第七章 应力状态和强度理论习题
应力状态分析与强度理论-习题与答案
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力 ＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙 ，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为 ，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5
材料力学B试题7应力状态_强度理论.docx
40 MPa.word 可编辑 .应力状态强度理论1. 图示单元体，试求60100 MPa(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。
解： (1)x y xy cos 2x sin 276.6 MPa22xy sin 2x cos232.7 MPa231 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35min22121.98181.98MPa，2，3121.98MPa12xy12000arctan()arctan39.352x y24020060602. 某点应力状态如图示。
试求该点的主应力。
129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x由120xy sin 2xy cos20 得y2所以m axx y( xy ) 2xy 2m in 22129.9 MPa2525(MPa)125MPa50752( 129.9)250 150100 MPa2001 100MPa，20 ，3200MPa3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。
解：y150 MPa，x120 MPa.word 可编辑 .由得45xy sin 2xy cos 2x 15080 22x10MPa所以max xy(x y)2222xy min yx454545214.22 MPa 74.221214.22 MPa，20 ，45374.22MPa4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。
求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
0.19210 3解：xπ(0.10440.14)0.05 5.75MPat32x y pd MPa504tpd MPa1002tM e p M emax x y(x y ) 2xy2min22100.7 MPa 49.351100.7MPa，249.35 MPa，3 4 MPa5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。
材料力学带答疑
第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。
拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。
）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。
）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。
）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。
）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。
A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。
）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。
A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。
）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。
A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
7-第七章 应力状态分析 强度理论.
第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。
3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。
xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。
设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
第七章应力状态和强度理论习题
第七章 应力状态和强度理论习题一、单项选择题1、第三强度理论和第四强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料 C 、金属材料， D 、非金属材料2、第一强度理论和第二强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料， C 、金属材料， D 、非金属材料。
二、 填空题1、 对于单元体，切应力等于零的平面叫做 ，该平面上的正应力叫做 。
2、第一、二强度理论适合于 材料；第三、四强度理论适合于 材料。
3、第三强度理论的相当应力为 。
4、单元体上只有一对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。
5、单元体上只有二对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。
6、单元体上三对主应力数值都不等于零的应力状态称为 应力状态。
