高考高三12月内部特供卷 文科数学(一)教师版 (2)
2022-2023学年陕西省部分重点高中高三上学期12月联考文科数学试题及答案解析
2022-2023学年陕西省部分重点高中高三上学期12月联考文科数学试题及答案解析第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一符合题目要求的.1.已知集合{20},{10}A x x B x x =->=+>∣∣，则A B ⋃=（）A.{2}xx <∣ B.{1}xx >-∣ C.{12}xx -<<∣ D.R2.()()32i 2i --=（）A.47i- B.87i- C.47i+ D.87i+3.若函数()()⎩⎨⎧>+≤+=0,3log 0,122x x x x x f ，则()()2f f -=（）A.1B.2C.3D.44.已知向量()(),2,1,a m b m == ，若a 与b反向共线，则m =（）A.C.2- D.25.《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-103203y y x y x ，则1-+=y x z 的最大值为（）A.1- B.0C.1D.27.函数()2cos x x f x x-=的图象大致为（）A.B.C.D.8.已知3311log ,,cos222a b c ===，则（）A.a b c << B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<<9.若函数32()3f x x bx x =++在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则b 的取值范围是（）A.()5,∞-+ B.()3,∞-+ C.(),5∞-- D.(),3∞--10.在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且()99900,90k S S S k ==≠，则正整数k 的值为（）A.11B.10C.9D.811.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为偶函数，且对任意[)12,2,x x ∞∈+，均有()()21210f x f x x x ->-，则关于x 的不等式()()7f x f <的解集为（）A.()3,7- B.()0,7 C.()3,5-D .()1,5-12.已知函数()cos2f x x m x =-，若对任意的(),,22k x k Z f x m π≠∈=有解，则m 的取值范围是（）A.[)2,∞+ B.(]0,2 C.][(),22,∞∞--⋃+ D.[)(]2,00,2-⋃第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在等比数列{}n a 中，372,4a a =-=-，则5a =__________.14.函数()8sin 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的极值点为0x ，则0tan 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若P 在弧BC 的中点，则()PA PB PO +⋅=___________.16.函数()2sin2sin f x x x =的值域是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0≥x g 的解集.18.（12分）已知一次函数()f x 满足()()2f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()()0,,x af x ∞∈+>恒成立，求a 的取值范围.19.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为111,,,tan tan sin a b c A C B+=.（1）证明：2b ac =，（2）求角B 的最大值并说明此时ABC ∆的形状.20.（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：132********1111113n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++< .21.（12分）已知函数()32121f x ax x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值.22.（12分）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 在点A 处的切线为1l ，函数()xxg x e e -=-在点B 处的切线为212,l l l ∥，求直线AB 的方程.答案解析1.D 由题意可得{2},{1}A xx B x x =<=>-∣∣，则A B ⋃=R .2.A ()()32i 2i 47i --=-.3.C由题意可得()22(2)15f -=-+=，则()()()225log 83ff f -===.4.A 由题意得22m =，得m =，又a 与b反向共线，故m =.5.B“打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.6.D由题画出可行域（图略）知，当直线:10l x y +-=平移到过点()0,3时，z 取得最大值，最大值为2.7.B 根据定义域排除C ，D ，()210f πππ-=<，排除A.故选B.8.C 因为10130211331,01,cos2022a b c ⎛⎫⎛⎫=>=<=<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以c b a <<.9.A由题可知()23230f x x bx =++>'在1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即132x b x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭在1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，所以13323b ⎛⎫+>-⎪⎝⎭，解得5b >-，所以b 的取值范围是()5,∞-+.10.C2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由990S =可知二次函数图象的对称轴为992x =，所以9099k +=，解得9k =.11.A由题可知()f x 的图象关于直线2x =对称，且在[)2,∞+上单调递增.令()()2g x f x =+，则()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减.由()()7f x f <，可得()()25g x g -<，所以25x -<，解得37x -<<.12.D由题意可得22cos cos223cos sin x x x m x x x==++.因为,2k x k π≠∈Z ，所以cos 0,tan 0x x ≠≠，所以22243sin cos 43tan 4333cos sin 3tan tan tan x x xm x x x x x===+++.当tan 0x >时，32tan tan 3≥+x x，则2tan tan 3340≤+<x x，即20≤<m ，当tan 0x <时，32tan tan 3-≤+x x，则0tan tan 3342<+≤-x x，即02<≤-m .综上，[)(]2,00,2m ∈-⋃13.-由题可得2537a a a =⋅，且253a a q =⋅，所以5a =-.14.3-由题意得()()8cos cos 80f x x x x x =-+=-='，因为()f x 的极值点为0x，所以000sin tan 2x x x ===，则000tan 1tan 341tan x x x π+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭.15.8取AB 的中点M （图略），则()2228PA PB PO PM PO PO +⋅=⋅== .16.,99⎡-⎢⎣⎦()()2234sin cos 4cos 1cos 4cos 4cos f x x x x x x x ==-=-+.设[]cos 1,1t x =∈-，则()344y g t t t ==-+，故()()22124431g t t t =-+=--'.由()0g t '>，得33t -<<；由()0g t '<，得331-<<-t 或133<<t .则()g t在1,3⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭和,13⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.因为()()110,,3939g g g g ⎛⎫⎛⎫-==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(),99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是,99⎡-⎢⎣⎦.17.解：（1）()21cos sin cos 2f x x x x =+-11cos2sin222x x =+2sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）()3sin 2sin 224424g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()0≥x g ，所以ππππ+≤+≤k x k 24322，Z k ∈解得883ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈.故不等式()0≥x g 的解集为()3,88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .18.解：（1）设()f x kx b =+，则()()()()22f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=+，所以21,2,k kb b ⎧=⎨+=⎩解得1,1,k b =⎧⎨=⎩所以()f x 的解析式为()1f x x =+.（2）由()()0,,x af x ∞∈+>，可得1a x >+，21111≤+=+xx x x ，当且仅当1x =时，1x +取得最大值，所以12a >，即a 的取值范围为1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.（1）证明：因为111tan tan sin A C B +=，所以cos cos 1sin sin sin A C A C B+=，所以cos sin sin cos 1sin sin sin A C A C A C B +=，所以()sin 1sin sin sin A C A C B+=，所以2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =.（2）解：2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--=== ，当且仅当a b =时，cos B 取得最小值12，所以角B 取得最大值3π，此时ABC 为等边三角形.20.（1）解：令1n =，则211122S a a =+，又0na >，得112a =.当2n时，因为222n n n S a a =+，所以211122n n n S a a ---=+，两式相减得2211222n n n n n a a a a a --=-+-，即()()112210n n n n a a a a --+--=.又因为0na >，所以112n n a a --=，则{}n a 是公差为12的等差数列，故()111222n na n =+-⨯=.（2）证明：由（1）可得()21411222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以132********111111n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++ 1111111111111121324354657112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111121212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭因为*n ∈N ，所以11111221312122n n ⎛⎫⎛⎫+--<+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因此132********1111113n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++< .21.解：（1）()()232438f x ax x x ax =='--.当0a =时，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减.当0a >时，若()80,,0x f x a ⎛⎫⎪⎭'∈< ⎝；若()()8,0,,0x f x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+⎝'> ⎪⎭.所以()f x 在80,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()8,0,,a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增.当0a <时，若()()8,0,,0x f x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+< ⎪'⎝⎭；若()8,0,0x f x a ⎛⎫⎪⎭'∈> ⎝.所以()f x 在8,0a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()8,,0,a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当1a =时，由（1）知，()f x 在(]0,1上单调递减，在[)1,0-上单调递增，所以()f x 在[]1,1-上的最大值为()01f =.因为()()112,110f f -=-=-，所以()f x 在[]1,1-上的最小值为12-.22.解：（1）()11101133f =-+-=-，()222ln 212ln 3f x x x x x =+-+=-+'，则()12f '=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()1213y x +=-，即723y x =-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，令()22ln 3h x x x =-+，则()()()21122x x h x x x x+-=-='.当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<.所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()22ln 3h x x x =-+在1x =时取得最大值2，即()2≤'x f .()22=⋅≥+='--x x x x e e e e x g ，当且仅当0x =时，等号成立，取得最小值2.因为12l l ∥，所以()()122f x g x ''==，得121,0x x ==.即()11,,0,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为13y x =-.。
最新届高三12月文科数学试题详细答案
高三12月月考试题（一）文科数学参考解答一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1． C 【解析】()()()[)020323.R A B C A B ==⇒=，，，，2． D 【解析】()2,234,3,4,7.a bi b ai i i b a a b i+=--=-==-∴-=-由已知 3． C【解析】()()3|2|f x a x a =+-在()1+∞，上为增函数()()3023532.44812a a P a +>⎧--⎪⇔⇔-<≤⇒==⎨--≤⎪⎩4. A 【解析】1ln02a =<,1π024<<且正弦函数sin y x =是增函数，，即10sin 22∴<<1212122c -====，a b c ∴<<． 5． C【解析】由已知圆心322⎛⎫⎪⎝⎭，在直线0ax by -=上，所以35.44b e a =⇒=6． C 【解析】()()()()22ln 1cos 222cos 24cos x f x e x x f x f x x x x x x =++⇒--=+=24cos .33333f f πππππ⎛⎫⎛⎫⇒--=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7． B 【解析】675,125,100,125,100100,NO c 125MOD10025,a 100,b 25a b c aMODb a b c ======⇒=⇒====否,100250,25,0,0,YES,a 25.c MOD a b c ======输出 8 C 【解析】图象过点()1110sin ,||;22226121262f x f k πππππϕϕϕωπ⎛⎫⎛⎫⇒=<⇒=≤⇒⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，min 244,(,0) 4.k k Z ωωω⇒=+∈>⇒=9.B 【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510.⨯+⨯+⨯+= 10． C 【解析】由题意知该几何体是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，右侧是一个半径为1的四分之一球组成的组合体，则该几何体的体积为2314712+1=433，故选C ． 11． D 【解析】22=2+11x y x x =--的对称中心为()1,2 在抛物线上得2,p=设221212,,,,44y y A y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易得124y y =-，由抛物线定义得22221212212133 3.4442y y y y AF BF ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 所以选D.12． C 【解析】画出函数()f x 的图象，如图所示，则221e x ，且()()122222ln f x f x x x x x ==，记 函数2ln ()(1e )x g x x x ，则21ln ()xg'x x，令()0g'x ，得e x ，当(1,e)x 时，()0g'x ；当2(e,e )x时，()0g'x ，故当e x 时，函数()g x 取到最大值，最大值为1e ，即()12f x x 的最大值为1e，故选C ．第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.898.14..15.7.16.36.3 ，13．【解析】各组抽到的编号按从小到大构成公差为10的等差数列，其通项为()1011293103107132098.22n a a a n a ++=-=⇒==抽到的个号码的中位数为14．【解析】()()()12||31;33AB AC AB AC AM BC AB BMAC AB AB AC AC AB ⎛⎫+=⇒⋅=-⋅=+-=+- ⎪⎝⎭221211818.3333333AB AC AB AC =-+-⋅=-++=15． 【解析】1222(log 3)(log 3)(log 3)f f f ，因为2log 312(log 3)2f 1 2log 32217，故12(log 3)7.f16．【解析】由题知0)1(,0)1(==-f f ，因为函数)(x f 的图象关于直线3=x 对称，所以(7)(1)0f f 且(5)(1)0f f ，即⎩⎨⎧=++⨯=++0)525(240)74948b a b a （，解得35,12=-=b a ，所以)(x f =)3512)(1(22+--x x x =)7)(5)(1)(1(---+x x x x =)76)(56(22--+-x x x x ，设162--=x x t （10-≥t ），则)(t f =)6)(6(-+t t （10-≥t ）=362-t ≥-36，故函数)(x f 的值域为[-36,+∞）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）由条件得1221(1)2n n a a n n +=+，又1n =时，21na n =，故数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成首项为1，公比为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即212n n n a -=．……6分（Ⅱ）由22(1)21222n nn n n n n b ++=-=得 23521222n n n S +=+++231135212122222nn n n n S +-+⇒=++++， 两式相减得：23113111212()222222n n n n S ++=++++-，所以2552n nn S +=-． ……12分 18.【解析】 （Ⅰ）设这200名学生中男生对19大“比较关注”与“不太关注”的人数分别为,.x y 则女生对19大“比较关注”与“不太关注”的人数分别为85, 5.y y 由题意110100,10.4853x y x y x y222001001575102.597 6.6351752511090k ，所以没有99%的把握认为男生与女生对19大的关注有差异.（Ⅱ）该校学生会从对两19大“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样,从中抽取7人,则男生抽取4人，记为,,,.a b c d 女生抽取3人，记为,,.x y z 从中选2人共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ax ay az bc bd bx by bz cd cx cy cz dx dy dz xy xz yz 共21种，其中全为男生的有,,,,,,ab ac ad bc bd cd 共 6种.所以全为男生的概率为62=.21719．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）因为,,,.PD PE PD PF PE PF P PD PEF EF PEF PD EF ⊥⊥=⇒⊥⊂⇒⊥平面平面…….5分（Ⅱ）设EF 、BD 相交于O ，连结PO ．1BF =，1PE PF ==，EF ＝2， 则222EF PE PF =+，所以△PEF 是直角三角形，……7分比较关注 不太关注 合计 男生 100 10 110 女生 75 15 90 合计17525200易得,.EF PO EF PD EF PBD ⊥⊥⇒⊥平面,.PBD BEDF PBD BEDF BD ⇒⊥=平面平面平面平面则122OP EF ==，3242OD BD PD ===，……9分 作PH BD H PH BEDF P BEDF d ⊥⇒⊥于平面，设到面的距离，则2.3PO PD OD PH d PH ⋅=⋅⇒==……11分 则四棱锥P BEDF -的体积`3111224.(3323189BEDF A BEDF V S d -=⋅=⋅⋅==四棱椎 …….12分. 20. （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ,所以42=a ,22=b ,从而224222=-=-=b a c ,所以22==a c e …….2分 （Ⅱ）直线AB 与圆222=+y x 相切.证明如下：设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,因为OB OA ⊥,所以0=•,即0200=+y tx ,解得02x y t -=,…….4分 当t x =0时,220t y -=,代入椭圆C 的方程得2±=t ,此时直线AB 与圆222=+y x 相切. …….6分当t x ≠0时,直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-,即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y ,…….8分 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=,又422020=+y x ,02x y t -=, 故22168|4|4|22|20204002020202020020=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切. …….12分21. （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()-+∞∞，,(),x f x e a =-‘.()0a > ……1分 ()'0ln f x x a >⇒>⇒()f x 的单调增区间是()ln ,;a +∞()'0ln f x x a <⇒<⇒()f x 的单调减区间是()-ln ;a ∞，……3分 ()()()()()()()()'''ln ln ln ,00,1;01,.g a f x f a a a g a a g a a g a a ===-⇒=->⇒∈<⇒∈+∞极小值所以()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ……5分所以1a =是函数()g a 在()0+∞，上唯一的极大值点,也是最大值点,所以()()()max =1 1.g a g a g ==极大值……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）()()(]ln ln 0,f x f a a a a a e 极小值0==-≥⇒∈……8分()(]()()2''',0,22,a a a f a e a a e f a e a f a e =-∈⇒=-⇒=-'''min0ln ,ln ,ln 222ln 20f a aa ef af 在， ……10分()(]()()()(220011.e e f a e f f e e e f a e e ⎤∴⇒=<=-⇒-⎦在，的范围是， ……12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．……5分 （Ⅱ）直线l 为经过点(1,0)P -倾斜角为α的直线，由1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y y +-=，整理得22(sin cos )10t t αα-++=，由2[2(sin cos )]40αα∆=-+->，得|sin cos |1αα+>，设B A ,对应的参数分别为12,t t ，则122(sin cos )t t αα+=+，1210t t ⋅=>， 则12||||||||PA PB t t +=+12||2|sin cos |t t αα=+=+，又1|sin cos |αα<+≤2||||PA PB <+≤所以||||PA PB +的取值范围为(2,．……10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】 （Ⅰ）要使不等式()|1|f x m ≥-有解，只需max ()|1|f x m ≥-. 又()|3||2|(3)(2)5f x x x x x =--+≤--+=，当且仅当2x ≤-时等号成立. 故15m -≤，46m ∴-≤≤，故实数m 的最小值4M =-；……5分 （Ⅱ）因为正数,a b 满足34a b M +=-=，313194()(3)()6612a b a b b a b a b a ∴+=++=++≥=313b a∴+≥.……10分高考语文备考——议论文万能写作模板所有使用过该模板的同学，在历次60满分的作文考试中，最高仅得到58分，但最低也没有低于43分。
