋13b ，故选C.二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________. 答案.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析.若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线.a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.9.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________. 答案.60°解析.作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案.43解析.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.三、解答题11.判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.解.(1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0， 所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾.所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.12.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.解.如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解.方法一.如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC → ＝k ＋12e 2. 方法二.如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →) ＝k ＋12e 2. 方法三.如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 四、探究与拓展14.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________.答案.90°解析.由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明.若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2).由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底.(2)解.设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)解.由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.。
高一数学必修四第2章平面向量导学案(全)
§2.1向量的概念及表示学习目标1. 了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
高考要求：B级重难点：对向量概念的理解.课前准备（预习教材P55 ~ P57，完成以下内容并找出疑惑之处）一、知识梳理、双基再现1、在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量、等）在取定单位后只用就能表示，我们称之为，而另外一些量（如位移、速度、加速度、力、等）必须用和才能表示。
2、我们把称为向量，向量常用一条来表示，表示向量的大小。
以A为起点、B为终点的向量记为。
3、称为向量的长度（或称为），记作4、称为零向量，记作；叫做单位向量.5、叫做平行向量叫做相等向量. 叫做共线向量.二、小试身手、轻松过关1、下列各量中哪些是向量？浓度、年龄、面积、位移、人造卫星速度、向心力、电量、盈利、动量2、判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等.（2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反. （4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.向量的概念及表示练习1、判断下列命题的真假:（1）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（2）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（3）如果a=b，则a与b长度相等。
（4）如果a=b，则与a与b的方向相同。
（5）若a=b，则a与b的方向相反。
（6）若a=b，则与a与b的方向没有关系。
2、关于零向量，下列说法中正确的有（1）零向量是没有方向的。
（2）零向量的长度是0 （3） 零向量与任一向量平行（4）零向量的方向是任意的。
3、如果对于任意的向量a ，均有a //b ,则b 为_________________二、【举一反三、能力拓展】1、 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_____________.2、 把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是______________.§2.2.1向量的加法1. 掌握向量加法的定义.2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. .B 级 重难点：对向量概念的理解.（预习教材P59 ~ P61，完成以下内容并找出疑惑之处）一、知识梳理、双基再现1、如何求a 与b 的和？2、向量的加法： 叫做向量的加法。
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.2平面向量的线性运算导学案(1)
→MN＝ ________.( 用 a，b 表示 )
6．给出下列命题： ①向量 A→B的长度与向量 B→A的长度相等；
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 A→B与向量 C→D是共线向量，则点 A、B、 C、 D必在同一条直线上．
.
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③λ ( a＋ b) ＝ □15________．
4．两个向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得
□16________ ．
温馨提醒： 向量的平行与直线的平行不同， 向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种
情形．
双基自测
1． D 是△ ABC的边 AB上的中点，则向量 C→D等于
(
)．
A．－ B→C＋12B→A
B．－ B→C－ 12B→A
C. B→C－ 12B→A
D. B→C＋ 12B→A
2．判断下列四个命题：
①若 a∥ b，则 a＝b；②若 | a| ＝| b| ，则 a＝b；③若 | a| ＝ | b| ，则 a∥ b；④若 a＝ b，则 | a|
＝|b| .
正确的个数是
(
)．
A． 0
B. B→E
C.
A→D
D. C→F
5．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋ λ b 与 2a－ b 共线，则 λ＝________.
考向一 平面向量的概念
【例 1】下列命题中正确的是 ( ) ．
A． a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案(1)
点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”
.
二、合作探究 1、阅读并讨论 P86 例 3 和例 4 变式：如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )
A. A→B ＝D→C
B. A→D ＋ A→B ＝ A→C
C. A→B － A→D ＝ B→D
D. A→D ＋ C→B＝ 0
2、在△ ABC 中， O 是重心， D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 的中点，
AB
AC
；
。
3、如下图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与
uuur OD ，
.
uuur uuur OE ， OF 相等的向量 .
uuur 变式：（ 1）与 AB 相等的向量有哪些？
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（ 2） OA 与 EF 相等吗？ OB 与 AF 相等吗？
三、目标检测（ A 组必做， B 组选做）
来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向
量的大小，箭头的指向表示向量的方向 .
