第5讲 λ矩阵与标准形

第5讲 λ-矩阵与标准形内容：1. 矩阵的Jordan 标准形2. 矩阵的最小多项式3. λ-矩阵与Smith 标准型4. 多项式矩阵的互质性与既约性5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形1.1 矩阵相似定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ⨯∈,，存在n n n C P ⨯∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似.相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：定理1.1 设n n C B C A ⨯∈,,, )(λf 是一个多项式，则（1） 反身性：A 与A 相似；（2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似；（3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似；（4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =；（5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似；（6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同.对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？定义1.2 设n n C A ⨯∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化.定理 1.2 设n n C A ⨯∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量，再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关.必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==),,,(),,,(),,,(212121n n n Pdiag diag p p p λλλλλλ ==, 即有),,,(211n diag AP P λλλ =-，故A 可对角化.推论 1.1 若n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 可对角化.推论1.2 设s λλλ,,,21 是n 阶方阵A 的所有互不相同的特征值，其重数分别为s r r r ,,,21 .若对应i r 重特征值i λ有i r 个线性无关的特征向量),,2,1(s i =，则A 可对角化.例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A ， 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1221212221A ，3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 解1）因A 的特征多项式为)3)(2)(1(+++=-λλλλA I ，因而A 有三个不同的特征值：3,2,1321-=-=-=λλλ.由于A 的3个特征值互不相同，故A 能对角化. 又求得相应的三个特征向量为：T x )1,1,1(1-=,T x )4,2,1(2-=,T x )9,3,1(3-=,它们是线性无关的.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=941321111P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-3211AP P . 2）特征多项式为)5()1(2-+=-λλλA I .故特征值为121-==λλ（二重根），53=λ.特征值为1-的两个线性无关的特征向量为T x )1,0,1(1-=,T x )1,1,0(2-=，而特征值35λ=对应的一个特征向量为：T x )1,1,1(3=，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-5111AP P .3）A 的特征多项式为，)2()1(2+-=-λλλA I ，特征值为121==λλ，23-=λ.而对应于特征值1的一切特征向量为T k x )20,6,3(-=，0≠k .又对应于特征值2-的一切特征向量为，T k y )1,0,0(1=，01≠k . 不存在三个线性无关的特征向量，所以A 不能与对角形矩阵相似.例1.2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，求A 的相似对角矩阵及100A . 解 由)2()1(2+-=-λλλA I ，得21-=λ，12=λ（二重根）.则对应于21-=λ的一个特征向量T x )1,1,1(1-=及对应于二重根12=λ的两个线性无关特征向量为T x )0,1,2(2-=，T x )1,0,0(3=.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011021P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1210110211P ，故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1121AP P （1.1） 注意，若取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0111012011P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-112111AP P ，可见P 不是唯一的.现在计算100A .由式（1.1）有1112-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P A ，因此易知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-12101102111)2(1010110211121001100100P P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+-+-=122120121202222101100101100101100.1.2 特征矩阵设n n ij C a A ⨯∈=)(，称A I A -=λλ)(为A 的特征矩阵.