高考高三12月内部特供卷 文科数学(一)教师版
********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********2019-2020学年12月份内部特供卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,0,1A =-，{}220B xx x =∈+≤Z ，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2,0-C ．{}2,1-D ．2,0,1【答案】B【解析】解不等式220x x +≤，解得20x -≤≤，所以{}{}2202,1,0B x x x =∈+≤=--Z ，因此{}2,0A B =-，故选B ．2．已知角α的终边经过点()25,5--，则sin α的值为（ ） A ．255-B ．12-C ．55-D ．55【答案】C【解析】由三角函数的定义得()()2255sin 5255α-==--+-，故选C ．3．函数()πtan 4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3ππ,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZB ．3,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZC ．3ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ZD ．π,4πx x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】A【解析】解不等式πππ42x k -≠+，k ∈Z ，得3ππ4x k ≠+，k ∈Z ，因此，函数()πtan 4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为3ππ,4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故选A ．4．函数()π4sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为（ ）A ．π6x =B ．13x =-C ．56x =-D ．3πx =-【答案】C 【解析】由()ππππ32x k k +=+∈Z ，得()16x k k =+∈Z ，取1k =-，得56x =-，即函数()π4sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的一条对称轴方程为56x =-，故选C ．5．“a b >”是“77log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数7log y x =是()0,∞+上的增函数， 由77log log a b >，可得0a b >>，因此，“a b >”是“77log log a b >”的必要不充分条件，故选B ．6．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()()4log 6f x x =+，则()2f -=（ ）A ．32-B ．1-C ．1D ．32【答案】A【解析】由题意得()4ln83ln 232log 8ln 42ln 22f ====， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********由于函数()y f x =为R 上的奇函数，因此()()3222f f -=-=-，故选A ．7．若函数1()3x af x -⎛⎫= ⎪⎝⎭满足(2)(2)f x f x +=-，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(2],-∞B ．(1],-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】A【解析】解法1：由(2)(2)f x f x +=-知，函数图象()f x 关于2x =对称， 所以2a =，函数2y x =-在(]2-∞，单调递减，在[2)+∞，单调递增； 而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞+∞，上递减， 由复合函数的单调性知，函数21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(2],-∞，故选A ．解法2：由函数图象变换可知，2a =且函数21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(2],-∞．故选A ．8．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢²)．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为π3，弦长等于2米的弧田．按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为（ ） A ．π3B．π3-C．92-D．112-【答案】D 【解析】在圆心角为π3，弦长等于2米的弧田中，半径为2于是矢2=-所以弧田面积12=(弦×矢+矢²)((211122222⎡⎤=⨯+=-⎢⎥⎣⎦D ． 9．若2x =-是函数()321213f x x ax x =--+的一个极值点，则函数()f x 的极小值为（ ） A ．113-B ．16-C ．16D ．173【答案】B 【解析】()321213f x x ax x =--+，()222f x x ax '∴=--，由题意得()2240f a '-=+=，解得12a =-，()32112132f x x x x ∴=+-+，()()()2221f x x x x x '∴=+-=+-．当2x <-或1x >时，()0f x '>；当21x -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()2,1-，当1x =时，函数()y f x =取得极小值()111121326f =+-+=-，故选B ．10．O 为ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OC ++=0，若OA AB BC λμ=+， 则（ ）A ．13λ=-，23μ=-B ．23λ=-，13μ=-C ．13λ=，23μ=D ．23λ=，13μ= 【答案】B【解析】由OA AB BC λμ=+，得()()OA OB OA OC OB λμ=-+-， 即()()1OA OB OC λμλμ++--=0，又OA OB OC ++=0，则1λμμλμ+=-⎧⎨-=-⎩，解得23λ=-，13μ=-，故选B ．11．若3tan πtan 7α=，则5πsin 14πcos 7αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．2B ．12 C ．12-D ．2-【答案】D 【解析】3tan πtan 7α=，πtan tan37α=，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********π5π5ππππcos sin cos cos cos sin sin 21414777πππππcos cos sin sincos cos cos 77777αααααααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π1tan tan 1372π131tan tan7αα++===---， 故选D ．12．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()f x f x '<恒成立，则（ ） A ．()()201902019e f f > B ．()()20192020f ef < C ．()()201902019ef f <D ．()()20192020ef f >【答案】C【解析】构造函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，()()f x f x '<，则()0g x '>，所以函数()y g x =在R 上为增函数． 则()()02019g g <，即()()201920190f f e<，所以，()()201902019e f f <； ()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f e e>，所以，()()20192020ef f <， 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．命题“若2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin x x >”的逆否命题是___________．【答案】若sin x x ≤，则π0,2x ⎛⎫∉ ⎪⎝⎭【解析】因为命题“若p 则q ”的逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，所以命题“若2π0,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin x x >”的逆否命题是“若sin x x ≤，则π0,2x ⎛⎫∉ ⎪⎝⎭．故答案为：若sin x x ≤，则π0,2x ⎛⎫∉ ⎪⎝⎭． 14．已知π1sin 79x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πcos 14x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________．【答案】19【解析】π5ππ7142x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5πππ1472x x ⎛⎫∴-=+- ⎪⎝⎭， 因此5ππππ1cos cos sin 142779x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为19．15．函数()cos sin f x x x θ=+在(0，0)处的切线方程为___________． 【答案】0x y -=【解析】()cos sin f x x x x '=-，(0)1f '=，又(0)0f =，所以函数()cos sin f x x x θ=+在(0，0)处的切线方程为01(0)y x -=⨯-， 即0x y -=．16．如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小海在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西45°方向，则A 、B 两岛屿的距高为___________海里．【答案】202 【解析】连接AB ，由题意可知CD =20，∠ACD=45°，∠BDC =45°，∠BCD =90°，∠ACD=45°， ∠CAD =30°，∠ADB =60°，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********在△ACD 中，由正弦定理得，20sin 45sin 30AD =︒︒，∴AD =在Rt △BCD 中，∵∠BDC =45°，∠BCD =90°，∴BD ==．在△ABD 中，∠ADB =60°，AD =BD ，所以△ABD为等边三角形，所以AB =三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设命题:p 实数x 满足22320x mx m -+<，命题:q 实数x 满足2(2)1x +<． （1）若2m =-，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若0m <，且p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(3,2)--；（2）(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）当2m =-时，268:0x x p ++<，即42x -<<-， 由2(2)1x +<，得31x -<<-．若p q ∧为真，即p 真且q 真，{}{}{}423132x x x x x x -<<--<<-=-<<-，所以实数x 的取值范围(3,2)--．（2）若0m <，222:30x mx p m -+<，即2m x m <<；1:3x q -<<-，:3q x ⌝≤-，或1x ≥-， 且p 是q ⌝的充分不必要条件，则03m m <⎧⎨≤-⎩或021m m <⎧⎨≥-⎩，即3m ≤-，或102m -≤<，故实数m 的取值范围为(]1,3,02⎡⎫-∞--⎪⎢⎣⎭．18．（12分）已知()sin ,cos αα=a ，2=b ．（1）若向量b 在a 方向上的投影为1-，求⋅a b 及a 与b 的夹角θ； （2）若+a b 与a 垂直，求2-a b ．【答案】（1）1⋅=-a b ，2π3θ=；（2） 【解析】（1）()sin ,cos αα=a ，1∴==a ，由向量数量积的几何意义知，向量b 在a 方向上的投影为cos 1θ=-b ， 则cos 1θ⋅=⋅=-a b a b ，且11cos 2θ-==-b ， 0πθ≤≤，因此2π3θ=． （2）()+⊥a b a ，()210∴+⋅=+⋅=+⋅=a b a a a b a b，得1⋅=-a b ，2∴-====a b19．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分別为a 、b 、c cos )sin c a B bA -=． （1）求角A ；（2）若a =b c +的最大值．【答案】（1）π3A =；（2） 【解析】（1cos )sin c a B b A -=，sin cos)sin sin C A B B A -=， ]sin()sincos sin sin A B A B B A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin sin AB A B A B B A +-=， sin sinsin A B B A =，因为sin 0B≠sin A A =，即tan A = ∵()0,πA ∈，∴π3A =． （2）因为a =π3A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22()3b c bc =+-， ∴23()2bc b c =+-．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴223()2()4b c b c +-≤+， ∴22b c +≤，当且仅当2b c ==时等号成立． 故b c +的最大值为22．20．（12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ常数，A >0，0ω>，π2ϕ<)的部分 图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间．【答案】（1）π2s )3(in 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．【解析】（1）由图可知，2A =，7πππ41234T =-=，∴πT =， 又2πT ω=，∴2ω=，由7π3π22π()122k k ϕ⨯+=+∈Z ，π2π()3k k ϕ=+∈Z ，∵π2ϕ<，取k =0，得π3ϕ=，∴π2s )3(in 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由题意可得()ππ2π2sin 212sin 21633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()π2π3π2π22π232k x k k +≤+≤+∈Z ，得()π5πππ1212k x k k -≤≤+∈Z ． 因此，函数()y g x =的单调递减区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．21．（12分）已知函数2()21f x ax x =-+． （1）若()f x 的值域为[)0,+∞，求a 的值； （2）巳12a ≤，是否存在这祥的实数a ，使函数2()log 4x y f x =-在区间[]1,2内有且只有一个零点．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =；（2）存在，11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）函数()f x 的值域为[)0,+∞，则()2240a Δa >⎧⎪⎨=--=⎪⎩，解得1a =． （2）由222()log 23log 04xy f x ax x x =-=-+-=， 即2223log ax x x -+=，令2()23g x ax x =-+，2()log h x x =，[]1,2x ∈，原命题等价于两个函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点．①当0a =时，()23g x x =-+在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增， 而()()1101g h =>=，()()2112g h =-<=， ∴函数()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点． ②当0a <时，()g x 图象开口向下，对称轴为10x a=<，()g x 在[]1,2上递减， 2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，当且仅当(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，即112a -≤≤，∴10a -≤<．③当102a <≤时，()g x 图象开口向上，对称轴为12x a=≥，()g x 在[]1,2上递减，2()log h x x =在[]1,2上递增，()g x 与()h x 的图象在[]1,2内有唯一交点，(1)(1)(2)(2)g h g h ≥⎧⎨≤⎩，即10411a a +≥⎧⎨-≤⎩，即112a -≤≤，∴102a <≤．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********综上，存在实数11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使函数2()log 4x y f x =-于在区间[]1,2内有且只有一个点． 22．（12分）已知函数()2ln f x x a x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，若对任意1x 、(]20,1x ∈，且12x x ≠，都有()()1212113f x f x x x -<-， 求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(]0,2．【解析】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()1a x af x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，由()0f x '>，得x a >-；由()0f x '<，得0x a <<-．此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -+∞，单调递减区间为()0,a -． （2）0a >时，函数()y f x =在(]0,1上递增，1y x=在(]0,1上递减， 不妨设1201x x <<≤，则()()()()1221f x f x f x f x -=-，12121111x x x x -=-， ()()1212113f x f x x x ∴-<-等价于()()2112113f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即()()212133f x f x x x +<+，令()()332ln g x f x x a x x x=+=+++， ()()1212113f x f x x x -<-等价于函数()yg x =在(]0,1上是减函数， ()222330x a x ax g x x x x++-'∴=-=≤，即230x ax +-≤在(]0,1恒成立， 分离参数，得3a x x≤-， 令()3h x x x =-，()2310h x x'=--<，()3h x x x ∴=-在(]0,1上单调递减， ()()min 12h x h ==，2a ∴≤，又0a >，故实数a 的取值范围为(]0,2．【河南省平顶山市2019-2020学年高三上学期10月阶段性检测数学（文）试题用稿】。
高考高三12月内部特供卷 文科数学(二)教师版 (2)