⑵以 A 为起点， B 为终点的有向线段记作
uuur
AB
记作
.有向线段包含三个要素：
，线段 AB的长度称为模，
r ⑶有向线段也可用字母如 a ，
， L 表示 .
. 而力是常见
探究三：几个特殊的向量 零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于
vv
uuv v uuv v
vv v v
3、已知 a ， b ，在平面内任取一点 O，作 OA a, OB b ，则 __________= a b ，即 a b 可以表示
v
v
为从向量 _______的终点指向向量 ______ 的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所
必修4导学案第二章平面向量
§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑴ 学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.学习过程一、课前准备（预习教材82P ～84P ，找出疑惑之处）复习1：位置是日常生活中我们提到较多的一个词，在几何中常用点表示位置，研究如何用一点的位置确定另外一点的位置，请同学们以学校（点A ）为参照点，用图形确定出自己家的位置.复习2：力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量.二、新课导学※ 学习探究新知1：向量的概念数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector ）.数量和向量的异同点有哪些？试试1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不是向量的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能，该如何表示呢？新知2：向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.如下图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.⑵以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如a，b，c，表示.反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？新知3：两个特殊的向量零向量（zero vector）：长度为0的向量；单位向量(unit vector)：长度等于1的向量.a b.平行向量(parallel vectors)：方向相同或相反的非零向量. 若向量a，b平行，记作：//规定：①零向量与任一向量平行，即对任意向量a，都有0//a.②零向量的方向不确定，是任意的.试试2：下列说法中正确的有（）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行.A.0个B.1个C.2个D.3个※典型例题例1 在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：OA=，点A在点O的正北方向；⑴3OB=B在点O南偏东60方向.⑵22例2 如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离.（精确到1km）.※动手试试练1. 画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大小为2N的力和一个水平向左、大小为4N的力.(1cm长表示1N)练2. 某同学向北走了2km，又向东走了1km，则该同学走过的路程是多少？位移的长度是多少？并选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.三、总结提升※学习小结1. 向量的相关概念；2. 向量的两种表示法；3. 两个特殊的向量，尤其要注意零向量的方向.※知识拓展向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列各量中不是向量的是（）.A．浮力B．风速C．位移D．密度2. 下列说法正确的是（）.A．向量AB与向量BA的长度不等B．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C．零向量没有方向D．任一向量与零向量平行3. 某人南行100米，后向东行100米，则这时他位移的方向是（）.A．东偏南30B．南偏东30C．东偏南45D．南偏东254. 物理中的作用力与反作用力一对平行向量.（是或不是），则底边BC上的中线向量AD的模AD为.5. 已知腰为2，底边为3的等边ABC1. 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60走了400m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，⑴作出向量AB、BC、CD（1cm表示200m）；⑵求DA的模.2. 在正方体''''ABCD A B C D -中，与AB 平行的向量有哪些？§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑵在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.一、课前准备（预习教材84P ～86P ，找出疑惑之处）复习1：向量是 的量；数量是 的量；有向线段是 的线段，它的三要素是 ， ， ；零向量是 的向量；单位向量是 的向量；平行向量是 的非零向量.复习2：下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行；③向量就是有向线段； ④非零向量a 的单位向量是a a .二、新课导学※ 学习探究新知4：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector ）， 如下图，用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作：a b =.思考：任意两个相等的非零向量，是否可用同一条有向线段来表示？与有向线段的起点有关吗？新知5：平行向量和共线向量同学们知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a 、b 、c 是平行向量，则可记为////a b c . 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).试试：下列说法中正确的是①若//a b ，则a b =； ②若a b =，则a b =； ③若a b =，则//a b ；④若a b =，则a b =.※ 典型例题 例1 如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD ，OE ，OF 相等的向量.变式：与AB 相等的向量有哪些？例2如下图所示，D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点，则在以A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE 平行的向量.注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性. ※ 动手试试练1. 在四边形ABCD 中，AB DC ，则相等的向量是() . A.AD 与CB C.AC 与BDB.OB 与OD D.AO 与OC练2. 判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数；②若两个向量平行，则两个向量相等；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温度有零上和零下温度，所以温度是向量；⑤物理中的作用力与反作用力是一对共线向量；A B CCE※ 学习小结①相等向量的概念；②平行向量也称为共线向量.