矩阵的标准型分解复习过程
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
第三章 矩阵的标准型与若干分解形式
ki ki
, Ps ) ( P 1, P 2, i 1, 2,
APi Pi J i
Pi ( Pi1 , Pi 2 ,
A( Pi1 , Pi 2 ,
, Pi ,ki )
APi Pi J i
, Pi ,ki )
i 1 i 1 ( Pi1 , Pi 2 , , Pi ,ki ) i 1 i APi , j i Pi , j Pi , j 1 j 1, 2, , ki 1 AP P i , k i i , ki i
性质1 （行列式因子的整除性质）
Dn ( ) E A , Dk 1( ) Dk ( ), k 2, 3,
定义3 （不变因式、初级因子）
,n
D3 ( ) D2 ( ) d1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) , d 3 ( ) D1 ( ) D2 ( ) Dk ( ) Dn ( ) , d k ( ) , , d n ( ) Dk 1 ( ) Dn1 ( ) 上述n个多项式称为 A( ) 的不变因式。把每个次数
1 1 1 k1 k2 ( E A, p3 ) 2 2 2 k1 1 1 1 k 2
1 1 1 k1 k2 k1 2 k 2 0 0 0 0 k1 2k2 k 2 k 0 1 2 0 0 0 k 2k 1 2 1 取 k 2, k 1 p 2 1 2 3 1 1 再求 ( E A) p p 2 3 p2 1 1 x1 1 1 1 1 2 2 2 x 2 2 1 1 1 x 1 3
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
将矩阵化为标准型
将矩阵化为标准型在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它在各个数学领域和工程领域都有着广泛的应用。
矩阵的标准型是指将一个矩阵通过一系列的行变换和列变换，转化为特定的形式，便于进行进一步的计算和分析。
本文将介绍如何将一个矩阵化为标准型的方法和步骤。
首先，我们需要了解什么是矩阵的标准型。
对于一个m×n的矩阵A，它的标准型可以表示为R=UAV，其中U是一个m×m的可逆矩阵，V是一个n×n的可逆矩阵，而A是一个m×n的矩阵，R是一个m×n的矩阵，且R的非零元素都在主对角线上方。
这样的标准型可以简化矩阵的形式，便于进行进一步的计算和分析。
接下来，我们将介绍如何将一个矩阵化为标准型。
首先，我们需要进行初等行变换和初等列变换，将矩阵A化为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵是指矩阵的每一行的第一个非零元素出现在前一行第一个非零元素的右边，并且每一行的零元素都在非零元素的下方。
通过一系列的初等行变换，我们可以将矩阵A化为行阶梯形矩阵。
然后，我们需要进一步将行阶梯形矩阵化为标准型。
这一步需要利用初等行变换将矩阵化为最简行阶梯形矩阵。
最简行阶梯形矩阵是指行阶梯形矩阵中每个主元素都是1，且每个主元素所在的列除了主元素外都是0。
通过一系列的初等行变换，我们可以将行阶梯形矩阵化为最简行阶梯形矩阵。
最后，我们需要利用初等列变换将最简行阶梯形矩阵化为标准型。
这一步需要将最简行阶梯形矩阵中每个主元素所在的列除了主元素外都是0的性质保持不变的情况下，将最简行阶梯形矩阵化为标准型。
通过一系列的初等列变换，我们可以将最简行阶梯形矩阵化为标准型。
在这个过程中，我们需要注意矩阵的行变换和列变换的顺序，以及每一步变换的具体操作。
同时，我们还需要注意矩阵的秩和零空间等相关概念，这些都对矩阵化为标准型起着重要的作用。
总之，将一个矩阵化为标准型是一个重要且复杂的过程，需要通过一系列的行变换和列变换，将矩阵化为特定的形式，便于进行进一步的计算和分析。
第四章 正规矩阵与矩阵的分解
第一节 正规矩阵【Schur 三角化定理】设n nA ⨯∈，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵.【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.1H H H n U U UU E U U -==⇔=性质：设有矩阵A ，B ，则（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；（4）A 是酉矩阵⇔A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化⇔**AA A A =.*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =⇔=A 可以酉对角化，则∃酉矩阵U 使*U AU D =***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD UU D DU U DU U DU A A ======【定义4.1.1】设n nA ⨯∈，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵.【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n nA ⨯∈，则A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量.【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设()i j n n A a ⨯=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）221,1||||n nii ji i j aλ==≤∑∑（2）A 为正规矩阵⇔221,1||||nni i j i i j a λ===∑∑（3）*2,,1tr()||ni ji j AA a==∑【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵⇔存在正交矩阵Q 使得12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.