定义1.3 称)(λA 中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式)(λk D 为)(λA 的一个k 级行列式因子，n k ,,2,1 =.10=λ.由定义 1.3可知：A E D n -=λλ)(.又因)(1λ-k D 能整除每个1-k 级子式，从而可整除每个k 级子式（将k 级子式按一行或一列展开即知），因此)(1λ-k D 能整除)(λk D ，并记为)()(1λλk k D D -，n k ,,2,1 =.定义1.4 称下列n 个多项式,)()()(),()(12211λλλλλD D d D d ==)()()(,,)()()(,11λλλλλλ--==n n n k k k D D d D D d , 为)(λA 的不变因式. 把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为)(λA 的初级因子.因A E A -=λλ)(完全由A 决定， )(λA 的不变因式及初级因子也常称为矩阵A 的不变因式及初级因子.例1.3 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2121A 的不变因式及初级因子. 解 因A 的特征矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++=-=2121)(λλλλλλA E A , )(λA 的行列式因子： )4)(1()(224--=-=λλλλA E D ,1)(3=λD ,1)(2=λD ,1)(1=λD .不变因式：1)()(,1)()(3211====λλλλd d D d ,)4)(1()()()(22344--==λλλλλD D d . 初级因子式：2,2,1,1+-+-λλλλ.1.3 矩阵A 的标准形定义1.5 设矩阵n n ij C a A ⨯∈=)(的全部初级因子为：s k s k k )(,,)(,)(2121λλλλλλ--- ，n k si i =∑=1，其中s λλλ,,,21 可能有相同的，指数s k k k ,,,21 也可能有相同的.对每个初级因子i k i )(λλ-构作一个i k 阶矩阵，称形如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i i i J λλλ11 的i k 阶方阵（或T i J ）为i k 阶Jordan 块（约当块）.称由A 的所有约当块构成的分块对角矩阵12s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（或T J ）为矩阵A 的约当形矩阵，或A 的Jordan 标准形.例1.4 下列方阵都是Jordan 块⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3132J ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=212123J . 定理1.3 每个n 阶复数矩阵A 都与一个约当形矩阵J 相似，J AP P =-1,除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J 是被矩阵A 唯一决定的.这个定理用线性变换的语言来说，设T 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中必定存在一组基，使T 在这组基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当矩阵是被T 唯一决定的.推论 1.3 复数矩阵A 与对角形矩阵相似的充要条件是A 的初级因子全为一次式.例1.5 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=304021101A 的Jordan 标准形.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=-304021101λλλλA E 的初级因子为2)1(-λ，2-λ，故A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2111J . 例1.6 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=211212112A 的约当标准形及矩阵P . 解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-211212112λλλλA E 的初级因子2)1(),1(--λλ，故A 的约当标准形为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111J ，再设),,(321X X X P =，由J AP P =-1，得J A ),,(),,(321321X X X =X X X ,于是有),,(),,(3321321X X +X X =X X X A A A ,即得：0)(1=X -A E （1.1）32)(X -=X -A E （1.2）0)(3=X -A E （1.3）解方程（1.1）得基础解系为T T e e )1,0,1(,)0,1,1(21==. 我们选取T X )0,1,1(1=.又由于方程（1.3）与（1.1）是一样的，所以（1.3）的任一解具有形式：T c c c c e c e c X ),,(212122113+=+=.为使方程（1.2）有解，可选择21,c c 的值使下面两矩阵的秩相等：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111222111A E ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-2121111222111c c c c ，这样可得1,221-==c c .故T X )1,2,1(3-=.将3X 代入式（1.2），可得T X )0,0,1(2=.