※ 知识拓展本章中所提到的向量都是自由向量，所谓自由向量就是在不改变长度和方向的前提下，向量可以在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中，正确的是（ ）.A.a b =⇒a b =B.a b >⇒a b >C.a b =⇒//a bD.0a =⇒0a =2. 若AB AD =，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3. 一木块放在桌面上，木块所受重力为G ，桌面所受压力为1G ，则G 与1G 之间的关系为（ ）.A.大小不等，方向相同B.大小相等，方向不同C.大小相等，方向相同D.大小不等，方向不同4. B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 个互不相同的向量.5. 下列命题中，说法正确的有①若a b =，b c =，则a c =；②若//a b ，//b c ，则//a c ；③若a b =，则a b =或a b =-；④若AB DC =，则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点.1. 四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.⑴与向量ED 相等的向量有哪些？⑵若3AB =，则向量EC 的模等于多少？2. 一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m ，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m ，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m ，按此方向继续操作下去.⑴按1:100比例作图说明当45α=时，操作几次时赛车的位移为零？⑵按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.§2.2.1向量的加法运算及其几何意义A B C D1. 掌握向量加法的概念，结合物理学中的相关知识理解向量加法的意义；2. 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；3. 理解向量加法的运算律. 学习过程（预习教材89P ～94P ，找出疑惑之处）一、课前准备复习1：下列说法正确的有①向量可以用有向线段来表示；②两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同；③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；④向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；⑤若AB DC =，则A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点.复习2：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.二、新课导学※ 学习探究问题：在复习2中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，重力和拉力的合力是一对大小相等，方向相反的力.如图，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，做AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作：a b +，即a b AB BC AC +=+=.新知1：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.自学90P 的向量加法的平行四边形法则，想想两个法则有没有共通的地方？规定：零向量与向量a 的加法：00a a a +=+=※ 典型例题例1 已知向量a 、b ，求作向量a b +.小结1：在使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合.变式：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结2：当a ，b 不共线时，a b a b +<+；当a ，b 同向时，a b a b +=+； 当a ，b 反向时，a b a b +=-（或b a -）.思考：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？新知2：向量加法的交换律和结合律：a b b a +=+；()()a b c a b c ++=++例2 一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.※ 动手试试练1. 如图，已知a 、b ，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做出a b +.ab练2. 在静水中划船速度是每分钟20m ，水流速度是每分钟20m ，如果船从岸边出发径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是多少？实际行进方向与水流方向的夹角为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 向量求和的三角形法则和平行四边形法则；2. 向量加法满足的两个运算律：交换律和结合律.※ 知识拓展向量在引入运算之后，向量的工具作用才能得到充分发挥. 实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究的基本问题. 另外，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种运算后，总是要考察一下它的几何意义，也使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC BA +等于（ ）.A.aB.bC.0D.a b +2. 下列等式不正确的是（ ）.A.0a a +=B.a b b a +=+C.()()a b c a b c ++≠++D.AC DC AB BD =++3.在ABCD 中，BC DC BA ++等于（ ）.A.BCB.DAC.ABD.AC 4. AB BC CD ++= ； O A O C B O C O +++= . 5. 已知向量a 、b 满足a b b +=且1b =，则a a b ++= .1. 已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA a =，BC b =，试用a 、b 表示向量OE .2. 在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，1AB =，求BC DC +的值.§2.2.21. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.（预习教材94P ～96P ，找出疑惑之处） 一、课前准备复习：⑴设AB a =，BC b =，则 叫做a 与b 的和，记作 .⑵a + =0+ =a⑶向量加法运算的交换律： ；结合律 .⑷求作两个向量和的方法有 法则和法则.二、新课导学※ 学习探究 问题： 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？规定1：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -.由于方向反转两次仍然回到原来的方向，因此a 和a -互为相反向量，即()a a =--.规定1：零向量的相反向量仍是零向量.思考：任一向量a 与其相反向量a -的和是什么？如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ，b = ，a b += .请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-的作图方法.