三、填空题1、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。
答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, σ3= Mpa, τmax = Mpa 。
2、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。
答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa,图 7.3.1图 7.3.2σ3= Mpa, τmax = Mpa 。
3、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。
4、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 。
试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。
1、A2、B二、填空题1、主平面 主应力2、 脆性 塑性 3 、r313s s s =-4、单向5、二向6、三向二、填空题1、 2、 3、解： （1）应力分量50020x y x MPa MPa σστ===-max min57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+⎧⎧===⎨⎨-⎩⎩ MPa MPa0.700.57321-===∴σσσ（2）最大剪应力MPa 0.3220.70.57231max =+=-=σστ4、解：（1）应力分量603025x y x MPa MPa MPa σστ===-max min74.2603015.822x y MPa MPa σσσσ+⎧⎧+=±=±=⎨⎨⎩⎩08.152.74321===∴σσσMPa（2）最大剪应力MPa 1.37202.74231max =-=-=σστ。
应力状态分析及强度理论习题讲解
答案：
D
四、计算
1. 构件内危险点应力状态如图所示，试作强度校核： 1）材料为铸铁，已知许用拉应力 t 30MPa,压应力 90MPa；3）材料仍为铸铁，应力分量中 为压应力。
15MPa
c 90MPa，泊松比 =0.25；2）材料为铝合金，
15MPa
45 ， 45
90 90
45 45
45
x
O
45 ， 45
（b）
45
45
x
（c）
（d）
4.用电阻应变仪测得空心钢轴表面一点与母线成45 方向 上的正应变 45 200 103。已知该轴转速为120r / min ， 外径D 120mm，内径d 80mm,钢材E 210GPa， =0.28， 求轴传递的功率。
45
a b
1
45
1
3
O
45 3
x
（b）
4 WP D 1 12 10 1 8 /12 16 16 272.3 106 m 3 n E 所以 N WP 45 9550 1 120 210 109 272.3 106 200 103 112kW 9550 1 0.28 3 4 3 6
n
dA
y
30
120
1
t
30
20
1 2
x
2
40 30
（b）
4 5,26 B C
68
240
3)作应力圆（图（c）） （1）取比例尺，1cm-20MPa，在 - 坐标平 面内作点1（+20，0）、2（-40，0）；
德州学院,材料力学,期末试题7章习题讲解
德州学院,材料⼒学,期末试题7章习题讲解第七章⼒和应变分析强度理论 §7.1应⼒状态概述1.过受⼒构件内⼀点，取截⾯的不同⽅位，这⼀点在各个⾯上的（D ）. （A ）正应⼒相同，切应⼒不同；（B ）正应⼒不同，切应⼒相同；（C ）正应⼒和切应⼒都相同；（D ）正应⼒和切应⼒都不同。
2.关于单元体的描述，下列正确的是A（A ）单元体的三维尺⼨必须是微⼩的；（B ）单元体是平⾏六⾯体；（C ）单元体必须是正⽅体；。
（D ）单元体必须有⼀对横截⾯。
3.对于图⽰承受轴向拉伸的锥形杆上的A 点，哪⼀种应⼒状态是正确的Dxτxx4.在单元体的主平⾯上（）。
（A ）正应⼒⼀定最⼤；（B ）正应⼒⼀定为零；（C）切应⼒⼀定最⼩；（D ）切应⼒⼀定为零。
§7.2⼆向应⼒状态实例1. Q235钢制成的薄壁圆筒形蒸汽锅炉，壁厚δ，内径D ，蒸汽压⼒p ，试计算锅炉壁内任意⼀点处的三个主应⼒。
注：薄壁圆筒受⼒均匀，因此，任意点的应⼒状态均相同。
1.求⽔平⽅向上的正应⼒σx2.求竖直⽅向上的正应⼒σy3.求垂直于纸⾯⽅向上的正应⼒σz 薄壁圆筒与纸⾯垂直⽅向上的σz 为零.总结：薄壁圆筒的三个主应⼒为：薄壁圆筒为两向应⼒状态注意事项：1.注意单位配套使⽤；2. 纵向截⾯上正应⼒是横截⾯正应⼒的两倍；3.按规定排列正应⼒。
课本215页例7.1如下由Q235钢制成的蒸汽锅炉，壁厚δ=10mm，内径D=1m，蒸汽压⼒p=3MPa，试计算锅炉壁内任意⼀点处的三个主应⼒。
经分析，薄壁圆筒为两向应⼒状态2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p，求容器内任意⼀点的应⼒。
注：薄壁圆球受⼒均匀，因此，任意点的应⼒状态均相同。
1.求⽔平⽅向上的正应⼒σx2.求竖直⽅向上的正应⼒σy3.求垂直于纸⾯⽅向上的正应⼒σz薄壁圆筒与纸⾯垂直⽅向上的σz为零.球形薄壁容器的三个主应⼒为：受内压的球形薄壁容器为⼆向应⼒状态§7.3 ⼆向应⼒状态分析——解析法⼆向应⼒状态下，单元体各⾯上应⼒分量皆为已知，如下图所⽰：求垂直于xy平⾯的任意斜截⾯ef上的应⼒及主应⼒和主平⾯⼀.符号规定1.正应⼒正负号规定2.切应⼒正负号规定使微元或其局部顺时针⽅向转动为正；反之为负。
第7章-应力状态和强度理论03
3）最大切应力理论(第三强度理论)
假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因 素，则：
max jx
