应力、应力状态分析(习题解答)
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8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。
解：(1)求支反力R A =,R B = (2)画内力图如图所示。
x
Pl
(-)(+)
Pl
M
kN ·m)
P
P
y
(-)
(-)
(+)
V
kN)
题8-9图
(3) 求梁各点的正应力、剪应力：
(4)画各点的应力单元体如图所示。
9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。 （a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。
111max 222222333333max 442330,22(')[()]448
11
4()12
12
00(0,
0)
16
Z
Z
Z Z
z
V p
A b h
h h h
P P b M V S Pl h
y I I b
b h b h b M S
M Pl
W b h σττστστστ==-=-⋅
=-⋅⋅-⋅⨯
⨯-⋅=
⋅=⋅
=
=⋅⨯⨯⨯⨯⋅=====-
=-
=⨯⨯
80A
-
+
160
80
T (kN ·m )
（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：
A 、
B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示：
3
3
1601020.216
80510.216
A A t b
B t T Pa kPa W T Pa kPa
W τπτπ=
==⨯===-⨯
（b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。
-
+
120
V
kN)
40
M
kN ·m)
+
120
4020
60
题9-1（b ）
（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：
A 点所在截面剪力为正，A 点横截面的剪力为顺时针，同时A 点所在截弯矩为正下拉，而A 点是压缩区的点。
B 点所在截面剪力为负，B 点横截面的剪力为逆时针，同时B 点所在截弯矩为正下拉，而B 点是拉伸区的点。单元体如图所示：
3
3
3.3
3
3
3.60100.0537.50.1200.212
12010(0.1200.050.075) 5.6250.1200.20.1201220100.0512.50.1200.212
4010(0.1200.05A A A t
A z A A t
B B B t B z B B t M y Pa MPa
I V S Pa MPa
I b M y Pa MPa
I V S I b
στστ⨯=-⋅=-⨯=-⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅==⋅⨯⨯⨯=⋅=⨯=⨯⋅-⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅g g 30.075) 1.8750.1200.20.12012
Pa MPa
=-⨯⨯
9-2（c
解：(1)由题意知：
30,20.5030o
x x y MP MPa MP στσα==-==，，。
(2)求30o 斜截面上的应力
cos 2sin 22230503050
cos 60(20)sin 6052.32()
223050sin 2cos 2sin 60(20)cos 6018.67()
22
x x x x
x o o o o x x x MPa MPa αασσσσσατα
σστατα+-=
+
-+-=+--⨯=--=+=+-⨯=- (e) 试用解析法求出（1）图示应力单元体-30o 斜截面的应力。（2）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元体上标出主平面。
解：(1)由题意知：
o
MPa MP x x 30.20,10-=-=-=ατσ。见图（a ）
(MP a )
σ
3
=-
.
62
O
(a) (b)
题9-2e 图
(2)求α斜截面上的应力。
cos 2sin 222100100
cos(60)(20)sin(60) 6.16()
22100sin 2cos 2sin(60)(20)cos(60)0.67()
22
x
y x y
x o o x y
o o x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=
+--+--=+---⨯-=---=+=-+-⨯-=- (3) 求梁的主应力及主平面方位角：
max min 1002215.62
520.62()
25.62
x y MPa σσσσ+⎫-+=±=±⎬⎭⎧=-±=⎨
-⎩故，MPa MPa 62.25,0,62.15321-===σσσ
0022(20)
tan 24
100=-37.98x x y
o
τασσα-⨯-==-=---- （4）求最大剪应力
)(62.202
3
1max MPa =-=
σστ
(4)画点的主应力单元体如图（b ）所示。
9-3c 对图示应力单元体，试用解析法求解：（1）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元
体上标出主平面、主应力和剪应力极值及其作用面。