2.3直接三角分解法

称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解 由此可以得到 和 的计算公式:
先计算U的第一行 行和L的第 计算L的第j列: 。在U的第 列计算出来后再
在U的第 第 再计算U的第i行:
行和L的 列均计算出来后
计算的过程是:
U第1行,L第1列,U第2行,L第2列,……顺序计算。
1.计算流程
r 2, , n 1
arj lrk ukj 1 urj
k 1
air lik ukr lirurr
k 1
因此可以推导出
u1 j a1 j ai 1 li 1 u11
j 1,2 , , n
U的第一行
------(1)
i 2 ,3 , , n
且 则对矩阵A的LU分解能进行,且分解是唯一的。
3.追赶法的计算公式
利用矩阵乘法可得: 从而可以得到:
解
解
得:
得:
,
4.追赶法的计算流程
,
第一个循环称之为追的过程,相当于消元过程; 第二个循环称之为赶的过程,相当于回代过程。
总结

事实上，追赶法的求解过程就是将系数矩阵分 解两个简单的二对角线矩阵，从而归结为求解两 个简单三角形方程组的过程。
第二章 解线性方程组的直接法
§ 2.4 直接三角分解法
矩阵的三角分解

一、LU分解(Doolittle分解)
1. LU分解
用n=3来举例说明。三元方程组Ax=b的增广矩阵为 ,用初等行变换变换为
这相当于将A矩阵左乘初等行变换矩阵
和 使M2M1[A b]=[A(1) b(1)],其中l21=a21/a11, l31=a31/a11 再将 进行初等行变换,得到
4、LU分解的紧凑格式 我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而 是直接用矩阵A来进行LU分解。 下面导出计算公式 因A=LU则
利用矩阵乘法,得 a u j 1, 2,..., n 1j 1j i 1 aij lik ukj uij i 2,3,..., n.i j k 1 j aij lik ukj i 2,3,..., n.i j k 1
A LLT
且该分解式唯一。
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
a11 设 A ar 1 an 1 a1 r arr anr a1 n arn ann l11 L lr 1 lrr ln 1 lnr lnn
二、追赶法
1. 三对角矩阵:在实际问题中,经常会遇到如下 形式的方程组,
其系数矩阵为
没有写的部分均为零(下同),对角元为 对角线上的元素为
后次
,前次对角线上的元素为
。 我们称矩阵A为三对角矩阵,相应的方程组称三 对角方程组。如果对A进行LU分解,则将有如下形式:
并称它们为二对角矩阵。
定理3:设上述三对角矩阵A满足
23
aij a ji
三、解正定矩阵方程组的平方根法
如果方程组的系数矩阵A的对称正定矩 ,其中L 阵,可以证明: A可以唯一分解为 是下三角矩阵, 是L的转置, 即 A= 由矩阵乘法可知,在对角元上 列均计算完后得 ;在 时, =L 。 ; 在第 ;
在1,2,…,j-1列均计算完后 计算是按L的第1列, 第2列,...,第n列的次序进行的。 计算流程如下: ,
(解
)
例3.用平方根法求解方程组 解: , , 则 解 , 解 得: , , ,
得:
,
平方根法不需要选主元(矩阵正定)约需 次乘法的工作量,是高斯消去法的一半(由对称性引 起),且具有算法稳定性,但其要进行n次开方运算。
追赶法的原理和高斯消去法相同，但考虑到 方程组的特点，计算时会把大量零元素撇开， 从而大大节省计算量。 也称Thomas法
21
例2:用追赶法求解 方程组
解:追的过程: , , ,
; ; ;
, , , 。
,
赶的过程:
,
,
,
。
Байду номын сангаас
定理1. (Cholesky分解) 设A为对称正定矩阵, 则一定存在一个主对角元全是 正数的下三角阵L, 使得
综合以上分析,有
a1 j u1 j
r
j 1,2 ,, n
ai 1 li 1u11
i 2 ,3 , , n
arj lrk ukj
k 1 r 1
j r , , n
r 2, , n
air lik ukr
k 1
r 1
r
i r 1, , n
2.存储问题和全部流程
U可以存储在A的上三角部分,L可以存储在A的 下三角部分,对角元存U的对角元,A的对角元为1 而不必存储,如下图:
用LU分解来解线性方程组的全部流程如下:
例1:利用LU分解求解线性方程组
解:第一步,A的LU分解
第二步,求解
解得:
,
,
,
。
第二步,求解
解得:
,
,
,
。
矩阵的三种形式的分解:
这相当于左乘初等行变换矩阵
,其中
,则
。记 。则
,则U是一个上三角矩阵,有 。其中 ,
,
记 。 L是下三角矩阵。这就是矩阵A的LU分解:A=LU。
3.
分解的充要条件
定理1:A能分解为 的充分必要条件是A的各 阶顺序主子式均不为零。即 ,
, 。
4、LU分解的紧凑格式 我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而 是直接用矩阵A来进行LU分解。 下面导出计算公式 因A=LU则

Doolittle分解: A = LU (单位下三角与上三角)
~~ Crout分解: A L U
LDU分解:
(下三角与单位上三角)
A = LDU (单位下三角, 对角及单位上三角)
A的Doolittle分解A LU中L为单位下三角阵 U 为上三角阵，如果将 A LU中的L表示为下三 角阵,U表示为单位上三角阵 , 则称之为Crout分 解, 请找出类似于 (1) ~ ( 4)式的表达式 .
L的第一列 ------(2)
urj arj lrk ukj
k 1
r 1
r 2, , n j r , , n
r 2, , n 1
U的第r行 ------(3)
lir
air lik ukr
k 1
r 1
urr
i r 1, , n
L的第r列 ------(4)