如下图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，做OA a =，OB b =，则BA a b =-. 即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 典型例题例1 如下图，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -，c d -.变式：作出向量a b c d +--.例2 在ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式：⑴CB CE BA -+；⑵OE OA EA -+.变式：化简AB FE DC ++.※ 动手试试练1. 已知a 、b ，求作a b -.练2. 设AB a =，AD b =，BC c =，试用,,a b c 表示DC .三、总结提升※ 学习小结1. 相反向量的概念；2. 向量减法的三角形法则，要注意“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 知识拓展以向量AB a =、AD b =为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC a b =+，BD b a =-，DB a b =-，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该加强理解并记住.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列等式中正确的个数是（ ）.①a o a -=；②b a a b +=+；③()a a --=；④()0a a +-=；⑤()a b a b +-=-A.2B.3C.4D.52. 在ABC 中，,BC a CA b ==，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）.A.QPB.OQC.SPD.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m =，AD n =，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+时，应满足条件 .1. 化简下列各式：①AB AC DB --； ②AB BC AD DB +--.2. 已知O 是ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB a =，BC b =，OD c =，试证明：c a b OB +-=.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义⑴1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.复习： ⑴向量a 的相反向量是指与a的向量，记作 . 零向量的相反向量是 .⑵()a --= ，()a a +-= .⑶若a b =-，则a 、b 是 ，且a b += .⑷向量a 加上b 的相反向量，叫做 ，即：a b a -=+ .二、新课导学※ 学习探究问题：已知非零向量a ，作出：①a a a ++；②()()()a a a -+-+-.通过图形，同学们能否说明它们的几何意义？新知：我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar ）,记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=；⑵当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反.思考：当0λ=时，a λ的值是一个向量还是一个实数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运算律：⑴()()a a λμλμ=； ⑵()a a a λμλμ+=+；⑶()a b a b λλλ+=+.根据以上的运算律，填空：⑴()a λ-=- =λ ； ⑵()a b λ-= - . a※ 典型例题例1 计算：⑴()76a -⨯；⑵()()438a b a b a +---；⑶()()54232a b c a b c -+--+.思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？新知：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=.例2 已知两个两个向量1e 和2e 不共线，12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证：A 、B 、D 三点共线.变式：在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，证明：ABCD 是梯形.※ 动手试试练1. 计算： ⑴()()()64222a b c a b c b c -+--+--+； ⑵()()()()m n a b m n a b +--++.练2. 已知向量a ，b 不共线，问2c a b =-与32d a b =-是否共线？三、总结提升※ 学习小结1. 向量数乘的定义；2. 实数与向量的积满足的运算律；3. 两向量共线所满足的条件.※ 知识拓展1.实数与向量的积的特殊情况：当0λ=时，0a λ=；而0λ≠，若0a =时，也有0a λ=.2.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如a λ+，a λ-无法运算.3.数乘向量还是一个向量.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列各式中不表示向量的是（ ） A.0a ⋅ B.3a b +C.3aD.1e x y-（,x y R ∈，且x y ≠） 2. 在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若AB a =，AC b =，则EF 等于（ ）A.()12a b +B.()12a b - C.()12b a - D.()12a b -+3. 122a e e =+，1234b e e =-，且1e 、2e 共线，则a 与b （ ）A.共线B.不共线C.不确定D.可能共线也可能不共线4. 若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则 a = b .5. 已知122a e e =-，122b e e =+，1262c e e =-，则a b +与c （填共线、不共线）.1. 已知ABC ∆的三边BC a =，CA b =，AB c =，三边中点分别为D 、E 、F ，求证：0AD BE CF ++=.2. 用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义⑵1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.一、课前准备复习：⑴实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 .⑵R λ∈，a λ= . ⑶当0λ>时，a λ的方向与a 的方向 ； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向 ；当0λ=时，a λ= ；⑷,R λμ∈，()a λμ= ； ()a λμ+= ；()a b λ+= .⑸判断正误：向量b 与向量a 共线，当且仅当只有一个实数λ，使得b a λ=.二、新课导学※ 学习探究新知：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、1μ、2μ，恒有()1212a b a b λμμλμλμ+=±.请同学们解释它的几何意义.※ 典型例题例3 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且A B a =，AD b =，你能用a 、b 表示AM 、BM 、CM 、DM 吗？