解线性方程组的矩阵三角分解法 共16页PPT资料

第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出
比较等式两边的第 k 行得：
k 1
u k j a k jlk 1 u 1 j lk ,k 1 u k 1 ,j a k jlk iu ij
i 1
比较等式两边的第 k 列得：
( j = k, …, n )
j1
aikkm ka i x naik , Ip (k)ik
akj aik j , j = 1, 2, …, n
aik aik akk, i = k+1, …, n
k1
akj akj akiaij , j = k+1, …, n
i1
end
Matlab程序：上机练习 7
Cholesky 分解
for k = 1 to n
k-1
a kj
ukj akj lkiuij ,
i1
乘除法运算量：(n3 - n)/3
j = k, …, n
a ik

k1

lik aik lijujk ukk , i = k+1, …, n

j1

end
Matlab程序参见：ex51.m
为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储)，用 A 的上三角部分来存放 U
1 AL D L T l21 1
d1

d2
ln 1
ln,n1 1
1l21 1 dn
ln 1 ln2
1
计算公式
n
j1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
k1
k1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
12
改进的 Cholesky 分解
算法 ：(改进的 Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
j1
dj ajj
l
d 2
jk k
,
k1

j1

பைடு நூலகம்
lij aij likdkljk dj ,

k1

end
i = j +1, …, n
优点：避免开方运算
n
j1
3
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1 l21 ln1
u11 u12
1

u22
ln,n1 1
u1n a11 a12 u2na21 a22
unn an1 an2
a1n a2n
ann
LU =A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
计算方法
第五章 解线性方程组的直接方法
—— 矩阵三角分解法
1
本讲内容
一般线性方程组 LU 分解与 PLU 分解
对称正定线性方程组 平方根法－－Cholesky 分解
对角占优三对角线性方程组 追赶法
2
LU 分解
矩阵的三角分解
将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积
矩阵的 LU(Doolittle) 分解 ALU 矩阵的 LDR 分解 ALDR 克洛脱 (Crout) 分解 A LU
比较等式两边的第一列得：li1 ai1 u11 ( i = 2,…,Ln的) 第一列
比较等式两边的第二行得：u2j a2j l21u1j ( j =U2,…的,第n二) 行
比较等式两边的第二列得：li2ai2li1u 12 u 22 ( iL=的3,第…二, n列)
4
计算 LU 分解
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
a1n a2n
ann
9
Cholesky 分解算法
算法 ：(Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
1
l jj
ajj

j1
l
2 jk
2
,

k1

j1

lij aij likljk ljj ,
6
k -1
PLU 分解
ukj a kj lki uij i1
矩阵的 PLU 分解

k 1

lik aik liju jk ukk

j1

PALU
for k = 1 to n k-1
aik aik aijajk , i = k, k+1, …, n
y1b1 l11, yi bi likyk lii , i = 2, 3, …, n k1
xnynlnn, xi yin lkixk lii i = n-1, …, 2, 1
ki1
11
改进的 Cholesky 分解
改进的 Cholesky 分解
i 1
lika ik li1 u 1 k li,k 1 u k 1 ,k u k k a ikliju jk u k k j 1
( i = k+1, …, n )
直到第 n 步，便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。
5
LU 分解算法
算法 ：(LU 分解 )

k1

end
i = j +1, …, n
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
10
平方根法
Ax b A 对称正定
算法 ：(解对称正定线性方程组的平方根法 )
计算 A 的 Cholesky 分解 解方程：Ly = b 和 LTx = y
i1
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11 l21 ln1
l11 l21
l22

l22
ln,n1 lnn
计算公式
ln1 a11 a12 ln2a21 a22
lnn an1 an2
对称正定矩阵的三角分解－－Cholesky 分解
定理：设 A 是对称矩阵，若 A 的所有顺序主子式 都不为 0，则 A 可唯一分解为
A = LDLT
其中 L 为单位下三角阵，D 为对角矩阵
定理：（Cholesky分解）若 A 对称正定，则 A 可唯 一分解为
A = LLT
其中 L 为下三角实矩阵，且对角元素都大于 0