第三章 水文统计方法资料
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的分布函数F（x）称为超过制累积概率形式，两
者之间有如下关系：
（水文
统计）
水文更关心的是超过某一个洪水流量， 故
用超过制。
6）随机变量的概率分布曲线 水文中称累积频率曲线或称频率曲线。资料年 数无限增多，组距无限缩小时，频率趋于概率， 概率分布曲线由折线变为光滑的S型。如图3-2 （b）所示。
4、频率与重现期的关系
随机事件A出现的可能性大小，称为事件A发生的 概率
上式只适合古典随机试验，即试验的所有可能结 果都是等可能的。事实上，水文事件不具备这种性质。 为了计算随机水文事件的概率，下面给出频率。
三、频率
设随机事件A在重复试验n次中出现m次，则称
频率在一定程W度(上A反)映了事mn件出现的（可3能.1性）大小。事件A
• 总体：随机变量所能取值的全体称为总体 • 样本容量：样本的项数称为样本容量。 • 样本：从总体中随机抽出的一部分称为样
本
说明：总体——是某随机变量所有取值的组合，也叫 （母体）。分为有限总体（比如丢硬币，一个班 成绩等）和无限总体（比如径流变化，降水量变 化等）；
样本——是从总体中任意抽取的一部分，即就是随机 变量部分取值的集合。
(2) 0.15
解：记河流的甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥 为事件Ｂ。这个地区被淹没的概率为：
Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB） ＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）
＝0.1＋0.2－0.3×0.1
＝0.27
由于 Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）， 故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为
• 2、 检查资料的一致性
即要求同一计算系列中的水文资料属于同一类型、 在同一条件下产生的。例如：不同基准面、不同水尺处的 水位不能收入同一系列；暴雨洪水和融雪洪水的成因不同， 也不能收在同一系列中；瞬时水位和日平均水位也不能收 在同一系列中，因为它们取得的条件不同，性质也不一样。
第三章 水文统计基本原理与方法
的两端或一端与横轴线渐近相切。
y f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
( )
——
0
)
0
t 1e t dt ，称为 的伽马函数
0
—— 曲线上点的横坐标值，待定参数 —— 特定参数
,
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
第三章 水文统计基本原理与方法 → (1) 概率统计理论基础
概率
随机事件A客观上出现的可能性，称为概率，用 P(A)表示，又称为机率、或然率等。它是描述随 机事件发生可能性大小的数值标准。 设事件A在重复的随机中共有N种结果，且每种 结果发生的可能性均等，其中事件A出现的可 能结果有f0种，按概率定义，有
曲线参数与统计参数之间的关系：
2 x CV 4 C s 2C S
a0 x(1 ) CS
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
p( ) f , C d
p p s
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附表2，由已 知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然后利用 已知的 x 和Cv值，通过下式即可求出与各种P 相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。
上述累积频率是指多年平均出现的机会； 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定 的周期。
例4 某大城市从互不相关的三条河流中取水，各设一个 泵房．每一泵房正常运转受洪水破坏的机率为1﹪。试确 定此城市供水受破坏的机率为多大?
解：水文现象总体容量无限，所述破坏机率只能是一 种估计值。供水受破坏的情况有如下几种： (1)三个泵房运转同时破坏的机率：
•重现期
第三章 水文统计
Zuo Qiting
经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率；
3）以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，在 概率格纸 ( 或普通坐标上 ) 上点绘经验频率点，然后用目估 法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量 值。
p( x 3 x x 3 ) 99.7%
x x x
正态曲线
Zuo Qiting
二、皮尔逊- III型 皮尔逊Ⅲ型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称 单峰曲线，概率密度函数
a f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
m p 100 % n 1
P为大于等于xi的经验频率；m为水 文变量从大至小排列的序号；n为
样本容量。
频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这 个词。所谓重现期是指水文事件的平均重现间隔时间，即平 均间隔多少时间出现一次或多少时间遇到一次。 在工程水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单 位。
i
2
n
(k 1)
i
2
n 1
3 3 ( k i 1 ) ( k i 1 ) n2 Cs (n 1)(n 2) nCv3 (n 3)Cv 3
不偏估值 公式
Zuo Qiting
三、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是 存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总 体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。
3. 总体、样本、样本容量
将随机变量所能取值的全体称为总体。
总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。 从总体中随机抽取一部分个体称为样本。 样本所含个体的数目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率；
3）以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，在 概率格纸 ( 或普通坐标上 ) 上点绘经验频率点，然后用目估 法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量 值。
p( x 3 x x 3 ) 99.7%
x x x
正态曲线
Zuo Qiting
二、皮尔逊- III型 皮尔逊Ⅲ型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称 单峰曲线，概率密度函数
a f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
m p 100 % n 1
P为大于等于xi的经验频率；m为水 文变量从大至小排列的序号；n为
样本容量。
频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这 个词。所谓重现期是指水文事件的平均重现间隔时间，即平 均间隔多少时间出现一次或多少时间遇到一次。 在工程水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单 位。
i
2
n
(k 1)
i
2
n 1
3 3 ( k i 1 ) ( k i 1 ) n2 Cs (n 1)(n 2) nCv3 (n 3)Cv 3
不偏估值 公式