变式：若O 为平行四边形的中心，14AB e =，26BC e =，则2132e e -等于多少？例4 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+.※ 动手试试练1.已知四边形ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM MN NF ==，下底是上底的2倍，若AB a =，BC b =，求AM .练2. ABC 中，13AD AB =，//DE BC ，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设AB a =，AC b =，用a 、b 分别表示向量,,,,,AE CB DE CE DN NA .三、总结提升※ 学习小结1. 进一步理解向量数乘的定义；2. 熟练应用实数与向量的积满足的运算律计算；3. 应用两向量共线所满足的条件解决几个点共线的问题.※ 知识拓展⑴要证明向量a 、b 共线，只需证明存在实数λ，使得b a λ=即可.⑵如果0a b ==，数λ依然存在，此时λ并不唯一，是任意数值.⑶要特别注意向量共线定理中的向量a 必须是非零向量.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列各式计算正确的是（ ）A.()22a b c a b c ++=++B.()()330a b a b ++-=C.2AB BA AB +=D.3544a b a b a b ++-=- 2. 下列向量a 、b 共线的有（ ）①122,a e b e ==-；②1212,22a e e b e e =-=-+；③1212214,510a e eb e e =-=-； ④1212,22a e e b e e =+=-（12,e e 不共线）A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 3. 若8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是（ ）A.[]3,8B.()3,8C.[]3,13D.()3,134. ()2a a b a ⎡⎤---⎣⎦= ； 322a b c b -+-=- .5. 设12,e e 是两个不共线向量，若向量12b e e λ=+，与向量122a e e =-共线，则实数λ的值为 .1. 化简：①()()122844212a b a b ⎡⎤+--⎣⎦； ②()()11434632a b c a b c ⎡⎤⎡⎤-+---⎣⎦⎣⎦2. 在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13BN BD =，求证：M 、N 、C 三点共线.§2.3.1平面向量基本定理1. 掌握平面向量基本定理；2. 了解平面向量基本定理的意义；3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.一、课前准备复习1：向量b 、()0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e +、122e e -.二、新课导学※ 学习探究问题：在复习2中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 如下图，设1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量a 都可以表示成1122e e λλ+.新知1：平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a λλa e e λλ=+其中，我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).理解此定理要注意：①1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量；②该平面内的任意向量a 都可以用1e 、2e 线性表示，且这种表示是唯一的；③对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？新知2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量a 和b . 作OA a =，OB b =，则()0180A O B θθ∠=≤≤叫做向量a 与b 的夹角. 特别地，⑴当0θ=时，a 与b 同向； ⑵当180θ=时，a 与b 反向；⑶当90θ=时，a 与b 垂直，记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力1F 和对斜面的压力2F .思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？新知3：向量的坐标表示定理，有且只有一对实数x 、y 使得a xi y j =+，如图，根据平面向量基本向量a 的坐标，记作：(),a x y = ，其中x 叫做a 我们把有序数对(),x y 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标.注意：符号(),x y 在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定为了加以区别，在叙述中，常说点(),x y ，或向的点，又可以表示一个向量，量(),x y .※ 典型例题例1 已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2A B C D =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =，AB b = 试用,a b 为基底表示DC 、BC .例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，43OA =60xOA ∠=，求向量OA 的坐标.※ 动手试试练1. 在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若15BC e =，23DC e =，则OC 等于多少？练2. 若0a ≠，且0b ≠，且a b a b ==-，求a 与a b +的夹角.三、总结提升※ 学习小结1. 平面向量基本定理；2. 两向量的夹角与垂直；3. 平面向量的坐标表示.※ 知识拓展在解具体问题时，要适当地选取基底，但其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量1e 、2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、2e 唯一表示为1122a e e λλ=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、2e 的代数运算.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ） ①AD 与AB ②DA 与BC ③CA 与DC ④OD 与OBA.①②B.③④C.①③D.①④ 2. 已知向量1e 、2e 不共线，实数x 、y 满足()()1212342363x y e x y e e e -+-=+，则x y -的值等于（ ）A.3B.3-C.0D.23. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中点，则（ ） A.OC OA OB =+ B.()12OC OA OB =+ C.2AB OC = D.()12OC OA OB =-4. 若a 、b 不共线，且()0,a b R λμλμ+=∈，则λ= ，μ= .5. 已知两向量1e 、2e 不共线，122a e e =+，1232b e e λ=-，若a 与b 共线，则实数λ= . 课后作业1. 已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e 、2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ、μ，使d a b λμ=+与c 共线？