金戈铁骑2019届高三12月份内部特供卷文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22A x y x x ==-，{}2320B x x x =+-<，R 表示实数集，则下列结论正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．R B A ⊇ð C ．A B ⊆R ð D ．B A ⊆R ð【答案】C【解析】{}{}2202A x y x x x x ==-=≤≤，{}{}232013B x x x x x x =+-<=<->或， ∴{}13B x x =-≤≤R ð，显然{}{}0213x x x x ≤≤⊆-≤≤，即A B ⊆R ð，故选C ． 2．复数z 满足()1i i z +=，则在复平面内复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】由()1i i z +=得()()()i 1i i 1i1i 1i 1i 2z -+===++-， 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，故选A ．3．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ） A ．35 B ．36 C ．45 D ．54【答案】C【解析】∵正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，2375150a a a +-+=， ∴2552150a a --=，解得55a =或53a =-（舍），∴()91959995452S a a a =+==⨯=，故选C ． 4．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是（ ）A ．34B ．23C ．12 D ．13【答案】D【解析】十字路口的交通信号灯，绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒， 区间长度为90，根据交通规则可得小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒， 应该是从绿灯熄灭以后的30秒内到达路口，即区间长度为30， ∴小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率为301903=，故选D ． 5．设0534a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，0443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，()334log log 4c =，则（ ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】C【解析】∵0534a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，0443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．，()334log log 4c =，∴05330144⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．，即01a <<， 且0444133⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．，即1b >，()()33333444log log 4log log 3log 10<==，即0c <， 故c a b <<，故选C ．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．90B ．72C ．68D ．60【答案】B【解析】由已知中的三视图可知：该几何体是由一个长方体和四棱锥组成的组合体，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号其中长方体的体积为36354⨯⨯=，四棱锥的体积为1633183⨯⨯⨯=，故组合体的体积541872V =+=，故选B ．7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．12s >B ．35s >C ．710s >D ．45s >【答案】C【解析】程序框图的执行过程如下：1s =，9k =；910s =，8k =；98810910s =⨯=，7k =；87710810s =⨯=，6k =，循环结束，故可填入的条件为710s >．故选C ． 8．把函数()2sin cos 3cos f x x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．π3B ．π4C ．π6D ．π12【答案】D【解析】函数()()()231cos 2sin 2sin cos 3cos 22x x f x x x x f x +=+==+ π3sin 232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到()()π3π3sin 2sin 223232f x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为偶函数， ∴ππ22π,32k k ϕ+=+∈Z ．ππ,12k k ϕ=+∈Z ．0ϕ>，ϕ的最小值为π12． 故选D ．9．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，定点()22,0A ．若射线FA 与抛物线C 相交于点M （点M在F 、A 中间），与抛物线C 的准线交于点，则FMMN=u u u u r u u u u r （ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】∵抛物线2:4C x y =的焦点为()0,1F ，点A 坐标为()22,0， ∴抛物线的准线方程为:1l y =-，直线AF 的斜率为0124220k -==--， 过M 作MP l ⊥于P ，根据抛物线定义得FM PM =，∵Rt MPN △中，2tan 4MNP k ∠=-=，∴24PM PN =，可得22PN PM =，得3MN PM =， 因此可得1::1:33FM MN PM MN ===，故选B ．10．已知ABC △中，π2A ∠=，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点， 则BQ CP ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．1-D ．0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，()0,0A ，()1,0B ，()0,1C ， 设(),0P m ，()0,Q n ，()0,1m n ≤≤， ()1,BQ n =-u u u r ，(),1CP m =-u u u r，()2BQ CP m n ⋅=-+≥-u u u r u u u r，故选B ．金戈铁骑11．设函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，()2log g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】函数()()()h x f x g x =-的零点个数就是函数()f x 的图象和函数()g x 的图象的交点个数， 分别画出函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩的图象和函数()2log g x x =的图象，如图，由图知，它们的交点个数是3，函数()()()h x f x g x =-的零点个数是3，故选B ．12．设A ，B ，C ，D 是半径为１的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r，0AD AB ⋅=u u u r u u u r，用123S S S 、、分别表示ABC △、ACD △、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）C DBAA ．12B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】设AB x =，AC y =，AD z =，则有22222x y z ++=，2222221231112222444x y y x z x S S S xy yz zx +++++=++≤++=．即123S S S ++的最大值为2．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______．【答案】甲【解析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方． 从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高． 故答案为甲．14．设实数x ，y 满足2020240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最小值为_________．【答案】4【解析】画出2020240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的可行域，由20240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可得02x y =⎧⎨=⎩，将32z x y =+变形为3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，可知当直3122y x z =-+经过点()0,2时，直线在轴上的截距最小，最小值为30224z =⨯+⨯=，故答案为4．15．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的左、右焦点1F ，2F ，它们在第一象限交于点P ，其离心率分别为1e ，2e ，以1F ，2F 为直径的圆恰好过点P ，则221211e e +=________． 【答案】2【解析】由椭圆定义得1212PF PF a += ①，P 在第一象限，由双曲线定义得1222PF PF a -= ②， 由①②得112PF a a =+，212PF a a =-，∵1F ，2F 为直径的圆恰好过点P ，∴1290PF F ∠=︒，∴()222122PF PF c +=，∴()()22212124a a a a c ++-=，∴222122a a c +=， ∴2212222a a c c+=，即2212112e e +=，故答案为2．16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 2213=+，23135=++，241357=+++，⋅⋅⋅； 3235=+，337911=++，3413151719=+++L根据上述分解规律，若213511m =+++⋅⋅⋅+，3p 的分解中最小的正整数是43，则m p +=________． 【答案】13【解析】由2213=+，23135=++，241357=+++，⋅⋅⋅； 观察得22131221=+=+⨯-，2313513231=++=++⨯-， 241357135241=+++=+++⨯-，L ，故213579261m =+++++⨯-，∴6m =；由3235=+，337911=++，3413151719=+++L ；观察得()()33235121537911231911=+=⨯++=++=⨯+++，， ()3413151719341151719=+++=⨯++++，L ，故()33434547495153556714547495153557p =++++++=⨯+++++++=， ∴7p =，则6713m p +=+=，故答案为13．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数()()()2π3sin 3πcos πcos 2f x x x x ⎛⎫=+⋅-++ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()32f A =，2a =，4b c +=， 求b ，c ．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间是()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）2b c ==．【解析】（1）∵()()()2π3sin 3πcos πcos 2f x x x x ⎛⎫=+⋅-++ ⎪⎝⎭，∴()()()231cos 2π13sin cos sin sin 2sin 2262x f x x x x x x -⎛⎫=--+-=+=-+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π,262k x k k -≤-≤+∈Z ， 函数()f x 的单调递增区间是()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）由()32f A =，得π13sin 2622x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πA <<，∴022πA <<，ππ11π2666A -<-<，ππ262A -=，π3A =， ∵2a =，4b c +=①，根据余弦定理得，()2222242cos 3163b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+-=-， ∴4bc =②，联立①②得2b c ==．18．（12分）如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF AB ∥，22AB EF ==，沿着AB 将图形折成图2，其中90AED ∠=︒，AE ED =，H 为AD 的中点． （1）求证：EH BD ⊥；（2）求四棱锥D ABFE -的体积．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】（1）证明：由题可知AB EA ⊥，AB AD ⊥，且EA AD A =I ，EA ，AD ⊂平面AED ，∴AB ⊥平面AED ． ∵EH ⊂平面AED ，∴AB EH ⊥．∵AE ED =，H 是AD 的中点，∴EH AD ⊥．又AB AD A =I ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴EH BD ⊥．（2）D ABFE E ABD B EFD V V V ---=+，其中11122213263E ABD V AB AD EH -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．∵12EFD FCD S S =△△，且B CFD E ABD V V --=，∴1122B EFD B CFD E ABD V V V ---==， ∴2211332D ABFE E ABD B EFD V V V ---=+=+⨯=． 19．（12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用偶尔或不用合计金戈铁骑30岁及以下 70 30 100 30岁以上 60 40 100 合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）见解析；（2）910P =． 【解析】（1）由列联表可知：()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵2.198 2.072>，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关． （2）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）． 设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ，b ，c ； 偶尔或不用共享单车的2人分别为d ，e ．则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ， (),a c ， (),a d ， (),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共10种，其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e 共1种， 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=． 20．（12分）如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅u u u r u u u r为定值？证明你的结论．【答案】（1）22143x y +=；（2）11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）由题设得226a c +=，又12c e a ==，解得2a =，1c =，∴3b =． 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）右焦点为()21,0F ，当直线的斜率存在时，设此时直线l 的方程为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，把()1y k x =-，代入椭圆C 的方程为22143x y +=，消去y 并整理得，()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，可得()()()222121212122911134k y y k x x k x x x x k=--=-++=-⎡⎤⎣⎦+． 设点(),0P n ，那么()()()21122121212,,PA PB x n y x n y x x n x x n y y ⋅=-⋅-=-+++u u u r u u u r()222581234n k n k+=-+++，若x 轴上存在定点P ，使得PA PB ⋅u u u r u u u r 为定值，则有581243n +=，解得118n =，此时2135464PA PB n ⋅=-+=-u u u r u u u r ，当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，把1x =代入椭圆方程22143x y +=，解得32y =±，此时31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3333135,,828264PA PB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，综上，在x 轴上存在定点11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭，使得PA PB ⋅u u u r u u u r 为定值．21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）()0,1．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-，若0a ≤，则()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞单调递增，若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值， 最大值为111ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；因此122f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭等价于ln 10a a +-<，令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在()0,+∞单调递增，()10g =， 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >， 因此，a 的取值范围是()0,1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值． 【答案】（1，80x y +-=；（2【解析】（1）由曲线1C ：即曲线1C 的普通方程为由曲线2C ：即曲线2C 的直角坐标方程为80x y +-=．（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点到直线80x y +-=的距离时，d 的最小值为23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x =+--． （1）求不等式()2f x ≥的解集； （2）若对于任意x ∈R ，不等式()2112f x t t >-恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）{}51x x x ≤-≥或；（2）152t <<． 【解析】（1）由题意()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩，当12x <-时，32x --≥，解得5x ≤-，∴5x ≤-；当122x -≤<时，312x -≥，解得1x ≥，∴12x ≤<；当2x ≥时，32x +≥，解得1x ≥-，∴2x ≥； 综上，不等式()2f x ≥的解集为{}51x x x ≤-≥或． （2）当12x <-时，()3f x x =--，()52f x >-；当122x -≤<时，()5312f x x =-≥-；金戈铁骑当2x ≥时，()35f x x =+≥． ∴()min 52f x =-．不等式()2112f x t t >-恒成立等价于()2min 112t t f x -<，即211522t t -<-， 解得152t <<．【安徽省安庆市2019届高三五校联盟考试数学（文）试题用稿】。
2021年高三12月份月考试 数学文
2021年高三12月份月考试 数学文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、考号、考试科目、班级填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；第Ⅰ卷（客观题 共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}22,,,,xM y y x R N y y x x R MN ==∈==∈则等于A. B. C. D.（2）曲线在处的切线斜率为A.0B.C.3D.（3）已知是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则的值为A.0B.C.TD. （4）已知是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的假命题是A. 若B.若C.若D.若 （5）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值 A ．B ．C ．D ．（6）当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.（7）如右图，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（8）函数（其中A ＞＜）的图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位 （9）在等差数列{}中，，其前n 项和，若 ，则的值为A ．xxB ．2013C ．-xxD ．-xx（10）设，满足约束条件 ，若目标函数的最小值为.A. B. C. D. （11）已知函数，若且，则的取值范围A ． B. C. D.（12）函数的大致图象是二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）已知函数()()()log 0192,a f x x a a f a =>≠==且满足则______________. （14）已知则等于_________________.（15）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .（16）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，①若，，则； ②若；③若； ④若.其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上)． 三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）设函数(),(2cos ,1),(cos ,3sin 2),f x a b a x b x x x R ===∈其中向量（Ⅰ）求函数的单调减区间（Ⅱ）若，求函数的值域（18）（本小题满分12分）已知△ABC内角A、C、B成等差数列，A、B、C的对边分别为且，若向量共线，求的值.（19）（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，，（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC（Ⅱ）求证：AF//平面BDE（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积（20）（本小题满分12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是3万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为4万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.（21）（本小题满分13分)已知数列的前n项和为，（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求；（Ⅱ）设，求证：（22）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若的极值点，求在上的最大值；（Ⅱ）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.高三上学期第三次模块考试文科数学参考答案及评分标准说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
高三数学12月月考试题 文含解析 2
