第3章 矩阵的标准形1

⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
第三章 矩阵的标准形
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
一、 λ - 矩阵及其Smith标准形
定义3.2.1 定义 3.2.1 称矩阵
注2: 不恒等于零的子式的最高阶数称为λ - 矩阵的 秩，记为 rankA(λ ) 例 1：
a1n (λ) ⎤ ⎡ a11 (λ) a12 (λ) ⎢ a (λ) a (λ) a2n (λ) ⎥ 22 ⎥ A(λ) = ⎢ 21 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ amn (λ)⎦ ⎣am1 (λ) am2 (λ) 为 λ - 矩阵 矩阵，其中元素 aij (λ ) (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n) 为数域 F 上关于 λ 的多项式。
Smith标准形。
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
解：
于是不变因子为
λE − A = ⎢ ⎢ 0
⎡λ − 1
⎢ 2 ⎣
0 ⎤ λ−2 0 ⎥ ⎥ ⎥ 2 λ + 1⎦
1 c 3 1
2λ 2 ⎞ c1 ↔ c2 ⎛ 3λ →⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ r ↔r 3 λ ⎠ 1 2 ⎝ 2λ 2
λ 2 + 5λ ⎞ ⎟ λ3 − λ ⎠
λ 2 + 5λ
2
λ 2 + 5λ ⎞
⎟ λ3 − λ ⎟ ⎟ ⎠
0
2
A( λ ) 的元素有公因子 λ ，可用初等变换把左上角的元
素变成 λ 。
的 λ −矩阵称为Smith标准形，其中 di (λ )为首一多项式 (首项系数为1)且
di ( λ) | di+1 ( λ) (i = 1, 2, , r −1)
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
定理3.2.2 定理 3.2.2 设 A( λ)= (aij ( λ)) 且 rank ( A( λ )) = r， m×n 则
则矩阵 A( λ ) 的 所有不变因子为
d4 (λ ) = λ 2 (λ − 1)3 (λ + i )3 (λ − i )3
2 0⎤ ⎡1 ⎢ A=⎢ 0 2 0⎥ ⎥ ⎢ ⎣− 2 − 2 − 1⎥ ⎦
求其特征矩阵 λ E − A 的不变因子、初等因子及
d3 (λ ) = λ (λ − 1)2 , d2 (λ ) = λ (λ − 1), d1 (λ ) = 1,
⇐
1
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
定义3.2.4 定义 3.2.4 定义3.2.3 定义 3.2.3
如果矩阵 A( λ ) 经过有限次的初等变换
λ -矩阵的初等变换是指下面三种变换
P(i, j)
（1）任两行（列）互换；
化成矩阵 B( λ ) ，则称矩阵 A( λ ) 与 B( λ ) 等价， 记为
1 λ −4 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ r1 ↔ r3 ⎯⎯⎯ → ⎜0 λ −1 −λ + 1 ⎟ ⎜ 0 − λ + 1 − λ 2 + 3λ − 2 ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯ → ⎜0 λ −1 −λ + 1 ⎟ ⎜ 0 − λ + 1 − λ 2 + 3λ − 2 ⎟ ⎝ ⎠
c2 − c1 c3 − ( λ − 4) c1
λ , λ , λ 2 , λ − 1, (λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , (λ + 1)2 , (λ + 1)3 , λ − 2
4
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
例6 若已知 A( λ ) 的秩为4，其初等因子为
例7 已知矩阵
λ , λ , λ 2 , λ − 1, (λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , (λ + 1)2 ,(λ + i )3 ,(λ − i )3
⎛λ ⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝
2 r2 − λ r1 3
λ
⎞ ⎟ (λ − 10λ − 3) ⎟ ⎟ 3 ⎠
⎛λ c2 − ( λ + 5) c1 ⎯⎯⎯⎯ →⎜ 1 r2 ⎝0 3