2. 设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且()()1OP t OA tOB t R =-+∈，求证：A 、B 、P 三点共线.§2.1平面向量的坐标运算1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；2. 能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；3. 体会向量是处理几何问题的工具.一、课前准备复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 ，则不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 .二、新课导学※ 学习探究问题：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？新知：()1212,a b x x y y +=++()1212,a b x x y y -=--()11,a x y λλλ=※ 典型例题 例1 如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，求AB 的坐标.小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 减去 的坐标.变式：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？例2 已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .例3 已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求顶点D 的坐标.变式：若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.※ 动手试试练1. 已知向量,a b 的坐标，求a b +，a b -的坐标.⑴()()3,7,2,1a b ==-⑵()()3,4,4,3a b =--=⑶()()2,5,3,8a b =-=-⑷()()0,1,1,0a b =-=-练2. 已知A 、B 两点的坐标，求AB ，BA 的坐标.⑴()()1,3,2,5A B --⑵()()0,1,3,6A B -⑶()()4,7,2,1A B -⑷()()0,0,4,5A B -三、总结提升※ 学习小结若()11,a x y ，()22,b x y ，则2. ()1212,a b x x y y -=--3. ()11,a x y λλλ=4. 已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--.※ 知识拓展通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序数对就表示一个向量. 这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对. 向量的坐标表示法将向量的加法，减法，数乘运算都统一起来，使得向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决，就可.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A.1,3x y ==B.3,1x y ==C.1,5x y ==-D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB3BC -，则D 点的坐标为 .5. 作用于原点的两力()11,1F =，()22,3F =，为使它们平衡，则需加力3F = .1. 若点()0,0O 、()1,2A 、()1,3B -，且!2OA OA =，!3OB OB =，则点!A 的坐标为多少？点!B 的坐标为多少？向量!!A B 的坐标为多少？2. 已知向量()3,2a =-，()2,1b =-，()7,4c =-，试用,a b 来表示c .§2.3.4平面向量共线的坐标表示1. 理解用坐标表示的两个向量共线条件；2. 了解分点坐标公式的向量证法；3. 会根据向量的坐标，判断向量是否共线.一、课前准备复习： ⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += a b -= ，a λ=二、新课导学※ 学习探究问题：我们知道，假设()()1122,,,a x y b x y ==，其中0b ≠，若,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ=，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？新知：通过运算，我们得知当且仅当12210x y x y -=时，向量(),0a b b ≠共线.※ 典型例题例1 已知()4,2a =，()6,b y =，且//a b ，求y .例2 向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k = ，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.例3 设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . ⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； ⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
第1课时§2。
1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用)等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ;④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB ｜.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：(1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量; （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。
0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义;（2)向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．)．。
说明:（1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系;（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
A(起点)B（终点）aOABaaa bb b第2课时§2。
2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
4.1 4.2平面向量坐标表示(1) 导学案(学生)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
【预习自测】1、 a = OA = 2i 2 j =
b = OB = 2i j =
2、设向量 a,b 坐标分别是（-1，2） ， （3，-5）
【学习笔记】
2．若 A(0, 1), B(1, 2),
C(3, 4) 则 AB 2 BC = C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形 ABCD
3．已知：四点 A(5, 1), B(3, 4), 是梯形。
4、已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3 的坐标.