HY中学2021届高三12月考数学文科试卷第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 设集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】=,所以应选B2. 在复平面中，复数的一共轭复数，那么对应的点在〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】=那么对应的点为，此点在第一象限.应选A3. 在等差数列中，，且公差，那么其前项和取最小值时的的值是〔〕A. B. 或者 C. D.【答案】B【解析】等差数列中，可得，那么，当时，最小，又，所以当n=8或者n=7时前n项和取最小值，应选B．4. 以下命题正确的选项是〔〕A. 存在，使得的否认是：不存在，使得B. 对任意，均有的否认是：存在，使得C. 假设，那么或者的否命题是：假设，那么或者D. 假设为假命题，那么命题与必一真一假【答案】A【解析】A选项命题的否认是：对任意，均有，即：不存在，使得，所以A正确；B选项命题的否认是：存在，使得，所以B错；C选项否命题中“或者〞应是“且〞，所以C错；D选项命题A与B都是假，所以D错；应选A．5. 在平面直角坐标系中，向量，，假设，，三点能构成三角形，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】假设M，A，B三点能构成三角形，那么M，A，B三点不一共线；假设M，A，B三点一共线，有：，．故要使M，A，B三点不一共线，那么.应选B．6. 设函数，那么“函数在上存在零点〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为假设函数在上存在零点，又，那么在(2，8)上递增，那么，那么，故不一定；反过来，当，得，那么函数在(2，8)上存在零点，应选B．7. 假设，满足约束条件，那么的范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图，8. 如图，设网格纸上每个小正方形的边长为，网格纸中粗线局部为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】该几何体为由一个矩形底面、两个等腰梯形和两个等腰三角形组成侧面的几何体，其中，底面积为，两个梯形面积是，两个三角形面积是，所以外表积为.应选B．9. 某算法的程序框图如下图，那么该算法的功能是〔〕A. 求和B. 求和C. 求和D. 求和【答案】D【解析】由题意可知，算法的功能为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.应选D．10. 正四棱锥的底面是边长为的正方形，假设一个半径为的球与此四棱锥所有面都相切，那么该四棱锥的高是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为球O与正四棱锥所有面都相切，于是由等体积法知.应选B．11. 为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，假设，那么双曲线的离心率是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】延长交于点，由角平分线性质可知|，根据双曲线的定义，，从而．在中，因为O，H是中点，所以OH为其中位线，故，又，所以，∴.应选D．点睛：此题考察双曲线的离心率的求法，结合角平分线和垂线可分析出是等腰三角形，利用双曲线的定义，三角形中位线可得出，从而建立等式，解出离心率，属于中档题.12. 是定义在上的奇函数，满足，当时，，那么函数在区间上所有零点之和为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由是定义在R上的奇函数，所以，又，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当时，，，于是图象如下图，又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称，所以，所以零点之和为.应选A．点睛：此题主要考察函数的零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进展转化是解决此题的关键．第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 在中，角,,的对边分别为,,，假设，，，，那么角的大小为__________．【答案】【解析】由正弦定理知，解得，又，所以为锐角，所以A=．故答案为14. 假设圆与双曲线：的渐近线相切，那么双曲线的渐近线方程是__________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，圆的圆心为(2，0)，半径为1，因为相切，所以，所以双曲线C的渐近线方程是：．故答案为.15. 设函数假设且，，那么取值范围分别是__________．【答案】【解析】由知，在递增，在递减，且最大值为因为，得b在递减区间，所以，又假设，所以．故答案为16. 函数，且点满足条件，假设点关于直线的对称点是，那么线段的最小值是__________．【答案】...............即，圆心，半径即满足的条件；又点关于直线的对称点是，所以最小值为.故答案为.点睛：此题考察函数的奇偶性和单调性的运用，同时考察圆的方程，点关于直线的对称点，两点间间隔的最小值求法，考察运算才能，属于中档题．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 的内角所对的边分别是且，；等差数列的公差.〔Ⅰ〕假设角及数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列满足，求数列的前项和.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由得可得，又等差数列的公差=2，可写出数列的通项公式；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得得，设,利用错位相减法可得数列的前项和.试题解析：〔Ⅰ〕由题意，，又等差数列的公差．〔Ⅱ〕由，设，那么，，相减得，那么.18. 某初三毕业生参加中考要进展体育测试，某实验中学初三〔8〕班的一次体育测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的涂黑，但可见局部如图，据此解答如下问题.〔Ⅰ〕求全班人是及中位数，并重新画出频率直方图；〔Ⅱ〕假设要从分数在之间的成绩中任取两个学生成绩分析学生得分情况，在抽取的学生中，求至少有一个分数在之间的概率.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据分数在[50，60〕的频率为0.008×10，和由茎叶图知分数在[50，60〕之间的频数为2，得到全班人数，由茎叶图知，25个数从小到大排序第13个数是73，所以中位数是73，频率直方图见解析；〔Ⅱ〕将之间的4个分数编号为1，2，3，4，之间的2个分数编号为N，M，列举出在，之间的学生成绩中任取两个分数的根本领件一共15个，其中，至少有一个分数在之间的根本领件一共9个，故概率即可求得.试题解析：〔Ⅰ〕由茎叶图知，分数在之间的频数为2，频率为，全班人数为；由茎叶图知，25个数从小到大排序第13个数是73，所以中位数是73，频率分布直方图如图3所示．〔Ⅱ〕将之间的4个分数编号为1，2，3，4，之间的2个分数编号为N，M，在，之间的学生成绩中任取两个分数的根本领件为：，一共15个，其中，至少有一个分数在之间的根本领件：，有9个，故至少有一个分数在之间的概率是．19. 如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.〔Ⅰ〕问：上是否存在点使得平面？请说明理由；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，假设平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，假如小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.【答案】〔1〕详见解析〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕可先猜想E是的中点，再证明，由题意推导出四边形AOED是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC；〔Ⅱ〕鱼被捕的概率等于1减去四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比，由此求出四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积,即可得出结果．试题解析：〔Ⅰ〕存在，E是的中点．证明：如图连接∵分别为的中点，∴，又，且，∴四边形是平行四边形，即平面平面，∴平面.〔Ⅱ〕鱼被捕的概率，由平面，且由〔Ⅰ〕知，∴平面，∴，又是中点，∴，因是底面圆的直径，得，且，∴平面，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底面半径为，那么，，∴∶，即．20. ，直线的斜率之积为 .〔Ⅰ〕求顶点的轨迹方程；〔Ⅱ〕设动直线，点关于直线的对称点为，且点在曲线上，求的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕或者【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设出点M〔x，y〕，表示出两线的斜率，利用其乘积为，建立方程化简即可得到点的轨迹方程，注意挖点；〔Ⅱ〕由题意，设点，点关于直线的对称点为，得出直线的方程为，令得，利用点在，得，，利用根本不等式可得出的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕设动点，那么满足：C：，又，所以，所以M点的轨迹方程C是：．〔Ⅱ〕由题意，设点，由点关于直线的对称点为，那么线段的中点的坐标为且．又直线的斜率，故直线的斜率，且过点，所以直线的方程为：．令，得，由，得，那么，又，当且仅当时等号成立，所以的取值范围为或者21. 函数，且 .〔Ⅰ〕设，求的单调区间及极值；〔Ⅱ〕证明：函数的图象在函数的图象的上方.【答案】(Ⅰ) 当时，．(Ⅱ)详见解析【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由题意可得，那么=，求导即可研究单调区间及极值；〔Ⅱ〕证明：函数的图象在函数的图象的上方，等价于，即，只要证得，可通过证明即可.试题解析：〔Ⅰ〕解：由，所以，解得，又得，所以，于是，那么，由，所以的递增区间，递减区间，当时，．〔Ⅱ〕证明：“函数的图象在函数的图象的上方〞等价于“〞，即要证：，又，所以只要证．由〔Ⅰ〕得，即〔当且仅当时等号成立〕，所以只要证明当时，即可．设，所以，令，解得，由得，所以在上为增函数，所以，即，所以，故函数的图象在函数的图象的上方.点睛：此题考察了利用导数研究函数单调性极值问题，考察转化思想，不等式的证明问题，应纯熟掌握并灵敏应用这两个不等式.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，点是曲线上的一动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.〔Ⅰ〕求线段的中点的轨迹的极坐标方程；〔Ⅱ〕求曲线上的点到直线的间隔的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设线段的中点的坐标为，由中点坐标公式得〔为参数〕，消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，化为极坐标方程即可；〔Ⅱ〕直线的方程为，得直线的直角坐标方程为，利用圆心到直线的间隔与的大小判断直线与圆的位置关系是相离，所以曲线上的点到直线的间隔的最大值为即得解.试题解析：〔Ⅰ〕设线段的中点的坐标为，由中点坐标公式得〔为参数〕，消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，由互化公式可得点的轨迹的极坐标方程为．〔Ⅱ〕由直线的极坐标方程为，得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，它表示以为圆心，2为半径的圆，那么圆心到直线的间隔为，所以直线与圆相离，故曲线上的点到直线的间隔的最大值为．23. 选修4-5：不等式选讲设函数.〔Ⅰ〕作出函数的图象并求其值域；〔Ⅱ〕假设，且，求的最大值.【答案】(1) 值域(2)【解析】试题分析：〔Ⅰ〕分类讨论去掉绝对值得画出图像，值域易得解；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，所以，利用重要不等式即可求出的最大值.试题解析：〔Ⅰ〕由如图5所示，值域．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，∵∴∴的最大值为，当且仅当时，等号成立．点睛：此题考察了分类讨论去绝对值把函数写成分段函数，画图象得值域，考察了利用重要不等式求最值，注意取等的条件.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2021-2022年高三数学12月份统一考试试题 文(含解析)
2021年高三数学12月份统一考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则( )（A）（B）（C）（D）2．已知为纯虚数（是虚数单位）则实数（）A． B． C． D．3．在中，点在边上，且，，则= （）A． B． C． D．【答案】D【解析】4．设函数，曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（）A.0.5B.1C.2D.4第三次运行，成立，所以6．在中，若，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定7．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为（）A． 0 B． 4 C． 5 D．78．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（）A． B． C． D．9．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．10．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质.11．已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①②③④A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③12．已知函数，若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（）A．个 B .个 C .个 D . 个考点：1、新定义；2数列求和.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设，则＝．14．已知，则的最小值为_____________.15．已知角为第二象限角，则 _ _____．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角的三角函数公式.16．已知圆与直线相交于、两点，则当的面积最大时，实数的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知数列的通项公式为，是的前项的和。
高考高三12月内部特供卷 文科数学(一)教师版 (2)
********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********2019届高三12月份内部特供卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =≤<，{}260N x x x =--<，则集合MN 等于（ ）A ．{}02x x ≤<B ．{}23x x -≤<C ．{}03x x <≤D ．{}20x x -≤<【答案】A【解析】由集合{}02M x x =≤<，{}{}26023N x x x x x =--<=-<<， 则集合{}02MN x x =≤<，故选A ．2．已知复数z 满足5i34iz =-，则z =（ ） A ．3 B ．5 C ．1D ．5【答案】C【解析】由题意，复数z 满足()()()5i 34i 5i 43i 34i 34i 34i 55z +===-+--+， 则224343i 15555z ⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．3．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（ ）A ．π4B ．14π-C ．π12- D ．2π【答案】B【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S =， 根据面积比的几何概型可得概率为4π144πp -==-，故选B ． 4．函数()26πtan x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．2π4π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．2π4π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．2π4π4π,4π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z【答案】B【解析】由题意，函数()26πtan x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππππ2262x k k -+<-<+，k ∈Z ，解得2π4π2π2π33k x k -<<+，k ∈Z ， 即函数()f x 单调递增区间是2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选B ．5．设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为（ ） A ．()2,2- B ．()0,+∞C ．()()0,22,+∞ D ．[]2,2-【答案】C【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则()()140x x ⨯+-⨯->且41x x≠，解得0x >且2x ≠， 即x 的范围为()()0,22,+∞，故选C ．6．如下图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1CD ，1AD ，则11CD A B ∥， 在异面直线AC 与1A B 所成的角等于直线AC 与1CD 所成的角，即为1ACD ∠， 又由1ACD △为等边三角形，所以160ACD ∠=︒， 即异面直线AC 与1A B 所成的角等于60︒，故选C ．7．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-≥--≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数2z x y =-，可化为122z y x =-，结合图形，可得直线122zy x =-经过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由()100,1330x y A x y +-=⇒-+⎧⎨⎩=， 所以目标函数的最小值为0212z =-⨯=-，故选B ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=， 根据等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，可得6877263a a a a +==⇒=，9678988331S S a a a a a -=++==⇒=，则872d a a =-=-，可求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，即1720n -≥，解得172n ≤，又由n ∈*N ， 可得等差数列{}n a 中，当18n ≤<，n ∈*N 时，0n a >，当9n ≥，n ∈*N 时，0n a <， 所以使n S 取得最大值时n 的值为8，故选D ．9．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则:ABF BFO S S =△△（ ）A ．1:1B ．1:2C ．()23:2-D ．3:2【答案】A【解析】由题意，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则面积为()12ABF S a c b =-⨯△，12BFO S cb =△，则()12121112ABFBFOa cb S ac a S c c cb --===-=-=△△，故选A ． 10．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。
高三文科数学12月月考试卷
高三文科数学月考试卷高三数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分；考试时间120分钟. 注意事项：1．第Ⅰ卷的答案用2B 铅笔涂在答题卡上；第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处；写在试题卷上的无效．2．答题前；考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上． 3．考试结束后；只交答题卡和答题纸．第Ⅰ卷（选择题；共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）1．设集合U={1,2,3,4,5}；A={1,2,3}；B={2,5}；则A (C U B)=( )A. {2}B. {2,3}C. {1,3}D. {3}2．已知πcos 2ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭；且π||2ϕ<；则tan ϕ=（ ）A ．B ．CD ．3．等差数列}{n a 的公差为2；若a 1、a 3、a 4成等比数列；则a 2=（ ）A ．－6B ．－8C ．8D ．64．设ｂ、ｃ表示两条直线；α、β表示两个平面；下列命题中真命题是 ( )Ａ．若ｂ⊂α；ｃ∥α；则ｂ∥ｃ． Ｂ．若ｂ⊂α；ｂ∥ｃ；则ｃ∥α． Ｃ．若ｃ∥α；ｃ⊥β；则α⊥β．D ．若ｃ∥α；α⊥β；则ｃ⊥β5．已知n展开式中；各项系数的和为64；则n 等于( )A. 7B. 6C. 5D. 46．x x y 52sin 52cos 3+=的图象相邻两对称轴之间的距离为（ ）A ．25πB ．45πC ．52πD ． π57．某小组有4名男生；5名女生；从中选派5人参加竞赛；要求有女生且女生人数少于男生人数的选派方法种数有（ ）A. 40B. 45C. 105D. 1108.设三棱锥的3个侧面两两互相垂直；且侧棱长均为32；则其外接球的表面积为 ( )A.π48B. π36C. π32D.π129.已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切；那么m 的值为 ( ) A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.-1或910．已知抛物线x y 42=的准线与双曲线13222=-b y x 的一条准线重合；则这条抛物线x y 42=与双曲线13222=-b y x 的交点P 到抛物线焦点的距离为 ( )A.21B.21C.6D.411．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数；且是周期为2的周期函数；当)1,0[∈x 时；12)(-=x x f ；则)6(log 21f 的值为（ ）A ．25-B ．－5C ．21- D ．－6 12．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（ ）A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7高三文科数学月考试卷高三数学（文科）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分。
2021-2022年高三12月考数学文试题 含答案
2021年高三12月考数学文试题 含答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.已知全集为,集合,,则( ) A. B. C. D.2．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设p ：，q ：，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若变量满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则的最大值为( )A.4B.3C.2D.1 5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//,,,m n αβαβ⊂⊂则m//n B ．若,,,m m n n αβαβα⊥=⊥⊥则C ．若,//,//,m n m n αβαβ⊥⊥则D ．若//,//,,,//m n m n ααββαβ⊂⊂则6．右图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是( ) A ． B ． C ．D ．7. 等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝( )A ．7B ．8C ．15D ．168.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.9.从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中 任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).A ．B ．C ．D ．10. 双曲线的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点）， 则直线PF 的斜率的变化范围是 （ ）A. (－∞，0)B.(1，+∞)C.(－∞，0)∪(1，+∞)D.(－∞，－1)∪(1，+∞)11. 已知函数212,2()1|log |,2x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，，若函数有两个不同的零点， 则实数的取值为( ) A ．或 B ．或 C ．或 D ．或 12. 已知椭圆M ：（a>b>0），D （2，1）是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点P （4，－1）在直线AB 上，求椭圆M 的离心率 ( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13..曲线在点处的切线方程为 14.已知向量，，.若向量与向量的夹角为锐角， 则实数k 的取值范围为15.已知P 是△ABC 所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是_____________.16. 有下列命题：①圆与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠，相交；②过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= 8③已知动点C 满足则C 点的轨迹是椭圆； 其中正确命题的序号是___ _____三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.(本题12分）在锐角中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为，向量 2(2sin(),3),(cos 2,2cos1)2Bm A C n B =+=-,且向量． （1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值．18．（本题12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.19.（本题12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动． （Ⅰ）证明：AD ⊥C 1E ；（Ⅱ）当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时， 求三棱锥C 1-A 1B 1E 的体积．第18题20.如图所示，椭圆C：的离心率，左焦点为右焦点为，短轴两个端点为.与轴不垂直的直线与椭圆C交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且．（1）求椭圆的方程；（2）求证直线与轴相交于定点，并求出定点标.21.设，函数.（1）若，求函数的极值与单调区间；（2）若函数的图象在处的切线与直线平行，求的值；（3）若函数的图象与直线有三个公共点，求的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，若PA＝2，∠APB＝30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为。