（1）A 是对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕其中每个00i i i b A b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；（3）A 是正交矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.（4）B 是Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）B 是酉矩阵⇔存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite 矩阵A 正定⇔A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定⇔A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.第二节 正规矩阵的谱分解设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ=.因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ=.令12(,,,)n U ααα=，则12*1*212****111222(,,,)n n n n n nA αλλααααλαλααλααλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++ （4.2.1）由于12,,,n λλλ为A 的特征值，12,,,n ααα为A 对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。
将矩阵化为标准型例题及详解
将矩阵化为标准型例题及详解矩阵的标准型是一个非常重要的概念，在线性代数中经常被使用。
对于一个给定的矩阵，我们可以通过一系列的变换将其转化为标准型，这样可以方便我们进行矩阵计算和求解线性方程组等问题。
本文将以一个例题为基础，详细介绍如何将矩阵化为标准型。
一、例题考虑以下矩阵：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$将其化为标准型。
二、步骤1. 行变换首先，我们需要进行一系列行变换，使得该矩阵满足以下条件：- 矩阵的主对角线上的元素均为1；- 主对角线以下的元素均为0。
具体来说，我们可以通过以下操作实现：- 将第二行乘以$\frac{1}{2}$；- 将第三行乘以$\frac{1}{3}$；- 将第二行减去第一行；- 将第三行减去第一行。
经过以上操作后，矩阵变成了：$$\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$2. 列变换接下来，我们需要进行一系列列变换，使得该矩阵满足以下条件：- 矩阵的主对角线上的元素均为1；- 主对角线以上的元素均为0。
具体来说，我们可以通过以下操作实现：- 将第二列减去第一列；- 将第三列减去第一列。
经过以上操作后，矩阵变成了：$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$这就是所谓的标准型。
三、解释上述步骤中涉及到了行变换和列变换两种操作。
下面分别对它们进行解释。
1. 行变换行变换是指将矩阵中的某些行替换成其它行的线性组合。
具体来说，设$A$为一个$m\times n$矩阵，$k$为一个正整数，则有以下三种行变换：- 将矩阵中的某一行乘以$k$；- 将矩阵中的某两行互相交换；- 将矩阵中的某一行加上另一行乘以$k$倍。
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射的结构、性质和运算法则。
在线性代数中，矩阵运算和特征值分解是两个重要的概念和技巧。
本文将以复习的形式来介绍线性代数中的矩阵运算和特征值分解。
一、矩阵运算1. 矩阵的定义和基本运算- 矩阵是由数域上的元素组成的一个长方形的数组。
- 矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
2. 矩阵的转置和共轭转置- 矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
- 对于复数矩阵，还可以进行共轭转置，即将矩阵中的元素取复共轭得到的新矩阵。
3. 矩阵的逆和行列式- 逆矩阵是对于方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。
- 行列式是一个标量，用于判断矩阵是否可逆。
二、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义- 对于一个矩阵A和一个非零向量v，如果存在一个标量λ，使得Av=λv，那么v就是A的一个特征向量，λ就是A的对应特征值。
2. 特征值和特征向量的性质- 特征值和特征向量具有以下性质：- A的特征值的个数等于A的阶数。
- 特征向量的长度可以归一化，使得其模长为1.- 如果v是A的特征向量，那么对于任意非零标量c，cv也是A的特征向量。
3. 特征值分解- 特征值分解是将一个可对角化的矩阵表示为特征值和特征向量的形式。
- 设A是一个n阶方阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，那么称D的对角元素为A的特征值，P的列向量为A的特征向量。
4. 特征值分解的应用- 特征值分解在多个领域和问题中有广泛的应用，如主成分分析、图像压缩、物理系统的模态分析等。
总结：线性代数中的矩阵运算和特征值分解是重要的概念和技巧。
矩阵运算包括基本运算、转置和共轭转置、逆和行列式等，而特征值和特征向量的概念则提供了解析矩阵性质和变换的重要工具。
特征值分解是一种重要的矩阵分解形式，可以用于研究和求解各种问题。
怎么求矩阵的标准型
怎么求矩阵的标准型矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
在实际应用中，求矩阵的标准型也是一个常见的问题。
本文将介绍如何求解矩阵的标准型，并通过实例进行详细说明。
首先，我们需要明确什么是矩阵的标准型。
矩阵的标准型是指通过相似变换将矩阵化为一种特殊形式，使得矩阵具有更简洁的形式，方便我们进行进一步的分析和运算。