Zuo Qiting
三、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是 存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总 体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。
3. 总体、样本、样本容量
将随机变量所能取值的全体称为总体。
总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。 从总体中随机抽取一部分个体称为样本。 样本所含个体的数目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
水文统计的基本方法
年份
1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
年降水量
549 702 563 612 760 658 528 802 554 643 592 586 745
年份
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求：
掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件
1、随机试验
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验所
三、重现期
1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。
2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关 系有两种表示方法 ：
（1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％，
则:
T1
（年）
P
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
第三节 随机变量及其频率分布
上节内容提问
1、频率和概率的区别和联系是什么？ 答：区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数， 是个经验值。联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳 定．并趋近于概率。 2、频率P与重现期T的关系如何？ 答：在研究暴雨洪水问题时，T ；1
P
3 水文统计基本原理与方法
3.2 随机变量的概率分布
3.概率密度函数
F(x)与f(x)的关系式
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
F(x)的几何意义就是表示 位于x轴上边的密度曲线所 包围的面积。 密度函数和分布函数从不同 角度反应了随机变量的概率 分布规律。
频率密度曲线一般为“铃形”。 频率分布曲线通常呈“倒S形”。
式中：F ( x) 为分布函数 F(x)的一阶导数，令 f（x）= F ' ( x) 。
'
3.2 随机变量的概率分布
3.概率密度函数 函数 f(x) 为概率密度函数（密度函数或分布
密度函数）。密度函数f(x)的几何曲线为密度 曲线。通过密度曲线可以很方便地求出随机变 量x落在区间dx上的概率，它等于 f(x) dx。
利用实测流量资料推 求桥涵的设计流量时， 往往需要将频率曲线 的头部外延很远，采 用海森机率格纸，仍 有较大的任意性，同 样会产生很大的误差。 显然，仍不能满足水 文计算的要求，必须 进一步寻求绘制和外 延频率曲线的方法。
3.3 水文经验频率曲线
例：某水文站有22年不连续的年最大流量资料，列于表 2—5第3栏，试绘制该站的经验频率曲线，并目估延长， 推求洪水频率为2％、1％和0.33％的流量。 ①把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表2 －5第5栏； ②采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率P，列入表2— 5第6栏。 ③然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘 出经验频率点，如图2—5中的圆点； ④再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线，如图中的细实线， 就是该水文站的经验频率曲线； ⑤将经验频率曲线向上延长(图2－5中的细虚线)，可由图 中直接读出所求洪水频率的流量
桥涵水文——水文计算中的数理统计法PPT课件
的数值出现的次数为m．其频率为 式计算：
x1、x2 xm xn
，所以各随机变量的经验频率可按下列简单公
1
n
2 n
xm
m
n
p m n
第18页/共80页
• 公式(3-5)只有在掌握的n项资料就是总体的情况 下，计算的结果才属合理．对于实测水文资料， 都是有限的年数，以此作为样本资料推求总体， 此公式就显然不合理。例p 如10有1010%0年10资0%科(n＝
第1页/共80页
§3-1 机率和频率
一、随机事件
必然事件：当多次观察自然现象时,就会发现有许多事 情在一定条件下必然会发生 的。例如河流中的洪水流 量，每年汛期必然会出现一次最大的洪峰流量。
不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件称之 为不可能事件。例如在流域内下了一场暴雨后，要使所 属河流水位不变化是不可能的。
第12页/共80页
画图
画图
按表中所列数值点可绘成流量与频率密度的直方图 （见下页） 频率密度是频率在区间内的平均值。
第13页/共80页
lim p dp f ( x) x0 x dx
曲线如图3－1中虚线所示，称之为频率密度曲线，简称密度 曲线，它系一条中间高两侧低的倾斜铃形曲线，显示出年最 大流量的统计规律。即特别大和特别小的流量出现次数都很 少，频率密度小；接近平均值的流量出现次数较多，频率密 度大，表示了水文资料的统计规律。
征值。
第17页/共80页
一、连序系列经验频率计算
根据选取的各年最大洪峰流量值(包括插补延长资料)，按其大小顺序排位．这种系
列称之为连序系列．在数理统计中又称之为简单样本．设系列共n项，按由大到小的
次序排列为：
，.等于和大于数值出现的次数为1．其频率为
水文学PPT教案0917-第三章水文统计的基本原理与方法
概率运算定理
• 概率运算定律
I. 概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不
能发生，这类事件称为互斥事件； 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于
各个事件发生的概率总和 【例】袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白 或黑求的概率是多少？
概率运算定理
用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事 先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量， 一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。
它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母 表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：
X = x1, X = x2, X = xn 一般称之为随机系列或随机数列。
这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。
随机变量的概率分布
【例】 某站有62年的降水资料。分析年降水量的概率分布规律。
【解】 将62年降水量按大小每隔∆x=200mm划分为一组，统计各组值 出现的次数，计算各组值相应的频率、频率密度、累积次数、累积频率 的值。
表3.2 某站某年降水量分组频率计算表
所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值 的可能性为多少
河川水文现象的特点
1. 多变和不完全重复性 水文现象在发生的时间和数值的大小上都具有随机性。