对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是 由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力 jx可由单拉时的屈服应力求得，即：
jx
因为： max
ss
2
常数
s1 s 3
对图示平面应力状态，不能分别用
s max [s ]
max [ ]
来建立，因为s与之间会相互影响。 研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一 定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这 就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： • 脆性断裂型： 例如： 铸铁：拉伸、扭转等； 低碳钢：三向拉应力状态。 • 塑性屈服型： 例如： 低碳钢：拉伸、扭转等； 铸铁：三向压缩应力状态。 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与 应力状态有关。
单拉： s r 4 3 s s s 由此可得： s
1
3 [ ] 0.577[s ] 0.6[s ]
s s 0.577s s
例：两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已 知材料（Q235钢）的许用应力为[s]=170MPa和[]= 100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。
W 508 10 m
6
3
再按切应力强度条件进行校核。对28a号工 字钢，查表可得截面几何性质为：
I z 71.14 10 6 m 4
Iz S z ,max
d 0.85 10 m
2
24.62 10 2 m
中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：
max
家电公司研发部资料材料力学习题答案(七)
第七章 应力状态和强度理论7-1 围绕受力构件内某点处取出的微棱柱体的平面图如图所示，已知该点处于平面应力状态，AC 面上的正应力σ＝－14MPa ，切应力为零，试从平衡方程确定σx 和τx 值。
答：σx ＝37.9MPa ,τx ＝74.2MPa 解：利用公式求解x x x x x cos 2sin 222sin 2cos 22yyyαασσσσσατασστατα+-=+--=+代入数据得x x x x x 9292140.3430.94229200.940.3432σστστ+--=+⨯-⨯-=⨯+⨯σx ＝37.9MPa ,τx ＝74.2MPa7-2 试绘出图示水坝内A 、B 、C 三小块各截面上的应力（只考虑平面内受力情况）。
A: B: C:7-3 已知平面应力状态如图所示，已知σx ＝100MPa ，σy =40MPa,以及该点处的最大主应力σ1＝120MPa ，试用应力圆求该点处的τx 及另外两个主应力σ2，σ3和最大剪应力τmax。
答：MPa,60,0MPa,20max 32===τσσx τ＝40 MPa 解：由应力圆分析可得A BC题 7 - 2 图题 7 - 1 图111(100,),(40,),(,0)x x c D D C ττσ'-x 121004070MPa221207050MPa 705020MPayc c c r r σσσσσσσ++====-=-=∴=-=-=是平面应力状态3=0σ∴222x x 13max (100)40MPa120060MPa 22c r σττσστ∴=-+⇒=--===7-4 已知平面应力状态一点处互相垂直平面上作用有拉应力90MPa 和压应力50MPa ，这些面上还有剪应力，如果最大主应力为拉应力100MPa ，试求：(1) 上述面上的切应力； (2) 此平面上另一主应力； (3) 最大切应力平面上的正应力； (4) 最大切应力。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-应力状态和强度理论(圣才出品)
一、应力状态概述（见表7-1-1） 表7-1-1 应力状态概述主要内容
二、平面应力状态的应力分析·主应力（见表7-1-2）
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表7-1-2 主应力主要内容
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三、空间应力状态的概念 对于受力物体内一点处的应力状态，最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力 和切应力，这种应力状态为一般的空间应力状态。在一般的空间应力状态中，有9个应力分 量，分别为正应力σx、σy、σz和切应力τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy，其中τxy＝τyx、τxz＝τzx、 τyz＝τzy。 四、应力与应变间的关系（见表7-1-3）
τA＝M2/Wp＝16×78.6/（π×0.023）Pa＝50MPa
σA＝M1/Wz＝32×39.3/（π×0.023）Pa＝50MPa
A 点单元体如图 7-2-2（d）所示。
图 7-2-2（d）
7-2 有一拉伸试样，横截面为 40mm×5mm 的矩形。在与轴线成 α＝45°角的面上 切应力 τ＝150MPa 时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力 F 的数值。
B
=
FS 2Iz
( h2 4
−
y2)
第七章应力状态习题答案
( 2 ）图解法作应力圆如题 7 . 4 图（ d 1）所示。应力圆与 σ 轴的两个交点的坐标，即是 σ 1 、 σ 3 的数 值。由 CDx ，顺时针旋转 2α 0 ，可确定主平面的方位。 CDx 的长度即为最大切应力的数值。主应力单 元体如题 7 . 4 图（d2）所示。
5
( e ）如题 7 . 4 图（ e ）所示。