高三上学期12月月考数学(文科)试卷(含答案与解析)
A B 中最小元素为（B ．“优分”人数D ．“优分”人数与非“优分”人数的比值1n S n +和23:2l x y +=的倾斜角依次为90α+ 180= C ．90αβ=+ 90，则22||||PA PB+=（每题5分，共20分)3．已知向量31(2,1),(,a b==--()()a kb a kb+⊥-，则实数33x x m=-+的定义域[0,2]，值域为B，当A B=∅时，分。
解答写出文字说明，证明过程或演算步骤与11所成角的余弦值。
PF PF且向量12两点，且满足sinOM ONθ=)()4+∞，三、解答题：（本大题共12n ⎛++ +⎝（Ⅱ在长方体中，112BO BC =1D 所成角的余弦值为）椭圆且向量12PF PF 的22212121||1()4x x kx x x x -=++-到直线l 的距离2|2|1k d k +=，4sin OM ON θ=263MON S ∴=△高三上学期12月月考数学（文科）试卷解析一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(每题5分，共60分)1．【分析】由A与B，求出两集合的交集，确定出交集中的最小元素即可。
【解答】解：∵A={x|x=2n﹣1，n∈N*}={1，3，5，7，9，11，…}，B={y|y=5m+1，m∈N*}={6，11，16，…}，∴A∩B中最小元素为11，2．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出。
【解答】解：∵z==为纯虚数，∴=0，≠0，则m=﹣1．3．【分析】由程序框图知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，再根据表示的意义即可得出结论。
【解答】解：由程序框图可知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，即次考试数学分数不低于120分的同学的人数是m，因为表示这次考试数学分数不低于120分的“优分”率。
4．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得。
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴=5．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥。
高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案
辽宁省实验中学分校-上学期阶段测试文科数学高三年级命题人：厉鸣校对人;侯军旺一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个 B．4个C．6个 D．8个2.若复数z=cosθ﹣+（﹣sinθ）i（i是虚数单位）是纯虚数，则tanθ的值为（） A．﹣ B． C．﹣ D．±3.已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．0 B．4 C．﹣ D．4..已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．815．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A． B．1﹣C． D．1﹣6．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．7已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④ B．①②④C．①④ D．①③8.已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9.如图所示，已知||=1，||=， =0，点C 在线段AB 上，且∠AOC=30°，设=m+n（m ，n∈R），则m ﹣n 等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣ 10.已知椭圆C ： +=1的左焦点为F ，A ，B 是C 上关于原点对称的两点，且∠AFB=90°，则△ABF 的周长为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．1611.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4， 该几何体的表面积为（ ） A .（4+4）π B ．（6+4）πC ．（8+4）π D ．（12+4）π12.若存在两个正实数x ，y ，使得x+a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）=0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪ C ．，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18，28） 5 0.5 第2组 [28，38） 18第3组 [38，48） 270.9 第4组 [48，58）0.36 第5组30.2（Ⅰ）分别求出，的值；（Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?a x a x 频率组距6858483828180.0100.0150.0200.0250.030（III ）在（II ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19、(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22,且过点A .直线y x m =+交椭圆C 于B ,D (不与点A 重合)两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.21、(本小题满分12分) 已知函数()ln af x x x=+(0)a >.(Ⅲ)讨论关于x 的方程32()1()22x bx a f x x ++=-的实根情况. 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系内，点 在曲线C ：为参数，）上运动．以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C 的标准方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C 相交于A 、B 两点，点M 在曲线C 上移动，试求面积的xOy ),(y x P θθθ(sin ,cos 1⎩⎨⎧=+=y x R ∈θOx l 0)4cos(=+πθρl l ABM ∆最大值．23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于的不等式 （Ⅰ） 当时，解不等式；（Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立x lg(|3||7|).x x m +--<1m =|)7||3lg(|)(--+=x x x f m m x f <)(辽宁省实验中学分校2016—2017学年度上学期阶段性测试数学文科参考答案 高三年级一、AACDA BCBBC DA 二、13. ﹣1﹣e 14. 15. -1 16. 0或-1三、17、（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 18、证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形 ……………2分AEDBFC BFC AED -DAE 2==AE DA ⊥DA ABEF ABCD ABFE ,2FDA(1)连结，则是的中点， 在△中，，………4分 且平面，平面，∴∥平面 ………6分(2) 因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形, 且侧面⊥平面 …………8分 取的中点,,且平面.…………10分所以，多面体的体积.………12分19、解：（I ）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=，第2组频率为：0.2，人数为：1000.220⨯=，所以18200.9a =÷=， …………………………………………………2分 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369x =⨯=. …………………………………………………4分（II ）第2,3,4组回答正确的人数的比为18:27:92:3:1=， ………………………5分所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，1人. ………………………7分 （III ）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A ，抽取的6人中，第2 组的设为1a ，2a ，第3组的设为1b ，2b ，3b ，第4组的设为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：12(,)a a ,11(,)a b ,12131(,),(,),(,)a b a b a c ,2122232(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c ，12131(,),(,),(,)b b b b b c ,232(,),(,),b b b c 3(,)b c . ………………………………9分EB M EB EBC EC MN //EC ⊂CDEF MN⊄CDEF MN CDEF ⊥DA ABEF EF ⊂ABEF AD EF ⊥∴EF AE EF ADE CDEF CDEF DAE DE ,H ⊥DA ,AE 2==AE DA 2=∴AH⊥AHCDEF CDEF A -383131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：12(,)a a ,11(,)a b ，12131(,),(,),(,)a b a b a c ,2122232(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c ． …………………10分93()155P A ==． ………………………………………………………………12分 20、【答案】(Ⅰ)a ce ==22, 22211a b+=,222c b a +=∴2=a ,2=b ,2=c ∴22142x y += (Ⅱ)设11(,)B x y ,22(,)D x y ,由22+142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-= ∴282m 0∆=->22m ⇒-<<, 12,x x += ① 2122x x m =- ②121BD x =-=设d 为点A 到直线BD:=+2y x m 的距离,∴d =∴12ABD S BD d ∆==≤当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =时,ABD ∆的面积最大,21、【答案】(共14分)解:(Ⅰ) ()ln af x x x=+,定义域为(0,)+∞, 则|221()a x af x x x x-=-=. 因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈, 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a . (Ⅱ)由题意,以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(0)x >,所以20012a x x ≥-+对00x >恒成立. 又当00x >时, 2001122x x -+≤,所以a 的最小值为12.(Ⅲ)由题意,方程32()1()22x bx a f x x ++=-化简得 21ln 2b x x =-+12(0,)x ∈+∞ 令211()ln 22h x x x b =--+,则1(1)(1)()x x h x x x x +-'=-=.当(0,1)x ∈时, ()0h x '>,当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 所以()h x 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减. 所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值,最大值为211(1)ln1122h b b =-⨯-+=-. 所以 当0b ->, 即0b <时,()y h x = 的图象与x 轴恰有两个交点,方程32()1()22x bx a f x x ++=-有两个实根, 当0b =时, ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点,方程32()1()22x bx a f x x ++=-有一个实根, 当0b >时, ()y h x = 的图象与x 轴无交点,方程32()1()22x bx a f x x ++=-无实根 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）消去参数，得曲线C 的标准方程：由得：，即直线的直角坐标方程为：θ.1)1(22=+-y x 0)4cos(=+πθρ0sin cos =-θρθρl .0=-y x（2）圆心到直线的距离为，则圆上的点M 到直线的最大距离为（其中为曲线C 的半径），．设M 点的坐标为，则过M 且与直线垂直的直线方程为：，则联立方程，解得，或，经检验舍去．故当点M 为时，面积的最大值为23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当时，原不等式可变为，可得其解集为（2）设， 则由对数定义及绝对值的几何意义知， 因在上为增函数， 则，当时，，故只需即可，)0,1(l 22111=+=d 122+=+r d r 2)22(12||22=-=AB ),(y x l l '01=-+y x ⎩⎨⎧=-+=+-011)1(22y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=22122y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=22122y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=22122y x )22,122(-+ABM ∆=∆max )(ABM S .212)122(221+=+⨯⨯1m =0|3||7|10x x <+--<{|27}.x x <<|3||7|t x x =+--100≤<t x y lg =),0(∞+1lg ≤t 7,10≥=x t 1lg =t 1>m即时，恒成立．1m >m x f <)(第11页共11页。
高三12月内部特供卷 文科数学(二)教师版
金戈铁骑2018届高三12月份内部特供卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A ．{}3|2B A x x =<I B ．A B =∅I C ．3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭UD ．A B =R U【答案】A2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．2D ．i 1-【答案】A3．已知命题p ：0x ∀>，()ln 10x +＞；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B4．已知向量(3,6)a =v，(1,)b λ=-v，且a b r r∥，则λ=（ ）A ．2B ．3C ．2-D ．3-【答案】C5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C6．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法错误的是（ ）A ．丙可以知道四人的成绩B ．乙、丙的成绩是一优秀一良好C ．乙可以知道自己的成绩D ．丁可以知道自己的成绩【答案】A7．已知函数()()() sin 00f x A x b A ωϕω=++＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D8．2()2f x x x =-的定义域为[1,1]a a -+，lg 0.2b =，0.22c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】D9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．43B ．23C ．83D ．2【答案】C10．已知[x ]表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．【答案】B11．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +【答案】D12．已知定义在()0,+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()()2f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数），则()()23f f 的范围为（ ）A ．21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．311,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()()e x f x g x =，则()()()0e xf x f xg x '-'=>()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)g g <，即2(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f <⇒<，令2()()e x f x h x =，则2()2()()0e xf x f x h x '-'=<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)h h >，即242(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f >⇒>．综上，21(2)1e (3)ef f <<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则34z x y =-的最小值为___________．【答案】1-14．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．【答案】8π15．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设金戈铁骑其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为255．，据此估计其身高为____________．【答案】17616．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则22110n n nS S +的最大值为_____．【答案】319【解析】因为11n n n a S S ++=-，所以有111111n n n n n nS S S S S S +++-=-⇒-=，即1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项等于1公差为1的等差数列，所以11n n n S S n=⇒=，则22221()1110110()nn n nS n S n =++2221111101010110()n n n n n n n n====++++，因为10210n n +≥（当且仅当10n =时取等号），因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10n =相邻的两个整数中求最大值，3n =，13n S =，22311019n n nS S =+，22124,,411013n n n nS n S S ===+，所以最大值为319．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}()123n a n =⋯，，，的项满足关系12(2)n n a a n -=≥，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．【答案】（1）()122n n a a n =Q －≥，从而212a a =，32124a a a ==，又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=＋， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+-L ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+．（1）求证：1cos 2B ≥；（2）设B 的最大值为0B ，当0B B =，3a =，又12AD DB =u u u r u u u r，求CD 的长．【答案】（1）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，()()222222223232212cos 22882a c a c a c ac ac ac a cb B ac ac ac ac +⎛⎫+- ⎪+--+-⎝⎭====≥，（2）cos y x =Q 在()0,π上单调递减，B ∴的最大值03B π=，根据（1）中均值不等式，只有当a c =时才能取到03B π=，3a c ∴==，又12AD DB =u u u r u u u r ，所以1AD =，在ACD △中由余弦定理得：22213cos 3213CD π+-=⨯⨯，得7CD =．19．（本小题满分12分）某化妆品商店为促进顾客消费，在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动，具体规则如下表：购买商品金额 折扣 消费不超过200元的部分 9折 消费超过200元但不超过500元的部分 8折 消费超过500元但不超过1000元的部分7折 消费超过1000元的部分6折例如，某顾客购买了300元的化妆品，她实际只需付：()2000.93002000.8260⨯+-⨯=（元）．为了解顾客的消费情况，随机调查了100名顾客，得到如下统计表：购买商品金额 （0，200] （200，500] （500，1000] 1000以上人数10403020（1）写出顾客实际消费金额y 与她购买商品金额x 之间的函数关系式（只写结果）； （2）估算顾客实际消费金额y 不超过180的概率； （3）估算顾客实际消费金额y 超过420的概率．【答案】（1）0.92000.8202005000.77050010000.6170100x x x x y x x x x ⎧⎪+<⎪=⎨+<⎪⎪+>⎩ ≤ ≤ ≤ ．（2）令180y ≤，得200x ≤，所以()()118020010P y P x ==≤≤． （3）令420y >，得500x >，所以()()()()3214205005001000100010102P y P x P x P x >=>=<+>=+=≤．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD ==，4PA BC ==，N ，T 分别为线段PC ，PB 的中点．（1）若PC 与面ABCD 所成角的正切值为43，求四棱锥P ABCD -的体积．（2）试探究：线段AD 上是否存在点M ，使得AT ∥平面CMN ？若存在，请确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）连AC ，由PA ⊥底面ABCD 可知PCA ∠为PC 与面ABCD 所成的角，4PA =Q ，4tan 3PCA ∠=，3AC ∴=， 取线段BC 的中点E ，由3AB AC ==得AE BC ⊥，225AE AB BE -=．()1753452ABCD S ∴=+=，17514543P ABCD V -∴==（2）取线段AD 的三等分点M ，使得223AM AD ==．连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==． 又AD BC ∥，故TN AM ∥且TN AM =．四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊄面CMN ，MN ⊂面CMN ，所以AT ∥平面CMN ，AD ∴上存在点M ，满足2AM =，就能使AT ∥平面CMN ．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x mx =--． （1）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（2）函数()f x 与x 轴交于两点1(,0)A x ，2(,0)B x 且120x x <<，证明：1212121()()333f x x x x '+<-．【答案】（1）当0m =时，()22ln f x x x =-，求导得()()()211x x f x x+-'=，根据定义域，容易得到在1x =处取得最大值，得到函数的最大值为1-．（2）根据条件得到21112ln 0x x mx --=，22222ln 0x x mx --=，两式相减得 221212122(ln ln )()()x x x x m x x ---=-，得221212121212122(ln ln )()2(ln ln )()x x x x x x m x x x x x x ----==-+--，因为2()2f x x m x'=-- 得1212121212122(ln ln )12212()2()()12333333x x f x x x x x x x x x x -'+=-+-++-+121212122(ln ln )21()12333x x x x x x x x -=-+--+ 因为120x x <<，要证1212121()()333f x x x x '+<-，即证1212122(ln ln )201233x x x x x x --<-+，即证1212122()2(ln ln )01233x x x x x x --->+，即证2112212(1)2ln 01233x x x x x x -->+，金戈铁骑设12x t x =(01)t <<，原式即证12(1)2ln 012133t t t-->+⋅，即证6(1)2ln 02t t t -->+ 构造18()62ln 2g t t t =--+，22(1)(4)()0(2)t t g t t t ---'=<+，()g t 单调递减， 所以()(1)0g t g >=得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围； （2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB+的取值范围． 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ．（2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==cos 1α<≤，所以4cos 4333α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为433⎛⎤ ⎥ ⎝⎦． 23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =+-．（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小．【答案】（1）32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤从而得0325x x x <⎧⎨-+⎩≥或0335x x ⎧⎨+⎩≤≤≥或3235x x x >⎧⎨-+⎩≥，解之得23x -≤或 x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2(,][8,)3-∞-+∞U ． （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥， 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．【重庆市梁平区2018届高三二调（12月）文科数学试卷用稿】。