因此不能依靠短期的观测资料对今后的变化趋势做准确的判 断 2. 地区性
水文现象因地区不同而异。因此引用经验公式要注意其 地区特点 3. 周期性
n
n -1
P(AB) = P(A)· P(B / A) = a(a -1) n(n -1)
随机变量的概率分布
• 对于离散型随机变量：
3第三章 水文统计
相关系数r:是定量表示两种变量之间的密切程 度
r2=1: 变量之间为函数关系 r2=0: 零相关 1>r2>0：相关 r<0：负相关 r>0：正相关 相关系数r多大才算合适？
相关系数的显著性检验
相关系数r多大才能满足要求，取决于样本容 量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。
a：显著水平，认为方程有意义时，错误判断可能发 生的概率， a：越小，说明要求越高 ra：临界相关系数 n：自由度 练习查表p74
皮尔逊Ⅲ型曲线
引入参数Φ ， Φ值为离均系数
PIII模型变为
例:设某水文站， 求 Q 1000m3 / s, cv 0.5, cs 1 .5, 此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量 Q1％和Q 5％。
解：按公式3-31
Qp Q(1 cv p )
P=1％，Cs＝1.5，查附录B： P= 3.33
I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时
例如，某洪峰流量Qi的频率为P(Q≥Qi)=l％,那么此 洪峰流量的重现期为100年，则称为平均100年出现一 次大干或等于该洪峰流量Qi的事件.或称为百年一遇。
思考题
百年一遇洪水，是指 [________]。 a、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出 现一次； b、大于等于这样的洪水平均100年可能出现 一次； c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出现 一次； d、小于等于这样的洪水平均100年可能出现 一次；
三点适线法 通过目估法汇出与经验频率曲线点分布配合较好的理 论曲线，从曲线上选择三点，并据此以选定理论频率 曲线上三个参数
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：
Q1 Q(1 1cv ) Q2 Q(1 2 cv ) Q3 Q(1 3cv )
23高职高专工程水文学第三章 水文统计的基本方法
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011年至2012 年第1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年月日
小于或等于P
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011 年至2012 年第1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年月日
而对于算，而是采用某一个假定值。
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011 年至2012 年第 1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年月日
可将对应点据
的某一取值，相关点据
指标是
的回归方程式为：以上式中
和
和
相关系数
时，所有的相关点据
时，
）水文计算中，除要求外，一般认为
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011 年至2012 年第 1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年9 月日
实际应用时，可以根据给定的偏态系数
的比值称为模比系数
值表，该表给出常用的
得对应于给定参数
随机变量
和三个统计参数中，两个参数不变，仅有一个参数发生变化时：
计算水文变量总体均值和离势系数的初估值。
用无
所选的
）调整理论频率曲线时，如个别点据始终偏离曲线，应注意对其合。
第3章-水文统计原理
根据水文现象的偶然性（随机性）规律，寻求 水文资料之间的统计规律，此方法可事先预估未来 水文现象可能发生的结果。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
在水文计算中，主要是解决三方 面的问题:
①确定各种水文特征值的数量大小； ②确定该特征值在时间上的分配过程；
③确定特征值的地区分布。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
流量Q（m3/s）
44.7
71.1
85.5 93.4 97.4 98.7
桥涵水文
第三章 水文统计原理
超出实测点范围以外的频率，需要将曲线外延。 为了避免徒手顺势外延的主观随意性，一般： 1）采用一定规格的几率格纸。这种格纸的种类很 多，使正态分布的频率曲线在其上呈一条直线的海 森几率格纸，可以使得手动延长的频率曲线部分误 差比普通坐标纸相对减少。 2）借助某种数学公式的频率曲线作为外延的工具， 这种具有一定数学公式的频率曲线，通常被称为 “理论频率曲线”。
的序号；n为统计系列 的容量。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
将上述三个公式的计算结果列表进行比较可知，三个公式
计算的频率，在头尾两端相差最大，愈靠近中间愈接近。 实际工程中经常需用的前面部分（即频率较小的部分）， 维泊尔公式的结果最大，海森公式的结果最小，切哥达也 夫公式的结果介于中间。
维泊尔(Weibull)公式的结果较为符合已出现的资料情况。
桥涵水文
第二章 河川径流
第二章
Hale Waihona Puke 河川径流知识点回顾
1、河流和流域 2、径流形成 3、水文测验 注意流量计算的方法（分块计算法） 4、水文资料的搜集和整理 通过洪水调查资料计算洪水流量的方法 （谢才——曼宁公式）
桥涵水文
桥涵水文
第三章 水文统计原理
在水文计算中，主要是解决三方 面的问题:
①确定各种水文特征值的数量大小； ②确定该特征值在时间上的分配过程；
③确定特征值的地区分布。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
流量Q（m3/s）
44.7
71.1
85.5 93.4 97.4 98.7
桥涵水文
第三章 水文统计原理
超出实测点范围以外的频率，需要将曲线外延。 为了避免徒手顺势外延的主观随意性，一般： 1）采用一定规格的几率格纸。这种格纸的种类很 多，使正态分布的频率曲线在其上呈一条直线的海 森几率格纸，可以使得手动延长的频率曲线部分误 差比普通坐标纸相对减少。 2）借助某种数学公式的频率曲线作为外延的工具， 这种具有一定数学公式的频率曲线，通常被称为 “理论频率曲线”。
的序号；n为统计系列 的容量。
桥涵水文
第三章 水文统计原理
将上述三个公式的计算结果列表进行比较可知，三个公式
计算的频率，在头尾两端相差最大，愈靠近中间愈接近。 实际工程中经常需用的前面部分（即频率较小的部分）， 维泊尔公式的结果最大，海森公式的结果最小，切哥达也 夫公式的结果介于中间。
维泊尔(Weibull)公式的结果较为符合已出现的资料情况。
桥涵水文
第二章 河川径流
第二章
Hale Waihona Puke 河川径流知识点回顾
1、河流和流域 2、径流形成 3、水文测验 注意流量计算的方法（分块计算法） 4、水文资料的搜集和整理 通过洪水调查资料计算洪水流量的方法 （谢才——曼宁公式）
桥涵水文
第三章 水文统计基本原理与方法
P( A) m 1 n2
【例3-2】掷两个骰子，计算出现点数的概率。
解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出 现哪一面都是等可能的，故为古典概型。
2
3
B=
P(B) =
4
:
:
12
1
36 2
36
3
P( B=1 ) = 0
36
1
36
3.1.4 频率（frequency）
（概率的统计定义）
设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( x x X x) P( X x) P( X x x) F ( x) F ( x x)
