初三圆复习课件

的直弧线A都D＝是弧它B的C=对弧称A轴C 。
＝弧BD。
C
D
O
观察右图，有什么等量关系？
AO=BO=CO=DO，弧 AD＝弧BD，弧AC＝ C 弧BC, AE＝BE 。
垂直于B 弦的直A
径
O
ED
B
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
C
O
ED
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
知识体系
圆
基本性质
直线与圆的 圆与圆的 位置关系 位置关系
概 对 圆周角与 念 称 圆心角的
性 关系
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
切切 切 位 线线 线 置
性 质
的的 的 分
性判 作 类
质定 图
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
C
三角形叫做圆的内接三角形。
A
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
B O
问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？
∠C＝90°
垂直于弦的直径
及其推论
A
AO=BO=CO=DO，
侧想半一弧＝圆想弧A会D：B有＝D将。什弧一么B个C关，圆系弧沿？A着C任一C 条直径O 对折D，两
性A质O：=B圆O是=C轴O对=D称O图，形，任何B一条直A径所在
B'
题设
结论
在
同
()
前 提
圆 或 等
圆
中
（ 条 件 ）
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆 心角所对的弦相等， 圆心 角所对弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
AC
DB
O
变式4：_O_A_=_O_B_
AC=BD.
变式5：_O_C_=_O_D_
AC=BD. A C
DB
O
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
B
M
A
关于弦的问题，常常需
P
要过圆心作弦的垂线段，
O
这是一条非常重要的辅
助线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，
n°弧
C
一般地，n°的圆心角
对着n°的弧。
D
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
角的顶点 在圆心
F
D C
O
圆心角：如∠BOA 圆内角：如∠BCA
圆外角：如∠BFA
圆周角：如∠BDA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
B
A
C
C
O
O
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC A
D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不 可！
若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？
A
O EB
r2
d
2
a
2
2
变式1：AC、BD有什么关系？
AC
O
D
变式2：AC＝BD依然成
B
立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=__F_D__。 A C E O F D B
便将问题转化为直角三
角形的问题。
画图叙述垂径定理，并说出
定理的题设和结论。
题设
结论
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
想结换①③一论，③ ④想中情：的况如会5个果怎条② ④ ⑤将样① ② ⑤件题？适设②③当③⑤和互
①④④ ⑤
② ③ ⑤① ② ③
A 弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
O
C
B
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
A
定理 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
C O
B A' C'
C E
D O
A
B
E
A O
B C
F 如等图弧，如所果对弧的A圆B＝周弧角C相D，等那；么 ∠E在和同∠F圆是中什，么关相系等？的反圆过周来角呢？
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
C
C
C
O
化
归
B
A
化
O
归
A
O A
分类讨论 B
完全归纳法 B
圆周角定理
C
1、已知∠AOB＝75°，求：
C
∠ACB
O
O
2、已知∠AOB＝120°，
A 求： ∠ACB
B
A
B
3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB
C
4、已知∠AOB＝110°，求：
O
B ∠ACB
O
B
D
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A
A
C
• 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。
你能得到什么结论？
E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
B
A B
B A
A
C
O
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角.
画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角 之间可能出现哪几种不同的位置关系?
C
C
C
O
O
A
B
A
O A
B
B
回顾：圆心角等于它所对的弧的度数的一半。
猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角， 它们之间有什么关系？
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
• 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ • 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什么性质？反过
来呢？
如图，比较同∠A弧C所B、对∠的AD圆B、 ∠AEB的大小 周角相等
② ④
①① ④② ⑤④
①
C
③
⑤
A
E
O
D
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，