取),,(321X X X P =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100201111P ,便有J AP P =-1. 例 1.7 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A 的特征多项式、初级因子及约当标准形.解 易得特征多项式为)2()1()(2+-=-=λλλλA E f ,不变因式为)2)(1()(,1)(,1)(321+-=-==λλλλλλd d d ,故初级因子为)2(),1(),1(+--λλλ.A 的约当标准形为对角形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211J . 例1.8 求线性微分方程组211x x dt dx +-=，21234x x dt dx +-=，3132x x dtdx +-= 的通解.这里1x ，2x ，3x 都是t 的未知函数.解 方程组为AX dt dX=.其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ,T x x x X ),,(321=.A 的初级因子：2)1(,2--λλ.可逆矩阵),,(321X X X P =，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11121AP P ，有),,2(),,(3321321X X +X X =X X X A A A , 故 ⎪⎩⎪⎨⎧X =X X +X =X X =X 33322112A A A ，求得T T T X X X )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,0(321-=-==.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111210100P ，作满秩线性变换PY X =，其中T y y y Y ),,(321=.则有dt dY P APY =，即Y APY P dt dY ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-11121,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===32322112y y dtdy y dt dy y dt dy . 由前两个方程可得t t e k y e k y 22211,==.将2y 代入第三个方程便得t e k t k y )(323+=.故微分方程组的通解为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==t t t t t t t e k k t k e k e k k t k e k t k e k t k e k e k PY X )()22()()(111210100322213223232221， 这里321,,k k k 是任意常数.§2 矩阵的最小多项式2.1 矩阵A 的零化多项式定义2.1 若)(λϕ是个多项式，A 是个方阵，如果有0)(=A ϕ（矩阵），则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式.定理2.1（Hamilton-Cayley 定理） 设n 阶矩阵A 的特征多项式为n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( ，则有0)(=A f ，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （零矩阵）. （2.1）证明 设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵，则E f E A E A E B )())((λλλλ=-=-.（2.2） 由于矩阵)(λB 的元素都是行列式A E -λ中的元素的代数余子式，因而都是λ的多项式，其次数都不超过1-n ，故)(λB 可以写成如下形式121201)(----++++=n n n n B B B B B λλλλ ，这里各个i B 均为n 阶数字矩阵. 因此有A B A B B A B B B A E B n n n n n 1210110)()())((-----+++-+=-λλλλλ .（2.3） 另一方面，显然有E a E a E a E E f n n n n ++++=--λλλλ111)( . （2.4）由等式（2.2）、（2.3）、（2.4）可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=----Ea A B E a A B B E a A B B E B n n n n n 11211010. （2.5） 以E A A A n n ,,,,1 -依次右乘（2.5）的第一式，第二式，……，第1n +式，并将它们加起来，则左边变成零矩阵，而右边即为)(A f ，故有0)(=A f （零矩阵）.显然，每个方阵都有零化多项式，因为它的特征多项式就是一个，但并不唯一.例2.1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ，试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ. 解 因A 的特征多项式为12)(3+-=-=λλλλA E f .取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ.以)(λf 去除)(λϕ可得)()()149542()(235λλλλλλλϕr f +-+-+=.这里余式103724)(2+-=λλλr .由Hamilton-Cayley 定理，0)(=A f （矩阵），所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-==346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕ. 2.2 矩阵A 的最小多项式定义2.2 设A 是n 阶矩阵，则A 的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式.定理 2.2 矩阵A 的任何零化多项式都被其最小多项式所整除.