称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率
F ( x) F ( x x) x
为平均概率密度。
令 Δx → 0
lim F ( x) F ( x x) lim F ( x x) F ( x) F '( x)
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
事件（X≥x） 的概率用P（X≥x）表示，它是随随机
变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，
称为随机变量X的分布函数（distribution function），
【例3-2】掷两个骰子，计算出现点数的概率。
解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出 现哪一面都是等可能的，故为古典概型。
2
3
B=
P(B) =
4
:
:
12
1
36 2
36
3
P( B=1 ) = 0
36
1
36
3.1.4 频率（frequency）
（概率的统计定义）
设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( x x X x) P( X x) P( X x x) F ( x) F ( x x)
称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率
F ( x) F ( x x) x
为平均概率密度。
令 Δx → 0
lim F ( x) F ( x x) lim F ( x x) F ( x) F '( x)
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
事件（X≥x） 的概率用P（X≥x）表示，它是随随机
变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，
称为随机变量X的分布函数（distribution function），
第3章 水文统计基本原理与方法共76页文档
P[(x总sx)xi (x总sx)]68.3% P[(CV总sCV)CVi(CV总sCV)]68.3% P[(CS总sCs )CSi(CS总sCs )]6 8.3%
皮尔逊III型频率分布的标准误差计算公式
标准误差
相对误差
s s
x
n
ss
s 2n
1
3 4
C
2 s
sCV
CV 2n
1
2
C
2 V
3 4
C
000000000
Q /Q
0.91 0.90 0.89 0.84 0.82 0.70 0.67 0.67 0.63
P , 52.8 55.6 58.3 61.1 63.9 66.7 69.4 72.2 75.0
﹪
i 28 29 30 31 32 33 34 35
Q /QQ
549 0
534 0
522 0
7.4 10.4 14.8 23.3
51.3 72.6 102.6 162.3
7.9 11.2 15.8 25 41.1 58.1 82.2 129.9
8.6 12.2 17.3 27.3
39.7 56.1 79.3 125.4
10 14.1 20.0 31.6
42.4 60.0 84.9 134.2
随机变量的总体和样本
统计总量：随机变量取值的全体。 样本：从总量中抽取的有代表性的元素。 随机样本：抽样时，每个元素都有被抽 取的同等机会。
3.2 概率与频率
概率：表示随机事件出现的可能性的 小数或百分数。
P(A) M N
N:事件总数，M:事件A出现的事件数， P(A):事件A出现的概率。
频率：随机试验中，表示事件A出现的可能 性的一个小数或百分数。
皮尔逊III型频率分布的标准误差计算公式
标准误差
相对误差
s s
x
n
ss
s 2n
1
3 4
C
2 s
sCV
CV 2n
1
2
C
2 V
3 4
C
000000000
Q /Q
0.91 0.90 0.89 0.84 0.82 0.70 0.67 0.67 0.63
P , 52.8 55.6 58.3 61.1 63.9 66.7 69.4 72.2 75.0
﹪
i 28 29 30 31 32 33 34 35
Q /QQ
549 0
534 0
522 0
7.4 10.4 14.8 23.3
51.3 72.6 102.6 162.3
7.9 11.2 15.8 25 41.1 58.1 82.2 129.9
8.6 12.2 17.3 27.3
39.7 56.1 79.3 125.4
10 14.1 20.0 31.6
42.4 60.0 84.9 134.2
随机变量的总体和样本
统计总量：随机变量取值的全体。 样本：从总量中抽取的有代表性的元素。 随机样本：抽样时，每个元素都有被抽 取的同等机会。
3.2 概率与频率
概率：表示随机事件出现的可能性的 小数或百分数。
P(A) M N
N:事件总数，M:事件A出现的事件数， P(A):事件A出现的概率。
频率：随机试验中，表示事件A出现的可能 性的一个小数或百分数。
第三章 水文统计方法
第三章 水文统计方法
精品课件
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的
运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。
水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
精品课件
水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以 此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、 插补水文特征值和水文预报。 （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均 值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度 的 参数）
精品课件
样本系列统计参数计算
样本 系列
1
300
2
200
3
185
4
165
5
150
均值 200
均方差
变差系数
偏态系数
(xi-x)2 10000
0 225 1225 2500 2790 52.8 0.264102
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只
能研究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累 计概率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的概率及其分布）
设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随 机变量x取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F(x):
精品课件
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的
运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。
水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
精品课件
水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以 此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、 插补水文特征值和水文预报。 （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均 值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度 的 参数）
精品课件
样本系列统计参数计算
样本 系列
1
300
2
200
3
185
4
165
5
150
均值 200
均方差
变差系数
偏态系数
(xi-x)2 10000
0 225 1225 2500 2790 52.8 0.264102