τα =
σ x −σ y
2
⎛ 100 − 50 ⎞ sin 2α + τ xy cos 2α = ⎜ sin120D + 0 ⎟ MPa = 21.7 MPa 2 ⎝ ⎠
( 2 ）图解法 作应力圆如题 7 . 3 图（ cl ）所示。从图中可量得 Dα 点的坐标，此坐标便是 σ α 和 τ α 数值。 ( d ）如题 7 . 3 图（ d ）所示。
按照主应力的记号规定
σ 1 ＝4.7MPa， σ 2 ＝0， σ 3 ＝－84.7MPa
tan 2α 0 = − 2τ xy
σ x −σ y
=
=
−2 × 20 = −0.5 ， α 0 ＝－13.3° 0 + 80
τ max =
σ1 − σ 3
2
4.7 + 84.7 MPa = 44.7 MPa 2
。
1
斜截面 AB 与 x 平面的夹角 a2 = 105 ，其上应力 σ a2＝45MPa,τ a = 25 3MPa 。将这些数据代入斜截面
。
2
上应力公式中，对 AB 斜截面有
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 210。− τ xy sin 210。= 45 ①
σ x −σ y
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
第七章：应力状态、强度理论
s
2 2
s
2 3
2 s1s 2
s 3s 2
s1s 3 )
1 t 2 0 (t )2 2 0 0 t (t ))
2E
s1
1 t 2
E
G
E
21
)
§7–6 强度理论及其相当应力
强度理论：是关于“材料发生强度破坏或失效”的假设
材料的破坏形式： ⑴ 脆性断裂 如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂 ⑵ 塑性屈服 如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形
sx
t 绕研究对象顺时针转为正；
y
txy
逆时针为正。
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
Fn 0
n s dA (t xydAcos )sin (s xdAcos ) cos t (t yxdAsin ) cos (s ydAsin )sin 0
容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×10-6，若已知容器平均 直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25
试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
s1 sm
p p
p
x
l
图a
D
y
xp
AO
B
解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程
第七章 应力状态和强度理论
§7–1 概述 §7–2 平面应力状态的应力分析.主应力 §7–3 空间应力状态的概念
§7–4 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
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一、填空
1）图示单元体的σ1=（ ）；σ2=（ ）；σ3=（ ）；τ
max
=（ ）。
2）二向等压应力状态的单元体上压应力为σ，则最大切应力τmax = ________；三向等压应力状态的单元体上压应力为σ，则最大切应力τmax = ________。
3）三个材料弹性常数之间的关系)
1(2ν+=
E
G 适用于（ ）
（A ）任何材料在任何变形阶段 （B ）各向同性材料在任何变形阶段 （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内 （D ）任何材料在弹性变形范围内 4）对于图示各点应力状态（单位：MPa ），属于单向应力状态的是（ ） （A ）、 a 点 （B ）、 b 点 （C ）、 c 点 （D ）、 d 点
二、从图示各构件中A 点和B 点取出单元体，标明单元体各面上的应力。
（A,B 均是外表面
m
16KN
=
113.1KN m
=⋅ (b)
（c ）
三、各单元体如图所示。
试分别利用解析法以及应力圆的几何关系求：
1）指定截面上的应力；2）主应力值；3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向；（要求：几何法需标出两个点的坐标，圆心坐标，应力圆半径）
40MPa
30
(a)45 (b)
四、各单元体如图所示。
试用应力圆的几何关系求其主应力及其最大切应力；单元体材料的弹性参数E=200GPa，v=0.3，试求单元体的体积改变能密度。
五、简支梁承受载荷、截面尺寸如图。
已知材料的许用应力为[]85MPa
σ=，[]50MPa
τ=。
试着校核梁内的最大正应力和最大切应力，并分别按第三、第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。
单位：mm a
六、压力容器，在外圆筒部分任意点A 处使用应变计测得
445135 4.62510εε-==⨯，
445 5.49110γ-=-⨯，已知钢材的弹性模量
E=210GPa ，泊松比v=0.3，许用应力
[]170MPa
σ=，试按第三、第四强度理论校核A 点的强度。
45
七、用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F 及扭转力偶矩Me 的共同作用，
0.1e M Fd =。
今测得圆杆表面处沿图示方向的线应变53014.3310ε-=⨯，已知
杆的直径d=10mm ，材料的弹性常数E=200GPa ，v=0.3，试求荷载F 和Me 。
若其许用应力[]170MPa σ=，按第三和第四强度理论校核杆的强度。
F
30。