2021年高三数学12月月考试题 文(含解析)
2021年高三数学12月月考试题文（含解析）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、程序框图、充分、必要条件、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第Ｉ卷【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知是虚数单位，则= （）A．B． C． D．【知识点】复数的代数运算L4【答案】【解析】B114ii===，所以选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键.【题文】2．已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】A解析：若x+y=1，当x,y异号或有一个为0时，显然有，当x,y同号时，则x,y只能都为正数，此时1=x+y,得，所以对于满足x+y=1的任意实数x,y都有，则充分性成立，若，不妨取x=4,y=0.001,此时x+y=1不成立，所以必要性不成立，综上可知选A.【思路点拨】一般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 在区间上随机取一个数，则事件：“”的概率为（）A． B ． C． D．【知识点】几何概型K3【答案】【解析】C解析：对于[－π, π]，由cosx≥0，得x∈,所以所求的概率为，则选C.【思路点拨】先判断出是几何概型，归纳为所求概率为长度之比，即可解答.【题文】4．已知函数，若是的导函数，则函数在原点附近的图象大致是（）【知识点】导数的计算，函数的图像B8 B11【答案】【解析】A解析：因为()()'22sin,''22cos0f x x x f x x=-=-≥，所以函数在R上单调递增，则选A.【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A． B．C． D．（第5直观图俯视图侧视图正视图【知识点】三视图椭圆的性质G2 H5【答案】【解析】D解析：设正视图中正方形的边长为2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得，所以2,,e2ca aa a======,则选D.【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求a,b,c关系即可解答.【题文】6．在中，内角的对边分别为且，则的值为（）A． B． C． D．【知识点】解三角形C8【答案】【解析】A解析：由得,又A为三角形内角，所以A=120°,则()()113cos sin222sin sin30sin(30)1 sin sin sin60sin2C C C CA Ca Cb c B C C C⎫⎫-⎪⎪︒-︒-⎝⎭==== --︒--，所以选A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.【题文】7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则 ( )A. B. C. D.【知识点】等比数列D3【答案】【解析】B解析：因为S10:S5＝1:2，所以,由等比数列的性质得成等比数列，所以,得,所以,则选B.【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质成等比数列进行解答..【题文】8．已知x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y－2≤0，x＋3≥0，x－y－1≤0，则的取值范围是 ( )A． B． C． D．【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y－2≤0，x＋3≥0，x－y－1≤0，表示的平面区域如图,因为，而为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点(-3,-4)与点(4，2)连线的斜率最大为，所以的取值范围为，则选C.【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9．已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C 于，则直线这10条直线的斜率乘积为（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质H5 【答案】【解析】B解析：由椭圆的性质可得，由椭圆的对称性可得,同理可得3856749212AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k •=•=•=•=-,则直线这10条直线的斜率乘积为,所以选B..【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键. 【题文】10. 用表示非空集合中的元素个数，定义 若22{|140,},{||2014|2013,}A x x ax a RB x x bx b R =--=∈=++=∈，设，则等于（ ）A ．1B ．4C ．3D ．2 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】B解析：∵x2-ax-14=0对应的判别式△=a2-4×（-14）=a2+56＞0，∴n （A ）=2，∵A*B=1，∴n （B ）=1或n （B ）=3．由|x2+bx+xx|=xx ，解得x2+bx+1=0①或x2+bx+4027=0②，①若集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴b=2或-2．②若集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即△=b2-4×4027=0，且b≠±2，解得，综上所述b=±2或，∴设S={b|A*B=1}=，∴n （S ）=4．故选B ．【思路点拨】根据所给的定义，判断两个集合根的个数，由方程根的个数求b 值.第Ⅱ卷【题文】二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分， 请把答案填在答题卷上）【题文】11. 已知的值为___________.【知识点】指数与对数的互化 对数的运算B6 B7 【答案】【解析】3 解析：由得，所以.【思路点拨】由已知条件先把x,y 化成同底的对数，再利用对数的运算法则进行计算. 【题文】12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】解析：第一次执行循环体得s=1,i=2; 第二次执行循环体得s=,i=3; 第三次执行循环体得s=,i=4; 第四次执行循环体得s=,i=5; 第五次执行循环体得s=,i=6; 第六次执行循环体得s= 此时不满足判断框跳出循环，所以输出的值为.【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答. 【题文】13．已知函数的最大值为1， 则 ．【知识点】三角函数的性质C3 【答案】【解析】0或解析：因为1()sin 2cos(2)a sin 2cos 2322f x a x x x x π⎛=++=-+ ⎝⎭的最大值为1，所以，解得a=0或.【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用asinx+bcosx 的最值的结论进行作答. 【题文】14．过点作圆的弦， 其中弦长为整数的共有 条。
高三(上)12月联考数学试卷(文科) (2)
高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2012•黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）．分析：根据对数函数的性质可知对数函数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出所求．∴x＞﹣的定义域为（﹣，（﹣2．（4分）设集合，则A∩B=．，能求出集合A∩B．解：∵集合={x|∴A∩B={x|﹣＜x≤1}．（﹣3．（4分）已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．，=+（﹣）．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，根据θ的终边过点P（﹣3，4），求得sinθ，cosθ是关键，属于基础题．4．（4分）若函数f（x）=+1的反函数为f﹣1（x），则方程f﹣1（x）=4的解为x=3．考点：反函数．专题：计算题；综合题．分析：先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后代入方程f﹣1（x）=4求解．解答：解：由，得：，所以x=（y﹣1）2（y≥1），所以原函数的反函数为f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1），由f﹣1（x）=4，得：（x﹣1）2=4，解得：x=﹣1（舍）或x=3．所以方程f﹣1（x）=4的解为x=3．故答案为3．点评：本题考查反函数的求法，考查了一元二次方程的解法，此题是基础题．5．（4分）若0≤x≤π，则方程2•cosx+1=0的解x=．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：把2cosx+1=0，等价转化为cosx=﹣，已知0≤x≤π，根据三角函数的性质求出x；解答：解：∵0≤x≤π，则方程2•cosx+1=0，∴cosx=﹣，x=2kπ±，k∈Z．因为0≤x≤π，∴x=，故答案为：；点评：本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，此题是一道基础题；6．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和为S n满足S10﹣S5=20，那么a8=4．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据数列前n项和的定义S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即可求．解答：解：根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8=20，a8=4故答案为：4．点评：本题考查等差数列的性质，属于基础题．7．（4分）若函数的最小正周期为π，则=．考点：三角函数的周期性及其求法；函数的值．专题：计算题．分析：由周期公式及已知的周期求出ω的值，确定出函数解析式，将x=代入，计算即可得到所求式子的值．解答：解：∵T=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），则f（）=2sin（π+）=﹣2×=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数的值，其中确定出函数解析式是解本题的关键．8．（4分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．9．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=20吨．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥=160，当且仅当即x=20吨时，等号成立即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题．10．（4分）已知等比数列{a n}的各项和为1，则a1的取值范围为（0，1）∪（1，2）．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由无穷等比数列的各项和可得：=1，|q|＜1且q≠0，然后通过不等式的知识可得答案．解答：解：由题意可得：=1，|q|＜1且q≠0，故可得a1=1﹣q，由|q|＜1可得﹣1＜q＜1，且q≠0故0＜1﹣q＜2，且1﹣q≠1，∴0＜a1＜，2且a1≠1，故答案为：（0，1）∪（1，2）点评：本题考查无穷等比数列的各项和，解题的关键是由数列的前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，属中档题．11．（4分）已知=，则的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：依题意，可求得tanα的值，利用倍角公式将将转化为关于tanα的关系式，代入即可．解答：解：∵tan（+α）==，∴tanα=﹣，∴==tanα+1=．故答案为：．点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查两角和的正切，切化弦是关键，属于中档题12．（4分）已知数列{a n}满足a n=，则a2011=3．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：由条件可得当n≥5时，a n =a n，故此数列的值具有周期性，周期等于8，故有a2011=a3，由此﹣8求得结果．解答：解：数列{a n}满足a n=，当n≥9时，a n =a n﹣8，故此数列的值具有周期性，周期等于8，∴a2011=a（2011﹣8×251+3）=a3=3，故答案为3．点评：本题主要考查数列的概念以及简单表示法，利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．13．（4分）设函数f（x）=bcosx+csinx的图象经过两点（0，1）和，对一切x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，则实数a的取值范围[﹣2，1]．考点：绝对值不等式的解法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：依题意可求得b=1，c=，从而可根据x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，利用正弦函数的性质解决．解答：解：依题意得：f（0）=bcos0+csin0=b=1，f（）=bcos+csin=c=，∴f（x）=cosx+sinx=2sin（x+）．又x∈[0，π]，∴≤x+≤，∴﹣≤sin（x+）≤1，∴﹣1≤2sin（x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，∴﹣2≤﹣f（x）≤1；∵|f（x）+a|≤3恒成立，∴﹣3≤f（x）+a≤3，∴﹣3﹣f（x）≤a≤3﹣f（x）．∴a≥[﹣3﹣f（x）]max=﹣2且a≤[3﹣f（x）]min=1，∴﹣2≤a≤1．∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查两角和与差的正弦函数与正弦函数的单调性，考查综合分析与应用能力，属于难题．14．（4分）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点称为f的n阶周期点．设f（x）=则f的2阶周期点的个数是4．考点：函数与方程的综合运用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，再求2阶周期点的个数．解答：解：当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶周期点的个数是2；当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶周期点的个数是22=4．故答案为：4．点评：本题考查函数的2阶周期点的个数的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的灵活运用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2012•上海二模）“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由|x﹣3|＞0解得x≠3，而集合{x|x＞3}是集合{x|x≠3}的真子集，可得“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的充分非必要条件．解答：解：由|x﹣3|＞0解得x≠3，而集合{x|x＞3}是集合{x|x≠3}的真子集，故“x＞3”能推出“|x﹣3|＞0”；而“|x﹣3|＞0”不能推出“x＞3”，故“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的充分非必要条件，故选A点评：本题考查解决条件问题一般先化简各命题、考查将判断条件问题转化为对应的集合的包含关系问题．A．y=x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=lgx，x＞0 D．y=，x∈R考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性及单调性的定义逐项判断即可．解答：解：y=sinx是奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=lgx在定义域内单调递增，但不是奇函数，故排除C；y=是增函数但不是奇函数，故排除D．而y=x3既是奇函数又是增函数，故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，准确理解其定义是解决该类题目的基础．17．（5分）函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：由=﹣可求得ω，再由ω+φ=+2kπ，|φ|＜，可求得φ，而A易知，从而可得答案．解答：解：由图可知，A=2，又=﹣=，∴T==π，∴ω=2；∴×2+φ=2kπ+，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴y的表达式为y=2sin（2x﹣）．故选D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．18．（5分）已知数列{a n}中，，点（n，2a n+1﹣a n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…，设b n=a n+1 n nA．等比数列B．等差数列C．常数数列D．既不是等比数列也不是等比数列考点：数列递推式；数列的函数特性；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用点（n，2a n+1﹣a n）在直线y=x上，可得2a n+1=a n+n，根据b n=a n+1﹣a n﹣1，b n+1=a n+2﹣a n+1﹣1，可得2b n+1=b n，由此可得结论．解答：解：∵点（n，2a n+1﹣a n）在直线y=x上，∴2a n+1=a n+n，∵a1=，a2=，∴a2﹣a1﹣1=﹣，又b n=a n+1﹣a n﹣1，b n+1=a n+2﹣a n+1﹣1，∴2b n+1=2a n+2﹣2a n+1﹣2=a n+1+n+1﹣（a n+n）﹣2=a n+1﹣a n﹣1=b n，∴=∴{b n}是以﹣为首项，以为公比的等比数列．故选A．点评：本题考查数列与函数的结合，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x ﹣1）（x+2）＞0，解可得x ＜﹣2或x ＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）； （2）由（1）可得又由，A ∪B=R ，必有B={x|﹣2≤x ≤3}，即方程x 2+ax+b=0的解是x 1=﹣2，x 2=3 于是a=﹣（x 1+x 2）=﹣1，b=x 1x 2=﹣6， ∴a+b=﹣7．点评： 本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A 、B 的交集与并集，求出集合B ． 20．（14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ． （1）若a=4，，且△ABC 的面积，求b ，c 的值；（2）若sin （B+A ）+sin （B ﹣A ）=sin2A ，试判断△ABC 的形状．考点： 解三角形．专题： 综合题；解三角形．分析： （1）利用三角形的面积公式，即可求b ，c 的值；（2）利用和角与差角的三角函数公式化简，即可判断△ABC 的形状．解答： 解：（1）因为△ABC 的面积等于，所以，因为a=4，，所以b=1由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2ab •cosC=13，所以（2）由题意得sinBcosA=sinAcosA ， 当cosA=0时，，△ABC 为直角三角形当cosA ≠0时，得sinB=sinA ，由正弦定理得a=b ，所以，△ABC 为等腰三角形 所以△ABC 是等腰或直角三角形．点评： 本题考查三角形的面积公式，考查余弦、正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（14分）若函数f （x ）在定义域D 内某区间I 上是增函数，而在I 上是减函数，则称y=f （x ）在I 上是“弱增函数”（1）请分别判断f （x ）=x+4，g （x ）=x 2+4x 在x ∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）证明函数h （x ）=x 2+a 2x+4（a 是常数且a ∈R ）在（0，1]上是“弱增函数”． 考点：函数单调性的判断与证明． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1）利用“弱增函数”的定义逐个判断即可； （2）按“若增函数”的定义需证明两条：①证明h （x ）在（0，1]上是增函数；②证明在（0，1]上是减函数．解答：解：（1）由于f （x ）=x+4在（1，2）上是增函数，且F （x ）=在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x2+4x在（1，2）上是增函数，但在（1，2）上不是减函数，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．