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只
能研究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累 计概率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的概率及其分布）
设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随 机变量x取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F(x):
水文统计的基本原理与方法
二、三点试线法
从经验频率曲线上选择三 点，并据以选定理论频率 曲线上三个参数的方法
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：
Q1 Q(1 1cv )
Q2 Q(1 2cv )
Q3 Q(1 3cv )
解得： Q Q31 Q13
1 3
cv
Q1 Q3
Q31 Q13
s 1 3 22 1 3
甲
x甲
5.0 10
0.50
cv乙
乙
x乙
5.0 1000
0.005
表明：甲系列的离散程度大于乙系列
我国降水量与径流量的变差系数，一般是南方小，北方 大；沿海小，内陆大；平原小，山区大。在0.2～1.5之间
（三）、偏差系数：衡量系列在均值两侧对称程度。
一般有经验关系：
cs (2 ~ 4)cv
三、皮尔逊III型曲线
试线法：由实测系列得到统计参数，根据理论频率 曲线公式算得设计流量得到的曲线与经验频率点 绘相结合选配合适理论频率曲线的方法。
包括试错试线法和三点试线法
采用假定的Cs值，适当调整
一、试错试线法：
均值和Cv值，使理论频率曲 线与经验点据很好的符合
例题：某水文站有1945～1968年共24年实测最大流量资料，见表， 试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量Q1％Q2％
解： 1、计算系列流量的经验频率Pi、Ki、Ki2见表
2、点绘经验频率曲线Pi－Ki
3、求理论频率曲线的两个参数
均值＝1500m3/s、Cv=0.51 4、假定Cs＝2Cv,根据公式计算见教材表10-7， 绘
制理论频率曲线（红线）
5、适线得出Cv＝0.6，Cs＝2.5Cv比较适合，可 以采用
第3章水文学统计基本原理与方法
的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需 要。
水文学统计基本原理与方法
3.1.2 事件 ➢ 随机试验：对随机现象的观测； ➢ 事件：随机试验的结果。包括：
1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。 3.1.3 总体、样本、样本容量 ➢ 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随 机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某 地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分： 1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。 ➢ 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 ➢ 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 ➢ 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
W ( A) m n
水文学统计基本原理与方法
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为
机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后 概率：
➢ 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率；
概率：2概) 率投是掷指骰随子即出事现件反某在应一客随个观机上点事出子件现的各的概种可结率能果性的。数可量分。为事先概率和事后概率。 ➢ 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估计出来，必 须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率
少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
水文学统计基本原理与方法
3.1.2 事件 ➢ 随机试验：对随机现象的观测； ➢ 事件：随机试验的结果。包括：
1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。 3.1.3 总体、样本、样本容量 ➢ 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随 机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某 地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分： 1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。 ➢ 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 ➢ 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 ➢ 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
W ( A) m n
水文学统计基本原理与方法
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为
机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后 概率：
➢ 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率；
概率：2概) 率投是掷指骰随子即出事现件反某在应一客随个观机上点事出子件现的各的概种可结率能果性的。数可量分。为事先概率和事后概率。 ➢ 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估计出来，必 须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率
少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法
P ( X xi ) p i
(i 1,2......)
离散型随机变量取任何可能值时，其概率都不会是负，即 pi ≥ o (i＝1、2、……)；
连续型随机变量，因其取某一给定值的概率等于零，在 水文上仅讨论随机变量 X 取大于、等于某 xi 值的发生概率:
p ( X xi ) p i
k 1
均值只能反映系列中各变量的平均情况，不能反映系列中各变 量相对于均值集中或离散的程度。
2．均方差
与离势系数 Cv
( xi x )
i 1
n
2
n
1 CV x x
( xi x )
i 1
n
2
n
( K i 1) 2
i 1
n
n
不同系列的均值相同时，可用 均方差比较系列的离散程度。 第一系列， 15 , 20 , 25. 4.08；
m p 100 % (2)用数学期望公式计算各项x≥xm的经验频率。 n 1
(3)在频率格纸上，以变量x为纵坐标，以其对应的经验频率为横 坐标，点绘出经验频率点，依据点群趋势绘出光滑曲线，即为经验 频率曲线（曲线不需经过所有的经验点）。 (4)有了经验频率曲线，即可在曲线上外延求得指定频率p的水文 变量值xp。 （但常用与经验曲线配合较好的理论线外延）
0 p
取标准化随机变量:
xx xCv x p x (CV P 1) p p ( p ) f ( p , cs )d
p