⎞ λ (λ − 10λ − 3) ⎟ ⎠
即为所求的Smith标准形。
3
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
例4
求矩阵 A( λ ) 的 Smith标准形 ，其中
例2
求矩阵
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ A(λ ) ∼ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
d r (λ ) 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
⎡− 1 − 2 6⎤ ⎥ A=⎢ ⎢− 1 0 3⎥ ⎢ ⎣− 1 − 1 4⎥ ⎦
−6 ⎞ ⎟ −3 ⎟ λ − 4⎟ ⎠
的特征矩阵
⎛λ +1 2 ⎜ A(λ ) = ⎜ 1 λ ⎜ 1 1 ⎝
（2）用非零的数乘以某行（列）； P(i(k )) （3）用 （ ）用 λ 的多项式 ϕ (λ ) 乘以某行（列），并将结果 加到另一行（列上去） P( jϕ(λ), i) 注：(1)由单位矩阵经过一次上述三种初等变换得到 的矩阵称为相应的初等矩阵，其行列式为一非零常数. (2)左乘变行，右乘变列。 (3)初等变换不改变 A(λ ) 的秩。
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
0 0 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜0 λ −1 −λ + 1 ⎟ ⎜0 0 − λ 2 + 2λ − 1 ⎟ ⎝ ⎠
r3 + r2
0 0 ⎤ ⎡1 ⎢ ⎯⎯⎯ → ⎢0 λ − 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 (λ − 1)2 ⎥ ⎣0 ⎦
( −1) r3
0 0 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜0 λ −1 0 ⎟ ⎜0 − (λ − 1)2 ⎟ 0 ⎝ ⎠
⎛ 1− λ ⎜ A( λ ) = ⎜ λ ⎜1+ λ2 ⎝
λ2 λ ⎞ ⎟ λ −λ ⎟ λ 2 −λ 2 ⎟ ⎠
A( λ ) 的元素无公因子，也无非零常数，用初等变换
把矩阵中的某一个元素变成常数。
⎛1 0 ⎜ A( λ )的Smith标准形为 ⎜ 0 λ ⎜0 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ λ (λ + 1) ⎟ ⎠ 0 0
其中 λ1 , λ 2 ,来自d r (λ ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 )
kr 1
kr 2
, λ s 互异，且由不变因子的整除性，有
( λ − λs )
krs
k1i ≤ k 2i ≤
≤ k ri , (1 ≤ i ≤ s )
所有指数大于零的因子 (λ −λj )kij (1≤ j ≤ r,1≤ j ≤ s, kij > 0) 都称为 A(λ) 的初等因子（相同的必须按出现的次数 计算）。
矩阵分析简明教程
定义3.2.2 定义 3.2.2 果有
称n 阶
可逆的，如 λ - 矩阵 A( λ ) 是可逆的
证
A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
并称 B( λ ) 为 A( λ ) 的逆矩阵 逆矩阵。反之亦然。 注:与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的。 例如：数字矩阵的特征矩阵是满秩的但不可逆 定理3.2.1 定理 3.2.1 矩阵 A( λ ) 可逆的充要条件是其行列式 为非零的常数。
这说明， d k ( λ) 由 A( λ ) 唯一确定，故Smith标准形唯一。
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
定义3.2.8 定义 3.2.8 将 λ -矩阵A(λ ) 的不变因子分解成各因 式的乘积形式，即
例5
矩阵 A( λ ) 的 不变因子为
d 1 (λ ) = (λ − λ1 ) (λ − λ 2 ) d 2 (λ ) = (λ − λ1 ) k 21 (λ − λ 2 ) k 22
A( λ ) ∼ B( λ )
注：（1）等价具有反身性，对称性，传递性。 ：（1）等价具有反身性 对称性 传递性。 （2）两个 λ − 矩阵等价，它们的秩相等，反之不成立。 例如
⎡1 −λ ⎤ ⎡λ 1 ⎤ B (λ ) = ⎢ A(λ ) = ⎢ ⎥ ⎥ λ⎦ ⎣1 λ ⎦ ⎣ 显然秩都为2，但由初等变换的定义知，两个等价的 λ − 矩阵行列式只能相差一个不为零的常数因子。因此 上述两矩阵不等价。