（2）因为h（x）=x2+a2•x+4的对称轴为x=﹣≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．下面证明函数F（x）=在（0，1]上是减函数．设0＜x1＜x2≤1，则，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，∴，即F（x1）＞F（x2）．所以F（x）在（0，1]上单调递减，所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；本题主要考查函数单调性的判断及证明，考查对新问题的理解分析及解决能力．点评：22．（16分）已知（a∈R）是奇函数．（1）求a的值；（2）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；（3）设g（x）=log4，若方程f﹣1（x）=g（x）在x∈[，]上有解，求实数k的取值范围．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得：f（0）=0，解得a=1，注意验证；（2）把（1）的结论代入可得函数，转化为方程的根可得答案；（3）求函数的反函数可得，由对数的运算性质可得，用换元法令m=1﹣x，由关于m的函数的范围可得答案．解答：解：（1）由奇函数的定义可得：f（﹣x）=﹣f（x），取x=0即得f（0）=0，解得a=1，2分经验证知当a=1时，，此时满足f（x）=﹣f（﹣x），故当a=1时，f（x）在R上的奇函数，4分（2）由（1）知：，故F（x）=+=6分由（2x）2+2x﹣6=0，可得2x=2，8分所以x=1，即F（x）的零点为x=1．10分（3）由f﹣1（x）=g（x）得，11分由对数函数的运算性质可得：12分显然当时k+x＞0，即13分设14分于是15分所以实数k的取值范围16分．点评：本题考查函数的奇偶性和零点，涉及对数的运算，属中档题．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据“生成数列”的定义，数列{b n}满足，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结论；（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c n}的“生成数列”{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．解答：解：（1）∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，∴3分综合得：b n=2n﹣14分（2）6分当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4（常数）所以此时数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列8分当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分此时c1+c3≠2c2，∴此时数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．10分（3）11分当n=1时，T n=p1=312分当n≥2时=3+（3•2+3•22+…+3•2n﹣1）+（3+5+…+2n﹣1）=3•2n+n2﹣4，14分所以，15分若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，则2012≤T n≤626016分由于{T n}对于一切自然数是增函数，T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260所以存在唯一的自然数m=10满足若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0成立18分．点评：本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．。
2021年高三12月月考文科数学试题
2021年高三12月月考文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个B．2个C．1个D．无穷多个2．设复数，则等于（）A．-1+i B．1+i C．-1+2i D．1+2i3．在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A．B．C．D．4．设非空集合P、Q满足PQ，则（）A．xQ，有xP B．xP，有xQC．x0Q，使得x0P D．x0P，使得x0Q5．的值为（）A．B．- C．D．6．如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则等于（）A．-32 B．32 C．-64 D．647．设为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是（）A．若与所成角相等,则B．若,则C．若,则D．若,则8．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．等比数列的各项都是正数，且a2, a3, a1成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．或10．实数满足条件，目标函数的最小值为，则该目标函数的最大值为（）EP DCB AA ．10B ．12C ．14D ．1511．下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是（ ）A ．B ．C ．D ．12．的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量 在方向上的投影为（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第]22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，_____．14．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是 ．15．若对任意m ∈R ，直线x ＋y ＋m ＝0都不是曲线的切线，则实数a 的取值范围是____________． 16．已知f （x ）是定义R 在上的偶函数，f （x ）在[0，+ ∞]上为增函数，f （13）=0，则不等式f （）>0的解集为__________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面；18．（本小题满分12分） 已知向量,函数．主视图左视图俯视图EC 1B 1A 1CBA（1）求函数的最小正周期; （2）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积． 19．（本题满分12分） 已知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及； （2）令b n =（n N *），求数列的前n 项和． 20．（本小题满分12分） 一个三棱柱的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设为线段上的点． （1）求几何体的体积； （2）是否存在点E ，使平面平面，若存在，求AE 的长．21．（本小题满分12分） 已知函数在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）若经过点可以作出曲线的三条切线，求实数的取值范围．四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑） 22．选修4—1：几何证明选讲 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （1）求AC 的长； （2）求证：BE ＝EF ．23．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．24．选修4－5：不等式选讲已知，．（1）求证：，；（2）若，求证：．ABC DPE参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
2021届四川省成都示范性高中高三12月月考文科数学试卷
2021年四川省成都示范性高中高三12月月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（ ） A ．B ．2C ．D ．2．在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于（ ）A.30B.45C. 60D. 753．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则2014s （ ） A ．2014- B ．1007- C ．1007 D ．2014 4．若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．127D ．15 5．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-116．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A.61 B ．63 C.31D ．337．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中22,0,0πϕπω<<->>A ），其部分图像如下图所示，将)(x f 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到)(x g 的图像，则函数)(x g 的解析式为（ ）A ．()sin(1)2g x x π=+ B ．()sin(1)8g x x π=+C ．()sin(1)2g x x π=+ D ．()sin(1)8g x x π=+ 8．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为（ ） A ．5 B ．29 C ．37 D ．49 9．设椭圆C ：（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D．若AD．F 1B ，则椭圆C 的离心率等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 （ ） （A ）b a c << （B ） c a b << （C ） c b a << （D ） a b c <<二、填空题11．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =____.12．已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则____.13．已知向量(2,1)=，向量)4,3(=，则在方向上的投影为____. 14．已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f ____.15．已知下列五个命题：①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的21，其体积缩小到原来的41； ②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；③直线01=++y x 与圆 ④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线lP 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2其中真命题的序号是：____.三、解答题16．本小题满分12分）已知函数212cos 2cos 2sin3)(2-+=x x x x f ,ABC ∆三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间及对称轴的方程； （Ⅱ）若1)(=+C B f ,3=A 1=b ，求角C 的大小.17．成都市海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．18．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）证明：BN ⊥平面C 1B 1N ；ABCNB 1C 1（2）求点的距离到面N C 11CB19．已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）已知椭圆O（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OAOBb kk a⋅=-，求证：AOB ∆的面积为定值21．已知函数（．）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（．）若[2,6]x ∈1()lnln 1(1)(7)x mf x x x x +=>---恒成立，求实数m 的取值范围； （．）当*n N ∈时，试比较(2)(4)(6)...(2)f f f f n ++++与222n n +的大小关系．参考答案1．D 【解析】试题分析：因为复数为纯虚数，所以可设，又因为，所以，所以解得答案为D.考点：复数的运算及性质. 2．A 【解析】试题分析：因为在锐角△ABC 中，2sin b a B =，由正弦定理得，B A B sin sin 2sin =,所以21sin =A ,030=A ,所以答案为A. 考点：正弦定理的应用. 3．D 【解析】试题分析：因为20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，所以220132=+a a ，数列{}n a 是等差数列，所以20142)(20142)(201420132201412014=+=+=a a a a s ，答案为D.考点：等差数列的性质及求和公式. 4．A 【解析】试题分析：开始A=1，B=1，第一步：判断51≤成立，211,3112=+==+⨯=A B 第二步：判断52≤成立，312,7132=+==+⨯=A B 第三步：判断53≤成立，413,15172=+==+⨯=A B 第四步：判断54≤成立，514,311152=+==+⨯=A B 第五步：判断55≤成立，615,631312=+==+⨯=A B 第六步：判断56≤不成立，输出63. 考点：程序框图.5．C 【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,半径为25m -,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m -+-=+-9m ⇒=,故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断6．B 【解析】试题分析：设正四面体ABCD 棱长为a,取AB 得中点F,连接EF,CF ,在ABD ∆中，E,F 分别是边AB,AD 的中点，所以,//DB EF 则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，在正四面体ABCD 中，E,F 分别是边AB,AD 的中点，所以a a a CF CE 3)2(22=-==在CEF ∆中，由余弦定理得：63322cos 22222==⋅-+=∠aa EF CE CF EF CE CEF . 考点：异面直线所成的角. 7．B 【解析】试题分析：由函数图象可知A=1，,24=T 8=∴T ,所以4822πππω===T ,当)(1x f x 时，=得最大值1，所以)4sin(1ϕπ+=，又因为22πϕπ<<-，所以4πϕ=，所以),44sin()(ππ+=x x f 将)(x f 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍得)48sin(ππ+=x y ，再向右平移1个单位得到)(x g =)1(8sin )488sin(+=+-x x ππππ的图像，所以答案为B.考点：三角函数的图像及性质. 8．C 【解析】试题分析：作出可行域如图，圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1的圆心为),(b a ，半径1=r 的圆，因为圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，可得1=b ，所以.1222+=+a b a 所以要使a 2＋b 2取得的最大值，只需2a 取得最大值，由图像可知当圆心C 位于B 点时，2a 取得最大值，B 点的坐标为),1,6(，即1,6==b a 时3713622=+=+b a 是最大值.考点：线性规划综合问题. 9．B 【解析】 试题分析：设a=1,,当x=c 时,由得,所以,设三点共线,解得即,因为AD．F 1B ，所以，即,的,所以,即,解得,所以.考点：椭圆的离心率. 10．A 【解析】试题分析：令,)()(x x f x g =则,)()()(2xx f x f x x g -'='因为当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，所以)(x g 在()+∞,0上单调递减，因为24log 5log 22=>，04.02.0,22122.0=<<，所以>5log 222.02.02>所以b a c <<. 考点：导数的应用. 11．{}2,1,0,1- 【解析】试题分析：集合2{|20}A x x x =--≤{}{}21|0)1)(2(|≤≤-=≤+-=x x x x x ，因为集合B 为整数集，所以A B ={}2,1,0,1-.考点：集合的基本运算. 12．10 【解析】 试题分析：10cos 3cos 4cos 4cos 6cos 3sin 2cos 4sin 3,cos 2sin ,2cos sin .2tan =-+=-+=∴==ααααααααααααα则则. 考点：三角函数的运算. 13．2 【解析】试题分析：设与b 的夹角为α，a 在b 方向上的投影为2434132||cos ||22=+⨯+⨯==b α.考点：向量数量积的应用. 14．4028【解析】 试题分析：因为1212121)12(21214)(-+=-+-=--=x x x x x x f ，4)1()(,12121)1(212)1(=-+∴--=--+=-x f x f x x x f ，4)20152014()20151(=+f f4)20151008()20151007(=+f f ，所以402810074)20152014()20152013(...)20152()20151(=⨯=++++f f f f . 考点：寻求规律. 15．①③⑤ 【解析】体积公式h r V 231π=，可得该命题正确， ②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；不对，平均数与中位数不是同一个概念，数值可以相等也可以不等； ③直线01=++y x)0,0(到距离2211|100|22=+++=d 等于圆的半径，故结论正确；④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.错误，因为“b a 1010≥”则b a >，b a ,有可能是负数，得不到“b a lg lg ≥”； ⑤过M （2,0）的直线lP 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于，设),(),,(222111y x P y x P ，),(y x P ，所以y y y x x x 2,22121=+=+因为122121=+y x （1），122222=+y x （2），（1）-（2）得：02)(22)(2121=⋅-+⋅-y y y x x x 所以212121-=⨯--x y x x y y ，由题意得2121-=k k .考点：命题真假的判断.16．（Ⅰ）函数)(x f 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+()Z k ∈ ，对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ（Ⅱ）6π=C【解析】试题分析：（1）求三角函数的最小正周期，单调性，对称轴方程时，一般利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确，得到()ϕω+=x A y sin 的形式，（2）在求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成()ϕω+=x A y sin 形式，再()ϕω+=x A y sin 的单调区间，只需把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调区间，注意先把ω化为正数,这是容易出错的地方.（3）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（4）在三角形中，注意隐含条件π=++C B A试题解析：（Ⅰ）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ 令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ（Ⅱ） 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =由正弦定理sin sin B Ab a =把1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =.考点：（1）求三角函数的单调性及图像的对称轴方程（2）解三角形. 17．（1）A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2. （2）154. 【解析】试题分析：（1）分层抽样每个层的抽样比相等；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题解析：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是100150506++＝501所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×501＝1，150×501＝3，100×501＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.（2）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P （D ）＝154，即这2件商品来自相同地区的概率为154. 考点：（1）分层抽样（2）古典概型问题 18．（1）证明见解析（2）21【解析】试题分析：（1）由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体的实际形状时，一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（3）在解决点到平面的距离可转化成线面距离或利用体积相等来计算试题解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则为直角内，易证，且在面11111BNB N ABB N ABB ∠⊥C BN ABB BN 1111面且面⊂⊥N ABB C B ,BN C B ⊥∴11 11111B C B N B N B BN =⊥ ，且又,N B C BN 11面⊥∴（2）由等体积法364448312*********=⨯⨯⨯⨯===---C CBB N C CB N CNB C V V V , 364311=∆h S CNB 则364641==∆CNB S h 考点：（1）三视图（2）线面垂直（3）点到平面的距离19．（Ⅰ）232,21-=+=n n n b n a （Ⅱ）245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.（2）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；（3）一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后做差求解试题解析：（Ⅰ）由1221n n a a +=+得11,N 2n n a a n *+-=∈，又11a =， 所以{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n n a a n d +=+-=，N n *∈.当1n =时，1211196,3b S -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当2n ≥时，31193n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，231211299333n n n n n n b S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又1n =时12263n b -==，所以223n n b -=，N n *∈.（Ⅱ）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.所以10121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）等式两边同乘以13得 012111111234(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）（1）-（2）得10121112111112(+1)3333331113=6+(+1)1313n n n n n T n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-所以245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.考点：（1）由前n 项和求通项公式；（2）错位相减法求数列的和20．【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，22,b a 关系再利用椭圆的短半轴长为半径b 的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（Ⅰ）由题意得，b ==，12c a =，又222a b c +=，联立解得224,3a b ==，∴椭圆的方程为（Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B消去y 化简得，()0124843222=-+++m kmx xk，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=34OA OBK K ⋅=-即34222=-k m为定值.考点：（1）求椭圆的方程,（2）直线与椭圆的综合问题 21．（．）函数的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，在定义域上是奇函数．（．）07m <<（．）21()x n n N *=+∈时,2ln(21)222n n n n +<<+成立.【解析】试题分析：（1）判断函数奇偶性的方法：1、先求出函数定义域若关于原点对称,则进行第二步；若不关于原点对称则为非奇非偶函数2、再判断与的关系，如果相等则是偶函数，如若互为相反数则是奇函数，若不能确定则为非奇非偶函数（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）（3）证明不等式可以利用作差法，也可构造函数，利用函数的单调性解决 试题解析：（．）由101x x +>-，解得1x <-或1x >， ． 函数的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 当(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时，11111()lnln ln()ln ()1111x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+-- ．在定义域上是奇函数．（．）由[2,6]x ∈时，1()lnln 1(1)(7)x mf x x x x +=>---恒成立， ．10,[2,6]1(1)(7)x mx x x x +>>∈--- ．0(1)(7)m x x <<+-在[2,6]x ∈成立令2()(1)(7)(3)16g x x x x =+-=--+，[2,6]x ∈，由二次函数的性质可知[2,3]x ∈时函数单调递增，[3,6]x ∈时函数单调递减， [2,6]x ∈时，min ()(6)7g x g ==．07m <<（．）(2)(4)(6)(2)f f f f n +++⋅⋅⋅+=35721ln ln(21)13521n n n +⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+-构造函数2()ln(1)()(0)2x h x x x x =+-+>，212()111x xh x x x x --=--='++ 当0x >时，()0h x '<，．2()ln(1)()2xh x x x =+-+在(0,)+∞单调递减，()(0)0h x h ∴<=当2x n =（n N *∈）时，2ln(12)(22)0n n n +-+<2ln(12)22n n n ∴+<+.考点：（1）函数的奇偶性（2）求参数的取值范围（3）证明不等式.。