对于具体的Cs，就可 计算出 φ 与p的对应值。 若给定若干个Cs值，就可 制成 p 和φ （离均系数） 的关系表。见附表1。 在进行频率计算时， 由已知的Cs查表即可求得 一组p和 φ p的对应值，便 可绘出理论频率曲线。
水文学 第3章水文统计基本原理与方法
r E X E( X )r
(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
r=2时， r=3时，
2 E X E ( X ) s
2
2
s Cv x
3 E X E( X )
3
3 Cs
s3
四、重现期与频率的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%） T P 例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年，称此 洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年会遇到一次。 T 1 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%） 1 P 例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称此为十年 一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会 遇到一次。 在频率p≥50%时，工程上习惯于把设计频率叫做设计保 证率，即来水的可靠程度。十年一遇的枯水意思是平 均十年中可能有一年来水小于此枯水年的水量，说明 具有90%的可靠性。
p
f , C s d
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附录3， 由已知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然 后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出 x 与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲 线。
X X (1 cV )
如何求
x
Cv Cs，在以后介绍。
例：某站年径流系列符合pⅢ型分布，已知该系 列的R=650mm，s=162.5mm，Cs =2Cv，试结合 下表计算设计保证率p=90%的设计年径流量。
二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将 产生误差，其中尤以Cs的计算误差最大，为了 提高Cs的计算精度，马秀峰（1984）提出了权 函数法。
(r 1,2,...,n)
r=1时，一阶中心矩为0
r=2时， r=3时，
2 E X E ( X ) s
2
2
s Cv x
3 E X E( X )
3
3 Cs
s3
四、重现期与频率的关系 水文上常用“重现期”来代替“频率” 1 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%） T P 例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100年，称此 洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均 100年会遇到一次。 T 1 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%） 1 P 例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称此为十年 一遇枯水流量，表示小于等于这样的流量平均10年会 遇到一次。 在频率p≥50%时，工程上习惯于把设计频率叫做设计保 证率，即来水的可靠程度。十年一遇的枯水意思是平 均十年中可能有一年来水小于此枯水年的水量，说明 具有90%的可靠性。
p
f , C s d
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附录3， 由已知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然 后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出 x 与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲 线。
X X (1 cV )
如何求
x
Cv Cs，在以后介绍。
例：某站年径流系列符合pⅢ型分布，已知该系 列的R=650mm，s=162.5mm，Cs =2Cv，试结合 下表计算设计保证率p=90%的设计年径流量。
二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将 产生误差，其中尤以Cs的计算误差最大，为了 提高Cs的计算精度，马秀峰（1984）提出了权 函数法。
第三章 水文统计的基本原理与方法
第三章水文统计的基本原理与方法目的：推算设计流量内容：基本理论、推算方法§3-1 概率统计理论基础*一、随机事件和随机变量*1．事件的分类：必然事件；不可能事件；随机事件（又称偶然事件）。
统计规律：大量同类随机事件的平均情况*2．随机变量随机变量：随机事件的量值*二、样本、总体、系列随机变量系列：由若干或无数个随机变量组成的系列总体：随机变量的全部称为总体样本：总体中的一部分称为样本样本的规律——推断总体的规律。
抽样误差：由样本推断总体规律带来的误差*三、机率与频率机率（又称概率）：机率是事件固有的客观性质，常数，理论值。
频率：试验，经验值。
当试验次数无限增多时，频率——机率。
四、累积频率与重现期*1、累积频率：*2、重现期：将无限长远年代，某一水文现象（或量值）平均多少年出现一次PT 1§3-2 水文经验频率曲线一、经验频率曲线的概念经验累积频率：大于和等于某一数值的流量出现的次数，与年最大洪峰流量总次数之比值 经验累积频率曲线： 流量和频率曲线 流量与累积频率曲线 设计洪水频率：桥涵设计洪水频率二、频率分布及其特征 频率密度： 密度函数：累积频率曲线： *三、经验频率公式 *1．经验频率公式经验频率：在水文计算中，利用实测和调查的水文资料推算的频率 经验频率公式：按递减顺序排列 **1）数学期望公式：（均值公式）%1001⨯+=n mP 式中：P ——经验频率（序号为m 那项变量的累积频率，常以％表示）； n ——有限系列的总项数；m ——系列中随机变量按递减顺序排列的序号。
**2）中值公式：%1004.03.0⨯+-=n m P 四、经验频率曲线得绘制和延长 *1、经验频牵曲线的绘制经验频率曲线：随机变量值i Q 和其累积频率i P 关系的曲线 步骤：i Q 递减排列 算出各i Q 的i Pi Q 为纵坐标，i P 为横坐标，点绘，穿线*2．经验频率曲线延长和局限性外延误差均匀分格：曲线头尾两端较陡，中间缓和平坦，呈卧S 形外延的任意性较大，推求的结果会产生很大的误差。
西建水文学课件03水文学统计基本原理与方法
3.1.3 总体、样本、样本容量
➢ 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随机试验 中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某地区流域出口 的年径流量和洪峰流量等。分：
1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。
➢ 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 ➢ 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 ➢ 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
反应随机事件各种结果的数量。
概率：概率是指随即事件在客观上出现的可能性。可分为事先概率和事后概率。
[例]
袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球和黑球的概率各是多少？ 摸出白或黑求的概率是多少？摸出红球的概率是多少？
概率的基本性质：
1) P(A)=1，A属于必然事件； 2) P(A)=0，A属于不可能事件； 3) 0<P(A)<1，A属于随机事件；
(3)频率与概率的关系