证明 设)(λϕ是A 的任一零化多项式，又)(λm 是A 的最小多项式，以)(λm 除)(λϕ即得)()()()(λλλλϕr m q +=，这里)(λr 如不为零时则其次数小于)(λm 的次数.于是有)()()()(A r A m A q A +=ϕ.因0)()(==A m A ϕ（矩阵），所以有0)(=A r （矩阵），即)(λr 也是A 的零化多项式.如果0)(≠λr ，则)(λr 的次数)(λm <的次数，这与)(λm为最小多项式矛盾.所以，只能有0)(≡λr ，故)()(λϕλm .定理2.3 矩阵A 的最小多项式是唯一的.证明 若)(λm 与)(λn 均为A 的最小多项式，那末每一个都可被另一个所整除，因此两者只有常数因子的差别.这常数因子必定等于1，因为两者的首项系数都为1.故)()(λλn m =.定理2.4 矩阵A 的最小多项式的根必定是A 的特征根；反之，A 的特征根也必定是A 的最小多项式的根.证明 因A 的特征多项式A E f -=λλ)(是A 的零化多项式，故)(λf 可被A 的最小多项式)(λm 所整除，即)(λm 是)(λf 的因式，所以)(λm 的根都是)(λf 的根.反之，若0λ是A 的一个特征根，且0,0≠=X X AXλ.又设A 的最小多项式k k k k a a a m ++++=--λλλλ111)( .则 X m X a X a X a X Xa AX a X A a X A X A m k k k k k k k k )()(0011010111λλλλ=++++=++++=----由于0)(=A m （矩阵），又0≠X ，所以0)(0=λm ，亦即0λ是)(λm 的根.推论2.1 设矩阵n n C A ⨯∈的所有不同的特征值为s λλλ ,,21，又A 的特征多项式为s k s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-= ，则A 的最小多项式必具有如下形式：s n s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---= ，这里每个s i k n i i ,2,1,=≤.例2.2 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=031251233A 的最小多项式)(λm .解 A 的特征多项式为)4()2()(2--=-=λλλλA E f ，故A 的最小多项式只能是)4)(2()(--=λλλm ，或)()(λλf m =.但由0)4)(2()(=--=E A E A A m （矩阵）（直接计算可得），便知A 的最小多项式应为)4)(2()(--=λλλm 而不是)(λf .定理 2.5 设A 是n 阶矩阵，)(1λ-n D 是特征矩阵A E -λ的1-n 阶行列式因子，则A 的最小多项式)()()()()(11λλλλλλn n n n d D D D A E m ==-=--， 这里)(λn d 是A E -λ的第n 个不变因式.§3 λ-矩阵与Smith 标准型3.1 λ-矩阵定义 3.1 设),,2,1;,,2,1,n j m i a ij==()(λ为数域F 上的多项式，则称以)(λija 为元素的n m ⨯矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A 为多项式矩阵或λ-矩阵.数字矩阵和特征矩阵A E -λ都是λ-矩阵的特例.λ-矩阵的加法、数乘和乘法运算与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律.例3.1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+++=10130053211)(32242λλλλλλλλλλA 是λ-矩阵，其中λ是一个未定元，当λ取具体的数时，它就是一个数字矩阵了.定义3.2 如果λ-矩阵)(λA 中有一个r 阶（1≥r ）子式不为零，而所有1+r 阶子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r ,记为r rankA =)(λ.零矩阵的秩为0.若n 阶λ-矩阵)(λA 的秩为n ，则称)(λA 为满秩的或非奇异的.定义3.3 设)(λA 为一个n 阶λ-矩阵，如果存在n 阶λ-矩阵)(λB 使,)()()()(n E A B B A ==λλλλ （3.1） 则称)(λA 为可逆的(或称)(λA 是单模矩阵)，)(λB 称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A ，n E 是数字单位矩阵.定理 3.1 一个n 阶的λ-矩阵)(λA 可逆的充要条件是)(det λA 是一个非零的常数.证明 若λ-矩阵)(λA 可逆，存在λ-矩阵)(λB 使式（3.1）成立，对其两边取行列式便有1)()(=λλB A ,由于)()(λλB ，A 都是λ的多项式，所以)()(λλB ，A 都是常数. 反之，设0)(≠=c A λ，则n E adjA c A A adjA c =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛)(1)()()(1λλλλ,因而)(λA 是可逆的.这里，)(λadjA 为)(λA 的伴随矩阵.由定理3.1可知，在λ-矩阵中，满秩矩阵未必是可逆的.3.2 初等变换与初等矩阵定义3.4 λ-矩阵的初等变换是指下面三种变换：（1） 任意两行（列）互换；（2） 用非零的数k 乘某行（列）；（3） 用λ的多项式)(λϕ乘某行（列），并将结果加到另一行（列）上去.称对数字单位矩阵施行上述三种类型的初等变换得到相应的三种λ-矩阵为初等矩阵. 因此初等矩阵的行列式为一个非零常数. 同数字矩阵一样，可证，施行行（列）初等变换相当于在矩阵的左（右）边乘以相应的初等矩阵，并且对一个λ-矩阵施行初等变换不改变λ-矩阵的秩.定义3.5 如果)(λA 经过有限次的初等变换后变成)(λB ，则称)(λA 与)(λB 等价，记为)()(λλB A ≅.λ-矩阵的等价关系满足：（1）自反性：每一个λ-矩阵与自身等价；（2）对称性：若)()(λλB A ≅，则)()(λλA B ≅；（3）传递性：若)()(λλB A ≅，)()(λλC B ≅，则)()(λλC A ≅. 显然，如果两个λ-矩阵等价，则其秩相等；反之，则不然. 这也是λ-矩阵与数字矩阵不同之处. 