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金戈铁骑2019届高三12月份内部特供卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =≤<，{}260N x x x =--<，则集合M N I 等于（ ）A ．{}02x x ≤<B ．{}23x x -≤<C ．{}03x x <≤D ．{}20x x -≤<【答案】A【解析】由集合{}02M x x =≤<，{}{}26023N x x x x x =--<=-<<， 则集合{}02M N x x =≤<I ，故选A ． 2．已知复数z 满足5i34iz =-，则z =（ ） A ．3 B ．5 C ．1D ．5【答案】C【解析】由题意，复数z 满足()()()5i 34i 5i 43i 34i 34i 34i 55z +===-+--+， 则224343i 15555z ⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．3．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（ ）A ．π4B ．14π-C ．π12- D ．2π【答案】B【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S =， 根据面积比的几何概型可得概率为4π144πp -==-，故选B ． 4．函数()26πtan x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．2π4π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．2π4π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．2π4π4π,4π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z【答案】B【解析】由题意，函数()26πtan x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππππ2262x k k -+<-<+，k ∈Z ，解得2π4π2π2π33k x k -<<+，k ∈Z ， 即函数()f x 单调递增区间是2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选B ．5．设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为（ ） A ．()2,2- B ．()0,+∞C ．()()0,22,+∞UD ．[]2,2-【答案】C【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则()()140x x ⨯+-⨯->且41x x≠，解得0x >且2x ≠， 即x 的范围为()()0,22,+∞U ，故选C ．6．如下图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1CD ，1AD ，则11CD A B ∥， 在异面直线AC 与1A B 所成的角等于直线AC 与1CD 所成的角，即为1ACD ∠， 又由1ACD △为等边三角形，所以160ACD ∠=︒， 即异面直线AC 与1A B 所成的角等于60︒，故选C ．7．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-≥--≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数2z x y =-，可化为122z y x =-，结合图形，可得直线122zy x =-经过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由()100,1330x y A x y +-=⇒-+⎧⎨⎩=， 所以目标函数的最小值为0212z =-⨯=-，故选B ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=， 根据等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，可得6877263a a a a +==⇒=，9678988331S S a a a a a -=++==⇒=，则872d a a =-=-，可求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，即1720n -≥，解得172n ≤，又由n ∈*N ， 可得等差数列{}n a 中，当18n ≤<，n ∈*N 时，0n a >，当9n ≥，n ∈*N 时，0n a <， 所以使n S 取得最大值时n 的值为8，故选D ．9．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则:ABF BFO S S =△△（ ）A ．1:1B ．1:2C ．()23:2-D ．3:2【答案】A【解析】由题意，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则面积为()12ABF S a c b =-⨯△，12BFO S cb =△，则()12121112ABFBFOa cb S ac a S c c cb --===-=-=△△，故选A ． 10．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。
在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。
在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈的结论。
若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数)金戈铁骑A ．768B ．144C ．767D ．145 【答案】D【解析】由题意，小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈，则估计1000以内的素数的 个数为为()100010001000π1000145lg10003ln1000lge 0.43429≈==≈，故选D ．11．定义在上R 的连续可导函数()f x ，若当0x ≠时有()0xf x '<，则下列各项正确的是（ ） A ．()()()1220f f f -+> B ．()()()1220f f f -+=C ．()()()1220f f f -+<D ．()()12f f -+与()20f 大小不定【答案】C【解析】由题意可知，函数在上R 的连续可导函数()f x ，且当0x ≠时有()0xf x '<， 当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 为单调递减函数； 当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数，所以()()10f f -<，()()20f f <，所以()()()1220f f f -+<，故选C ． 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，求()()22a cb d -+-的最小值（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2【答案】B【解析】由题意，可知点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，(),d c 是直线:1l y x =+上的点， 则()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 易知所求的最小值为2．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()12sin 2π13cos2πf x x x =+，则()f x 的最小正周期为______．【答案】1【解析】由题意，函数()()2212sin 2π13cos2π12132πf x x x x ϕ=+++， 其中13tan 12ϕ=则()f x 的最小正周期为2π12πT ==． 14．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，L ，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_____． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】068【解析】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第8列开始向右读取， 依次为331，455，068，L ，所以第3支疫苗的编号为068．15．若1a >，则双曲线22213x y a-=的离心率的取值范围是___________． 【答案】()1,2【解析】由题意，双曲线22213x y a-=，可得双曲线的离心率为22331c a e a a +===+ 因为1a >，可得()2311,2e a +，即双曲线的离心率的取值范围是()1,2． 16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ABCD ⊥底面，且2PD a =， 若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________． 【答案】(22a【解析】由题意，当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球的半径最大，作出其侧视图，如图所示，易知球的半径()22r a =-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()11n n n a a n a +=∈+*N ，且()1n nb n a =∈*N ． （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，求出n T 的表达式．【答案】（1）证明见解析；（2）1n nT n =+．【解析】（1）证明：因1n n b a =，且11n n n a a a +=+， 故111111n n n n na b a a a +++===+，故11n n b b +-=． 又因1111b a ==，故数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知数列{}n b 的通项公式为n b n =， 又1n n b a =，所以11n n a b n ==．故()111111n a n n n n n ==-+++，所以11111111nn k n T k k n n =⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭∑． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2PA AB ==，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．（1）求此四棱锥的体积； （2）求证：AG ∥平面PEC ； （3）求证：平面PCD ⊥平面PEC ．【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）四棱锥的体积118222333P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯⨯=．（2）证明：在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ， 则易得AE FG ∥，且12AE CD FG ==，且故四边形AEFG 为平行四边形，故EF AG ∥， 又EF ⊂面PEC ，AG ⊄面PEC ，故AG ∥面PEC ．（3）证明：∵CD AD ⊥，CD PA ⊥， 又PA AD A =I ，∴CD ⊥平面PAD ， 又AG ⊂平面PAD ，∴CD AG ⊥，又PD AG ⊥，PD CD D =I ，∴AG ⊥平面PCD ．∴EF ⊥平面PCD ． 又EF ⊂面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．19．（12分）下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图金戈铁骑注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数r ，并用相关系数的大小说明y 与t 相关性的强弱；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注： 参考数据：7110.97i i y ==∑，7147.36i i i t y ==∑()7210.664i i y y =-=∑7 2.646≈．参考公式：相关系数()()()()()()11122221111nnniii iii i i nnn ni i i i i i i i t t y y t y t yr t t y y t t y y =======---==----∑∑∑∑∑∑∑，回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆˆay bt =-． 【答案】（1）0.99r ≈，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；（2）回归方程为 1.070.ˆ12yt =+，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨． 【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，()72128i i t t =-=∑()7210.664ii y y =-=∑，()()77711147.36410.97 3.48i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑，∴ 3.480.990.6642 2.646r ≈≈⨯⨯．因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．（2）由10.97 1.5677y =≈及（1）得()()()717213.480.128ˆ42ii i i i tty y b t t ==--==≈-∑∑， ∴ 1.5670.1244 1.ˆ07ˆay bt =-≈-⨯≈．所以y 关于t 的回归方程为 1.070.ˆ12y t =+． 将2018年对应的9t =代入回归方程得 1.070.122ˆ9.15y=+⨯=． 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨．20．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线1x =-上的点，且FP FQ ⊥．求直线PQ 与抛物线C 的交点个数，并说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由见解析．【解析】（1）抛物线的准线方程为2p x =-，所以点()2,E t 到焦点的距离为232p+=． 解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由如下：设点P 为200,4y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点Q 为()1,m -，焦点F 为()1,0．则2001,4y FP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()2,FQ m =-u u ur ．由题意可得0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，故2002104y my ⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭，从而20042y m y -=． 故直线PQ 的斜率0200214PQy mk y y -==+．故直线PQ 的方程为200024y y y x y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 即20024y y y x =-①．又抛物线C 的方程24y x = ②， 联立消去x 得()200y y -=，故0y y =，且24y x =． 故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点． 21．（12分）已知函数()ln f x x ax =+， （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 的零点个数．【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．（2）当e 1a <-时，函数()f x 没有零点；当e 1a =-时，函数()f x 有一个零点；当10ea -<<时，函数()f x 有两个零点．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()11'ax f x a x x+=+=， ①当0a ≥时，()'0f x >，故()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a <时，令()'0f x =，则1x a=-，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()'0f x >，()f x 单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．（2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．故()max 11ln 1f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①当1ln 1a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即e 1a <-时，10f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时函数()f x 没有零点． ②当1ln 1a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即e 1a =-时，10f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时函数()f x 有一个零点． ③当1ln 1a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即10e a -<<时，10f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令01b <<且1b a<-，则ln 0b <，()ln ln 0f b b ab b =+<<， 故()10f b f a ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故()f x 在1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点；再者，2211111ln 2ln f a a aa a ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a=-，则()e,t ∈+∞；再令()2ln g t t t =-，()e,t ∈+∞，则()2'10g t t=-<，故()g t 在()e,+∞上单调递减， 故()()e e 20g t g <=-<，210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故2110f f a a ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在211,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点． 故()f x 在()0,+∞上有两个零点．综上所述：当e 1a <-时，函数()f x 没有零点；当e 1a =-时，函数()f x 有一个零点；当10ea -<<时，函数()f x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα==+⎧⎨⎩(t 为参数，[)0,πα∈)，曲线C 的极坐标方程为4sin ρα=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q两点，若PQ =，求直线l 的斜率． 【答案】（1）()2220x y +-=；（2）．【解析】（1）4sin ρθ=Q ，24sin ρρθ∴=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得224x y y +=． ∴曲线C 的直角坐标方程为()2220x y +-=．（2）把cos 1sin x t y t αα==+⎧⎨⎩代入224x y y +=，整理得22sin 30t t α--=，设其两根分别为1t ，2t ，则122sin t t α+=，123t t =-，12PQ t t ∴=-=sin α=，2ππ33α=或，∴直线l 的斜率为．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】金戈铁骑设函数()12f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）当[]2,3x ∈时，()22f x x x m ≥-++恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{}12x x -≤≤；（2）(],3-∞．【解析】（1）()12,1123,1221,2x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩， 由()3f x ≤，解得12x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{}12x x -≤≤． （2）当[]2,3x ∈时，()21f x x =-，由()22f x x x m ≥-++，得2212x x x m -≥-++， 也就是21m x ≤-在[]2,3x ∈恒成立， 故3m ≤，即m 的取值范围为(],3-∞．【广东省中山一中等七校联合体2019届高三第二次（11月）联考数学（文）试题用稿】。