➢ 频率是经验值，概率是经验值； ➢ 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； ➢ 样本容量越大，结果越准确； ➢ 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样本系列，推
求频率作为概率的近似值。
3.2.2 概率运算定律
(1)概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，
的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需 要。
3.1.2 事件 随机试验：对随机现象的观测； 事件：随机试验的结果。包括：
1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。
➢ 随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随机试验 中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某地区流域出口 的年径流量和洪峰流量等。分：
1) 连续性随机变量，如水位、流量； 2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。
➢ 总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 ➢ 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 ➢ 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。
反应随机事件各种结果的数量。
概率：概率是指随即事件在客观上出现的可能性。可分为事先概率和事后概率。
[例]
袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球和黑球的概率各是多少？ 摸出白或黑求的概率是多少？摸出红球的概率是多少？
概率的基本性质：
1) P(A)=1，A属于必然事件； 2) P(A)=0，A属于不可能事件； 3) 0<P(A)<1，A属于随机事件；
(3)频率与概率的关系
➢ 频率是经验值，概率是经验值； ➢ 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； ➢ 样本容量越大，结果越准确； ➢ 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样本系列，推
求频率作为概率的近似值。
3.2.2 概率运算定律
(1)概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，
的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需 要。
3.1.2 事件 随机试验：对随机现象的观测； 事件：随机试验的结果。包括：
1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。
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“变差系数”
⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
我国降水量与径流量的变差系数，一般是 南方小，北方大；沿海小，内陆大；平原小， 山区大。
≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30% 意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的
水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi 表 示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。 随机变量分类：
F(x)= P(X≥x)
它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
分布曲线
（频率曲线）
四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机变量
统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、变
差系数和偏态系数、矩。
⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值平 均情况。
二、水文现象的统计规律
水文现象的统计规律：经过长期的水文观测，各种水文的随机 现象所呈现出来的规律。
三、水文统计及其任务
数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论。 而有随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和 规律的学科称为数理统计学。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上。
可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下： P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数； （2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
第三章 水文统计方法
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的 运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。 水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
模比系数：K i
xi x
K1 K 2 K n n
1 1 n
Ki
i 1
n
⒉ 均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离 散的程度。（均方差越小分布越集中）
例：5，10，15 1，10，19
σ = 4.08 σ = 7.35
均值相同时，均方差可以反映不同系列的离散
程度；但均值不同时，却无法比较-----因此，引入
1、离散型随机变量：
2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。
样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
0
225 1225 2500
0
-3375 -42875 -125000
1
0.925 0.825 0.75
0
-0.075 -0.175 -0.25
0
-0.00042187 -0.00535938 -0.015625
均值
均方差 变差系数 偏态系数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
200
2790
52.8 0.264102
165750
0.10359375
1.12 1.12
五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽样误
差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点：
（1）单峰；
（2）曲线关于均值对称，Cs=0
（3）曲线两端趋于±∞，并以x轴为渐近线。
六、(海森)频率格纸（几率纸）选用
第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。 具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的 所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。
1.离散型随机变量概率分布：
2.连续型随机变量概率分布：