例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101)(λλA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101)(λλB ,的秩相等，但不等价. 定理 3.2 λ-矩阵)(λA 与)(λB 的等价的充要条件是存在两个可逆矩阵)(λP 与)(λQ ，使得)()()()(λλλλQ A P B =.3.3 多项式矩阵的史密斯（Smith ）标准形在多项式矩阵的应用中，有多种标准形在不同场合里被使用着，这里只介绍其中最基本的一种，即史密斯（Smith ）标准形.引理 3.1 若多项式矩阵n m ij a A ⨯=))(()(λλ的左上角元素0)(11≠λa ，并且)(λA 中至少有一个元素不能被)(11λa 所整除，则必可找到一个与)(λA 等价的多项式矩阵)(λB ，其左上角元素)(11λb 也不等于零，且)(11λb 的次数低于)(11λa 的次数.证明 分三种情况来讨论：1）若)(λA 的第一列中有某个元素)(1λi a 不能被)(11λa 整除，则用)(11λa 去除)(1λi a 可得)()()()(111λλλλr a q a i +=,且余式0)(≠λr 的次数低于)(11λa 的次数，则有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(212111211λλλλλλλλλλmn m m in i i n a a a a a a a a a A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−−→−-⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()()()()()()()()()()()1)(()(21112211211λλλλλλλλλλλλλλmn m m n in i n a a a a q a a q a r a a a q i)()()()()()()()()()()()()()()(),1(21112111122λλλλλλλλλλλλλλB a a a a a a a q a a q a r i mn m m n n in i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 则)(λB 已达到要求；2）若)(λA 的第一行中有某个元素)(1λj a 不能被)(11λa 整除，则证法与1）类似；3）若)(λA 的第一行与第一列的各个元素均可被)(11λa 整除，但)(λA 中至少有某个元素)1,(),(>j i a ij λ不能被)(11λa 整除.此时可设)()()(111λλϕλa a i =，则有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−−→−-⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()()()()()()()(0)()()1)(()()(1111111λλλϕλλλλλλϕλλλλϕλmn n in n mj m j ij j a a a a a a a a a a i A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+−−−−→−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()()())(1()()()()()()(0)())(1()()()()1(1111111λλλϕλλλϕλλλλλϕλλλϕλλmn n in n in mj m j ij j ij a a a a a a a a a a a a i)(1λA =.则)(1λA 的第一行中已至少有一个元素)()())(1()(1λλλϕλf a a j ij =-+不能被左上角元素)(11λa 所整除，因为)(|)(111λλj a a ，推知)(|)(11λλf a 不成立. 因此情形3）就归结为已证明了的情形2）.定理3.3 任一非零的多项式矩阵n m ij a A ⨯=))(()(λλ，都等价于一个如下形式的标准对角形：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=≅000000000000)(000000)(00000)()()(21λλλλλr d d d J A ， 这里1≥r 是)(λA 的秩,),,2,1),(r i d i =λ是首项系数为1的多项式，且1,,2,1),(|)(-=+r i d d i i i λλ.称)(λJ 为)(λA 的史密斯（Smith ）标准形.例 3.2 求多项式矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=200100)1(0)(λλλλλλA 的史密斯标准形.解 可求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--≅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=)2)(1(0000001200100)1(0)(λλλλλλλλλλA .定义3.6 设多项式矩阵)(λA 的秩1≥r ，则称()A λ中的所有非零的k 阶子式的首项系数为1的最大公因式)(λk D 为)(λA 的k 阶行列式因子，r k ,,2,1 =.定理3.4 若)()(λλB A ≅，则)(λA ，)(λB 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子.设)(λA 经过一次初等变换化为)(λB ，则只须就三种初等变换的每一种证明)(λA 与)(λB 有相同的秩及相同的各阶行列式因子就行了.定义3.7 在)(λA 的史密斯标准形)(λJ 中，多项式)(1λd ，)(,),(2λλr d d 称为)(λA 的不变因式. 可知：,)()()(),()(12211λλλλλD D d D d ==)()()(,1λλλ-=r r r D D d . （3.2） 通过求行列式因子，也就可以求出)(λA 的不变因式，从而可得到)(λA 的史密斯标准形.由式（3.2）看出，)(λA 的不变因式完全由其各阶行列式因子所唯一确定，所以史密斯标准形是唯一的.还看出行列式因子之间满足整除关系.)