5、已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 y C B D1 A D3 O x D2
பைடு நூலகம்
3
变式：若点 A（-2，1） ，B（1，3） ，则 AB =__________ 【我的收获】
2
高一数学《必修四》导学案
第二章：平面向量
三、课后知能检测
课本 P89 练习 1、2、3、4、习题 A 组 1、2、3、4、 1．若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP
1 MN , 求 P 点的坐标； 2
高一数学《必修四》导学案
第二章：平面向量
4.1 、4.2 平面向量坐标表示（1） 导学案
编写：兰炳根 审校：高一数学备课组
【学习笔记】
必修四 2.4平面向量数量积导学案 导学案
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。
2、平面向量积的重要性质及运算律。
【考纲要求】1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；2、会用向量数量积的公式解决相关问题；3、记住数量积的几个重要性质。
4、【使用说明与学法指导】先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。
【预习案】1.____________________叫做a b r r与的夹角。
2.已知两个____向量a b r r 与，我们把_________叫a b r r与的数量积。
（或______）记作_________即a b ⋅r r ＝_________________其中θ是a b r r与的夹角。
___________叫做向量a b r r在方向上__。
3.零向量与任意向量的数量积为_________。
4.平面向量数量积的性质：设a b r r与均为非零向量：①a b ⊥⇔r r ___________②当a b r r 与同向时，a b •r r ＝_____ 当a b r r与反向时，a b •r r ＝_____，特别地，a b •r r ＝________或a =r_________。
③cos =θ_________ ④a b ⋅r r_____________ 5. a b •r r的几何意义：______________ _____ 6.向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c r r r ，，与实数λ。
①a b ⋅r r＝__ _ （___律）②()a b λ⋅r r＝___ __ __③()a+b c ⋅r r r＝_____ __【探究案】例1.已知a =4,b =2a b r r r r且与的夹角为120º，则a b=•r r例2.已知ABC V 中，AB =AC =4AB AC=8•u u u r u u u v u u u v且，则这三角形的形状为______________。
必修4 第二章 平面向量导学案
第二章平面向量2。
1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量;2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3。
通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理1。
向量的定义：__________________________________________________________;2。
向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3。
向量的相关概念:（1）向量的长度（向量的模)：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________(4）平行向量：________________________________（5）共线向量:________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：(1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1。
判断下例说法是否正确,若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；(4)向量a和b是共线向量，//b c，则a和c是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量;例2。
最新人教A版高中数学必修4第二章平面向量章末复习课导学案
第二章 平面向量学习目标.1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，类型一.向量的线性运算例1.如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.答案.311解析.设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1.在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC→＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.解.假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二.向量的数量积运算例2.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小. 解.(1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k).由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.反思与感悟.数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. 解.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件.(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三.向量坐标法在平面几何中的应用例3.已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.解.建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0).因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′—→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′—→⊥CC ′—→，所以BB ′—→·CC ′—→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于(..)A. 3B.33C.433D.2 3 答案.A解析.由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos 30°，－3×sin 30°)，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ(3×32，－3×12)， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1.在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于(..) A.2 B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关答案.B解析.如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →) ＝－2＋0＝－2.2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于(..) A.20 B.15 C.9 D.6答案.C解析.▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为(..) A.12 B.2 C.－12 D.－2 答案.D解析.m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1). ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案.2 5解析.由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5.平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t ). 解.由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是(..) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →＋BA →＝0 C.0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD → 答案.D解析.OA →－OB →＝BA →；AB →，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于(..) A.5 B.4 C.3 D.2 答案.A解析.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3.设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 等于(..) A.2 B.3 C.4 D.6 答案.B解析.∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.4.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于(..) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)答案.A解析.设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6).5.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于(..) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案.B6.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是(..) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案.C解析.由已知，得AB →·(AB →－AC →)－BC →·(BA →－CA →)＝0， ∴AB →·CB →－BC →·BC →＝0，∴BC →·(－AB →－BC →)＝0，即－BC →·AC →＝0，BC →⊥AC →， ∴BC ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形.故选C.7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为(..) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案.B解析.∵a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0， ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |，又∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，θ∈[0，π]，∴θ＝π3.8.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为(..)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案.C解析.令BF →＝λBE →.由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.由⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.二、填空题9.