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只能研 究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累计概 率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的 概率及其分布） 设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随机变量x 取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变量x的分布 函数，记为F(x):
四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中
出现的频率。 W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的 程度。
五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位
水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以
此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、
插补水文特征值和水文预报。
（3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度的 参数）
样本系列统计参数计算
样本 1 系列 300 (xi-x)2 10000 (xi-x)3 1000000 Ki 1.5 Ki-1 0.5 (Ki-1)3 0.125
2
3 4 5
200
185 165 150
⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
我国降水量与径流量的变差系数，一般是 南方小，北方大；沿海小，内陆大；平原小， 山区大。
≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30% 意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的
水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi 表 示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。 随机变量分类：
F(x)= P(X≥x)
它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
分布曲线
（频率曲线）
四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机变量
统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、变
差系数和偏态系数、矩。
⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值平 均情况。
二、水文现象的统计规律
水文现象的统计规律：经过长期的水文观测，各种水文的随机 现象所呈现出来的规律。
三、水文统计及其任务
数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论。 而有随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和 规律的学科称为数理统计学。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上。
可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下： P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数； （2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
第三章 水文统计方法
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的 运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。 水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
模比系数：K i
xi x
K1 K 2 K n n
1 1 n
Ki
i 1
n
⒉ 均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离 散的程度。（均方差越小分布越集中）
例：5，10，15 1，10，19
σ = 4.08 σ = 7.35
均值相同时，均方差可以反映不同系列的离散
程度；但均值不同时，却无法比较-----因此，引入
1、离散型随机变量：
2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。
样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
0
225 1225 2500
0
-3375 -42875 -125000
1
0.925 0.825 0.75
0
-0.075 -0.175 -0.25
0
-0.00042187 -0.00535938 -0.015625
均值
均方差 变差系数 偏态系数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
200
2790
52.8 0.264102
165750
0.10359375
1.12 1.12
五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽样误
差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点：
（1）单峰；
（2）曲线关于均值对称，Cs=0
（3）曲线两端趋于±∞，并以x轴为渐近线。
六、(海森)频率格纸（几率纸）选用
第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。 具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的 所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。
1.离散型随机变量概率分布：
2.连续型随机变量概率分布：
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只能研 究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累计概 率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的 概率及其分布） 设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随机变量x 取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变量x的分布 函数，记为F(x):
四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中
出现的频率。 W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的 程度。
五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位
水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以
此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、
插补水文特征值和水文预报。
（3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度的 参数）
样本系列统计参数计算
样本 1 系列 300 (xi-x)2 10000 (xi-x)3 1000000 Ki 1.5 Ki-1 0.5 (Ki-1)3 0.125
2
3 4 5
200
185 165 150