对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵或者上三角矩阵，那么我们称P^-1AP为矩阵A的标准型。
接下来，我们将介绍如何求解矩阵的标准型。
首先，我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，我们可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,...,λn。
然后，我们针对每个特征值，求解对应的特征向量。
对于特征值λi，我们需要求解方程组(A-λiI)xi=0，其中xi为特征向量。
接着，我们将特征值和特征向量整理成特征对（λi,xi），并根据特征值的重数，将特征对进行分类。
对于每个特征值λi，如果其重数为r，那么我们可以得到r个线性无关的特征向量，构成一个r维的特征子空间。
这些特征子空间的维数之和等于矩阵A的阶数n。
接下来，我们需要将特征向量整理成一个矩阵P，其中P的列向量为特征向量。
然后，我们可以得到P^-1AP的形式，其中对角线上的元素为矩阵A的特征值，非对角线上的元素为零。
这就是矩阵A的标准型。
在实际操作中，我们可以利用计算机软件来求解矩阵的标准型，例如MATLAB、Python中的NumPy库等。
这些工具可以帮助我们快速准确地求解矩阵的标准型，节省大量的时间和精力。
最后，让我们通过一个实例来进一步理解求解矩阵的标准型的过程。
假设我们有一个3阶矩阵A如下：A = [[2, 1, 1],。
[0, 3, 1],。
[0, 1, 3]]首先，我们求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解特征方程det(A-λI)=0，我们可以得到特征值λ1=1，λ2=3，λ3=4。
矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
1
酉矩阵： U U
H
1
U 为酉矩阵 U的列(行)向量为C n的标准正交基
任意复方阵都可以酉相 似于一个上三角矩阵
U AU R=+N
H
定理证明：对n作数学归纳法
当n =1，结论显然成立。 假设结论对n-1的矩阵成立，下面考虑A为n方阵 取矩阵A的一个特征值为 1 ，设其对应的单位特 征向量为 1 ，则有
2.概念：酉相抵
1. 酉相抵：
酉
F 上的m n矩阵A与B称为酉相抵，如果有m阶 和n阶酉方阵U 和V , 使UAV B, 记为A B
酉相抵关系是一种等价关系！也称为“酉等价”
酉相抵标准型定理：
酉相抵标准型定理
定理3
设A F mn ,rankA = r ,记
2 specAH A 12 , 2 ,
i Ai
T i
Ai 为A的 投影阵
单纯矩阵的 谱分解
三、矩阵的奇异值分解
Singular value decomposition
(SVD)
1.概述
前面介绍的Jordan分解、Schur分解、谱分解 只适用于方阵。 对角矩阵比上三角矩阵更容易计算 奇异值分解把矩阵分解称为酉矩阵与对角矩阵 的乘积 奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA的酉相似 分解的。
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵分解（二）
Matrix Decomposition 理学院 2011年10月
本讲主要内容 Schur分解、谱分解与奇异值分解
矩阵第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-1
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式§1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。
2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。
3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。
4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。
若A 为n 阶矩阵，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a aa a a A E λλλλ212222111211称为A 的特征矩阵。
又多项式n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)(称为A 的特征多项式，这里A aa ni ii∑=-=-=11tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子式的和与i )1(-的乘积。
A tr 叫A 的迹。
属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间0λV ，称为A 的特征子空间。
特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。
二、寻找矩阵的相似对角形的方法例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121101365A ，(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，(3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 。
提示：(1)31,31,2321-=+==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----=32320111332P ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++--=-633321332163332133210311P。
(2) 5,1321=-==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111121112311P 。
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2
§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。