(λA 为单模矩阵的充要条件是)(λA 可以表示成初等矩阵的乘积.如果取复数域，则我们还可以把)(λA 的那些次数大于1的不变因式分解为一次因式的方幂的乘积.定义 3.8 )(λA 的每个次数1≥的不变因式)(λk d 分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，称所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）为)(λA 的初级因子.应用本节介绍的一般方法来计算A E -λ的不变因式方法为：化多项式矩阵A E -λ为史密斯标准形，得出不变因式. 再计算出初级因子，便可以写出矩阵A 的约当标准形了.定理 3.5 两个多项式矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件是两个矩阵有相同的行列式因子，或相同的不变因式.推论：数域P 上的两个n 阶矩阵A ，B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ与B E -λ等价.§4 多项式矩阵的互质性与既约性本节在复数域中讨论多项式矩阵.4.1 最大公因子定义 4.1 设具有相同列数的多项式矩阵)(λN ，)(λD 与)(λR ，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD ，使得)()()(λλλR N N =,)()()(λλλR D D =，则称多项式矩阵)(λR 为矩阵)(λN 与)(λD 的一个右公因子.类似地可以定义左公因子.定义4.2 如果1）)(λR 是)(λN 与)(λD 的右公因子；2）)(λN 与)(λD 的任一其它的右公因子)(1λR 都是)(λR 的右乘因子，即有多项式矩阵)(λW 使得)()()(1λλλR W R =，则称多项式矩阵)(λR 为具有相同列数的两个多项式矩阵)(λN 与)(λD 的一个最大右公因子（记为gcrd ），类似地可以定义最大左公因子（gcld ）.对任意的n n ⨯多项式矩阵)(λD 与n m ⨯多项式矩阵)(λN ，它们的最大右公因子都存在，因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个.定理 4.1（gcrd 的构造定理） 如果可以找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵)(λG ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()()()()()()()()()(22211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G （4.1）， 则n n ⨯多项式矩阵)(λR 为)(λD 与)(λN 的一个最大右公因子（gcrd ）.相类似，也可以建立最大左公因子的构造定理.由于单模矩阵都可以表示成一些初等矩阵的乘积，故对一个多项式矩阵左乘一个单模矩阵，相当于对它施行一系列的初等行变换运算.求多项式矩阵)(λD 与)(λN 的一个gcrd )(λR ，可通过对矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()()(λλλN D M ,施行一些初等行变换来得到，而相应的初等矩阵的乘积就是所要找的单模矩阵)(λG .例 4.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=2113)(2λλλλλD ,)12,1()(2-+-=λλλN ,求gcrd )(λR .解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1212113)()(22λλλλλλλλN D ,求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--0010212λλλ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=1021)(2λλλλR ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++--=)1(11110010)(22λλλλG ，即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()()()(λλλλR N D G 最大右公因子（Gcrd ）的基本性质：1）不唯一性.若)(λR 为具有相同列数P 的两个多项式矩阵)(λD 与)(λN 的一个gcrd ，而)(λW 为任一P 阶单模矩阵，则)()(λλR W 也是)(λD 和)(λN 的一个gcrd.2）若)(1λR 与)(2λR 是)(λD 与)(λN 的任意两个gcrd ，则当)(1λR 为满秩矩阵或单模矩阵时，)(2λR 也一定是满秩矩阵或单模矩阵.3）对给定的n n ⨯与n m ⨯多项式矩阵)(λD 与)(λN ，则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(λλN D 为列满秩，即n N D rank =⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(λλ时，)(λD 与)(λN 的所有gcrd都必定是满秩的.4）若)(λR 是n n ⨯与n m ⨯多项式矩阵)(λD 与)(λN 的一个gcrd ，则)(λR 可表示为)()()()()(λλλλλN Y D X R +=,其中)(λX ,)(λY 分别是n n ⨯与n m ⨯多项式矩阵.相类似，也可以建立最大左公因子的基本性质. 4.2 右互质和左互质定义 4.3 如果两个具有相同列数的多项式矩阵)(λD 与)(λN 的最大右公因子（gcrd ）为单模矩阵，称矩阵)(λD 与)(λN 为右互质的.类似地可定义左互质概念.注意右（左）互质时，未必是左（右）互质的.定理4.2（贝佐特判别准则） 两个n n ⨯与n m ⨯多项式矩阵)(λD 与)(λN 为右互质的充要条件是存在两个n n ⨯与n m ⨯多项式矩阵)(λX 与)(λY ，使得下面的贝佐特（Bezout ）等式成立：E N Y D X =+)()()()(λλλλ.证明 必要性. 设)(λD 与)(λN 是右互质的，则它们的gcrd )(λR 为单模矩阵。