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 答案.238解析.由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238.10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 答案.711.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________. 答案.－2解析.由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →， 则BO →＝32BC →，所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →.所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2.12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________. 答案.1解析.∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.答案.712解析.∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×(－12)＋4＝0， ∴λ＝712. 三、解答题14.若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值. 解.∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝ 3(cos θ＋23)2＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.四、探究与拓展15.已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点.(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.解.(1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t ).∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－(t －1)－t ＝0，∴t ＝12. (2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝1 2时，MA→·MB→取得最小值－12.。
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第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 基础梳理1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4）向量a r 和b r 是共线向量，//b c r r ，则a r 和c r是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与EF u u u r共线的向量；（2）确定与EF u u u r相等的向量；（3）OA u u u r 与BC uuur 相等吗？例3.如图所示的为34⨯的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量AB uuu r 相等的向量共有几个？与向量AB uuu r平行且模为2的向量共有几个？与向量AB uuu r的方向相同且模为32的向量共有多少个？课后巩固训练1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB uuu r 和CD uuur 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =u u u r u u u r ；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =u u u r，则A 点构成的图形是__________3.四边形ABCD 中，1,||||2AB DC AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ≠r r ，则与a r方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
求证：//EF NM u u u r u u u u r6.已知飞机从甲地北偏东30o 的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30o的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？2.2.1 向量的加法【学习目标】1.掌握向量加法的定义；2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 基础梳理1.向量的和、向量的加法：已知向量a r 和b r，______________________________________________________则向量OB u u u r 叫做a r 与b r的和，记作：_____________________________________________________________________叫做向量的加法注意：两个向量的和向量还是一个向量； 2.向量加法的几何作法： （1）三角形法则的步骤： ① ② ③OB 就是所做的a b +r r（2）平行四边形法则的步骤： ① ②③OC ∴u u u r 就是所做的a b +r r注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用。
3.向量加法的运算律： （1）向量加法的交换律：_________________________________________ （2）向量加法的结合律：_________________________________________思考：如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n 条向量的和是什么？________________【典型例题】例1.如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +u u u r u u u r （2）BC EF +u u u r u u u r （3）OA FE +u u u r u u u r例2.化简下列各式（1）AB BC CD DA EA ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （2）AB MB BO OM +++u u u r u u u r u u u r u u u u r（3）AB DF CD BC FA ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）()AB CD BC DB BC ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r例3.在长江南岸某处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25/km h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？课后巩固训练1.已知,a b r r，求作：a b +r r（1） （2）2.已知O 是平行四边形ABCD 的交点，下列结论正确的有_________（1）AB CB AC +=u u u r u u u r u u u r （2）AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r（3）AD CD BD +≠u u u r u u u r u u u r （4）0AO CO OB OD +++≠u u u r u u u r u u u r u u u r r3.设点O 是ABC ∆内一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则点O 为ABC ∆的______心；4.对于任意的,a b r r ，不等式||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r成立吗？请说明理由。
2.2.2 向量的减法【学习目标】1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】 重点：三角形法则难点：三角形法则，向量加、减混合运算 基础梳理 1.向量的减法：①a r 与b r 的差：若__________________，则向量x r 叫做a r 与b r的差，记为__________②向量a r 与b r的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。
2.向量a b -r r的减法的作图方法：作法：①_______________________________ ②________________________________ ③________________________________则BA a b =-u u u r r r3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 ()a b a b -=+-r r r r4.关于向量减法需要注意一下几点：①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.②以向量,AB a AD b ==u u u r r u u u r r为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为,AC a b =+u u u r r r BD b a =-u u ur r r ，DB a b =-u u u r r r 这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理解；③对于任意一点O ，AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.【典型例题】例1.已知向量,,,a b c d r r r u r ，求作向量：,a b c d --r r r u r；思考：如果//a b r r ，怎么做出a b -r r？例2.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,,AB a DA b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r试证明：b c a OA +-=r r r u u u r思考？1.（1）OA OC CA OC CB CD =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（2）c a OC AB OC DC OD OA AD -=-=-==+r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和？例3.化简下列各式（1）()AB BC BD AD -+-u u u r u u u r u u u r u u u r（2）AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）()()AB DC AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r课后巩固训练1.在ABC ∆中，90C ∠=o ，AC BC =，下列等式成立的有_____________（1）||||CA CB CA CB -=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2）||||AB AC BA BC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r（3）||||CA BA CB AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r（4）222||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交与O 点，且,AO OC BO OD ==u u u r u u u r u u u r u u u r， 求证：四边形ABCD 是平行四边形。