类似地可以定义左公因子。
定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。
对任意的n n ⨯与n m ⨯的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。
因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个。
定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ⨯和n m ⨯多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵()λG ，使得()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ⨯多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。
证明：（1）证明()λR 是右公因子。
设()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。
（2）证明()λR 是gcrd 。
设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。
第3章-矩阵的分解
§3 3 矩阵的奇异值分解
Singular value decomposition (SVD)
2021/3/11
16
§33 矩阵的奇异值分解
概述：
矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: AC m×n，
酉矩阵UC m×m, VC n×n ,使得A=U VH。
矩阵A等价于=
0
0
1
0
mn
2
r
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解）
A正规A有如下谱分解：
Hermite 性
Pi2Pi , PiHPi
s
A i Pi i1
PiPj 0 ij
s
Pi I
i1
3、正规性质的应用举例
例题1（P.79 ，eg12）
例题2 设ARnn，AT=–A，证明
1. A的特征值是零和纯虚数。 2. 矩阵A的秩是偶数。
奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题
A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA 的酉相似 分解的。
2021/3/11
17
一、矩阵A的奇异值及其性质
1、矩阵AHA和AAH的性质：
AC m×n，AHAC n×n，AAHC m×m ， 都是Hermite矩阵。
定理312（P82）
1. 秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。 2. AHA 和AAH 的非零特征值相等。 3. AHA和AAH 是半正定矩阵。
N（P）=V =0 ，R（P）=V=1 P和（I – P）的关系 N（I – P）=R（P），R（ I – P ）=N（P）
Hermite 矩阵的谱分解
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite
矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。
矩阵的标准型及分解
1
1
2
2
解： A 的特征值为 `1 0, `2 `3 `4 1，则
JA
A1 ( 2)
A2
(1)
因为特征值 `1 0 为单根，所以 A1(0) 0
并从 ( A 0 I )x 解得对应的特征向量为
1 (1, 3,1, 2)T
对于三重特征值 `2 `3 `4 1 ，由 ( A (1) I )x 解得两个特征向量为
的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行
为的尽可能简单的状态空间描述。
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0
x
Ax
Bu
0
0
1
x
0
u
2 3 0 1
这里矩阵 A 是特征多项式 | I A |的友矩阵。
解： | I A | 3 3 2 ( 2)( 1)2 0
n1
n2
nt
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
解： A 特征值为 `1 2, `2 `3 1 ，所以设
JA
A1 ( 2)
,
p( ni ij
j))
由 Ap i j pi j J j ( i ) ，可知
( A i I ) pi(1j )
(
A
i
I
)
pi(
2 j
)
pi(1j )
(
A
i
I
)
p( ni ij
j
)
p( ni j 1) ij
矩阵的标准型分解课件
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
矩阵的jordan分解 算法
矩阵的jordan分解算法矩阵的Jordan分解是一种矩阵的特征值分解方法，将矩阵分解为Jordan标准型的形式。
Jordan分解是求解线性差分方程、线性递推关系的重要方法，也在控制论、量子力学等领域有广泛应用。
下面将简要介绍矩阵的Jordan分解算法及其相关参考内容。
1. 矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值与特征向量是进行Jordan分解的基础。
特征值是矩阵的根特征，可以通过求解特征方程得到。
特征向量是对应于特征值的非零向量，满足矩阵和特征向量的线性变换关系。
矩阵的特征值与特征向量可以在线性代数的教材或参考书中找到详细说明。
2. 寻找Jordan块：通过矩阵的特征值和特征向量，可以找到矩阵的Jordan块。
对于每一个特征值，对应的Jordan块由特征向量构成，其中主对角线上的元素为该特征值，且主对角线上方为1的子对角线上的元素都是1。
3. 重复特征值的处理：如果矩阵存在重复特征值，需要进一步处理。
对于重复特征值，可以使用特征向量的广义特征向量来构造Jordan块。
广义特征向量要满足(A-λI)^k v = 0，其中k表示广义特征向量的阶数。
4. Jordan分解的实现：通过以上步骤，可以将矩阵分解为Jordan标准型的形式。
Jordan标准型是一个上三角矩阵，主对角线由Jordan块构成。
在文献和资料中，关于矩阵的Jordan分解算法有大量的研究和讨论，以下是其中一些参考内容：1. "Matrix Analysis and Applied Linear Algebra" (Carl D. Meyer): 这本书详细介绍了矩阵分析和应用线性代数的各种概念和方法，包括Jordan分解。
书中描述了Jordan分解的算法和步骤，并给出了相关的例子和应用。
2. "Matrix Computations" (Gene H. Golub, Charles F. Van Loan):这本经典的数值计算书籍对于矩阵计算提供了深入的讨论。
矩阵配方法化标准型技巧
矩阵配方法化标准型技巧一、引言矩阵配方法化标准型是一种常用的矩阵化简方法，通过配凑矩阵的系数和常数项，将一个矩阵转化为标准型。
这种方法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵配方法化标准型的技巧，帮助读者更好地掌握这种方法。
二、基本步骤1. 将矩阵的系数行列式进行整理，使得主对角线上的元素全为正数。
2. 将主对角线上的元素写成平方和的形式，即：a11^2 + a12^2 + ... + a1n^2 = b1a21^2 + a22^2 + ... + a2n^2 = b2......an1^2 + an2^2 + ... + ann^2 = bn其中b1、b2、...、bn均为正数。
3. 依次求出每行中最高的项的系数，按照这个系数进行升序排列。
4. 根据最高系数的位置，将每行进行适当的调整，使得矩阵化为上三角形式。
5. 求出常数项c1、c2、...、cn，使得矩阵的等式右边全部化为c，即可得到标准型。
三、技巧总结1. 合理选择主对角线元素：选择最大或最小的系数作为主对角线元素，可以提高配方法的效率。
同时，也要注意系数的正负情况，确保化简后的矩阵为标准型。
2. 调整系数顺序：在配凑过程中，可以根据需要适当调整系数的顺序，以达到更好的化简效果。
3. 灵活运用降阶法：在配凑过程中，如果遇到较大的阶数矩阵，可以使用降阶法来简化计算过程。
4. 考虑对称性：在化简过程中，可以考虑矩阵的对称性，利用对称元素来简化计算。
5. 巧用行列式：可以利用行列式的性质来简化矩阵的系数和常数项，提高配方法的效率。
6. 逐步化简：不要一次性将所有元素都化为标准型，可以逐步化简，逐步验证，确保化简过程的正确性。
7. 细心检查：在化简过程中，要细心检查每一步的计算过程，避免出现错误。
四、实例解析下面通过一个实例来说明矩阵配方法化标准型的技巧：【例】化简矩阵A = [3 -2 4 -1; 0 5 -2 3; 1 -3 1 -3; 4 -6 8 -6]为标准型。
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2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2
[31( )]
0
0
2 2
0
2
1 0 0
1 0 0
[12(1)] 0 2
[2,3] 0
2
0 2
0 2
1 0 0
1 0 0
[2(1)] 0
2
P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))
相抵（等价）
定义5 设A(), B() P[] mn，若A()经有限次行、列初等 变换化为B(),称A()与B()相抵（等价） ，记为A()B()
定理2 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件 是存在m阶初等矩阵P1(), P2(),… Pl(),与n阶初等矩阵 Q1(), Q2(),… Qt(), ，使得
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型
定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标
准型
d1()
d2()
0
A()
0
dr ()
0
di()为首项系数为1的多项式，且di() |di+1() 定义6 该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型； 称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr() 为A()的 不变因子
c 2 c 3
( 1 ) 2
( 1)
( 2 ) r2 r3
( 2 ) 1
( 1)
r 3 r 2
3 22 3
0
( 2 ) 1
( 1)
( 2 ) c 3 c 2
( 1)2
1
1
( 1)
( 1 ) 2
[32( )]
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0
0
3
0
0
3
不变因子： d1()
d2 ( )
d3( )
例2
(1)
A()
(1ห้องสมุดไป่ตู้2
将其化成Smith标准形。
( 1)
解：
A(
)
( 1 ) 2
( 1)
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
式因子
例1 求矩阵
(1)
A()
(1)2
的各阶行列式因子。
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
设矩阵A()的Smith标准形为
d1 ( )
dr ( )
0
0
其中di() (i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，
则A()的各阶行列式因子如下：
D1() d1()
D2() Dr ()
d1()d2() d1()d2()dr
()
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
矩阵的标准型分解
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
解 由于((+1)2,)=1,所以D1()=1
( 1) 0
0
2 ( 1) 1( ),
0 0 ( 1)2 ( 1)2 2( )
( 1) 0
0
( 1)2 ( 1)3 3 ( )
故D2( ) ( 1) 最后 D3() = det (A()) = 2(+1)3
行列式因子和不变因子的关系